TRILCE
Capítulo
17
M ÁXIM O COM ÚN DIVISO DIVISOR Y M N I M O COM N M LTI PLO
E uclides uclides fue un mate matemá mático tico gri ego que nació nació el año año 365 a.C. a.C . en A lejandría, lejandría, E gipt gi pto o, y murió alrededor alrededor del del 300 a.C. a.C . Pr obable obablement mente e estudió estudió en Ate A tenas nas con discípulos de Pla P latón. tón. E nseñó G eometría eometría en Alejand Alejandría ría y allí allí fundó fundó una una esc escue uela la de mate matemá mátticas. icas. Su S u obra obra principa principal, l, Elemen Elementtos de G eome eomettría, es es un exten extenso so trata ratado de mat matemá emáticas icas en en 13 volúmenes que se ha utilizado como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geomet geometría ría plana plana.. E n el volume volumen n I X, E uclide uclidess demu demues estra tra que que la ca cantida ntidad d de núme números ros primos es infinita.
INT INTRODUCCIÓN RODUC CIÓN A lcon co n sid erar el con co n ju n to d e lo s ent enteros po p o sitivo s,u n a d e las Números , es el cál p artes de d e la Teorí a de Números cálcul cu lo d el M .C .D . y el M .C .M . de vari varios nú m eros. eros. S e sabe sab e que q ue ya ant an tes de n uest ue stra er e ra, E uclid es apo ap o rtaba ab a (en su ob o b ra E lem ent en to s) el algo ritm o d e la d ivisió n q u e no n o s d a la ob tención del M .C .D . E ste a al lgo ritm o tiene en e su ap licació cació n en las fracci accio nes con co n tin u as.
N O C I O N E S P R E L I MI MI N A R E S I . D I VI V I S OR O R C O MÚ MÚ N: N:
S e llam a d ivisor co co m ún d e un con jun to de nú m ero ero s enteros, eros, a a qu el nú m ero ero enter entero o p o sitivo qu e se en e n cuen tra con teni en id o en to d o s ello s un a cant can tid ad ent en tera era y exact exa cta d e veces. v eces.
Ejemplo: L o s diviso res d e 1 12 2 ; 18 y 3 30 0 so n: D (12) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 1 2 } D (18) = {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9; 18} D (30) = {1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 1 0 ; 1 5 ; 3 0 } C om o U d. ob servará vará los di d ivisores ores com unes un es so n: 1; 2; 3 y 6 E ntonce on ces s llam arem arem os M áxim o C om ún D ivisor al m ayor d e lo s d iviso res com un es. E n con secuen cia el M .C .D . (12 ; 18 ; 30 ) = 6
Ejemplos: M M M M
.C .D .C .D .C .D .C .D
( 8 ; 12) = 4 ( 8 ;12) = 4 (8 ; 12) = 4 ( 8 ; 12) = 4
Obs: * *
M C D (0 ; 0 ) n o existe M C D (a ; 0 ) = |a| , a 0
Teorema: S ia y b so n ent e nter ero o s, no
am bo s cero, ento ento nces el M C D de a y b es el el m eno r enter entero po sitivo que qu e pu ede ser expres expresad ado o com o una un a funci un ción lineal ho m ogén ea d e a y b. M C D (a ;b) = xa + yb D o n d e : x , y en tero ero s.
IMPORTANTE: S ean A y B do s enter enteros si si elM .C .D (A ;B ) = d o
E nto nto nces: A
d
o
B
d
I I . M ÚL ÚLTI P L O C O M Ú N: N:
E s aque aq uel l ent en tero ero q ue con tiene en e a o tro un núm nú m ero ero enter entero o y exact ex acto d e veces. veces.
Ejemplo: *
MC D : E lM áxim o C om
ún D ivisor de dos o m ás núm eros ent en tero ero s (po r lo m eno en o s u no d istin to d e cero cero ) cum p le do d os con co n d icio n es. i) E s un d ivisor com ún po sitivo. ii) E s el m ayor posible
L o s m ú ltiplo s po sitivos vo s de 6 y 9 so n : o
6 o
9
6 ;12 ;18 ; 24 ; 30 ; 36 ;... 9 ;18 ;27 ; 36 ; 45 ; ...
