RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 540 MCD Y MCM 1. El MCM de dos números es 147 y la diferencia de dichos números es 28. Hallar la suma de los números. a) 50 b) 0 c) 70 d) 80 e) 4
b) 537
c) 5&&
d) 5/2
e) 57&
13. Cu-l es el menor número de lose"as de 2 &8 cm. ue se necesi"an $ara cons"ruir un cuadrado3 a) 247 b) &0 c) 144 d) 1&5 e) 15&
2. El MC! de 2 números es 8 y los cocien"es de las di#isiones 14. :ara cons"ruir un bloue macio de forma cúbica, se han sucesi#a sucesi#as s $ara ob"ener dicho dicho MC! son 2%2%1%1 y 7. Hallar Hallar em$leado ladrillos ue "ienen $or dimensiones6 20, 15 y 10 los números. cm. cm. si en "o"a "o"all se em$l em$lea earo ron n 57 57 ladr ladril illo los. s. CuCu-n" n"os os cen"me"ros mide la aris"a del cubo3 a) 128 y 25 b) 304 y 728c) 24 728c) 24 y 58 a) &20 b) 180 c) /0 d) 120 e) 1&0 d) 108 y 25 e) &12 y1024 3. Hallar el MC! de '728 ( 1) y '&04 ( 1) b) & 1
a)
c) 8
d) 68 – 1
e) 1
4. *res m+#iles $ar"en al mismo "iem$o y del mismo $un"o en una $is"a circular, los cu-les "ardar-n 105 s% /0 s. y 72 s. en cada #uel"a Cu-n"as #uel"as habr- dado cada m+#il cuando hayan $asado nue#amen"e y a la #e $or la lnea de $ar"ida3 a) &5% &8 y 44 d) 20% 24 y &1
b) &0% &2 y 4 e) 28% &2 y 40
(ab ,
ba
)
=
&&
5. abiendo ue6 MCM a) 10
b) /
c) 24; 28 y 35
Calcular 'ab). c) 12
d) 8
e) 1
6. Cu-n"os números de & cifras eis"en, "al ue cum$len la siuien"e condici+n6 sean múl"i$los de % si se le area 1 se o
7 con#ie con#ier"e r"en n en
y si se le area una unidad m-s se
15. El MCM de dos números es 147 y la diferencia de dichos números es 28. Hallar la suma de los números. a) 50 b) 0 c) 70 d) 80 e) 4 16. Hallar el MC! de '5728 ( 1) y '5&04 ( 1) a) 5 b) 5& 1 c) 58 d) 58 – 1
e) 51
17. *res carros salen de una $oblaci+n en un cier"o da y al mismo "iem$o, $ara hacer el ser#icio de "res lneas dis"in"as. El $rimero "arda 7 horas en #ol#er al $un"o de $ar"ida y se de"iene en es"e 1 hora. El seundo "arda 10 horas y se de"iene 2 horas, el "ercero "arda 12 horas y se de"iene & horas cada cuan"o "iem$o saldr-n saldr-n a la #e los & carros de dicha $oblaci+n3 a) cada dos das b) cada cinco días c) cada seis horas d) cada ocho das e) cada cua"ro das 18. El MC! de dos números es Cu-l es la suma de las cifras del menor si los cocien"es sucesi#os sucesi#os ue se ob"ienen $ara hallar el MC! son =,1,8 y &3 a) 21 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24
o
8 con#ier"e en
3
a) 1 e) 5
b) 2
c) &
d) 4
19. =l calcular el MC! de dos números números :es $or el =lori"mo de Euclides se ob"u#o como cocien"es sucesi#os a6 2, 5, & y 2 res$ec"i#amen"e. !ar como res$ues"a la suma de dichos números. a) /8 b) 118 118 c) 148 d) 1/8 e) 258
7. Hallar el #alor de n9 si el MCM de los números
A
=
450 x75 75n y B
a)
b) 4
=
75 x18n
c) 5
