Trabajo Colaborativo 1 de Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES ACTIVIDAD 6. TRABAJO COLABORATIVO UNO

PRESENTADO: MARIO FERNANDO TRUJILLO CARRILO COD: 93180511

TUTOR: CAMILO ARTURO ZUÑIGA GUERRERO

SEMESTRE I - 2014

UNIVERISDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERIAS PROGRAMA INGENIERIA INDUSTRIAL CEAD MARIQUITA TOLIMA

ABRIL 2014

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía. Una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad.

OBJETIVOS

 Evaluar e implementar la teoría vista en el desarrollo del curso.  Abordar las temáticas de la primera unidad y desarrollar ejercicios propuestos.  Desarrollar habilidades inter-personales para lograr un buen desempeño, lo anterior a través del trabajo en equipo colaborativo.  Establecer y defender argumentos académicos sólidos.

ACTIVIDAD No. 1

El trabajo colaborativo 1 está compuesto con los siguientes problemas donde los participantes del grupo realizaran, para luego entregarlo:

1. Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación: A. 𝑑2𝑦 + 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 0 𝑑𝑥 2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛. B. 𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 C. 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 +𝑥 − 5𝑦 = 𝑒 𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 D. (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

2. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables: 𝑑𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑥2 𝑑𝑥 Solución: 𝑑𝑦 = (𝑥 2 ). (𝑦 + 1) 𝑑𝑥

1 ( ) 𝑑𝑦 = (𝑥 2 )𝑑𝑥 𝑦+1 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 ∫

1 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑦+1

𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 ln(𝑦 + 1) + 𝐶 = ln(𝑦 + 1) =

𝑥3 +𝐶 3

1 3 𝑥 +𝐶 3

3. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala. 𝑑𝑦 = 𝑒 2𝑥 + 𝑦 − 1 𝑑𝑥 Primero es identificar 𝑀(𝑥, 𝑦) = −𝑦 𝑁(𝑥, 𝑦) = 1 𝑀𝑦 = −1 𝑁𝑥 = 0 Donde 𝑀𝑦 ; 𝑁𝑥 𝑁𝑂 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 Por tanto 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎

Se procede resolver por el factor integrante 𝑒 −𝑥 entonces la ecuación es exacta: 𝑒 −𝑥 (𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥) = 𝑒 −𝑥 (𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥) 𝑒 −𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦 𝑒^(−𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑒 −𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑑(𝑒 −𝑥 ) = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑑 ( 𝑦 𝑒 −𝑥 ) = 𝑑 (𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 )

Ahora se procede integrar 𝑦 𝑒 −𝑥 = 𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 + 𝐶1 𝑦 = 𝑒 2𝑥 + 1 + 𝐶1 𝑒 −𝑥 Ahora verificamos 𝑑𝑦 = 2 𝑒 2𝑥 + 𝐶1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑒 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 𝑒 2𝑥 + 𝑒 2𝑥 + 1 + 𝐶1 𝑒 −𝑥 − 1 𝑒 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 2 𝑒 2𝑥 + 𝐶1 𝑒 −𝑥

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑥 (2𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (1)𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 𝑀(𝑋, 𝑌)𝑑𝑥 + (𝑁, 𝑌)𝑑𝑦 𝑀 = 2𝑥𝑦 𝑁=1 𝑁𝑥 − 𝑀𝑦 = 0 − 2𝑥 = −2𝑥 𝐸𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑢 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥 𝑢 = 𝑢(𝑥) 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 −𝑁

𝑑𝑢 = (𝑁𝑥 − 𝑀𝑦)𝑢 𝑑𝑥

(−1)

𝑑𝑢 = −2𝑥𝑢 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢

𝑙𝑛|𝑢| = 𝑥 2 𝑢 = 𝑒 (𝑥

2)

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑒 (𝑥 2

2

2)

2

(2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥)𝑦 + 𝑒 (𝑥 ) 𝑑𝑦 = 𝑥𝑒 (𝑥 ) 𝑑𝑥 1 2 2 2 𝑑(𝑒 (𝑥 ) )𝑦 + (𝑒 (𝑥 ) )𝑑𝑦 = ( )𝑑(𝑒 (𝑥 ) ) 2 1 2 2 𝑑(𝑦´𝑒 (𝑥 ) ) = ( ) 𝑒 (𝑥 ) + 𝐶 2 1 2 𝑦 = ( ) + 𝐶𝑒 (𝑥 ) 2

5. Resuelva por el método de homogéneas la siguiente ecuación diferencial 2𝑥 3 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 4 + 𝑦 4 )𝑑𝑦 = 0 (𝑥 4 𝑦 4 )𝑑𝑦 + 2𝑥 3 𝑦𝑑𝑥 = 0 (1 + 𝑢4 )(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)2𝑢𝑑𝑥 = 0 𝑂𝑠𝑒𝑎 1 + 𝑢4 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + =0 4 𝑢(5 + 𝑢 ) 𝑥 𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑑𝑢 4𝑢𝑑𝑢 𝑑𝑥 + + =0 4 5𝑢 5(5 + 𝑢 ) 𝑥 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 1 1 𝑙𝑛|𝑢| + ln(5 + 𝑢4 ) + 𝑙𝑛|𝑥| = 𝑙𝑛𝐶 5 5 𝑙𝑛|𝑢| + ln(5 + 𝑢4 ) + 5𝑙𝑛|𝑥| = 𝑙𝑛 𝐶 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢𝑥 5 (5 + 𝑢4 ) = 𝐶𝑒𝑦(5𝑥 4 + 𝑦 4 ) = 𝐶

6. Se coloca la suma de $100 a interés del 5% anual con la condición de que los intereses podrán sumarse al capital en cualquier momento. ¿Cuántos años se necesitan para que la cantidad colocada sume $200?

Ecuación general: 𝑨 = 𝑪. 𝒆𝒓.𝒕

Donde: A= Capital final C= Capital inicial r = Interés t = Tiempo

Despejamos la ecuación general 𝐴 = 𝐶. 𝑒 𝑟.𝑡 𝐶. 𝑒 𝑟.𝑡 = 𝐴 𝑒 𝑟.𝑡 =

𝐴 𝐶

Donde 𝑡=

200 𝑙𝑛 100

𝑙𝑛(1 + 𝑟)

=

ln(2) ln(2) 0.301 = = = 14.33 (1 + 0.05%) ln(1.05) 0.021

Respuesta:

Para que el monto inicial llegue o sume 200 deben pasar 14.33 años

7. Encuentre la ecuación diferencial de la familia dada de curvas

𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 𝐶1 = 𝑦 𝑒 −𝑥

Ahora derivamos, con lo que desaparece la constante 𝐶1 𝑦′ 𝑒 −𝑥 + 𝑦𝑒 −𝑥 = 0

Como el exponencial nunca se anula. 𝑦′ + 𝑦 = 0

CONCLUSIONES

 Se conocen los fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden y las maneras como estas pueden ser resueltas y demostradas.  Se pudo observar que para cualquier problema cotidiano, especialmente en el campo de la ingeniería se pueden resolver

utilizando las técnicas adecuadas de las

ecuaciones diferenciales.  Se llevaron a la práctica los conocimientos adquiridos en la unidad 1.