16 3
Aritmética
L os m últiplo s com unes un es a 6 y 9 son: son : { 1 8 ; 36 36 ; 54 ; ....}
q
E nton nton ces se llam a M ínim o C o m ún M últiplo al m eno r de lo s m ú ltip lo s com co m u nes po sitivo s. E n con secuencia el M .C .M (6 ; 9) = 18
NOTA: * *
L os divisores ores del de l M .C .D . d e vari varios núm eros, eros, so n lo s d iviso res com un es d e est esto s núm nú m ero ero s. L os m últiplos com com un es a vari varios núm eros, eros, son los m últiplo s del M .C .M . d e aqu a qu ello s núm ero ero s.
E J E R C I C I O S D E A P LI LI C A C I Ó N 1. C alcule ( (a a + b + c) sielM .C .D . de 1ab7 y 1cb3 es 99. 99 . 2 . ¿C uán uá n to s n úm ero ero s de 2 cifras so so n d ivisib les entr entre 8 y entr entre 12 sim u ltán eam ent en te?
MÉ TO D O S PA R A C A L C U LA R E L M. C .D . Y M. C . M. 1 . Por descom descomposición posición simultá simultáne nea a S e colo can lo s nú m eros eros un o a la d erecha erecha d el o tro y lu ego eg o se traza u n a lín ea vertical, com co m enzan en zand do a e ext xtraer ae r lo s factores pri prim os com un es, cuan do los nú m ero ero s no con co n ten gan ga n fa fa cto res com u n es, o sea, sean P.E .S .I. el p ro d ucto ucto d e di d icho s facto res com u nes ne s será erá elM .C .D .P ara ara el M .C .M . se sigue gu e ext ex trayend aye nd o lo s facto res n o com un es h asta que q ue q ued ue d e la un id ad y el e l prod ucto d e lo s facto res pri prim os com unes y no com unes será el M .C .M .
1
q
2
A
B
r
r
r
r
1
2
1 3
q
3
r
2
q
r
n 1
n 2
q
n 1
0
C o cien ent tes M .C .D
n
r
R es esi id uo s
Ejemplo: C alcule el M .C .D . d e: a) 5 40 y 2 20 b ) 7 79 y 9 43
P R O P I E D A D E S D E L M .C .C . D Y M .C .C . M 1 . S i vario s núm nú m ero ero s so so n P.E .S .I. el M .C .D . d e el e llo s es igual gu al a la u un n id ad . 2 . S i a vario s núm nú m ero ero s lo s m ultiplicam o s o d ivid im o s po r un m ism o núm n úm ero ero ent en tero, ero, elM .C .D . y elM .C .M . de d e ello s qu edarán ed arán m u ltiplicado cad o s o d ivid id o s po r d icho ent en tero. ero. 3 . S i a var va rio s nú m ero ero s lo s divid im o s ent en tre su su M .C .D . lo s coci co cien tes ob o b ten id o s serán P.E .S .I. 4 . E lpro pro d ucto d e 2 núm nú m ero ero s será erá siem pre pre igual gua lal pro pro d ucto d el M .C .D . y el M .C .M . d e aqu ello s núm nú m ero ero s. 5. S i un conjunto unto de enteros se se r reem eem plazan azan d os o m ás de ello s po r su M .C .D . o su M .C .M . ento ento nces elM .C .D . o el M .C .M . d el conj co njun un to d e di d icho s enter entero o s no se al a ltera. era. 6. S i un n úm ero ero es m últiplo plo d e o ot tro s, será erá m últ últiplo del de l M .C .M . de aq uellos núm eros. eros. 7. S ielM .C .D .(a ,b) = d y el M .C .M .(a ,b) = m enton enton ces el n
n
n n n M C D (a ,b ) d y el M C M (a ,b ) m
Ejemplo: C alcule el M .C .D . y M .C .M . de lo s núm nú m ero s 504; 504 ; 756 75 6 y 1050.