"iene 550 di#isores. d)7 e) &
8. El número de $-inas de un libro es"- com$rendido en"re 850 y /50. i se cuen"an cuen"an sus $-inas de 12 en 12 sobran sobran 5, de 15 en 15 sobran 8 y de 18 en 18 sobran 11. Hallar el número de $-inas del libro. a) 8/1
b) 893
c) 85&
d) 8/2
e) 87&
9. :ara cons"ruir un bloue macio de forma cúbica, se han em$leado em$leado ladrillos ue "ienen $or dimensiones dimensiones66 &0, 18 y 10 cm. cm. si en "o"a "o"all se em$le em$lear aron on 1080 1080 ladr ladril illo los. s. CuCu-n" n"os os cen"me"ros mide la aris"a del cubo3 a) &20
b) 180
c) 90
d) 120
e) 1&0
10. Cu-l es el menor número de lose"as de &4 18 cm. ue se necesi"an $ara cons"ruir un cuadrado3 a) 1&&
b) &0
c) 144
d) 1&5
e) 153
11. i MCM 'a, b) ; 2/7 y a2 b2 ; 105&0. Hallar la suma suma de a y b. a) 12&
b) 125
c) 126
d) 127
e) 172
12. El número de naran
R0 R 0 20. Hallar Hallar ' >? ) si si en el c-lculo c-lculo del del MC! de
y
L0 L0 se hallaron hallaron los siuien"es siuien"es cocien"es sucesi#os sucesi#os 1% 1 y 4 ' > y ? son :E@ ). a) 12 b) 14 c) / d) 15 e) 1& 21. abiendo ue6 MC! '45=% 72=) ; /00% MCM '&A% 4A) ; 1440. Hallar 6 = A a) 102 b) 125 c) 150 d) 1/2
e) 220
22. i MC!'=, A) ; 14m% MC!'C, !) ; 21m% MC! '=, A, C, !) ; 42. Hallar m. a) 7 b) c) 14 d) 21 e) 12 23. Hallar 2 números :.E..@, "al ue el MCM de ellos sea &&0 &&0 y su difer diferenc encia ia sea sea 7. !ar como res$ues res$ues"a "a la suma de dichos números. a) &7 b) 42 c) 47 d) 52 e) 57 24. i MCM ' = , A ) ; =2 y MC! ' = , A ) ; 21 ?ueo la suma de cifras de A, es6 a) 7 b) 8 c) / d) 10 e) 11 25. i Manuel, Beny y Ba""y asis"en a la biblio"eca cada 2 das, das, & das das y 5 das das res$e res$ec"i# c"i#am amen en"e "e !en"r !en"ro o de
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO cu-n"os das se #ol#er-n a encon"rar si la $rimera #e ue asis"ieron fueron los &
as/ en/re 12 000 y 1$ 000 soles. allar la suma de las cifras de dic9o número de ,ernos. a" 24 #" 2$ c" *$ d" $0 e" 25 7.
Si A = 1020 B = 2010 y C = 3030 Hallar el MCD de (A, B , C) a) 510 b) 210 c) 2010 d) 1015 e) 3010
8.
El mínimo comn ml!i"lo de do# nmero# e# 2$0% Si #& "rod&c!o e# 1'20, c&l e# #& m*imo comn di+i#or a) ' b) '0 c) 12 d) 2e) 3'
4
28. Calcular el MC! de6 & ( 1 y & ( 1 a) 4 b) 8 c) 12 d) 1
e) 20 9.
a3a
5b7
29. El MC! de los números , a b c. a) 11 b) 12 c) 1&
1.
2.
3.
5.
6.
y
es 11. Hallar
d) 14
e) 15
Si el MCM de (A y B) e# i.&al a 2A y el MCD (A y B) e# i.&al a A/3 allar el +alor de A, #abiendo &e AB=1'% a) 5-0 b) 50c) 5-5 d) 505 e) 50' Hallar MCM (A,B) MCD (A , B) Si4A = 22n%3-n% $n B = 2n % 33n % $2n % 5 a) 2n % $ n% 5 b) 3 n %$n % 5 c) n 2 % 5 d) 2n % 3n% $n%5 e) 2n % $n
MCD – MCM
10.
Sean los números A y B cuyo MCD es 12; la diferencia de sus cuadrados es 20880. allar A ! B a" 80 #" $5 c" $0 d" 40 e" 55
11.
