GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________ comu comune nes s y no comu comune nes s elev elevad ados os a su mayo mayor r exponente. Por ejemplo: A = 25 × 32 × 7; B = 24 × 33 × 11; C = 23 × 34 × 52 × 13 ∴mcm
•
Máximo Común Divisor (MCD)
•
El MCD de dos o más números es el mayor de los
También
(A, B, C) C) = ............. .............
se
puede
calcular
el
mcm
por
descomposición simultánea:
divisores comunes a dichos números. Por ejemplo: ¿Cuál es el MCD de 12 y 18?
Los divisores de 12 son {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Los divisores de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Los divisores comunes a 12 y 18 son {1, 2, 3,..., ...}
El mayor de dichos divisores es: ..................... ∴ MCD
•
120 – 252 – 384
Propiedades:
(12, 18) = .....
Si los números están descompuestos canónicamente,
1) Si A =
ο
B
⇒
MCD (A, (A, B) = .... mcm (A, B) = ....
su MCD se calcula como el producto de sus factores comu comune nes s elev elevad ados os a su meno menorr expo expone nent nte. e. Por Por ejemplo:
2)
MCD (A, B) × mcm (A, B) = A × B
A = 25 × 32 × 7; B = 24 × 33 × 11; C = 23 × 34 × 52 × 13
3)
mcm (A, (A, B) B) = MCD MCD (A, (A, B) B) × q1 × q2
MCD (A, B, C) = .............
4)
MCD MCD (KA (KA,, KB KB ) = K MCD MCD (A, (A, B)
∴
mcm (KA, KB ) = K mcm (A, B) •
En caso caso contra contrario rio se puede puede calcul calcular ar el MCD MCD por ο
descomposición simultánea:
+ r
A
5)
120 – 252 – 384
Si N =
ο
B ο
C
Obse Observ rva a que que el proc proces eso o se deti detien ene e cuan cuando do los los
6)
MCD
⇒
+ r
Si N es es div divis isor or de A, B y C
cocientes son primos entre sí A – B
+ r ⇒ N = mcm (A, B, C) + r
⇒
N es divisor del MCD (A, B, C)
A = MCD q1
q1 – – q2
B = MCD q2, donde q1 y q2 son primos entre sí
•
Mínimo Común Múltiplo (mcm)
1.
El mcm de dos o más números es el menor de los
Hall Hallar ar n
sabi sabien endo do que el
MCD MCD de A = 8 × 6n
y B = 6 × 8n tiene 18 divisores.
múltiplos comunes a dichos números. Por ejemplo: ¿Cuál es el mcm de 12 y 18?
2.
¿Cuá ¿Cuánt ntos os divi diviso sore res s com comunes unes tien tienen en los los núme número ros s 3780, 5940 y 1080?
Los Los múlt múltip iplo los s de 12 son son {12, {12, 24, 24, 36, 36, 48, 48, 60, 60, 72, ...}
Hall Hallar ar dos núme número ros, s, ambo ambos s de 3 cifr cifras as,, tales tales que su
Los múltiplos de 18 son {18, 36, 54, 72, 90, ....}
suma sea 220 y su MCD 20. Dar como respuesta la
Los múltiplos comunes a 12 y 18 son {36, ..., ...}
diferencia de estos números.
El menor de dichos múltiplos es: .....................
∴ •
3.
mcm (12, 18) = ....
El prod produc ucto to del del mcm mcm por el MCD MCD de 2 númer números os es 1620. Si uno de ellos es el MCD de 108 y 162. Hallar
Si los números están descompuestos canónicamente, su mcm se calcula como el producto de sus factores
-1Jr. Los Claveles 304 – Los Olivos Tlf. 485-4912
4.
la suma de los números.
GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________ 5.
Escogemos parejas de números, cada uno de ellos
velocidades
de
ellos
son:
60,
36
y
20
m/s
entre 100 y 200. ¿Cuántas tendrán como MCD a 24?
respectivamente. ¿Cuánto tiempo debe de transcurrir para que vuelvan a pasar simultáneamente por el
6.
Hallar dos números tales que su suma es 341 y su
punto de partida?
mcm es 28 veces su MCD. Dar como respuesta uno de ellos. 7.
El MCD de dos números es 14. Hallar el mcm, si la diferencia de los cuadrados de los números es 11172.
8.
Se tiene 3 varillas de metal cuyas longitudes son: 3780, 3360 y 2520 mm. Para venderlas se necesita
9.
1.
El mcm de dos números de los cuales uno contiene el
dividirlas en trozos de igual longitud y que tengan la
otro es el (.............) de ellos.
mayor longitud posible, no debiendo desperdiciar
A) mayor
C) producto
material. ¿Cuántos cortes fue necesario realizar?
B) menor
D) cociente
Dos
letreros
luminosos
se
encienden
con
2.
El MCD de dos números es el producto de ellos (.......)
intermitencias de 42 y 54 segundos respectivamente.
por su mcm.
A las 20 h y 15 m se encienden simultáneamente. ¿A
A) multiplicado
C) sumado
qué hora vuelven a encenderse juntos?
