Universidad Nacional autónoma De México “FES ARAGON” ra!a"o #inal
eoremas de Sto$es % Gauss
Enri&ue 'sao luna Mende(
Gru)o* ++,-
'NG. Mecanica
/alculo vectorial
Los teoremas de Stokes y Gauss Los teoremas de Stokes y Gauss proporcionarán la interpretación física de los conceptos de rotacional y divergencia, con cuya definición y propiedades comenzamos esta sección. El rotacional y la divergencia de un campo vectorial Sea ▼ el operador
ecu!rdese "ue el gradiente de un campo escalar # $ %& viene dado por
El teorema de Stokes, "ue es una generalización del teorema de Green en cuanto "ue relaciona la integral de un campo vectorial so're una curva cerrada "ue es 'orde de una superficie param!trica simple con la integral de su rotacional en dic(a superficie) y tam'i!n el teorema de Gauss de la divergencia, "ue puede verse como una versión tridimensional del teorema de Green, al relacionar la integral de un campo vectorial en una superficie cerrada "ue es 'orde de un sólido tridi*mensional con la integral de su divergencia en el interior de dic(o sólido. En realidad estos tres teoremas pueden verse como generalizaciones del segun* do teorema fundamental del cálculo a funciones de varias varia'les, y a su vez son casos particulares de una versión general del teorema de Stokes para variedades diferencia'les de dimensión ar'itraria "ue se estudia en cursos su*periores +para enunciar y demostrar este teorema más general se re"uiere el desarrollo de una teoría de formas diferenciales y el uso de particiones difer*encia'les de la unidad, lo "ue no (aremos en este curso por falta de tiempo) el lector interesado puede consultar el li'ro de ic(ael Spivak /0lculo en variedades , editorial evert!, &-/. 0ara enunciar el teorema de Stokes para superficies en 1 necesitamos definir lo "ue es el rotacional de un campo vectorial . Si F 2 A 1 1 es un campo vectorial de clase / & definido en un a'ierto A de 1 , se define el rotacional del campo F 3 +23 43 R /, y se denota por r otF , como
4eorema +de Stokes/ Sea S una superficie param!trica simple con 'orde 5S, parametrizada por 6 2 7 8 S, donde 7 es la región interior a una curva cerrada simple % regular a trozos en $ orientada positivamente, y 5S 3 6+%/ se supone orientada en el sentido "ue resulte de componer % con 6. Sea 9 un campo vectorial de clase %& definido en un entorno a'ierto de S en 1, y con valores en 1. Entonces se tiene "ue
:tra forma de escri'ir la igualdad de estas integrales es la siguiente2
donde dy ∧ dz, dz
∧ d;,
d;
∧ dy
denotan, respectivamente,
e"uivale a escri'ir
Es interesante o'servar "ue cuando S es una región del plano x% k el encerrada por una curva cerrada simple regular a trozos y n teorema de Stokes se reduce a la fórmula de Green 3
<=n más instructivo resulta constatar "ue la demostración del teorema de Stokes consiste esencialmente +aparte de cálculos/ en aplicar tres veces el la fórmula de Green, como vemos a continuación. 7emostración del teorema de Stokes2 >astará pro'ar las tres igual*dades siguientes2
ya "ue sumándolas o'tenemos + ∗/. 0uesto "ue la demostración de las tres fórmulas es totalmente análoga, nos contentaremos con pro'ar la primera de ellas. ?ay "ue demostrar pues "ue
7enotemos f+u, v/ 3 0 +;+u, v/, y+u, v/, z+u, v//. <(ora utilizaremos la fórmu* La
"ue no es difícil compro'ar +v!ase el e#ercicio &1.1/. @tilizando esta igualdad y el teorema de Green en el primer miem'ro de +&/ o'tenemos
Sea A 3 +u+t/, v+t//, t ∈ Ba, 'C, una parametrización de % ⊂ $ recorrida en sentido positivo, entonces 6 D A+t/ 3 +;+u+t/, v+t//, y+u+t/, v+t//, z+u+t/, v+t//, t ∈ Ba, 'C, es una parametrización admisi'le de 5S, y
es decir
lo "ue com'inado con +1/ nos da +&/.