Si MCM %a& #" ' 2(7 y a2 ) #2 ' 105*0. allar la suma de a y #. a" 12* #" 125 c" 12$ d" 127 e" 172 +l número de ,-inas de un li#ro es/com,rendido en/re 850 y (50. Si se cuen/an sus ,-inas de 12 en 12 so#ran 5& de 15 en 15 so#ran 8 y de 18 en 18 so#ran 11. allar el número de ,-inas del li#ro. a" 8(1 #" 8(* c" 85* d" 8(2 e" 87*
(ab ,
4.
abc
Sa#iendo ue MCM a" 10 #" ( e" 1$
ba
)
=
&&
c" 12
:res carros salen de una ,o#lacin en un cier/o da y al mismo /iem,o& ,ara 9acer el sericio de /res lneas dis/in/as. +l ,rimero /arda 7 9oras en oler al ,un/o de ,ar/ida y se de/iene en es/e 1 9ora. +l seundo /arda 10 9oras y se de/iene 2 9oras& el /ercero /arda 12 9oras y se de/iene * 9oras cada cu-n/o /iem,o saldr-n a la e< los * carros de dic9a ,o#lacin a" cada dos das #" cada cinco das c" cada seis 9oras d" cada oc9o das e" cada cua/ro das
Si la #&ma de do# en!ero# "o#i!i+o# e# 20, y !ienen 15 di+i#ore# com&ne#% C&l e# la menor dierencia de dico# en!ero# a) 256 b) 201 c) 'd) 2 e) -1'
12.
Calcular %a)#". d" 8
+l número de ,ollos de un criadero es menor ue 1000. Si los aru,amos de a 5& de a $& de a ( o de a 11& siem,re so#ra 1. Cu-n/os ,ollos e3is/en en el criadero a" ((1 #" (8( c" 8(( d" (1( e" ((8 n almac6n cuen/a los ,ernos ue /iene de 5 en 5& de 7 en 7& de ( en ( y de 11 en 11 y siem,re so#ra una can/idad ue es menor en una unidad ue el diisor em,leado& si cada ,erno le cos/ 2 soles y
C&n!o# +alore# !oma 7, #i el MCD(78 0) = -0 9 7 e# &n nmero de !re# cira#% a) 10 b) 11 c) 12 d) 23 e) 21
13.
Calc&lar la #&ma de do# nmero# "rimo# en!re #í, &e #e dierencian en $ y #& MCM e# 330% a) 35 b) 25 c) 3$ d) 3e) -0
14.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 15.
a 7´ b =5´ % Calc&le4
Sí4
Si "ara +ia
22.
S = MCD ( b´5 ; 11) + MCM ( b´5 ; 11)
a) -e) '' 16.
b) 55
c) 22
d) 33
Si4
(
´
MCD a ( a + 1 ) ; 7
Halle a : b a) $ e)
)=7 ; y MCD ( a ; b 0 b´ 0 b ) =a
Se !ienen 3 +arilla# me!lica# de $2 cm, 10 cm y 120 cm% #e de#ea !ener la menor can!idad de +arilla# m# "e&e>a# de can!idad en!era de cen!íme!ro# cor!ando !oda# la# an!eriore# de i.&al !ama>o% C&n!a# +arilla# "e&e>a# #e ob!endrn a) 20 b) 2c) 25 d) 30 e) 1
23.
b) 10
c) 6
d) 1-
Se !ienen do# nmero# &e #on lo# menore# "o#ible# en el #i#!ema e"!al, c&ya #&ma de cira# #on 21' y 32re#"ec!i+amen!e% Calc&lar la #&ma de cira# de #& MCD e*"re#ado# en ba#e -6% a) -32 b) 32c) -23 d) 3-2 e) -5-
17.
;n ebani#!a de#ea cor!ar "lanca# de madera de 25' cm de lar.o y 6' cm de anco, en c&adrado# lo# m# .rande# "o#ible#% C&l debe #er el lado de dico c&adrado a) cm b) 32 cm c) 1' cm d) 25 cm e) 30 cm
18.
;n !&ri#!a +ia
19.
De!erminar el mínimo +ol&men &e debe !ener &na ca
20.
Se !ienen &n m&ral de 5 me!ro# de al!o y 2 me!ro# de anco% Si #e de#ea ormar el menor nmero de c&adrado# i.&ale# "ara "in!ar la# co#!&mbre# de n&e#!ro er8 adem# no debe #obrar ni al!ar e#"acio% Calc&le la can!idad de c&adrado# &e #e orman, #i lo# lado# #on nmero# en!ero# de me!ro#% a) b) c) 2 d) 5 e) 10
21.