8. Sean los núm eros N
ap 1
E n to n ces el M C D (N ;M ) a
2 . Por descompos i ci ón canóni ca: E l M .C .D . d e va rio s núm ero ero s viene a ser el pro pro d ucto d e los factores prim o s com un es elevad o s a su m eno r expo exp o n ent en te;m ient en tras que qu e el e lM .C .M .viene en e a ser elprod u cto de los factores ores prim os co co m unes un es y no com unes un es elevado evad o s a s su u m ayor expon ente.
y M
n
aq 1 .
M C D (p ;q)
1
¡D ¡ D emostr ar cada una de estas pr opi edades! edades! EJERCICIOS DE APLICACIONES
Ejemplo: C alcule elM .C .D . y M .C .M . d e:
A
5
24 21
4
B
3
28 35
4
3 . Por divi di visi si ones sucesi suc esi vas ( A lgor lg or i tmo de E ucli des) Fundamento Teórico: E n to d a d ivisió n in exact exa cta el M .C .D .d eld ivid end en d o y eld ivisor es num nu m éri éricam ent en te igual gu al alM .C .D .d eld ivisor sor y el e lresid u o q u e o rigin a esta d ivisió n :
A
B
r
q
1. Si M .C .D . (3A ; 27B ) = 12. C alcular el M .C .D . (5A ; 45 B ) 2. S i el M .C .M . de 2 núm ero s P E S I es 40 ; encuentr encuentre las po sibles p arej arejas de nú n ú m ero ero s qu e cum plen tal tal cond co nd ició n . 3. C alcule elM .C .D . de 324 180 (ab 4 ) y 324 180 (ab 3)
M .C .D . (A ,B ) = M .C .D . (B , r) 4. E ncuen tre la sum sum a d e tod o s lo s núm nú m eros eros de 3 cifras o
Procedimiento: D ados dos enteros A y B con A > B
vez.
16 4
o
m eno res qu e 60 0, tal que qu e s sean ean (5 1); (7
o
6) y
3 a la
TRILCE
E J E R C I C I O S P R O P U E S TO TO S
01 . La razón azón entre elM áxim o C om ún D ivisor de 210 y 35 y el M ínim o C om ún M últiplo d e 11 , 18 y 12 es: es:
a)
7 39 6
b)
35 39 6
d)
5 1128
e)
35 21 6
c)
35 42 8
a) 1 7 5 d ) 165
a) 20 d) 18
12 20
b) 40
24
e) 40
32
24
y 60
36
b) 2 3 e) 2 8
c) 30 24
c) 2 4
04 . S e han ha n dividido dido tres barr barras de acero de 54, 54 , 48 y 36 3 6 cm en tro zo s de igu al lo ng itu d , sien d o ésta la m ayo ay o r p o sib le. ¿C uánt uá nto o s tro zo s se h an o bteni btenid o ? a) 6 d) 9
b) 2 3 e) 8
c) 1 8
05 . S e han divid ido 4 b bar arr ras de fierr erro d e 64 cm , 52 cm , 28 cm y 16 1 6 cm en p art artes de igual gua llo ngitud . S iend o ésta la m ayo r po sib le, ¿cuán to s tro zo s s se e h an o b teni en id o ? a) 3 2 d ) 40
b) 2 4 e) 2 3
c) 2 7
06 . S e tr trata ata d e fo fo rm ar un cub o con lad rillo s cuya s dim dim ensi ensiones son 20 cm , 15 cm y 6 cm cm , ¿C uántos uántos lad rillo s so so n ne cesari cesario s p ara fo rm ar el cubo cu bo m ás peq ueñ o po sible? a) 1 8 0 d ) 1 60
b) 1 4 0 e) 1 2 0
b ) 11 e) 1 9
c) 1 2
.