B) dividido
D) restado
10. El número de páginas de un libro es mayor que 400 y
3.
E) N.A.
E) N.A.
El mcm de 3 números primos entre sí es (.........)
menor que 500. Si se cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3
A) El cociente de ellos. D) El producto de ellos.
en 3 quedan 2, de 5 en 5 quedan 4, y de 7 en 7
B) El mayor de ellos.
sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
C) El menor de ellos.
11. Hallar el menor número de cuadrados iguales en que se puede
dividir
un terreno
rectangular
4.
cuyas
dimensiones son 408 y 216. 12. En una empresa en la que trabajan 150 empleados,
5.
sale de vacaciones cierto número de ellos. Si se
E) No se puede determinar
Hallar el MCD y el mcm de 12, 24, 36, 15 y 30. A) 6 y 360
C) 3 y 360
B) 3 y 240
D) 6 y 240
E) N.A.
Hallar el MCD de: 84 × 495 y 550 × 108 A) 5940
B) 1980
C) 2970
D) 1188
E) 540
agrupan los que quedan de a 10, de a 12, de a 15 y de a 20 sobran siempre 6; pero agrupados de 18 en
6.
18 no sobra ninguno. ¿Cuántos empleados hay de
Hallar el MCD y el mcm de: (23 × 32
×
5); (22
×
33 × 7) y
(2 × 72) dar como respuesta la suma de ambos.
vacaciones? 13. Se desea guardar barras de jabón de dimensiones
A) 13248
C) 2646
B) 6624
D) 13230
E) 1908
15 cm., 10 cm. y 3 cm. en cajas cúbicas de manera que en las cajas no sobre espacio. ¿Cuál es el mayor número de cajas necesarias para guardar 2400 jabones?
7.
Hallar el MCD y el mcm de: 196 × 702 y 132 × 585. A)
MCD = 23 × 33 × 1 mcm = 23 × 33 × 5 × 72 × 13
14. A un terreno rectangular, de 952 m. de largo y 544 m.
B)
mcm = 23 × 33 × 11 × 13
ancho, se le quiere cercar con un alambre sujeto a postes equidistantes de modo que disten de 20 a
C)
40 m. y que corresponda un poste por vértice y otro en cada uno de los puntos medios de los lados del rectángulo. ¿Cuántos postes se necesitan?
MCD = 23 × 33 × 5 × 72 MCD = 22 × 33 × 11 × 13 mcm = 23 × 32 × 5 × 13
D)
MCD = 22 × 33 × 13 mcm = 23 × 33 × 5 × 72 × 11 × 13
15. Tres automóviles parten juntos del punto de partida de
E)
N.A.
un circuito cerrado de 3600 m. de longitud. Las
MCD y mcm -2– Jr. Los Claveles 304 – Los Olivos Tlf. 485-4912
GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________ 8.
Hallar el mcm de 1/3, 2/5 y 3/10 A) 6/150
C) 12
B) 20
D) 4/5
18. Hallar 2 números tales que su suma sea 10 veces su E) 6
MCD y su producto 225 veces su MCD. Dar como respuesta la suma de estos números. A) 140
9.
B) 210
C) 350
D) 410
E) 250
Hallar el MCD de 56, 60 y 200 y restárselo al mcm de 45, 30 y 75. A) 1
19. Se han dividido tres barras de acero de longitudes
B) 7
C) 398
D) 446
E) N.A.
540, 480 y 360 mm. en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han
10. Hallar el cociente de dividir el mcm entre el MCD de: 80, 108 y 32. 5
A) 2
×
3
3
×
obtenido? A) 23
4
5
D) 2
B) 23 × 32 × 52
×
B) 34
C) 35
D) 26
E) 27
4
3
20. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de capacidad
E) 2 × 35 × 5
72, 24, 56 y 120 galones respectivamente. ¿Cuál es la
C) 23 × 33 × 5
máxima capacidad del balde que puede usarse para 11. La suma de dos números es 126 y su MCD 18. Sabiendo que son menores de 80, hallar los números. A) 18 y 108
C) 126 y 1
B) 72 y 54
D) 79 y 57
E) N.A.
70. B) 15 y 11
D) 44 y 25
C) 5
D) 9
E) 6
36 y su mcm es 5 148. B) 594
C) 261
D) 679
E) 5148
15. El producto de dos números es 8 veces su mcm y la suma de dichos números es 6 veces su MCD. Hallar los números. A) 9 y 50
C) 3 y 180
B) 6 y 120
D) 8 y 40
D) 140 y 42
E) N.A.
es 24. Si comparamos los 4 números, ¿cuál será su MCD? B) 12
C) 3
C) 6
D) 12
E) N.A.
mide la arista de estas cajas? y ¿cuántas caben en la caja? A) 1 y 30176
C) 3 y 16745
B) 2 y 15088
D) 5 y 13272
E) N.A.
