FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Título de Investigación:
TEOREMA DE GREEN CON APLICACIÓN – CÁLCULO III
Integrantes:
Cojal Aguilar, Carlos Iván Docente:
Lic. Christian Murga Tirado Cajamarca Perú 2016
CALCULO III
INDICE 1.
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 3
2.
OBJETIVOS. ................................................................................................................................ 4 2.1. 2.2.
OBJETIVO GENERAL. ................................................................ ................................................... 4 OBJETIVO ESPECÍFICO ................................................................................... ............................. 4
CAPITULO 1: MARCO TEÓRICO. ................................................................................................... 5 1.
EL TEOREMA DE GREEN. ............................................................................................... .......... 5 1.1. 1.2. 1.3.
Teorema de Gr een-Ri emann . .................................................................. ................................ 6 Teorema de Gr een par a r egion egion es múlti múlti plemente conexas. conexas. ..................................................... 7 Pri ncipio D e I ndepe ndepende ndencia ncia De La T rayectoria. rayectoria. .................................................................... 7
CAPITULO 2: APLICACIÓN ............................................................................................................. 9 CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS.
................................................................................... 10 10
CONCLUSIONES .............................................................................................................................. 24 REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA) .................................................................... 25 ANEXOS............................................................................................................................................. 26
2
CALCULO III
1. INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se da a conocer el concepto y aplicación del teorema de Green así como también parte de la integral de line ya que el teorema de Green está relacionado con este. El teorema de Green nos dice que la integral de una función sobre un conjunto S = [a, b] es igual a una función relacionada (la anti-derivada) evaluada de cierta manera sobre la frontera de S, en esta caso solo consta de do puntos a y b este teorema da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. Mediante este trabajo se presentara como se desarrolla el teorema de Green del mismo modo, resolverán ejercicios relacionados a este, y finalmente se presentara una aplicación del teorema de Green. Para ello se ha seleccionado previamente bibliografía adecuada las cuales definen términos basados en el desarrollo de integrales, se exponen ecuaciones para resolver problemas de integrales de superficie y áreas. Esta síntesis presenta diferentes formas de resolver problemas de cálculo vectorial mediante el Teorema de Green.
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2. OBJETIVOS. 2.1. Objetivo General. Analizar y explicar el teorema de Green
2.2. Objetivo Específico Definir los procesos y desarrollo del teorema de Green. Aprender las aplicaciones del teorema de Green. Resolver ejercicios relacionados al teorema de Green. Desarrollar un problema de aplicación del teorema de Green.
4
CALCULO III
DESARROLLO DEL TEMA. CAPITULO 1: MARCO TEÓRICO. 1. EL TEOREMA DE GREEN. El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple s obre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad m ́ as simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que delimita la curva (CAPITULO 11: EL TEOREMA DE GREEN, s.f.)
Teorema: Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente 2 orientada, en el plano R , y sea D la unión de la región interior a C. Sea F –
(P,Q): D → R2 un campo vectorial de clase C 1. Entonces se tiene que:
Nota Histórica. El teorema de Green toma su nombre del científico inglés autodidacta George Green (1793 – 1841) quien trabajo en la panadería de su padre desde los nueve años de edad y aprendió matemáticas por sí mismo por medio de libros de la biblioteca. En 1828 publico privadamente un ensayo
titulado “An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism” (Un ensayo sobre la aplicación de l Análisis Matemático a las Teorías de la Electricidad y el Magnetismo) del
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que solo se imprimieron 100 copias, la mayor parte de las cuales fueron a parar a manos de sus amigos. El panfleto contenía un teorema que es equivalente a lo que hoy conocemos como el teorema de Green, pero no fue ampliamente conocido en aquella época. Finalmente, a los 40 años de edad, Green entro a la universidad de Cambridge pero murió cuatro años después de graduarse. En 1846 William Thompson (Lord Kelv n) encontró una copia del ensayo de Green, comprendió su importancia, y lo hizo reimprimir. (EEI, 2012)
1.1. Teorema de Green-Riemann. Sea R una región del plano simplemente conexa y acotada, y supongamos que C es la curva cerrada y simple que envuelve a la región R orientada en sentido positivo. Supondremos que la curva anterior es rectificable. Si P(x,y) y Q(x,y) son dos campos escalares definidos sobre R derivables y con derivadas parciales continuas, se verifica que:
,,
Como consecuencia de este teorema, podemos enunciar:
Teorema: Sea un campo vectorial, F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) derivable, con derivadas continuas, sobre la región R simplemente conexa y acotada, y supongamos que
en todo el conjunto R.
