Teorema Stokes

T E O R EM EM A S T OK ES A ndi Pr Pr a t a ma Fiq a Adh A D Ism Isma Il Ja uha r i Na dia Sha bil l a

Te o r e m a St o ke ke s

M i sa l k a n S a d al a l a h p e rm r m u ka k a a n b e ra r a r ah a h d al alam r u an a n g d e ng n g a n b at a t as a s- b at a t as a sn ya y a a d al a l a h k u r va va C y ang tert ut up, dan da n m isa isa lkan lkan a d al a l a h f u n gs g si v e k t o r k o n t in i n u y a n g m e m p u ny n yai t u r u n an a n p ar a r si a l p er e r t am a m a y a n g ko ko n t in i n u d al alam d o m a i n y an a n g m e m u at a t S, m a k a

D a r i r u m u s d i a t as a s d ap a p at a t d i si si m p u l ka k a n , i n t e gr g r al al g a ris dari sebuah ebua h vektor ve ktor F yang yang m engel eng elililing ingii se b u ah a h k u r va v a t e r t u t u p se de d e rh r h an a n a C sa m a d e n ga ga n integra integrall perm ukaa uka a n dari c url F m ela el a lui sebarang ebar ang perm ukaan uka an S dengan deng an C sebagai ebagai batasnya.

Te r d ap ap at a t b i d an a n g A y an a n g d i b at at a si si o l eh e h k u r va va B, se se h in i n g ga ga k itit a a ka ka n m e m b u k t i ka k a n t e o r em e m a st o k es e s:

Dik Dik etahui A m emiliki emili ki param param eter , sehingg ehing ga A b e rk r k o r es e sp o d en e n si si t e rh r h ad a d ap a p d ae a e ra ra h R d i b id i d an a n g s d an a n t d an an B b e r ko ko r e sp sp o n d e n si si d i b a t as as C t e r h ad a d a p R. Pe r t am am aa - t am am a, a , u ba b a h i n t eg eg r a l ga ga r i s t er er h a d ap ap i n t eg eg r a l ga ga r i s se k i t ar ar C:

Ja d i j i k a k itit a t e n t u ka k a n a se b ag a g a i v e kt kt o r d i m e n si 2 d i d i b i d a n g st m a k a : d an se h i n g g a

G u n ak a k a n v e k t o r sa t u an a n s u n t u k m e n u nj n j u kk kkan p o si si si v e k t o r t iti t ik i k a t er e r ha h a d ap a p b id i d an a n g st .

  ⃗    ⃗  ⃗ ⃗ ⃗          ⃗   ⃗     ⃗  − .

.

=

.

×

×

.

2

=

 

1

          ⃗ ⃗   −   .

2

=

1

 ⃗ ⃗  ⃗ ⃗ .

=

.

SOAL 4 .a .a M i sa l k a n S a d al a l a h p e rm r m u ka k a a n b e ra r a r ah ah d al a l a m r u an an g dengan deng an batas-ba batas-batas tasny nyaa adala ada lahh kurva kurv a C y ang tert ut up, dan m isal isalkk an F( x , y, z) adala ada lahh fungsi fungsi vektor ve ktor k ont inu yang yang m e m p u n ya y a i t u r u n an a n p ar a r si si a l p e rt r t a m a y a n g k o n t i n u d al alam d o m a i n ya y a n g m e m u at a t S, m a ka ka H itit u n g , j ik ik a S a d al alah p e r m u ka k a an an se t e n ga ga h b o l a x2 + y 2 + z2 = 1 d a n d a n v e k t or or n o r m a l 1 sa s a t u a n k e ar a r ah ah a t a s. s. 4 .b .b M i sa l ka ka n d e n ga g a n l in in g ka ka ra r a n x2 + y 2 =1, z = 1. Tu Tu n ju kkan b a h w a an a n S a d al a l a h p a ra r a b o lo l o i d z = x2 + y 2 ,

4 .a Jawab: C: batas ba tas dar darii S y aitu aitu suatu ua tu ling li ngkk aran ar an denga deng a n pers per sa m aan aan x 2 + y 2 =1, z=0. Pers. Param Param et er : x= cost, y= sint , z=0 z=0 B erdas erda sarkan arkan teorem a Sto k es: es: •

Ja w a b an a n so al a l 4 .b .b a ) M e n g h i t un ung ( k u r va v a y a n g m e m b at a t a si si d a er e r ah a h ) a d al alah se b u ah a h l i n gk g k a r an a n p ad a d a b id i d a n g XO Y d e n ga ga n d an a n p u sa sa t ( 0 ,0 ,0 ). ). M i sa l k itit a m e n gg g g a m b ar a r ka kan m enggun engg un akan akan persam persam aan-pers aa n-persam am aan aa n parametrik

m a k a d ip i p e ro r o le l e h: h:

b ) M e n gh g h iti t u n g

Se h in i n gg g g a d ip i p e ro r o le l e h m e d an a n v e kt kt o r M a k a M = z, N =0 = 0 , d an a n P= - 2 .

B erdas erdasarka arka n teorem a integ inte g ral ra l perm ukaa ukaa n yaitu: yaitu:

Diperoleh:

D e n ga ga n k o o rd r d in i n at a t k u t u b d ip i p er e r o le l e h b at a t as a s R, sehingga

nuhun