El teorema de Stokes puede aplicarse a muc(as más superficies "ue las param!tricas simples "ue figuran en su enunciado. 0or e#emplo, se puede aplicar a un cilindro del tipo ;$ F y$ 3 , a H z H '. En efecto, al cortar el cilindro por el plano ; 3 o'tenemos una descomposición de en dos superficies param!tricas simples & y $ "ue podemos orientar de modo "ue sus 'ordes, en los segmentos por donde se pegan +"ue llamaremos costuras/ tengan orientaciones opuestas. Esto e"uivale a decir "ue la normal e;terior unitaria en & y $ apunta siempre (acia afuera del cilindro . ?ágase un di'u#o. Sea 9 un campo vectorial de clase %& en .
y el teorema de Stokes vale para . %onsideremos a(ora el caso de una esfera S en 1, "ue tampoco es una superficie param!trica simple, pero "ue puede descomponerse en dos "ue sí lo son2 el (emisferio norte SF y el (emisferio sur S*, pegadas por el ecuador %. %ada (emisferio puede orientarse de modo "ue la curva % del ecuador se recorre en sentido inverso seg=n se la considere com perteneciente a uno u otro (emisferio. Esto lo podemos resumir con la notación %5SF 3 % 3 *5S*.
es decir, el teorema de Stokes se cumple para la esfera S entendi!ndose "ue, como no tiene 'orde, la integral de 9 so're dic(o 'orde ine;istente se define como cero. Lo mismo vale para un toro +ver el e#ercicio &1.I/, y de (ec(o puede pro'arse "ue para cual"uier superficie compacta y sin 'orde de 1 se tiene "ue
En realidad la =nica propiedad "ue de'e cumplir una superficie S de 1 +"uizás con 'orde/ para poderle aplicar el teorema de Stokes es "ue S pueda descomponerse en una cantidad finita de superficies param!tricas simples con 'orde orientadas y pegadas unas con otras de tal manera "ue cada trozo de 'orde "ue pertenezca a la vez a dos de estas superficies se recorra en sentido inverso seg=n pertenezca a una o a otra de estas superficies. Es claro "ue, para una
superficie S fa'ricada de esta manera, el tipo de argumento usado para el cilindro, la esfera o el toro, permite esta'lecer la validez del teorema de Stokes. Esta propiedad e"uivale a pedir "ue se pueda definir so're S un campo vectorial continuo de vectores normales a S "ue no se anula en ning=n punto +o lo "ue es lo mismo, "ue e;ista una aplicación continua n 2 S 8 1 tal "ue n+p/ 3 & y n+p/ ⊥ 4 Sp para todo p ∈ S/. < las superficies con esta propiedad se les llama orienta'les. Sin em'argo e;isten superficies "ue no son orienta'les y a las "ue no se les puede aplicar el teorema de Stokes. El e#emplo típico en 1 es la 'anda de oe'ius, superficie "ue se puede fa'ricar tomando una 'anda plana y pegando un e;tremo con otro despu!s de dar media vuelta a uno de ellos. La superficie así construida, aun"ue localmente pueda parecer lo contrario, tiene una sola cara y un sólo 'orde, "ue forma una curva cerrada simple. Si fa'ricamos con papel y pegamento un modelo > de la 'anda de oe'ius vemos "ue, dado cual"uier punto de la 'anda, se puede di'u#ar un camino continuo dentro de la 'anda "ue empieza en ese punto por una cara determi*nada y aca'a en el mismo punto pero por la otra cara, y sin tocar en ning=n momento el 'orde de la 'anda. Si a(ora intentamos transportar continua*mente a lo largo de este camino un vector de norma uno n perpendicular a la superficie, vemos "ue al volver al punto inicial el vector apunta en sentido opuesto. Esto (ace ver "ue es imposi'le definir un campo de vectores de norma uno y perpendiculares a > "ue sea continuo en todos los puntos, es decir, > no es orienta'le. 0or otra parte, no es difícil ver "ue el teorema de Stokes falla en >. En efecto, podemos dividir > en dos superficies param!tricas simples >& y >$ o'tenidos al cortar > transversalmente por dos sitios diferentes. 0ero resulta imposi'le orientar >& y >$ de modo "ue, en los segmentos donde se pegan, las orientaciones del 'orde de >& y del 'orde de >$ sean opuestas. Esto supone "ue si aplicamos el teorema de Stokes a >& y >$ y sumamos las igualdades o'tenidas vamos a deducir "ue