03 . E l nú m ero ero d e divisores ores com un es d e los nú m ero ero s: 17609 13 y 83853 es: es: a) 2 0 d ) 27
c) 1 2 5
08 . C alcular el M .C .D . d e 14 57 y 4 434 34 po r el algori goritm o de E u clid es, d ar co co m o respuest espu esta la sum a d e lo s cocient en tes o bteni btenid d o s. a) 1 0 d ) 13
02 . C alcular elM .C .D . de 80
b ) 1 55 e) 1 8 5
c) 1 0 0
09 . L a sum sum a de d os núm eros pares pares es 124 8. S ilos coci cocientes sucesivo s ob teni en id o s al h allar su su M .C .D . fueron 2 , 6 , 1 , 1 y 2; 2 ; h allar la d iferencia d e d icho s núm nú m ero ero s. a) 8 5 2 d ) 912
b ) 3 98 e) 4 5 6
c) 3 9 6
10 . E l M .C .D . de 2 nú m ero ero s es 8 y los co co cientes de las las d ivisio n es sucesi sucesivas va s par pa ra o bten btener er d icho M .C .D . so n 2 , 2, 1 , 1 y 7. 7. H allar lo s nú m ero ero s. a) 1 3 6 y 1 8 4 c) 2 9 6 y 7 3 6 e) 312 y 744
b) 24 8 y 3 28 d ) 304 y 7 28
1 1 . A lcalcular elM .C .D . d e A y B m edi ed iant an te elalgor go ritm o d e E uclid es, es, se o obt btuvo uvo com o pri prim ero ero s resi esid uo s a 90 y 2 26; 6; sila sum su m a d e lo s cocient en tes su su cesivo s fu e 26 2 6. D ar la sum a d e tod os los valores ores que tom tom a el m ayor ayo r de dichos dichos núm eros. eros. a) 18 1 6 0 d ) 6 23 23 6 0
b ) 19 1 2 0 e) 9 14 14 3 0
c) 5 4 3 9 0
12 . E n el proces proceso o d e hallar el M áxim o C om ún D ivisor de d o s núm ero ero s po sitivo s m ed ian te e l algo ritm o d e E u clid es,se ob tiene en e com co m o pr p rim er y tercer ercer resid u o s 1 2 3 8 y 61 4 , respect espe ctivam va m ent en te. S i el segun segu n d o co cient en te es 2 , ento ento nces la sum a d e las cifras del de lm eno en o r d e lo s núm nú m ero ero s es: es: a) 9 d) 4
b) 8 e) 6
c) 5
13 . C alcular a + b + c, sabiend abiend o q ue lo s cocientes entes 0 7 . S e tiene un terr erreno triangul an gular cuyo s lad o s so n 2 00 m ; 24 0 m y 26 0 m . S e colocan est estacas en e l perí perím etro cada 4 m etros. ¿C uánt uá ntas as estacas aca s s se e col co lo can? can ?
o b teni en id o s al h allar el M .C .D . d e a(a 1)a y (a 1)bc p o r el algo ritm o d e E u clid es fueron 1 , 2 y 3 3. . a) 1 0 d ) 15
b ) 12 e) 2 1
c) 1 4
16 5
Aritmética
14 . A lcalcular elM .C .D . de 2 n úm eros eros enteros eros m ediante ante el algo ritm o d e E u clid es, la segu n d a d ivisió n se rea real lizó p o r exceso y lo s coci co cient en tes sucesivo s fu ero ero n 5 ; 2 ; 3 ; 1 y 2 , respect espe ctivam va m en te. H allar la sum a d e d icho s nú m ero ero s, si es la m eno r po sib le, sabiend en d o ad em ás que qu e la sum a de d e lo s d ivisores sores d e la d iferen erenci cia d e lo s 2 p rim eros resid u o s es 480 48 0 . a) 2 0 0 0 d ) 2 02 5
b ) 2 62 5 e) 2 7 5 0
c) 2 5 6 0