23. Se desea acondicionar 1830 latas de aceite y 1170 latas de atún en un cierto número de cajones que contengan el mismo número de latas, sin que sobre ninguna y sin mezclar latas. ¿Cuál será el mayor número de latas que pueden ponerse en cada cajón? A) 60
B) 15
C) 70
D) 90
E) 30
transcurrir para que le toque descansar un domingo es: A) 83 días
C) 90 días
B) 89 días
D) 93 días
E) 96 días
25. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se
17. El MCD de dos números es 18 y el MCD de otros dos
A) 18
B) 10
entonces el menor número de días que deben
es 21364. B) 138 y 142
A) 5
duodécimo día. Si comenzó a trabajar un día lunes,
420 veces su MCD y que la suma de sus cuadrados C) 142 y 40
longitud. ¿Cuál es la longitud de cada trozo?
24. Un obrero trabaja 11 días seguidos y descansa el
E) N.A.
16. Halar 2 números enteros sabiendo que su producto es
A) 140 y 44
E) N.A.
todas iguales, de la mayor arista posible. ¿Cuánto
14. Hallar el mayor de 2 números tales que su MCD sea A) 143
D) 4
de alto. Esta caja se quiere llenar con cajas cúbicas,
3 780, ¿cuál es el máximo común divisor? B) 3
C) 17
22. Una caja tiene 82 cm de largo, 46 de ancho y 32 cm
E) N.A.
13. El mcm de dos números es 630. Si su producto es A) 4
B) 15
en el menor número posible de trozos de igual
Hallar los números sabiendo que son menores que C) 33 y 55
A) 8
21. Tres cables que miden 10, 75, 90 metros, se dividen
12. El producto de 2 números es 1815 y su MCD es 11.
A) 11 y 165
llenarlos exactamente?
D) 6
E) 4
puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de 3 llaves que vierten: la primera 12 litros por minuto; la segunda 18 litros por minuto y la tercera 20 litros pro minuto? A) 198
B) 172
C) 154
D) 180
E) N.A.
MCD y mcm -3– Jr. Los Claveles 304 – Los Olivos Tlf. 485-4912
GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________ 26. Tres reglas de igual longitud, 1000 mm, divididas en partes iguales
33. La rueda delantera de un coche tiene 2 metros de
se superponen de manera que
circunferencia y la trasera 5 metros. ¿Cuántos metros
coinciden sus bordes. Las divisiones de la primera
tendrá que avanzar el carro para que las dos ruedas
regla son de 24 mm. y las de la segunda y tercera de
hayan dado un número completo de vueltas?
36 y 15 mm., respectivamente. ¿Qué trazos de las
A) 10 mts.
C) 8 mts.
tres reglas coincidirán?
B) 9 mts.
D) 15 mts.
A)
0, 360, 720 mm.
D) 0, 180, 360, 720 mm.
B)
0, 180, 720 mm.
E) 0, 180, 960 mm.
C)
0, 360, 620 mm.
E) N.A.
34. Se tienen tres extensiones de 3675, 1575 y 2275 metros cuadrados de superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la
27. Hallar cuántos números de 4 cifras son divisibles por 24, 33 y 42. A) 3
superficie de cada parcela para que el número de parcelas de cada una sea el menor posible?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) 250 m2
C) 125 m2
B) 150 m2
D) 175 m2
E) 225 m2
28. Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente
con
individualmente,
cualquiera
si
se
sabe
de que
3
reglas,
35. El número de niños de un colegio está comprendido
estas
tienen
entre 100 y 150. Si se agrupan de 10 en 10, sobran 7;
divisiones cada 2, 5 y 8 pies, respectivamente.
si se agrupan de 12 en 12 sobran 7 y si se agrupan de
A) 50
15 en 15 sobran 7. ¿Cuántos niños tiene el colegio?
B) 20
C) 30
D) 40
E) N.A.
A) 147
B) 123
C) 127
D) 159
E) N.A.
29. ¿Cuál es el menor número posible que dividido por 132,450 y 342 en cada caso da un residuo de 5? A) 191567
C) 98394
B) 43516
D) 108105
E) N.A.
30. Se tienen tres reglas graduadas, la primera en 3/4", la segunda en 3/8” y la tercera en 5/16”. ¿Cuál es la menor longitud que es posible de medir exactamente con cualquiera de esas 3 reglas? A) 15/4”
C) 32/5”
B) 60/7”
D) 25/8”
E) N.A.
31. Tres maratonistas se demoran 12n, 16n y 18n segundos en dar una vuelta a la pista de carrera. Si parten a la vez, ¿cuántas vueltas habrá dado el tercero hasta que pasan juntos nuevamente por la meta? A) 8
B) 5
C) 7
D) 11
E) N.A.
32. Un ciego tiene que llenar un reservorio de 20 litros de agua sin chorrear agua fuera del reservorio. ¿Qué jarra le convendrían usar? A)
Una jarra de 3 litros.
B)
Una jarra de 7 litros.
C) Una jarra de 8 litros. D) Una jarra de 4 litros. E)
N.A.
MCD y mcm -4– Jr. Los Claveles 304 – Los Olivos Tlf. 485-4912
