TEOREMAS DE CASTIGLIANO
Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), un ingeniero italiano, conocido por sus aportaciones en el estudio de las estructuras estáticamente indeterminada adas, publicó alrededor de 1879, dos teoremas relacionados con tales estructuras que en la actualidad se conocen como co mo el rim rimer ero o ! "egu "egund ndo o #e #eor orem emas as de Ca Cast stig igli lian ano$ o$ %l rim rimer er #eorema trata de las relaciones entre cargas ! despla&amientos con la energ'a interna de deormación en estructuras elásticas lineales$ %l segu se gund ndo o teor teorem ema, a, co cono noci cido do tamb tambi in n co como mo m mto todo do del del #rab #raba* a*o o +'ni +'nimo mo,, se apli aplica ca en el anál anális isis is de es estr truc uctu tura rass inde indete term rmin inad adas as,, particularmente armaduras, igas continuas ! marcos r'gidos$ 1. PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO.
%l teorema se escribe ./a primera deriada parcial de la energ'a de deormación total de la estructura, con respecto a una de las cargas aplicadas, es igual al despla&amiento en el sentido de la carga0$ ara estructuras sometidas sometidas a leión, leión, (igas ! marcos) el teorema teorema se epresa de la siguiente manera Desplazamientos lineales: L
=
∫
Mx
0
∂M x dx ∂ P EI
Giros o rotaciones L
=
∫
Mx
0
∂M x d x ∂ M EI
2onde 3 2espla&amiento 2espla&amiento lineal en el punto de aplicación aplicación de la carga $ punto donde se aplica aplica un momento +$ θ 3 iro o rotación del punto + 3 %cuación de momentos a lo largo de la estructura$ %5 3 6igide& a la leión$ +ódulo elástico elástico por momento momento de inercia de la sección$ ∂ 3 "igniica deriada parcial$ δ
PARA ARCOS: =
∫
M
0
∂M ∂P
rd EI
=
∫
M
0
∂M ∂M
rd EI
r 3 6adio del arco + 3 %cuación de momentos a una abertura θ$ Cuan Cuando do se busc busca a un desp despla la&a &ami mien ento to line lineal al en un punt punto o de la estructura debe colocarse una carga puntual .0 en ese punto ! en la dirección deseada$ Cuando se busca un giro o rotación, se coloca un momento de intensidad .+0$ Cuando ! + eisten en el punto debe sustituirse su alor despus de aber deriado e integrado$ "i ! + no eis eiste ten n en es ese e punt punto, o, ento entonc nces es su alo alorr es ce cero ro,, pero pero debe debe sustituirse despus de aber deriado e integrado$ θ
PARA ARMADRAS "olo se calculan despla&amientos lineales$ =
∑ n
1
S
∂S ∂P
L AE
2onde " 3 uer&a interna en las barras de la armadura para la carga aplicada ! para la carga $ / 3 /ongitud de cada barra de la armadura$ A% 3 6igide& 6igide& aial de las barras barras área por módulo módulo elástico$ 3 Carga puntual, real o imaginaria$ %n alguno algunoss ca caso soss es cone coneni nien ente te que que prim primer ero o se obten obtenga gan n las las ecuaciones de momento para las cargas reales ! despus para la carga , o el momento + ! luego se suman por superposición$ /o mismo para las armaduras, primero se obtienen las uer&as internas para la carga real ! luego para la carga $ /a aplicación de este teorema requiere que la estructura sea estable ! estáticamente determinada$ roblema 1$ ara la iga simple en oladi&o de la igura 1, determinar la leca ! la pendiente pendiente en el etremo libre$ #omar %5 %5 constante$ 500 kg
3.00 m mmm
Fig. 1
!lec"a en el e#tremo li$re$ "ustituir la carga de :;;
luego escribir la ecuación de momentos$
=
∫
M
0
∂M ∂M
rd EI