24.
:res #arriles de ino /ienen 280& 5$0 y $*0 li/ros de ca,acidad. +l número de reci,ien/es ue /enan la m-3ima ca,acidad y ue es/6n con/enidos e3ac/amen/e en los /res #arriles es a" 70 #" 17 c" 10 d" 21 e" 7
?re# barrile# de acei!e !ienen 210, 300 y -20 @i!ro# de ca"acidad% El nmero de reci"ien!e# &e !en.an la m*ima ca"acidad y &e e#!n con!enido# e*ac!amen!e en lo# !re# barrile# e#4 a) 30 b) 31 c) 25 d) 2$ e) 26
25.
Se an "lan!ado rbole# i.&almen!e e#"aciado# en el con!orno de &n cam"o c&adran.&lar c&yo# lado# miden 1-- m, 120 m, - m y 10 m% Sabiendo &e ay &n rbol en cada +r!ice y &e la di#!ancia en!re 2 rbole# e#! com"rendido en!re m y 10 m% Calc&le el nmero de rbole# "lan!ado# a) '0 b) 5' c) -0 d) -e)
26.
Al calc&lar el MCD de 2 nmero# median!e el Al.ori!mo de E&clide#, lo# cocien!e# #&ce#i+o# &eron 28 58 38 2% Calc&le la dierencia de lo# nmero#, #i #e #abe &e #on "rimo# rela!i+o#% a) 5b) -c) 30 d) 53 e) -2
27.
@a #&ma de do# nmero# "are# e# 12-% Si lo# cocien!e# #&ce#i+o# ob!enido# al allar #& MCD &eron 28 '8 18 1 y 2% Hallar la dierencia de dico# nmero#% a) 52 b) 36 c) 36' d) 612 e) -5'
28.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 29.
Al calc&lar el MCD de lo# nmero# ´ y bba ´ bab , median!e el m!odo del
Al.ori!mo de E&clide#, #e ob#er+a &e el "rimer cocien!e e# i.&al al "enl!imo re#id&o, #&# c&a!ro cocien!e# #on lo# "rimero# nmero# #im"le# e im"are#% Calc&lar la #&ma de lo# di+i#ore# "ro"io# de ´ bab
m#
la
com"&e#!o# de a) 110 e) 231
b) 130
#&ma
de
di+i#ore#
´ bba %
II !CD "A( $( E( )% !CD "!( * Donde& !%!CD"A($ ( *%!CD"E() +am,in& !CD"A($(E()%!CDA(!CD"$#E#)/ III!CD "A# $# C%d A ' , d
(
B '0 d
d) 11$
:res miles ,ar/en al mismo /iem,o y del mismo ,un/o en una ,is/a circular& los cu-les /ardar-n 105 s; (0 s. y 72 s. en cada uel/a Cu-n/as uel/as 9a#r- dado cada mil cuando 9ayan ,asado nueamen/e y a la e< ,or la lnea de ,ar/ida a" *5 ; *8 y 44 #" *0 ; *2 y 4$ c" 24 ; 28 y *5 d" 20 ; 24 y *1 e" 28 ; *2 y 40
30.
El MCD de 2 nmero# e# y lo# cocien!e# de la# di+i#ione# #&ce#i+a# "ara ob!ener dico MCD #on 2828181 y $% Hallar lo# nmero#% a) 12 y 25' b) 30- y $2 c) 2-' y 5' d) 10 y 25' e) 312 y102-
31.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) – MÍNIMO COMUN MÚLTIPLO (MCM)
( ( A# $ 0 C son md p# # r -- PESI MCM OBSERVACIÓN
!ltiplos comunes % !ltiplos del !C! de "A# $# C de A# $ 0 C FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCM 1.-Descomposición simultanea 2.-Por descomposición canónica PROPIEDADES I !C!"A#$#C#D%!C!"!#* Donde& ! % !C!"A ( $ * % !C!" C ( D II !C! "nA ( n$ ( nC%n 4 !C! "A($(C %
III !C!