15 . E n u n corr corral hay ha y ciert erto nú m ero ero de gallinas qu e no p a san d e 36 8 n i b ajan ajan d e 35 4 . S i las gallin as se se acom od an en grupo grupo s de 2 , 3, 4 ó 5 siem pre pre sob sobr ra 1; 1; pero pero si se acom od an en grup grupo o s de 7 , sob ran 4. ¿C u ánt án tas gallinas na s hay en el corral si se añ ad en 6 m ás? a) 3 6 1 d ) 36 7
b ) 3 63 e) 3 6 9
c) 3 6 5
b ) 4 19 e) 3 1 3 9
c) 1 2 5 9
17 . A y B so n d o s núm nú m ero ero s d ivisibles po r 7 t tal ales qu e al d ivid irlo s ent en tre 2 , 3 , 4 , 5 ó 6 se ob o b tiene en e siem p re 1 d e resi esid uo. S iA es elm eno r núm nú m ero y B elm ayo r núm nú m ero ero m eno r que qu e 100 0, ento nces el valor de A + B es: es: a) 8 4 2 d ) 1 02 2
b ) 1 14 2 e) 9 0 2
c) 7 8 2
1 8 . S i N es elm eno r nu m eral eral po sible tal tal qu e al a l expr exp resar esarl lo en ba se 7 term erm ina en 3 y al expr exp resar esarl lo en ba se 1 11 1 term erm in a en 5, cal calcular la sum a d e cifras de d e N expr exp resado esad o en b ase ase 6 sabiend o q ue ter term ina en 2 . a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
a) 1 7 d ) 21
b) 1 8 e) 2 3
c) 2 0
21 . La sum a delM .C .D . y elM .C .M . de do s núm eros es es 92 y el e lcoci co cient en te d el M .C .M . ent en tre el M .C .D . es 45 . H allar la sum a d e lo s núm nú m ero ero s. a) 3 2 d ) 28
b) 1 4 e) 1 5
c) 8 2
22 .L a sum a d e do d o s nú m ero ero s ent en tero ero s es 6 51 , el cociente ente ent en tre sus M .C .M . y M .C .D . es 108 10 8 , lu ego la d iferencia es : a) 1 1 0 d ) 436
16 . U n núm n úm ero ero al divi divid irlo p o r 10 d a un res residu o d e 9, cuan d o se divid e po r 9 d a un resi esid uo d e 8, cuan d o se d ivid e po p o r 8 d a un u n resid u o d e 7, 7 , ....., etc. etc. y cuan cu an d o se d ivid e p po or 2 da u n r res esi id uo d e 1 1, , el nú m ero ero es: es: a) 5 9 d ) 2 51 9
20 . S ea N elm ayo r núm nú m ero ero de 4 cifras que al d ividirlo po r 4 , 6 , 9 , 1 1 y 1 2 se o b tienen en en resto s igual gu ales. L u ego, ego , la sum a d e las cifras de d e N es:
b) 4 8 3 e) 1 2 8
c) 7 7
23 . ¿C uántos pares de núm eros cum cum plen que su su M .C .D . sea 6 y que q ue su su p pr rod ucto sea 142 560? 56 0? a) 8 d ) 16
b) 7 e) 1 5
c) 9
2 4 . Javier le di d ice a Teo, Te o, elM .C .M . d e nuest n uestras eda d es es el d o ble de d e m i edad ed ad y el M .C .D . d e nuest n uestras eda d es es la tercer ercera a part p arte de d e m iedad ed ad . S i yo nací na cí2 4 añ a ñ o s ant an tes qu e tú, ¿cuál ¿cuá les m i edad ed ad ? a) 2 4 d ) 60
b) 7 2 e) 4 2
c) 3 6
25 . E l M .C .M . de do s núm eros es 630 . S i su prod prod ucto es 37 80 , ¿cuál es su M .C .D .? a) 1 5 d ) 10
b) 1 2 e) 9
c) 6
c) 4 26 . H allar la dif diferenci erencia d e 2 nú m ero ero s entero ero s sabiend o que su M .C .D . es 48 y q ue su su sum a es 288 .