r 3 6adio del arco + 3 %cuación de momentos a una abertura θ$ Cuan Cuando do se busc busca a un desp despla la&a &ami mien ento to line lineal al en un punt punto o de la estructura debe colocarse una carga puntual .0 en ese punto ! en la dirección deseada$ Cuando se busca un giro o rotación, se coloca un momento de intensidad .+0$ Cuando ! + eisten en el punto debe sustituirse su alor despus de aber deriado e integrado$ "i ! + no eis eiste ten n en es ese e punt punto, o, ento entonc nces es su alo alorr es ce cero ro,, pero pero debe debe sustituirse despus de aber deriado e integrado$ θ
PARA ARMADRAS "olo se calculan despla&amientos lineales$ =
∑ n
1
S
∂S ∂P
L AE
2onde " 3 uer&a interna en las barras de la armadura para la carga aplicada ! para la carga $ / 3 /ongitud de cada barra de la armadura$ A% 3 6igide& 6igide& aial de las barras barras área por módulo módulo elástico$ 3 Carga puntual, real o imaginaria$ %n alguno algunoss ca caso soss es cone coneni nien ente te que que prim primer ero o se obten obtenga gan n las las ecuaciones de momento para las cargas reales ! despus para la carga , o el momento + ! luego se suman por superposición$ /o mismo para las armaduras, primero se obtienen las uer&as internas para la carga real ! luego para la carga $ /a aplicación de este teorema requiere que la estructura sea estable ! estáticamente determinada$ roblema 1$ ara la iga simple en oladi&o de la igura 1, determinar la leca ! la pendiente pendiente en el etremo libre$ #omar %5 %5 constante$ 500 kg
3.00 m mmm
Fig. 1
!lec"a en el e#tremo li$re$ "ustituir la carga de :;;
luego escribir la ecuación de momentos$
P
+ x
"e consideran momentos positios girando en dirección oraria$ + = − >
;≤ ≤ =
?btener la deriada parcial respecto a la carga $ ∂+ = −> ∂
?btener la leca en el etremo libre$ δ
=
=
d
−> ( −> ) ∫ ; %5
=
> = = = =%5 ;
"ustitu!endo los l'mites ! el alor de por :;;
4500 EI
%l signo positio indica que el despla&amiento es en dirección de la carga $ Pen%ie Pen%iente nte en el e#trem e#tremo o li$re li$re Colocar un momento + en el
etr etrem emo o libr libre e en cual cualqu quie ierr dire direcc cció ión$ n$ lan lante tear ar la ec ecua uaci ción ón de momentos para la carga real ! para el momento + ! luego integrar el producto de la ecuación de momentos ! la deriada parcial respecto a +$ 500 kg
M
X
+ = − :;; − +
∂+ = −1 ∂+
;≤ ≤ =
3.00 m mmm
φ
=
=
∫ ;
[ −:;; − + ] [ −1]
d %5
%liminar .+0 por ser imaginario$ 500 x
3
2
2 EI
2, 250 .00
0
EI
in del problema$
roblema @$ ara la iga simple en oladi&o de la igura @, calcule la leca en el etremo libre$ #omar %5 constante$ 300 Kg./m
4m Figura 2.
ara calcular la leca en el etremo libre debe colocarse una carga puntual .0 en ese etremo ! luego escribirse las ecuaciones de momento para la carga real ! para la carga $ "e obtiene la deriada parcial para multiplicar por la ecuación de momentos ! luego integrar$ P
300 Kg./m
x
+
= − − 1:;@
∂+ = − ∂ 4 δ
=
d @ ∫ [ − −1:; ][ −] %5 ;
4
1:; 1: ; 4 9,;; δ = = 4 %5 %5 ;
9,600 .00 EI
in del problema$
-- "e a a eliminado .0 por ser imaginaria$
roblema =$ ara ara la iga simple de la igura =, calcule la pendiente en el etremo i&quierdo ! la leca máima$ #omar %5 constante$
600 kg./m
10 m Fig. 3
%cuaciones de momento para la carga aplicada$ 600 kg./m
3000
x
3000
+ 3 =;; - =;;@ ; ≤ ≤ 1; Pen%iente en el e#tremo iz&'ier%o. Colocar un momento de
intensidad .m0 en el apo!o i&quierdo, (en cualquier dirección) ! obtener la ecuación de momentos$ m m/10
m =
m − m 1;
x
m/10
; ≤ ≤ 1;
/a pendiente se obtiene con la ecuación %5 φ
=
/
∫ ;
+
∂+ ∂+
d
+ = =;;; − =;; @ +
momento .m0$
m 1;
− m--- "e an sumado caga caga aplicada !
