TRABAJO COLABORATIVO No 1
CALCULO INTEGRAL
GRUPO 551110_8
TUTOR: WUALBERTO JOSE ROCA
PRESENTADO POR: JUAN GABRIEL CAMPUZANO DAMARIS DEL ROCIO TIQUE LOZANO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS DE LA EDUCACIÓN SEPTIEMBRE DEL 2015
INTRODUCCIÓN En el presente documento se presenta el desarrollo del trabajo colaborativo 1 del curso de cálculo integral. Mediante el desarrollo de varios ejercicios nos proponemos dar cumplimiento a lo solicitado en la guía de actividades y, de esta forma, adquirir destreza en el manejo de las técnicas de integración y en la resolución de problemas relacionados con el cálculo integral. Es de resaltar que la cálculo integral, siendo una de las ramas más potentes y fructíferas de las matemáticas, reviste una importancia tremenda, toda vez que con el manejo y manipulación de sus métodos, podemos afrontar y solucionar numerosos problemas que se presentan tanto en el ámbito científico y tecnológico, así como en el ámbito comercial y empresarial. Las técnicas y métodos utilizados por el cálculo integral, son sin duda alguna y desde todo punto de vista, una poderosa herramienta de la cual podemos sacar provecho y aplicarlos en muchas de las actividades que realizamos realiz amos a diario y como futuros profesionales.
Objetivo General Aplicar las técnicas de integración en la resolución de diferentes ejercicios de cálculo integral.
Objetivos específicos
Desarrollar en forma grupal los ejercicios propuestos en la guía de actividades. Entender y demostrar el manejo de los conceptos básicos del cálculo integral. Familiarizarse con las definiciones y métodos de esta rama de las matemáticas. Aprender a utilizar el lenguaje propio de esta ciencia para comunicarse. Demostrar la capacidad de trabajo en equipo.
E JE RCI CI OS PROPU PROPUE E STO STOS E j er cicio cici os de la pá pági na 287 287
Completar la tabla utilizando los ejemplos previos a los ejercicios como modelos. 5. R:
∫ √
I nte ntegra gr al or i gina gi nall
R eescr scr i bi r
I nte ntegra gr ar
Sim Si mplifi lif i car car
√
⁄
4⁄⁄3
34 ⁄
R eescr scr i bi r
I nte ntegra gr ar
Sim Si mplifi lif i car car
−/
1−⁄⁄2
√ 2
I nte ntegra gr al or i gina gi nall
R eescr scr i bi r
I nte ntegra gr ar
Sim Si mplifi lif i car car
21
12 −
12 ∗ 2−
41
7. R:
∫ √ I nte ntegra gr al or i gina gi nall
9. R:
√ 1 ∫
Evaluar la integral indefinida y verificar el resultado por derivación. 15.
∫ 22
R: Integral de la suma de funciones
2 2 2 2 2 4 2
Integral de la función potencia e integral de una constante
Comprobando tenemos
4 22 2
16.
∫ 2 3 2 33 2 2 3
R: Por la Integral de suma de funciones tenemos:
Por integral de la función potencia, la integral de la función lineal y la integral de una constante tenemos
2 3 3 3 3
Comprobando tenemos
3 3 33 2 3 2 3 16 ′ 0 ′′ ′′ ′′ ′ 0 0 ⟹ ′ ′ 12 0 12 0 0 ⇒ 12
58. Probar que la altura alcanzada por un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde una altura de pies, con velocidad inicial pies/s, viene dada por la función.
R/ Para
(Es negativo puesto que se lanza hacia arriba)
Integrando
obtenemos la velocidad
Como para Luego
Integrando nuevamente nuevamente obtenemos la altura en función del tiempo s
Como para
Nos queda
E j er cicio cici os de la pá pági na 300 300
Hallar la suma. Comprobar el resultado con la calculadora. 2.