A MCD I5 FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD MCM %A& B"
PROPIEDADES I !CD "A # $ # C%d Se cumple& '!CD "An ( $n ( Cn%dn %
'!CD
A B C d ; ; "' n n n n
C ' r.d
A B C 1 ; ; " ' 3 MCM%A ; B ; C" n n n n
MCM %A& B"
1.- Descomposición Simultánea 2.- Por Descomposición Canónica 3.-Divisiones Sucesivas o Algoritmo de Euclides
(
B ' 0.d
A ' ,.d
c) 11'
c ' r d
B
' =A
6-------7 7
PESI
' =B
6------7 PROBLEMAS
1. Calcular el nmero de divisores del !.C.D. de los nmeros& A % 8919. 218 $ % :9;. 3;3 C % <98. 182 a 1:; , 1;9 c 12< d 1<9 e 129
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2. =allar >n? sa,iendo ue el m.c.m de los a 12 , 1; c 28 nmeros& d 39 e 19 A % 12n. 1; $ % 12 . 1;n 9. Se Gan colocado postes igualmente +iene 189 divisores. a 1 , 2 c 3 espaciados en el contorno de un campo d 8 e ; triangular cu0os lados miden 219( 29 0 399 m respectivamente. Sa,iendo ue Ga0 3. Dados tres nmeros A# $ 0 C se sa,e ue el un poste en cada vrtice 0 ue la distancia !.C.D. de A 0 $ es 39 0 el !.C.D. de $ 0 C entre poste 0 poste es la ma0or posi,le. es 1@<. Cuál es el !.C.D. de A# $ 0 CB Cuántos postes se colocaronB a 8 , 12 c 1< a 28 , 2: c 23 d : e 1: d 39 e 2 4. Si el m.c.m. de A 0 $ es 8<8 0 el m.c.m. de 10. Se trata de ormar un cu,o con ladrillos C 0 D es 3:3. Determinar el m.c.m de A# $# cu0as dimensiones son 29 cm. 1; cm 0 : cm. C 0 D. Diga cuántos ladrillos son necesarios para a 1322 , 1832 c 1;82 ormar el cu,o más peueFo posi,le. d 18;2 e 1:32 a 199 , :9 c 129 d 1:9 e 1<9 5. El producto de dos nmeros es ;@1; 0 el !.C.D. de ellos es 13. =allar el ma0or de 11. Se tiene 3 rollos de tela ue miden 12# :( esos nmeros si am,os son nmeros ue 23#8 0 39# : metros de longitud. Se uiere 199. sacar en rollos más peueFos# todos de a < , @1 c :1 igual longitud con un nmero e4acto del d ;2 e @< centHmetro. Cuántos de setos rollos como mHnimo se podrá o,tener en totalB 6. =allar dos nmeros sa,iendo ue su !.C.D. a 8; , 89 c 3 es 3: 0 su m.c.m. es ;18<. uno de ellos d ;9 e ;2 será& 12. El nmero de lapiceros ue tiene un a 3:9 , 3@: c 8;< a#c d ;29 e :12 vendedor es de modo ue si cuenta de 1; en 1;( de 1< en 1<( 0 de 21 en 21 7. Determinar dos nmeros primos entre si siempre so,ra 19. =alle a , c. tal ue su suma sea 23 0 su m.c.m. sea 129. a 39 , 29 c 1; Dar la dierencia de ellos. d 19 e 2; a ; , c @ d 13 e 3 13. =allar la suma de 2 nmeros A 0 $ ue son primos entre si "primos relativos# si los 8. n negociante tiene tres ,arriles de vino cocientes sucesivos ue se Gan o,tenido de 3:9( 8<9 0 :99 litros( desea venderlos para Gallarlo por el mtodo del Jalgoritmo en recipientes peueFos de má4ima de EuclidesJ Gan sido& ;#8#3#2 0 2. capacidad de modo ue no so,re vino en a ;3@ , :2 c :82 ninguno de modo ue no so,re vino en d 82 e 8;; ninguno de los ,arriles. Cuántos recipientes necesitaB
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 14. Se Galló el !CD de 2 nmeros mediante el algoritmo de Euclides 0 se o,tuvo 19 como resultado# siendo los cocientes ;# 1# 2 0 3. El ma0or de ellos es& a ;9 , ;<9 c 199 d :39 e ;:9
“L !"#$%&' (! () *+,& -(!,&, .%( /,& !%(&-( 0$#( 0,! /%($( &,"&1 “) !"#$%&' 2") + ) #30,&04# 3&#-1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PROF. JUAN A. NÚÑEZ CONCHA