2e aqu' se obtiene la deriada parcial respecto a .m0 ! luego se le elimina por ser imaginaria$ %5 φ1 =
@ [ − ] 1; − 1 d =;;; =;; ∫ ; 1;
1;
=;;; = =;; 4 =;;; @ =;; = − − + %5 φ1 = =; 4; @ = ;
"ustitu!endo los l'mites φ1
*+)((( .(( EI
!lec"a m,#ima. "e coloca carga .0 imaginaria al centro del claro,
!a que en este punto la leca es máima$ P
0.5P
+ & = ;$:;
0.5P
x
;≤ ≤ :
∂+ = ;$:; ∂
2ebido a la simetr'a se anali&a la mitad de la iga multiplicando por @$ %5 δ +á =
/
∫ ;
+
∂+ d ∂
:
%5 δ +á$ = @∫ [=;;; − =;; @ ][;$:;] d ;
:
1:;; = 1:; 4 %5 δ +á$ =@ − = 4 ;
= 78,1@:$;
in del problema$
roblema 4$ ara el marco simple de la igura 4, determine el giro del nodo .10 ! el despla&amiento ori&ontal del nodo0=0$ 300 Kg. 2
3
5.00 1
8.00 m Figr! 4. M!r"# $im%&'
%cuaciones de momento para la carga aplicada$ x
)
300 Kg. 1500
Criterio de signos 18(.50 x 300 18(.50
+ = =;; ;≤ ≤ : + = 1:;;− 187$:;
;≤ ≤ 8
Giro en el no%o 1. 2ebe colocarse un momento de magnitud +, en
el nodo 1, en cualquier dirección$ 2e las ecuaciones de momento que aqu' resulten se obtiene la deriada parcial respecto a + ! multiplicarse por las ecuaciones de momento de la carga aplicada$ x M
M/8 x M
M/8
+ = +
;≤ ≤ :
+ = (+ −
%5 φ1
%5 φ1
+ 8
:
) ;≤ ≤ 8
= ∫ [ =;;] [1] d + ;
8
∫ ;
[1:;;− 187$:;] 1 −
d 8
8 =;;@ : 187$:;@ 1:;;@ 187$:;= = − + + 1:;; − @ @ 1 @4 ; ;
( ,(50 .00 1
EI
Desplazamiento "orizontal %el no%o -$Colocar una carga
ori&ontal puntual .0 en el nodo =$ 2e las ecuaciones de momento
que resulten, obtener la deriada parcial ! multiplicarlas por las ecuaciones de momento de la carga aplicada$ x P 5P 5P/8 x P
5P/8
+ = +
;≤ ≤ : : ;≤ ≤8 = : − 8
%5 δ =
%5 δ =
=
:
∫ ;
[ =;;][ ] d +
∫ [1:;;− 187$:;] : − 8
:
;
8
d
8 =;;= : 9=7 $:;@ 7:;;@ 9=7 $:;= = − + + 7:;; − @ 1 @4 = ; ;
32 ,500 .00 3
EI
in del problema$
roblema :$ ara el marco simple de la igura :, calcule el despla&amiento ori&ontal en el nodo @$ #omar %5, constante$ %l soporte 4 es móil$ 300 kg/m 2
2.00
3
800 kg
3.00
2.00
1000 kg 1
2.00 4
10 m Figr! 5. M!r"# $im%&' X2
Calcular ecuaciones de momento para la carga aplicada$ 300 2400
3000
800 X1
1000
x
200
X3 2
1440 1560
Criterio de signos )
+
= − @;;
;≤ ≤ @
+1
= −@;;1 − 8;;(1 − @) = −1;;;1 + 1;;
@ ≤ 1
≤4
+ @ = 144;@ − 1:;@ ; ≤ @ ≤ 1; @ − @4;; + = = 1;;;(= − @) @ ≤ = ≤ :
Colocar carga ori&ontal .0 en el nodo @ ! obtener ecuaciones de momentos$ X2 P 4P