Entonces F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) es un campo gradiente.
Ya sabíamos también que si F era un campo gradiente resultaba que
6
CALCULO III
1.2. Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas. Sea un conjunto R del plano simplemente conexo y denominamos por C k ,
k=1,2,...n a “n” subconjuntos simplemente conexos contenidos en R. Supondremos que si C es la curva que envuelve a R y C k la que envuelve a cada R k , todas esas curvas son cerradas, regulares, simples y orientadas positivamente. En estas condiciones, si
⋃=
y admitimos que el campo vectorial
es derivable, con derivadas continuas, sobre la región T, se verifica que:
,, ∑ , , = 1.3. Principio De Independencia De La Trayectoria. Sea f(z) una función analítica en todo punto de un dominio simplemente conexo D y sean z 1 y z2 dos puntos de D. entonces, sí usamos contornos contenidos en D, el valor de
∫
no dependerá del contorno utilizado para ir de z 1 a z2.
Demostración. Sea D un dominio simplemente conexo y C 1 y C 2 dos contornos en D sin intersección que van de z 1 a z 2. Se tiene que los contornos C 1 y – C2 forman un contorno cerrado simple, que denominaremos C. Luego, por el teorema de Cauchy-Goursat.
0 Pero:
−
CALCULO III
Por lo tanto,
Lo cual indica que la integral desde z 1 hasta z2 es así independiente del contorno seguido, en tanto ese contorno se encuentre dentro de D. Del principio de la independencia de la trayectoria podemos definir la primitiva de una función de variable compleja. Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Sea z 0 en un punto de D. La función F(z) definida en D por:
Donde C es una constante compleja, se denomina integral indefinida o primitiva de f. En realidad f(z) posee un número infinito de primitivas. Dichas primitivas difieren en valores constantes y son analíticas en D, y satisfacen:
′ Usamos la integral indefinida ∫f(z) dz para indicar todas las posibles primitivas de f(z). El valor de la constante correspondiente a una primitiva específica
∫ 8
queda determinado por el límite de integración inferior.
CALCULO III
CAPITULO 2: APLICACIÓN Se dejara caer una canica por una curva que viene modelada por la ecuación: la altura desde donde carera la canica es de un 1m. al igual que la distancia horizontal que corresponde a 1m. y = 50.022x6 - 183.23x5 + 251.02x4 - 159.86x3 + 48.355x2 - 7.1929x + 1.0037.
Mediante el teorema de Green se determinara la distancia recorrida por la canica.
CALCULO III
CAPITULO 3: EJERCICIOS RESUELTOS.
1. Calcular ᶋ
, donde es da frontera del cuadrado [-1.1] x [-
1.1] orientada en sentido cntario al de las agujas del reloj.
Solución Por el tema de Green, si llamamoms D al interior del cuadrado, entonces
∬ ,, , 22∙ 8 ᶋ 0,10,1
ᶋ
como
, resultado en este caso,
2. Usar el teorema de Green para calcular es el perímetro de
, donde
en sentido positivo.
Solución: Como
2
, , ,
, entonces
. de este modo, si Des el interior del cuadrado
teorema de Green,
4
0,10,1
,por el
4 2 4 2 4 10 10
3. Sea
2 ,
CALCULO III
.
a) Calcular ᶋ F ds, donde es la circunferencia unidad recorrida en sentido antihorario.
b) Verificar el teorema de Green cuando es la frontera de región anular descrita por
≤ ≤
orientada en sentido positivo.
Solución:
2 3 3 ∬3 3, ≤1. 3 3 . 2
a) Si llamamos P(x, y) =
, Q(x, y) =
, entonces
. Por
el teorema de Green, circulo
donde D es el
Mediante un cambio a coordenadas polares, la
integral queda de la forma
b) Si aplicamos el teorema de Green, la situacion es analoga a la del apartado (a), donde ahora la region D es la corona circular a
≤
.