R/
∑= 1 3
Efectuando el producto
= 1 3 = 2 3 = 2 2= 3 = 3
La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término. Hallamos cada sumatoria por separado aplicando el teorema 4.2
55 12 ∗ 5 1 = = = 6 1 55 1 54 1 1 30 2 = 2 2= = 2 5521 30 2 28 = 3 = 3 3 = 3 335 11 12 Por lo tanto = 11 33 54 28 12 14 1 1 6. ∑= R/ la sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término
= 1 1 1 1 = = Hallamos cada sumatoria por separado aplicando los teoremas 4.2
333 12 ∗ 3 1 12∗ 1 14 6 = = 5 5 1 1 1 1 2 24 2 = = = =
Por lo tanto
= 11 11 14 224 238 También podemos hallarlos reemplazan r eemplazando do directamente
= 11 11 0 2 1 3 2 4 3 5 238 68. Verificar la formula.
12 1 = 6 Demostrando lo siguiente: 1 3 3 1 a) R/ desarrollando el cubo del binomio
b)
1 1 33 33 3 3 3 1 1 1 1 ∑= 3 3 1
R/ aplicando sumatoria en ambos miembros
3 1 = 1 3 = Aplicando la propiedad telescópica y escribiendo como 3 sumas
1 1 1 3 = 3 1 1 = = Despejando la primera sumatoria
3 = 1 1 1 3 1 1 = = Desarrollamos
3 = 11 1 1 32 11
c)
∑= + +
R/ Reduciendo términos y factorizando
Despejando
12 1 3 = 2 12 1 = 6
E j er cicio cici os de la pá pági na 312 312
En los siguientes ejercicios formular una integral definida que represente el área de la región que se indica.
Solución
2
0
(4 2 x)dx
Solución
2
2
(4 x 2 )dx
En los siguientes ejercicios dibujar la región cuya área representa la integral definida. Usar entonces una formula geométrica para calcular la integral (a 0, r 0) . 11.
3
0
4dx
Solución
Esta región es un rectángulo de altura 4 y base 3.
3
0
4dx (área del re rectángulo)=4(3)=12
14.
4
0
Solución
x 2
dx
Esta región es el área de un triángulo de altura 2 y base 4.
4 x
0
2
dx
(área del triángulo)=
2(4) 2
=4
Solución a) b) c) d)
7
5
7
f (x )dx 10 3 13 f ( x )dx f (x )dx 10 f ( x )dx 0 3 f ( x)dx 3(10) 30 0
0
5
5
5
5
0
f ( x )dx
0
f (x )dx 5
0
5
Solución
El valor que mejor aproxima la integral definida es 5 porque en la gráfica puede verse que el área es mayor que la del triángulo de base 4 y altura 2.
E j er cicio cici os de la pá pági na 324 324
Representar el integrando en la calculadora y usar la gráfica para determinar si la integral definida es positiva, negativa o cero. 2
∫
Calcular la integral definida y usar la calculadora para verificar el resultado.
7
∫− 2 ∫3 2 ∫ 2 √
10 20
65. Un modelo matemático se controla un vehículo experimental en un trayecto recto. Parte del reposo, y su velocidad, en m/s, se mide cada 10 segundos durante 1 minuto. Los datos experimentales se recogen en la tabla.
a) Hallar un modelo que ajuste esos datos, con ayuda de calculadora. b) Representar en esta los datos y el modelo. c) Aproximar, mediante el teorema fundamental del cálculo, la distancia recorrida por el vehículo vehículo durante la prueba. prueba.
E j er cicio cici os de la pá pági na 395 395
Hallar la integral. 75.
∫ 5 5
5 5 ∫ − 4 4 −4 − ∫ − 2 2
R/ Sea Por lo tanto
76.
R/ Sea Por lo tanto
77.
R/ Sea
entonces
entonces
entonces
Por lo tanto
78.
∫ − 1 −+ 1 − − −+ − 10 − 1 1 11 1 ∫ + 1 1 − − − − − 1 − 1 − ln1 ( ( 1) lnln 11
R/ Sea
79.
− − 1 2 2 [ 12 −] 10 12 1 − 2 1
R/ Sea Por lo tanto
entonces
entonces
, resolvemos por el método de sustitución
Bibliografía Larzon, R., & Robert, H. (2007). Cálculo y Geometría Analítica. Analítica. Madrid: McGraw Hill.