x
P 00
0.4P
X3
0.4P
+ = +1 =
;≤ ≤ 4
+ @ = 4 − ;$4 @ +1 = = ;
; ≤ ≤ 1;
;≤ 1 ≤ :
El %esplazamiento "orizontal es: 2
4
! δ 2 = ∫ −200 x ( x ) dx +∫ 0
2
@
%5 δ @
10
[ −1000 x 1 +1600] ( x 1 ) dx 1 +∫ ( 1440 x 2 −150 x 22 − 2400 ) ( 4
= @ @;; = 1;;; 1 1;; 1 =− + + − = = @ ;
0
4
@
1;
4(144; @ 4(1:; = @) @) + − − 4(@4;; @ ) @ = ; 1;
4 ;$4;(144; = ;$4;(1:; @ ) ;$4;(@4;; @ @) @) + − + + = 4 @ ;
11,600 .00 2
EI
roblema $ ara el marco simple de la igura , calcule la rotación en el nodo @$ #omar %5 constante$ %l etremo 4 está libre$ 300 kg/m 3
2
4.00 m
1
4
8.00 m
Fig. 6. M!r"# $im%&' 'n *#&!di+#
%cuaciones de momento para la carga aplicada$ x 300 kg/m 9600
x
1
4
9600 2400
+ = − 9;;
+
;≤ ≤ 4
= @4;; − 9;;−1:;@
; ≤ ≤8
%cuaciones de momento para un momento imaginario +, colocado en el nodo @$ x 00
M
"
x + = − + + = ;$;;
"
;≤ ≤ 4 ;≤ ≤ 8
Rotacin %el no%o *.
φ@
/
= ∫;
+ (
∂+ d = ) ∂+ %5
4
d
∫ (−9;;)(−1) %5 ;
φ@
4 9;; 9;; ( 4) = = = =8,4;;$;;B %5 %5 %5 ;
38 ,400 .00 2
EI
in del problema$
roblema 7$ ara la armadura simple de la igura 7), calcule el despla&amiento ertical del nodo @ ! el despla&amiento ori&ontal del nodo 4$ #omar A% 3 constante$ 4
3 ton. 3m
1 2
4m
5 ton. 4m
•
3
Fig. #
!'erzas internas /S0 para las caras e#ternas$ "e calculan por el
mtodo de los nodos$
3 ton.
3.00 5 ton.
1.3#5
3.625
F'r+!$ S-
arra 1-@ @-= 1-4 @-4 =-4
uer&a 4$8==== 4$8==== - @$@91 :$;;; - $;41
Desplazamiento 2ertical %el no%o *. 2ebe colocarse una carga
.0 ! obtener las uer&as internas en unción de esta carga$
$
0.5$
0.5$
F'r+!$ S2-
arra 1-@ @-= 1-4 @-4 =-4
S
δ*
S
L
P
AE
uer&a ;$ ;$ - ;$8== 1$;;; - ;$8==
/os coeicientes de las uer&as internas ."@0, son las deriadas parciales respecto a $ A%δ @ δ*
=
1 (;$ )4 [4$8== A%
+ 4$8==(;$)4 − @$@91 (−;$8== ): + :(1$;;)= − $;41 (−;$8
5+ .3+ AE
Desplazamiento "orizontal %el no%o 3$ Colocar carga .0
ori&ontal en ese nodo en cualquier dirección$ $ 3 # $ 0.3#5$
0.3#5$ F'r+!$ S4
arra 1-@ @-= 1-4 @-4 =-4
uer&a -;$: -;$: -;$@: ;$;; ;$@:
/os coeicientes de las uer&as ."40 son las deriadas parciales respecto a $
A%δ @
=
1 [4$8==(−;$:)4 A%
+ 4$8==(−;$:)4 − @$@91(−;$@:): − $;41(;$@:): ]
-1.(+(56AE in del problema
roblema 8$ Calcular el despla&amiento ertical del no para la armadura isostática de la igura 8)$ #omar % 3 @;;,;;;$;;
:
1;
1;
1; ton$
7
8
@m @
1
=
@m
4
•
@m
@m
igura 8$ uer&as internas en las barras para las cargas aplicadas$ 1;