≤
El cambio a coordenadas polares en este caso nos conduce a
3 3 . 3∙2 4 4
CALCULO III
Si queremos resolver la integral de forma directa, debemos descomponer la trayectoria en dos curvas:
1
es la circunferencia
0 ≤≤ 0 ≤≤2 1 1 2
exterior
recorrida en sentido antihorario, y C2 la
circunferencia interior
recorrida en sentido horario. Si
parametrizamos ambas curvas como: ;
Resulta,
∫C ∫C 2 2 2 3 2 12
CALCULO III
4. Si C es una curva cerrada que limita una región D a la que se puede aplicar el teorema de Green, probar que área
∫
∫
D
D
Solución:
∬ . , 0, , 1 ∬ dxdy∬ dxdy∫ xdy. Por definición, área
D
, entonces
Si elegimos
, por el teorema de Green,
Por otra parte, la elecci´on P(x, y) = −y, Q(x, y) = 0, tambi´en conduce a la igualdad
1, aplicando nuevamente el
teorema de Green, resulta que
∫ ydx Observación. Sumando los dos resultados obtenidos, llegamos
también a la formula conocida
12 ∫ xdyydx 1.
5. Calcular el área de la elipse
Solución
CALCULO III
Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, podemos aplicar la formula
∫ xdy.
Para ello, parametrizamos la frontera de la elipse por las
ecuaciones
De este modo,
,, 0 ≤≤2
∙ 12 2 2 ∙ 2 . 6. Usar el teorema de Green para calcular la integral de línea
3
∮
, donde C es el camino de (0,0) a (1,1) sobre la gráfica de
de (1,1) a (0,0) sobre la gráfica y=x.
SOLUCIÓN
3 3 3 3 3 3 3 3 3 14
3 3 3 3 4 6
34 12 14 1 ∫
7. Calcula el área de la elipse:
SOLUCION:
Podemos aplicar la fórmula: A=
. (Aplicando teorema de gren)
Para ello, parametrizamos la frontera de la elipse por las ecuaciones X= a cos t Y= b sen t
( 0 ≤ t ≤ 2 ) De este modo:
∫ cos . ∫ + . 2
A=
= ab
8. . Calcular:
=
∫2,
CALCULO III
CALCULO III
/ j+ k , 0≤≤2
r(t)=ti+
SOLUCION:
/ ‖"‖ "2 "2 "2 √14 De r”(t)=i+2
j+tk,y
=
=
Se sigue que:
∫2 ∫2 √ 1 4 ∫ 2214 / =
=
dt
dt evaluado en 0 y 2
≈. ∮2 1
9. Mediante la fórmula de Green calcular la integral
donde Ces el circulo
Solución
∮2 ∬ 3 2 ⇒ 3 ∮2 ∬ 3 ≤1 ≤≤2 0≤≤1 . 2 ∬ 3 =
=
Pasando a coordenadas polares x=rcos ,y=sen , 0
=
16
dA
donde D:
CALCULO III
∫∫ 3
=
=
10.Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar
∫C. X dxxy dx
, donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y
(1;0), orientada positivamente.
y 1
y = 1 - x
1
x
Solución: La
gráfica
indica
Qx, y xy→ dQdx y
la
región
encerrada
por
Px, yX → dPdy 0
la
curva
C.
Tenemos:
Por lo tanto:
. . dQ dP xC dxxy dx D dx dydA − ydydx 1 y| 1x 1 1x dx 1 1x| 1 6 0 2 0 2
16
CALCULO III
11.Mientras está bajo la acción de la fuerza
⃗ ⃗
una
partícula da una vuelta a la circunferencia de radio 3, usar el teorema de Green
⃗
para hallar el trabajo realizado por .
SOLUCIÓN
∫ . ∫ ∬ 3 0≤≤2 3 3 3 4 3 4 243 2 8 [ 2 ] 2438 Pasando a coordenadas polares r=3,
12.El próximo ejemplo enseña cómo utilizar una integral de línea para hallar la masa de un muelle, en forma de hélice, de densidad variable. En la figura 14.11, 18
CALCULO III
téngase en cuenta que la densidad aumenta conforme la hélice asciende entorno al eje z.
