DESARROLLO DEL TEMA i. Máximo Común Divisor (M.C.D.)
I. Contiene a todos ellos exactamente (múltiplo de ellos). II. Es el menor posible.
El máximo común divisor de dos o más números enteros positivos es aquel número entero positivo que cumple las siguientes condiciones:
I. Está contenido en todos ellos (divisor de ellos). II. Es el mayor posible. Ejemplo: Para los números: 12 y 18 Div. de 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} Div. de 18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Procedimientos de cálculo para el M.C.M.
Los divisores comunes son: 1; 2; 3 y 6 El mayor de dichos divisores es 6 ⇒ MCD (12; 18) = 6
Observa que los divisores comunes a 12 y 18 son los divisores de su M.C.D.
a. Por descomposición en factores primos (descomposición canónica). Ejemplo: Calcular el MCM de los números: 80; 180 y 150 En primer lugar descomponemos canónicamente cada número: 80 = 24 × 5 180 = 22 × 32 × 5 150 = 2 × 3 × 52
Procedimientos de cálculo para el M.C.D. a. Por descomposición en factores primos (descomposición canónica). Ejemplo: Calcular el MCD de 360 y 300
En primer lugar descomponemos canónicamente cada número: 360 = 23 × 32 × 5 300 = 22 × 3 × 52
Luego el MCD es el producto de los factores primos comunes elevados a su menor exponente. ⇒ MCD (360; 300) = 22 × 3 × 5 = 60
ii. Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)
El M.C.M. de varios números enteros positivos es aquel número entero positivo que cumple dos condiciones:
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Ejemplo: Para los números: 4 y 6 Mult. (+) de 4 = {4; 8; 12; 16; 20; 24; ...} Mult. (+) de 6 = {6; 12; 18; 24; 30; ...} Los múltiplos comunes son: 12; 24; ... etc El menor de los múltiplos comunes es 12 ⇒ M.C.M. (4 ; 6) = 12 Observa que los múltiplos comunes son múltiplos de su M.C.M.
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Luego el MCM es el producto de factores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.
MCM (80; 180; 150) = 24 x 32 x 52 = 3 600
Propiedades relativas al M.C.D. y al M.C.M.
1. Si se tiene dos números “A” y “B” primos entre sí (PESI) M.C.D. (A y B) = 1 M.C.M. (A y B) = A × B 2. Si el M.C.D. (A; B; C) = K ⇒ M.C.D. (nA ; nB ; nC) = nK A B C k M.C.D. n ; n ; n = n
ARITMÉTICA
Tema 12
MCD - MCM
3. Si el M.C.M. (A; B; C) = m
m = a A m = b PESI B m =γ C
⇒ M.C.M. (nA ; nB ; nC) = nm J A B CN m M.C.M. K ; ; O = n L n n nP 4. Los cocientes de dividir a varios números enteros por su respectivo M.C.D. son PESI. Si: M.C.D. (A ; B ; C) = K
6. Propiedad sólo para dos números: El producto de dos números es igual al producto de su M.C.D. y su M.C.M. Si: M.C.D. (A ; B) = K ⇒A×B=K×m M.C.M. (A ; B) = m
A = p K B = q primos entre si (PESI) K C =r K
Divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides
De donde se deduce que: A = K.p
Sólo permite el cálculo del MCD de dos números En general: sean los números A y B donde A > B
B = K.q y C = K.r
5. Los cocientes de dividir el M.C.M. de varios números entre cada uno de ellos son PESI Si: M.C.M. (A ; B ; C) = m
A
q1 q2 B r1 r1 r2
q3 r2 r3
q4 ← cocientes r3 ← MCD 0 ← residuos
MCD(A;B) = r3
PROBLEMAS RESUELTOS
La cantidad de pares de valores enteros
Problema 1 El MCM de dos números es 30030 y
distintos será:
su MCD es 5. ¿Cuántos pares de números
# de pares =
hay con esta propiedad? A) 8
B) 16
C) 32
D) 64
E) 60 Nivel Intermedio
# de divisores de su producto 2 (1 +1)(1 +1)(1 +1)(1 +1)(1 +1) = 2 # de pares = 16
Observacion: Solo se cumple cuando en la descomposición canonica tiene exponentes uno.