19 . Tres avion es A , B y C parten d e una un a bas b ase e a las 8 hor ho ras. as. 3 de hora hora y C , 4 cada cad a 50 5 0 m in uto uto s, se reen reencon con trarán p o r prim era era vez en la b ase a las:
a) 9 6 d ) 288
b) 1 9 2 e) 1 4 4
c) 2 4 0
S iA regresa egresa cad a h ho o ra y cuar cu art to ;B ,cada cad a
a) 17h 17h 20' 20' b) 18h 20' 20' d) 17h 30' 30' e) 16h 30' 30'
16 6
c) 15h 15h 30' 30'
27 . Sean A y B do s núm eros enteros cuyo M .C .D . es 12 y la d iferen erenci cia d e sus cuad cua d rad o s es 20 88 0. H allar: A B a) 5 6 d ) 45
b) 4 0 e) 6 0
c) 6 2
TRILCE
28 . H allar la sum sum a de 2 núm eros, os, sabiendo que am bos tienen en en 2 cifras y 2 facto acto res prim o s, y q u e ad a d em ás la d iferen erenci cia en tre su M .C .M . y su M .C .D . es 243 . a) 9 9 d ) 1 35
b) 1 2 0 e) 6 4
c) 1 4 1
2 9 . C alcular la sum a d e las ci cifras de la sum a d e A y B ; si: A
2
B 2 10530
a) 1 1 d ) 10
b) 1 3 e) 1 5
a
2
b 2000
a) 6 6 d ) 48
2
A 3 b ; B 3 a Sab iendo que su su M .C .M y su su M .C .D son 67 5 y 45, respect espe ctivam va m ent en te. H allar: ar: A + B . a) 7 2 0 d ) 368
b ) 8 10 e) 8 6 0
c) 4 5 6
y elM .C .M .(A ; B ) = 297 . 36 . Sean A y B do s núm eros que guar guardan dan u na rel relaci ación d e 60 a 4 0 . S i el M .C .D . es 9, d eterm in e la di d iferencia de de dichos dichos núm eros. eros.
c) 9
30. E l M .C .M . d e lo s nú m ero ero s a y b es 88, si 2
35 . A l descom descom poner po ner en sus sus factores ores los núm eros A y B se expresan esan com o:
, el val va lo r d e (a (a + b ) es:
b) 5 2 e) 2 8
a) 8 d ) 11
b) 9 e) 1 2
c) 1 0
c) 9 2 37 . E lM .C .D . de los núm eros 1ab y 2 cd es (c 2)5 . L uego ueg o el valo r d e 2 cd 2(1ab) es: es:
31 . E lM .C .D . de (3k (3k + 1), 1), (2k + 7) y (3k + 2) es 6k - 11, enton enton ces el M .C .M . de (k + 8) y (k (k + 2) es: es: a) 1 6 d ) 14
b) 4 0 e) 1 8
38. Sea
b) 6 e) 3 0
c) 1 2
33 . E l pro pro du cto de do s núm eros eros enteros eros po sitivos es 360. L a su m a d e lo s cocient en tes obt o bten eni id o s ald ivid ir cada cad a u no de ellos po r su M áxim o C om ún D ivisor es 7, y el p ro d ucto ucto d e e est sto s c co o cient en tes es 10 . E n to n ces, el val va lo r ab solu to d e la d iferenci eren cia d e est e sto s núm eros es: es: a) 2 d ) 84
c) 4 5
c) 2 0
3 2 . D a d o s 3 n ú m e ro ro s A , B y C . S e sa sa b e q u e el el M .C .D .(A ;B )= 30 y M .C .D .(B ;C )= 198. ¿C uál es elM .C .D . de A , B y C ? a) 3 d ) 15
b ) 45 4 5 e) 3 5
a) 0 d) 35 3 5
b) 3 1 e) 5 4
N
un
N 2
núm ero ero
enter entero o
po sitivo
tal qu e
3N 4N ; 21 5 7 E n to n ces la sum a d e las cifras de d e N es: M .C .D .
a) 9 d ) 12
;
b ) 10 e) 1 3
c) 1 1
39 . H allar K sabiendo que: M .C .D . (210K ; 300K ; 420K ) = 1200 a) 6 d ) 40
b ) 15 e) 9 0
c) 3 0
40 . H allar el m ayor factor com com ún a los núm eros:
(6
c) 1 8 a) 5 d ) 31
55 0
1) ; (6 25 2 1) y
b ) 11 e) 3 5
(6
31 2
1)
c) 2 3
34. Sea M elM .C .M . de a y b. S i:
M a
11 0
;
M b
21 y elM .C .D
de 7 a y 7b es 840 .