Calcular la masa de un muelle que tiene la forma de la hélice circular
0≤≤6 ,, 1 14.11
√
r(t)= (costi+sentj+tk),
Si la densidad del muelle viene dada por
SOLUCIÓN
‖"‖ √ 2212 =
=1
La masa del muelle es: Masa=
∫1 ∫ √ ≈. ∮ =
(1+
) dt
Integrando y evaluando en 0 y 6 se tiene:
13.Utilice el Teorema de Green para calcular la integral
2
, donde C es la frontera de la región situada en el interior del
CALCULO III
rectángulo limitado por X=-5, X=5, Y=-3, Y=3 y en el exterior del cuadrado limitado por X=-2, x=1, Y=-1, Y=1
∬21 ∫− ∫− ∫− ∫− ∫− (3 3) ∫− (1 1) ∫− 6 ∫− 2 (55). 6 211 =
=
=
=
=
=56
20
CALCULO III
14.Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros. y
Solución: C 2 a
b
x
Determinaremos el momento de inercia respecto al diámetro colonial con el eje x. De Física sabemos que:
C 1
I x
y
2
dA
D
Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es homogénea. Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo: Q P D x y dA C Pdx Qdy C Pdx Qdy 1
2
Por lo tanto, podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que: Q P y 2 ; tomamos, por ejemplo : Q 0 ; P 13 y 3 x y
Aplicando Green con esta función tenemos:
CALCULO III I x
y
2
1
C 2
dA 13 y 3 dx 0dy 13 y 3 dx 0dy
C
D
3 3 1 1 y dx y dx 3 3 C (1) C
1
2
Parame trizando estas curvas tenemos x b cos t dx b sen t C 1 , 0 t 2 y b sen t dy b cos t x a cos t dx a sen t C 2 , 0 t 2 y a sen t dy a cos t
Reemplazando con esto en (1) tendremos: I x
b
13
b
1 3
1 4
b
2
4
4
2
0
13 b 3 sen 3 t (b sen t )dt
a
2
0
4
2
0
sen t 1 cos t dt 2
2
a 3 sen 3 t (a sen t )dt 13 b 4 a 4
1 3
b
1 3
2 1 cos t 1 cos 4t a 4 dt 0 8 2
4
a
4
b
1 4
2
0
4
2
0
sen 4 tdt
2 sen 2 2t sen t dt 4
a 4
1 4
b
2
a 2 b 2 a 2
a 2 M
Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido.
15.Calcular
∫ 0 (
Donde C es el camino que encierra la región anular de la figura 14.31
22
CALCULO III
Solución: En coordenadas polares, R viene dada por
͟ааN ͟ааM=-2x-2y=-2(rcos
1≤≤3 0≤≤ y
, Ademas
Así pues por el teorema de Green:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 (
=
=
=
-2(x+y) dA
CALCULO III
CONCLUSIONES
Analizamos las Integrales de línea independiente de la trayectoria.
Explicamos el Teorema de Green.
Definimos integrales de línea.
Comparamos las diferentes definiciones de la bibliografía escogida.
Definimos los procesos y desarrollo del teorema de Green.
Resolvimos ejercicios y problemas usando ecuaciones las Integrales de línea independiente de la trayectoria y a la vez los Teoremas de integrales de línea entre ellos el Teorema de Green.
Aprendimos los métodos existentes para resolver las Integrales de línea independiente de la trayectoria.
24
Aprendimos las aplicaciones de este tipo de integrales de línea.
CALCULO III
REFERENCIAS CONSULTADAS (BIBLIOGRAFIA)
Integrales de línea. Teorema de Green, José Antonio Vallejo
http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-alculus/line_integrals_topicntegrales de línea, ISABEL MARRERO, Departamento de Análisis Matemático
http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/ lineavec/lineavec.html
CAPITULO 11: EL TEOREMA DE GREEN. (s.f.). Obtenido de https://eva.fing.edu.uy/pluginfile.php/117590/mod_resource/content/1/cap11-green.pdf
EEI. (8 de Febrero de 2012). Demostración y aplicaciones del teorema de Green . Obtenido de http://torricelli.uvigo.es/web_de_E.Faro/Calculo_II/Apuntes_files/clase_08.pdf
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ANEXOS
Modela a escala de la curva para aplicar el teorema de Green.
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