Resolución:
Respuesta: B) 16
Sean A y B los números, entonces el MCD (A, B) = 5 como:
MCD (3 A; 24 C) = 18 N • MCD (A; 8 C) = 6 N ... (a)
MCD (2 C; B) = 2 N
• MCD (8 C; 4 B) = 8 N ... (b) De (a) y (b) MCD(A;4B;8C) = MCD(6N,8N) = 2 N En el cual intervienen los tres números y nos piden: MCD (A; 4B; 8C) = 21 000 = 2 N N = 10 500
Respuesta: A) 10 500
MCD (A; 4 B; 8 C) = 21 000 Aplicando la propiedad:
Resolución:
Problema 3 Determinar dos números de tres cifras, cuya suma es 432 y su MCM es 323 veces su MCD. Dar como respuesta la diferencia de dichos números.
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MCD - MCM
A) 12 C) 24 E) 42
A = MCD × 17
B) 18 D) 36
B = MCD × 19 Nivel Intermedio
MCD × (17 + 19) = 432 MCD =
Resolución: A + B = 542 mcm(A; B) = 323 × MCD (A, B)
432 = 12 36
B – A = (MCD) B – A = 2 × 12 = 24
mcm (A, B) =323 = 17 × 19 MCD (A, B) Pesi
Respuesta: C) 24
PROBLEMAS de clase ejercitación
profundización
1. Dados los números A y B halle la suma de las cifras del MCD (A; B). A = 26 . 35 . 72 B = 24 . 32 . 13 A) 5 B) 8 C) 7 D) 10 E) 9
6. Se tiene un terreno de forma rectangular cuyas dimensiones son 200 m y 420 m, se debe dividir en parcelas cuadradas, todas iguales halle el menor número de parcelas que se obtendrán. A) 230 B) 190 C) 220 D) 210 E) 200
2. Halle el MC, (M, N) M = 24 . 53 . 72 N = 22 . 5 × 11 A) 178 000 B) 1 078 000 C) 1078 D) 107 800 E) 10 028 3. Calcula el MCD de 168 y 312. A) 12 B) 24 C) 32 D) 6 E) 8 4. Calcula el MCM de 120 y 105. A) 460 B) 420 C) 225 D) 480 E) 840 5. Si el MCD de 14A y 21B es 91. ¿Cuál es el MCD de 8A y 12B? A) 78 B) 26 C) 52 D) 51 E) 68
7. S e t i e n e n t r e s c i l i n d r o s completamente vacíos, cuyas capacidades son: 210; 240; 270 litros. Se desea llenar los tres cilindros con baldes de igual c a p aci d ad . H al l e la máx ima capacidad de dicho balde. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 60 8. Se han colocado postes igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular, cuyos lados miden 120, 280 y 320 metros respectivamente, sabiendo que hay postes en cada vértice. Halle la menor cantidad de postes plantados en dicho campo. A) 10 B) 9 C) 28 D) 18 E) 36
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9. En una función de cine, se ha recaudado en 3 días de funciones S/. 2992, S/. 3264, S/. 1904. respectivamente. ¿Cuántas personas han asistido en los tres días y está comprendido entre S/.10 y S/.20; además es una cantidad impar? A) 480 B) 510 C) 400 D) 250 E) 255
sistematización 10. Un numeral de 3 cifras y su C.A. tiene como MCD a 100. ¿Cuántos números cumplen con esta condición? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. A = 4n . 7n y B = 12n . 21n. MCD(A; B) tiene 28 divisores calcular "n". A) 5 B) 4 C) 3 D) 1 E) 2 12.
Si: ° (x – 1)×(x + 1) = 3 y ° (x + 1)×(x – 1) = 5, hallar el máximo común divisor de 3x y 6x. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2