:
1;
1;
1; ton$
7
8
@m 1;
@
1
=
4
•
$7
@=$=== @m
@m
@m
!'erzas 7S8
arra 1-@ @-= =-4 :- -7 7-8 1-: 1- @- @-7 =-7
uer&a 1$7 1=$=== ;$;; -1;$;; -1$7 -1=$=== ;$;; -9$4@8 -=$=== 4$71: -1=$===
=-8 4-8
18$8: -@=$===
uer&as internas para carga .0 aplicada en el nodo .0, !a que es donde se pide el despla&amiento ertical$ P :
8
7
@m @
1
=
4
•
;$7
;$=== @m
@m
arra 1-@ @-= =-4 :- -7 7-8 1-: 1- @- @-7 =-7 =-8 4-8
@m
uer&a ;$7 ;$=== ;$;;; ;$;;; -;$7 -;$=== ;$;;; -;$94= ;$7 o$47@ -;$=== ;$47@ -;$===
% 3 @;;,;;;$;;
!'erz a
1$
Deri2a %a (.;;5
L
A
E
*
(.(((
*)((()(((.
(.(*555
*-3 +; ;5 54 1+ 1; *; *5 -5 -4 34
7 1=$== (.--= ;$;; (.( 1;$;; 1$ 7 1=$== = ;$;;
3 (.((( 3 (.((( 3 (.((( 3 (.((( 3
(( *)((()(((. (( *)((()(((. (( *)((()(((. (( *)((()(((. ((
(.((( 3
*)((()(((. ((
(.((( 3 *.4- (.((( 3 * (.((( 3 *.4- (.((( 3 * (.((( 3
*)((()(((. (( *)((()(((. (( *)((()(((. (( *)((()(((. (( *)((()(((. ((
*.4- (.((( 3 * (.((( 3
*)((()(((. (( *)((()(((. ((
* *
(.(
*
(.;;5
*
(.---
*
(.(
*
(.<39$4@8 (.;;5 =$=== 4$71: (.35* (.--1=$== = 18$8: (.35* (.--@=$== =
(.(11(<
(.(*555 (.(11(<
(.(-13+ (.((++ (.((545 (.(11(< (.(-134 (.(1<3* (.15-+-
Desplazamiento in del problema.
roblema 9$ ara el arco semicircular en oladi&o de la igura 9), calcular la rotación, el despla&amiento ertical ! ori&ontal en el etremo libre$ #omar %5 3 constante. Carga en Dilogramos$
1000
5m
5m
Fig. *. r,o en -oadio
%cuaciones de momentos para carga aplicada$ 1000
1000
&
5000
θ
&x
x
E %
& 'en. θ % & & Cos. θ
+ G = 1;;; ! − :;;;= 1;;;6 "en$G − :;;;
; ≤ G ≤ FB @
+H = ;
Rotacin en el e#tremo li$re$ Colocar momento de magnitud +, en
cualquier dirección en el etremo libre$
&
"
θ
x
+G = − +
"
&x
;≤ G ≤ F
∂+ G = −1 ∂+ %n la siguiente epresión sustituir el producto de la ecuación de momentos para carga aplicada ! la deriada parcial respecto a +$
FB @
I
=
∫ + ;
G
∂+ G 6 dG = ∂+ %5
FB @
I =
FB @
∫ [1;;;6 "en$G − :;;;] [−1] ;
:dG
∫ [−:;;;"en$G + :;;;] %5
=
;
φ
=
6 dG %5
1 B@ [@:,;;;$;;Cos$G + @:,;;;$;;]F ; %5
1 [@:;;; $;;(o−1) +@:;;; $;;( B @)] %5
14,269.908/EI
órmula I
=
6 @ F %5 @
− 1
Desplazamiento "orizontal en el e#tremo li$re. Colocar una
carga puntual de intensidad en el etremo libre$
&
$
$
θ
&x
x
+ G = − ! = − 6 "en$G ; ≤ G ≤ F ∂+G = − 6 "en$G = − :"en$G ∂+ FB @
FB @
J
:dG = [1;;; = ][−"en (:)"en $G − :;;; $G ] %5 ;
J