donde L es uno de esos dos segmentos donde se pegan >& y >$, y %&, ..., %J
son los cuatro trozos de 5> generados al cortar > en >& más >$) esto sucede por"ue las orientaciones de >& y >$ son opuestas en uno de los segmentos donde estas piezas se pegan +a lo largo de este segmento las integrales de línea se cancelan una con otra/, y la misma en el otro +al "ue llamamos L, y so're el cual las integrales se suman en vez de cancelarse/. Es fácil ver "ue e;isten campos vectoriales 9 de clase %& tales "ue 9 3 en 5> pero 9 K ds 3 . 0ara estos campos se tiene, por lo anterior, "ue
y tam'i!n
0or tanto, si el teorema de Stokes fuera cierto en > para uno de estos campos 9 K ds 3 , una contradicción. < propósito de la 'anda de oe'ius, es interesante sealar "ue si por su 'orde, "ue es (omeomorfo a una circunferencia, pegamos un círculo entonces, o'tenemos una superficie "ue es (omeomorfa al plano proyectivo +y "ue a su vez es el prototipo de superficie compacta sin 'orde y no orienta'le/. Esta operación no puede realizarse en 1 sin incurrir en intersecciones de la nueva superficie consigo misma) se necesitan cuatro dimensiones por lo menos para poder llevarla a ca'o. 7ic(o de otro modo, el plano proyectivo ca'e en J, pero no en 1. Sin em'argo podemos dar una demostración visual de "ue el plano proyectivo menos un círculo es igual a una 'anda de oe'ius. En efecto, el plano proyectivo se define como la clase de e"uivalencia de todas las rectas vectoriales de 1, o lo "ue es lo mismo, como el con#unto cociente de una esfera por la relación de e"uivalencia "ue consiste en identificar cada punto de la esfera con su antipodal +más llanamente, el plano proyectivo es un mundo en el "ue un seor es el mismo seor "ue se encuentra en sus antípodas/. Si a esta esfera con los puntos antipodales identificados le "uitamos un cas"uete polar del (emisferio norte, y por tanto tam'i!n el mismo cas"uete polar del (emisferio sur, "ue son identifica'les a un círculo en el plano proyectivo, o'tenemos una 'anda cerrada > en la "ue los puntos antipodales siguen estando identificados. 0uesto "ue cada punto de > entre el meridiano de GreenMic( y el de longitud & está identificado con su antipodal situado en un meridiano mayor o igual "ue & y menor o igual "ue 1I, podemos prescindir de todos los puntos de longitud mayor "ue &, "uedándonos con un sólo representante de cada clase de e"uivalencia para los puntos de longitud en el intervalo +, &/, teniendo en cuenta "ue los puntos de > "ue están en el meridiano se siguen identificando con sus antipodales del meridiano &. Es decir, > es una 'anda en la "ue sus lados e;tremos se (an pegado dando media vuelta previa a uno de ellos, o sea la 'anda de oe'ius. 0asamos a(ora a estudiar el =ltimo teorema del curso, el de Gauss de la divergencia. Llamaremos sólido simple a todo con#unto compacto N de 1 (omeomorfo a una 'ola y cuya frontera 5N es una superficie orienta'le +"ue puede descomponerse en una cantidad finita de superficies param!tricas simples con 'ordes, orientadas de tal manera "ue en los trozos de curva donde dos de estas superficies se peguen, las orientaciones sean opuestas/. Supondremos "ue dic(a frontera está orientada con la normal unitaria n apuntando (acia el e;terior de N .
