1.5 TEOREMAS DE GREEN Y STOKES. Teorema de Green.
El teorema de Green relaciona una integral de línea a lo largo de una curva cerrada c en el plano R2 , con una integral doble sobre la región encerrada por c . Este Este será general generalizad izado o a contin continuac uación ión,, a curvas curvas y a superf superfici icies es de R2 . Nos referi referimos mos a las integr integrale ales s de línea línea alrededor alrededor de curvas que son fronteras fronteras de regiones regiones elementales elementales del tipo 1, o !. "na curva cerrada simple c que es la frontera de una región del tipo 1, o ! tiene dos orientaciones en sentido contrario al que que giran giran las las mane maneci cill llas as del del relo relo## $posi $positi tiva va%% y en el sent sentid ido o que que gira giran n las las maneci manecilla llas s del relo# relo# $negat $negativo ivo%. %. &enota &enotamos mos a c con la orient orientaci ación ón en sentido sentido contrario contrario al que giran las manecillas manecillas del relo# por sentido de las manecillas del relo# por
+ ¿¿ c
, y con la orientación en el
−¿ .
c
¿
'a frontera de c de una región del tipo 1 se puede descomponer en partes superior e infer nferio iorr, c 1 , c 2 , y $si $si es posib posible le%% part partes es vert vertic ical ales es izqu izquie ierda rda y derec derec(a (a,, B 1 y B 2 . Entonces escribimos,
−¿ −¿ + B ¿ + ¿ +c ¿ + ¿ +B ¿ , + ¿= c¿ 1
2
2
1
¿
C
donde los signos de suma denotan las curvas orientadas en la dirección izquierda a derec(a o de aba#o (acia arriba, y los signos de resta denotan las curvas orientadas de derec(a a izquierda o de arriba (acia aba#o.
En la figura la figura anterior se encuentran dos e#emplos que muestran como romper la frontera orientada de manera positiva de una región D del tipo 1en componentes orientadas.
En el e#emplo anterior se muestra como romper la frontera orientada de manera positiva de una región D del tipo en componentes orientadas. )odemos (acer descomposiciones similares de la frontera de una región del tipo en partes izquierda y derec(a, y partes (orizontal superior e inferior $si es posible%. &e manera análoga, la frontera de una región del tipo ! tiene dos descomposiciones una en mitades superior e inferior, la otra en mitades izquierda y derec(a. )robaremos a(ora dos lemas como preparación para el teorema de Green. LEMA 1
sea D una región del tipo 1 P : D → R es de claseC .Entonces
1
y
sea
C
su
frontera.
*uponer
que
+¿
$El lado izquierdo denota la integral de línea
C Pdx +Qdy+ Rdz donde Q=0 y R= 0. ∫ ❑¿ ¿ ¿
LEMA 2.
*ea D una región del tipo con frontera C . Entonces, si
1
Q : D → R es c ,
El signo negativo no se presenta aquí, pues invertir el papel de x y y corresponde a un cambio de orientación para el plano. 'os lemas 1 y , en con#unto, prueban el siguiente teorema importante. TEOREMA 1: TEOREMA DE GREEN.
*ea D una región P : D → R y Q : D→ R
del tipo ! y sea C su son de clase C 1 .Entonces
frontera.
*uponer
que
TEOREMA 2:
*i C es una curva cerrada simple que acota una región para la cual se amplia el teorema de Green, entonces el área de la región D acotada por ∂ D es
TEOREMA 3: FORMA VECTORIAL DEL TEOREMA DE GREEN
*ea D ⊂ R 2 una región del tipo ! y sea ∂ D su frontera $orienta en sentido contrario al que giran las manecillas del relo#%. *ea F = Pi + Qj un campo vectorial C 1 en D. Entonces
+orma vectorial del teorema de Green.
TEOREMA DE STOKES.
El teorema de *toes relaciona la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple C e n R3 , con la integral sobre una superficie S de la cual C es la frontera. En este aspecto, se parece muc(o al teorema de Green. -onsideremos una superficie S que sea la grafica de una función f ( x . y ) , de modo que S esta parametrizada por x =u y = v z =f ( u , v )= f ( x , y )
{
para $u, v) en algn dominio D. 'a integral de una función vectorial + sobre S se desarrollo como/
donde F =f 1 i + f 2 j + f 3 k TEOREMA DE STOKES ARA GRAFICAS
*ea S la superficie orientada definida por una función 2 1 C , z =f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D , y sea F un campo vectorial C e n S . Entonces, si ∂ S denota la curva frontera orientada de S segn se definió antes, tenemos/
0sí el teorema de *toes dice que la integral de la componente normal del rotacional de un campo vectorial + sobre una superficie S, es igual a la ∂S. componente tangencial de + alrededor de la frontera TEOREMA DE STOKES ARA S!ERFICIES ARAMETRI"ADAS.
*ea S una superficie orientada por una parametrización uno a uno 2 : D ⊂ R → S . &enotemos por ∂ S la frontera orientada por S y sea + un campo vectorial C 1 en S. Entonces