FB @ "en $@G G B@ = −1@:;;; − + 1@:;;; [− Cos$G ] F ; 4 @ ;
="
∫
[−1@:;;; "en@G +1@:;;; sen $G ] dG ∫ ;
*;)4*+ .*EI
órmula 6 = 1− δ =− %5 4 Desplazamiento 2ertical. Colocar
en el etremo libre$
&
10$
θ
$
x
&x
$
carga puntual
+G
= − 1; = (:−:Cos$G ) − 1;
∂+G = (:−:Cos$G) − 1; = − :−:Cos$G ∂ B @
δ =
:d
∫ [:;;;"en$ −:;;;][−:−:Cos$ ] %5 ;
FB @
J
1@:;;; Cos$@G = + 1@:;;; 1@:;; Cos$G + 1@:;;; G+ "en $G 4 ;
133,849.54/EI
*
órmula$ J
=
6 = F − 1 %5 @
in del problema$
roblema 1;$ ara la estructura de la igura 1;), calcular la rotación, el despla&amiento ori&ontal ! ertical en el etremo libre$ #omar %5 3 constante$ 3m
2
2 1000
θ
&
&x
1
x 2
3m
2 1000
ig$ 1;
%cuaciones de momento para la carga aplicada$ θ
&
&x
x
2000 1000
+ G = − 1;;; ! − @;;; = − 1;;; 6 "en$G − @;;;; ; ≤ G ≤ F ; ≤ 1 ≤ @ "x1 % 1000x1 2000 @ ≤ 1 ≤ 4 "x1 % 1000x1 2000 1000(x 1 2) % 0
Rotacin en el e#tremo li$re$ Colocar momento de intensidad +
en el etremo libre$
1
3m
4 "
θ
&
&x
"
+G = − + ; ≤ G ≤ F ∂+ G = −1 ∂+
+1 = − +
x
; ≤ 1 ≤ 4
∂+1 = −1 ∂+
"e sustitu!e la ecuación de momentos para la carga aplicada multiplicada por la deriada parcial respecto a +$
φ
] [−1] 6 "en $ − @;;; = ∫ [−1;;; ;
F
I=
dG
∫[9;;;"en$G + ;;;] %5 ;
+
6 d %5
@
[1;;; ] [ −1] 1 −@;;; + ∫ ;
@
∫ [ −1;;; ;
1
] + @;;;
d1 %5
d1 %5
@
!φ
= [ − 9;;;Cos$ + ;;; ] ; + [−:;;1@ + @;;; 1];
%5 I
(−1−1) + ;;; F − @;;;+ 4;;;= =8849 $: = −9;;;
>
-4)43<.++6EI
órmula$ I = (F + @;)
Desplazamiento "orizontal en el e#tremo li$re. Colocar carga
ori&ontal en el etremo libre$
1
3m
4 $
θ
&
&x
6$
x $
+ G = − ; ≤ G ≤ F + G − (6 −6 Cos $G ) + G = = + = Cos $G
+1 %
0
; ≤ 1 ≤ 4
∂+G = (= + =Cos$G) ∂ F
J
= ∫ [−1;;;6 "en$G − @;;; ][= + =Cos$G ] ;
6 dG %5
& % &adio % 3.00 m F
J
"en $G − 18;;;− @7;;; "en $G Cos$G − 18;;; Cos$G ] = ∫ [−@7;;; ;
dG %5
F
J
Cos$@G − 18;;; = @7;;; Cos$G − 18;;; G + @7;;; "en $G 4 ;
110,548.66/EI
órmula$ J
[18F + :4] %5
=
Desplazamiento 2ertical en el e#tremo li$re. 1
3m
4 $
θ
&
&x
x 4$ $
+G = − ! − 4 = − 6 "en $G − 4
+ G = − = "en$G − 4
; ≤G ≤ F
∂+ G = −="en$G − 4 ∂ +1 3 1 K 4
; ≤ 1 ≤ 4
∂+1 (1 − 4) ∂ F
J =
∫ [−=;;;"en$G − @;;;][−="en$G − 4] ;
J,
2
=
1 G @7;;; %5 @
>
∫ F
−
"en $@G Cos $G +@4;;; G −:4;;; 4 ;
*-*)35;.-<6EI
órmula$
@
=dG d + [1;;; ][1 −4] 1 1 − @;;; %5 %5 ;
+
= 1 1 1;;; %5 =
@ ;;; 1 − @
@
+ 8;;; 1 ;
J
=
7:F %5 @
+
=44 =
in del problema$
*. SEGNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO.