C alcular: ar: M . a) 2 3 1 0 d) 277200 277200
b ) 16 1 7 0 e) 277210 277210
c) 2 7 7 0 2
41 . H allar el m ayo r nú m ero ero d e 4 cifras tal qu e al ser expr exp resado en lo s sistem as de n um eraci eració n d e bases b ases 3; 4 y 7 sus últ últim a s cifras fu fu eron : 2 0 ; 1 2 y 6 respect espe ctivam va m ent en te. ¿E n q u é cifra term term in a sise exp resa en en base 11? 11 ? a) 3 d) 6
b) 8 e) 9
c) 1 2
16 7
Aritmética
42. Sea: Sea: F
M .C .M .[66 ........ .6
164 cifras 7
; 66 ........ .6 ] 2 05 cifras ras 7
H allar la ú ltim a cifra d e F. a) 4 d) 0
b) 5 e) 8
M .C .D . (B ; C ) = 51 H allar: A + B + C . a) 1 8 7 d ) 153
c) 6
b) 1 3 6 e) 1 2 0
c) 1 7 0
4 9 . S i: 43 . ¿C uánt uá nto o s divi diviso res tiene N , sabi ab iend o q ue el m eno r m últiplo com ún d e N , N + 1, 2N es 1624 ?
M .C .D . (3A ; 7B ) = 10 M .C .D . (7A ; 3B ) = 210
a) 2 d) 8
b) 4 e) 2 4
c) 6 C alcular: ar: A + B . S abiend abiend o que qu e A y B son los m ínim os po sibles. es.
4 4 . S i: A = M .C .M . (7 0 ! ; 7 1 ! ; 7 2 ! ; ... ; 9 0 !) B
a) 4 0 d ) 64
M .C .D .(86 ! ; 87! ; 88! ; ....)
b) 6 0 e) 1 0 0
c) 8 0
23 núm eros
C alcul cu le en cuán cu án tas cifras cero term erm in a A B en ba se 6. a) 8 0 d ) 82
b ) 85 e) 8 7
50. Si: M .C .D .abca
c) 8 6
(16 )
;aac3
8
(9)
H allar: M .C .D .(a b c)
m áx
45 . C alcular el M .C .D . de (11
a
1)
y (11
que: qu e: 3 30 M .C .D . (a , b) = a . b M . C .D . (a ; b)
a) 11
6
1
10
d) 11
1
22
1
11
1
b) 11 e) 11
15
c) 11
b
a + b = 14
1
sabiend abiend o que qu e el M .C .D . de a 3 b 2 y N es 19.
a) 7 d ) 19
47. Si: A
b ) 10 e) 2 4
77 . ... . .7
b) 2 e) 5
c) 3
51 . S e tom a al azar azar un núm ero n atural ural n entr entre 1 y 1 00. ¿C uá l es la p ro b ab ilid ad d e o bten btener er el val va lo r m ás p ro babl ba ble d del el M .C .D . (n ; 12 )? a) 0 ,3 3 d ) 0 ,2 2
b ) 0 ,6 7 e) 0 ,3 5
c) 0 ,1 7
a 5!
52 . ¿En qué qu é cifra term erm ina elM .C .M .de 2 a 5!
10 5 y 105
a 5!
al con co n ver ve rtirlo a la b ase a 2 .
;B
77 ..... .7
b) 4 e) 6
4 8 . S i: M .C .M . (A ; B ; C ) = 102 M .C .D . (A ; B ) = 34 y
a) 5 d) 0
b) 1 e) 2
c) 6
105 cifras ras(8 )
H allar la ú ltim a cifra d el M .C .M . (A ; B ) escri escrito en b ase 17 .