ecordemos "ue la divergencia de un campo vectorial 9 3 +0, O, / en 1 se define por
4eorema &1.$ +de Gauss de la divergencia/ Sea N un sólido simple de 1 y S 3 5N su 'orde, orientado con la normal unitaria e;terior n. Sea 9 2 N 8 1 un campo vectorial de clase %&. Entonces
7emostración2 ?aremos la demostración suponiendo "ue N es un sólido proyecta'le ;y, proyecta'le yz, y proyecta'le ;z. Oue N sea proyecta'le ;y significa "ue "ue N puede escri'irse las manera siguiente2
donde 7 es una región del plano ;y limitada por una curva cerrada simple regular a trozos, y ϕ, P 2 7 8 son funciones de clase %& en 7) es decir, N puede verse como lo "ue "ueda entre las gráficas de dos funciones de clase %& definidas en la proyección de N so're el plano ;y.
donde 7, ϕ, P cumplen las condiciones e;plicitadas anteriormente, y te*nemos, aplicando el teorema de 9u'ini, "ue
%alculemos por otra parte la integral
0or otro lado la normal n apunta (acia arri'a en S$ y (acia a'a#o en S&, de modo "ue, al calcular las integrales
mientras "ue
0or tanto
lo "ue com'inado con +J/ nos da
y que
9inalmente, sumando +Q/, +I/ y +R/ o'tenemos "ue
es decir el enunciado del teorema para sólidos proyecta'les en cual"uiera de las tres direcciones de los e#es. La clase de dic(os sólidos incluye las 'olas y en general todos los sólidos conve;os de 1. @na vez demostrado el teorema de Gauss para sólidos conve;os, podría e;tenderse a sólidos N "ue sean %$*difeomorfos a la 'ola unidad, usando el teorema del cam'io de varia'le de manera análoga a la del pro'lema &&.&$, aun"ue los cálculos son en este caso muc(o más complicados. 4am'i!n podría e;tenderse a los sólidos más generales del enunciado siguiendo un procedimiento análogo a la parte final de la demostración del teorema de Green2 se apro;imaría la superficie S por una superficie S for*mada por caras de triángulos orientados +y pegados unos con otros de modo "ue los lados "ue sean comunes a dos triángulos tengan orientaciones opues*tas seg=n se vean como pertenecientes a uno u otro triángulo/, y esta nueva superficie S sería la frontera de un sólido N "ue podría descomponerse en unión de poliedros conve;os orientados de modo "ue dos caras contiguas tengan normales unitarias "ue apuntan en sentido opuesto. El teorema de la divergencia es válido para N y S , es decir
(aciendo tender a cero se o'tendría en resultado general. esultaría muy engorroso, sin em'argo, detallar con cuidado este es"ue*ma de demostración. Llegados a este punto, y una vez "ue el lector (aya desarrollado su intuición so're los teoremas de Green, Stokes y Gauss, y se (aya e#ercitado con ellos, lo más recomenda'le sería pasar a estudiar las (erramientas +a sa'er, formas diferenciales y particiones de la unidad/ "ue permiten enunciar y demostrar la versión general de estos teoremas para variedades diferencia'les en n. emitimos al lector interesado al li'ro de Spivak citado al comienzo de este capítulo. Tgual "ue ocurría con el teorema de Stokes, el teorema de Gauss es válido para muc(os más sólidos "ue los del enunciado. 0or e#emplo, es fácil ver "ue el teorema de la divergencia es válido para cual"uier sólido (omeomorfo a una 'ola agu#ereada del tipo N 3 U+;, y, z/ ∈ 1 2 & H ;$ Fy$ Fz$ H $V cuya frontera se componga de dos superficies orientadas con la normal e;terior +sin em'argo, en la frontera ;$ F y$ F z$ 3 & del agu#ero, e;terior en este caso significa "ue n apunta para adentro del agu#ero/. 4am'i!n es fácil ver "ue el teorema de Gauss es válido para cual"uier toro en 1, o incluso una suma cone;a de una cantidad finita de toros en 1. Lo importante en todos estos casos es "ue el sólido N considerado pueda descomponerse en una cantidad finita de sólidos simples orientados de tal modo "ue en las superficies donde dos de estos sólidos se pegan, las normales apunten en sentido contrario. 7e (ec(o puede demostrarse, aun"ue no lo (aremos a"uí, "ue toda su*perficie S compacta sin 'orde en 1 es orienta'le, y el teorema de Gauss es válido para el sólido N limitado por S.