%ste teorema es de gran utilidad para la solución de estructuras estáticamente indeterminadas$ ara su aplicación se ace necesario elegir una estructura que sea estable ! estáticamente determinada, esto es, que sea isostática$ /a estructura isostática, llamada tambin undamental o primaria, se obtiene cambiando o retirando soportes de tal modo que la estructura pueda despla&arse libremente$ osteriormente se reinstalan las reacciones en los soportes cambiados o retirados para regresar a la estructura a su posición
original$ A estas uer&as de reacción desconocidas se les llama .6edundantes0 ! son las incógnitas principales del mtodo$ Lna e& calculadas las redundantes es posible mediante equilibrio estático, conocer el resto de las incógnitas$ /a iga de la igura 11), es indeterminada en grado 1, (#iene una redundante) ! se desean obtener las posibles estructuras primarias$ P
•
M2
1
2 Fig.11
Primer caso. 6etirando el soporte i&quierdo, queda una iga en
oladi&o con empotramiento en el etremo dereco lo que la ace estable ! estáticamente determinada$ %l soporte 1) ba*ará erticalmente la distancia δp$ P
%
ara regresar al punto 1) a su reinstalar la reacción 61 ! retirar desconocida despla&ará el punto magnitud que δp$ A esta uer&a se
posición original será necesario la carga aplicada $ %sta uer&a 1) la cantidad δ6, de la misma le llama 6edundante$ 6 3 61$
Se'n%o caso. Cambiando el empotramiento en @) por un apo!o
simple i*o, queda una iga simplemente apo!ada que es estable ! estáticamente determinada$ Al cambiar el empotramiento por un apo!o simple permitimos que la iga pueda girar un ángulo θp$ uesto que la iga original estáP empotrada, no debe girar ! será % necesarios reinstalar el momento + @ para que el etremo @) gire un • que θp$ ángulo θ+ de la misma magnitud %l momento +@, necesario para que la iga regrese a su posición inicial, es la 6edundante$ 6 3 +@$ %n resumen la redundante o las redundantes serán las uer&as desconocidas que actMan en los soportes que se retiran o que se cambian$ 1
%ste teorema se escribe de la siguiente manera .%l traba*o interno reali&ado en cada elemento o en cada parte de una estructura estáticamente indeterminada, su*eta a un con*unto de
cargas eternas, es el m'nimo posible que se necesita para mantener el equilibrio al resistir la acción de las cargas0$ ?
(
R
6 3 6edundante o uer&a de reacción desconocida$ ara elementos su*etos a leión como igas ! marcos se escribe L
M#
M#
%#
R
AE
(
(
+ 3 %cuación de momentos a lo largo del elemento estructural o estructura$ 6 3 6edundante$ ara armaduras predominan las deormaciones por carga aial ! la energ'a interna de deormación se reduce a n i 1
Si
S1
L
R
AE
(
"i 3 uer&a interna en cada una de las barras$ / 3 /ongitud de cada barra$ A 3 Nrea de la sección transersal de cada barra$ % 3 +ódulo de elasticidad del material de que está eca cada barra$ ara estructuras curas como los arcos, el traba*o se escribe
M (
M
r %
R
EI
(
r 3 6adio 6 3 6edundante$
roblema 11$ Calcular las reacciones en los apo!os de la iga de la igura 1@$ #omar %5 constante$ 400 Kg./m
• 4m A
Fig. 12. iga aoadaemotrada
Incnitas en la 2ia$ 400 Kg./m
"
•
Estr'ct'ra primaria$ "e retira el apo!o A ! toma la reacción O A
como la redundante$ 6esulta una iga en oladi&o empotrada en , luego se escribe la ecuación de momentos$ 400 Kg./m
&
+ 3 6 K @;;@ ∂+ = ∂6 /
∫ + ;
x
;≤ ≤ 4
∂+ d = ∂6 %5
;
4
JA
=
@ d [ 6 @;; ] − ∫
%5
;
=
;
4
6= @;;4 = − 4 = ;
;
@1$===6 - 1@,8;;$;; 3 ; R > ;(( @.