16 8
a) 1 d) 4
9025
c) 1 5
45 cifras(8 )
a) 3 d) 7
b c)m ín
1), sabi sab iend en d o
46 . E ncont nco ntr rar la sum a d e cifras del m eno r valo r d e "N "N ", A dem ás se sabe sabe qu e: a 3 b 2 N
;(a
c) 5
53. Si: M .C .D .abcda18 ; yx4y8 ; ab42x
9 ,
¿C u á n to s d di ivisores tien e abx , tal q ue sean sea n m ú ltip lo s de b + x? a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
TRILCE
57 . E l núm nú m ero ero A tiene 2 1 d ivisores ores y el núm nú m ero ero B tiene 1 0 divisores ores. . S ielM áxim o C om ún D ivisor de A y B es 18, 18 , entonces A + B es: es:
5 4 . S i: A
1 1 1 1 ... 2 6 12 20 (n 1) sum andos
B
a) 6 5 4 d ) 792
1 1 1 1 ... 3 15 35 63
n 2 2
sum andos andos
A dem ás: ás: M .C .M . (A ; B ) = 171 C alcular el nú m ero ero d e d ivisores com u nes que q ue tiene 49n y 280. a) 4 8 d ) 11
b) 8 2 e) 1 2
(a 1)(2 a 2)(a 2) y (a 1)(a 1) S abi ab iend o que q ue son son pri prim os entr entre sí. S e sabe sabe ad em ás q ue la sum a d e lo s coci co cient en tes sucesi sucesivos vo s que qu e se obt o btu u vo al calcular el M .C .D . d e am bo s nú m ero ero s es 21. b ) 4 22 4 e) 1 3 6 4
c) 2 1 6 0
56. Sabiendo endo que: que:
M .C .D .A !; (A
c) 7 5 6
58 . L a d iferencia entr entre elM .C .M . y M .C .D de 3 núm eros es 8 9 7 , y las di d iferenci erencias ent en tre el e l m ayo r y el e l in term ed io, y el m ayo r y el m eno r so n 2 6 y 65 , respect espectivam ente. ente. D eterm ine el m ayor ayo r de los núm ero s. a) 2 1 d ) 79
b ) 31 e) 9 1
c) 5 7
c) 1 0
55 . C alcular elM .C .M . de:
a) 5 3 9 0 d ) 3 59 0
b ) 7 38 e) 8 1 0
1)! 2 B 3 C 5 D 1)!
A + B + C + D = 13
59 . E l M .C .M . de 2 núm eros es m últiplo de 2 2 y ti tiene 18 d iviso res, ad em ás m ultiplicado cad o po r 10 es m eno en o r qu e 39 6 5. S i el M .C .D . d e lo s n úm ero ero s tiene en e 9 d iviso res. D ar la d iferen erenci cia d e lo s 2 núm n úm ero ero s. a) 3 6 d ) 396
b ) 3 60 e) 3 8 6
c) 3 6 1
60 . E l M .C .M . de u n capicúa de 4 cifras y elnúm ero N es igual gua l al M .C .M . d e di d icho capicúa y 7 N . D ar la sum a d e tod o s los valo res qu e pu ede to to m ar d icho capi cap icúa. cúa . a) 45 0 4 5 c) 9 7 0 2 0 e) 116 04 5
b ) 90 0 9 0 d ) 5 0 05 0
H allar elM .C .M (A ;B ; C ; D ). a) 1 2 d ) 15
b) 1 3 e) 1 6
c) 1 4
16 9
Aritmética
Claves l ave ves s
17 0
0 1.
b
31. 3 1.
c
0 2.
b
32. 3 2.
b
0 3.
c
33. 3 3.
c
0 4.
b
34. 3 4.
d
0 5.
d
35. 3 5.
a
0 6.
e
36. 3 6.
b
0 7.
a
37. 3 7.
b
0 8.
e
38. 3 8.
d
0 9.
e
39. 3 9.
d
1 0.
d
4 0.
e
1 1.
c
4 1.
a
1 2.
d
4 2.
d
1 3.
b
4 3.
c
1 4.
b
4 4.
1 5.
d
4 5.
d
1 6.
d
4 6.
b
1 7.
d
4 7.
b
1 8.
b
4 8.
a
1 9.
c
4 9.
e
20. 2 0.
d
50. 5 0.
a
21. 2 1.
d
51. 5 1.
d
22. 2 2.
b
52. 5 2.
d
23. 2 3.
a
53. 5 3.
b
24. 2 4.
b
54. 5 4.
e
25. 2 5.
c
55. 5 5.
a
26. 2 6.
b
56. 5 6.
a
27. 2 7.
e
57. 5 7.
b
28. 2 8.
a
58. 5 8.
e
29. 2 9.
c
59. 5 9.
b
30. 3 0.
b
6 0.
c