órmula$ 6 =OA
= =P/ 8
%l resto de las incógnitas se obtienen por equilibrio estático$ ∑ O = ;;+ OC − 4;;(4) = ; O = 1;;;
(4) = ; ∑ + A = + C + 4;;(4)@ − 1;;;
+ %
700 Kg.m 400 Kg./m
700
•
1000
600
in del problema$
roblema 1@$ Calcular momentos ! reacciones en los soportes de la iga de doble empotramiento de la igura 1=)$ #omar %5 3 constante$ 600
2m
4m
A
Fig. 13. iga ,on am;os extremos emotrados
Incnitas en la 2ia. 600
M A
2m
4m
A
Estr'ct'ra primaria. "e retira el apo!o A quedando como
redundantes la 6eacción OA ! el momento +$ 600
+ = 61 − 6@ ; ≤ ≤ @ + = 61 − 6 @ − ;;( − @)
x
@≤ ≤
F&'"! 'n A. 8a 9e,:a es ,ero or estar a -iga emotrada. /
JA =
∫
∂+ d = ; ∂61 %5
+
;
@
d [61 − 6 @] [ ] %5 ;
∫
+
∫ [6 − 6 1
@
] [ ] −;; + 1@;;
@
@
d %5
=
;
61= 6 @@ 61= 6 @@ ;;= − + − − + ;;@ = @ @ = = @ ; =
7@61 K 186@ K @@4;;$;; 3 ;
;
---- %c$ 1)$
Pen%iente en A. /a pendiente es cero por estar la iga empotrada$ /
IA =
∂+ d
∫ + ∂6@ %5
= ;
;
@
d [61 − 6 @] [ −1] %5 ;
∫
@
− 61@ + 6 @ + @ ;
+
∫ [6 − 6 1
@
] [ −1] −;; + 1@;;
@
d %5
=
;
− 61@ + 6 @ + =;;@ − 1@;; = ; @ @
-1861 Q 6@ Q 48;; 3 3 - - -- %c$ @)$ 6esoliendo las ecuaciones 1) ! @)$ 61 3 444$44
=
ab@ /@
--- a3@ ! b34, son la posición de la carga $
in del problema$
roblema 1=$ Calcular las reacciones en los soportes de la iga continua de la igura 14)$ 250
• 6.00 m
• 4.00 m
Figura 14). iga ,ontinua.
C
Estr'ct'ra primaria. "e retira el apo!o $ /a redundante es la
reacción ertical en este soporte$
250
• 4.00 m
6.00 m
C
/a reacción en el etremo i&quierdo para esta iga se obtiene por suma de momentos en el soporte dereco$ OA 3 1@:; K ;$46 /as ecuaciones de momento son 250
(1@:; K ;$46)
x
" x = 1250 x − 0.4&x − 125x 2
"x "x
•
0 ≤x ≤6
= 1250 x − 0.4 &x + & ( x − 6) − 125 x 2 = 1250 x + 0.6&x − 6& − 125 x 2
6
≤ x ≤10
%l despla&amiento ertical en el punto de la redundante es cero$ 8
δ
=
∂"x
∫ "x ∂& !
dx
=
0
0
6
dx
∫ [1250x − 0.4&x −125x ][−0.4x ] ! 2
0
10
+
dx ∫ [1250 x + 0.6&x − 6& −125x ][0.6x − 6] ! 2
6
=0
10
#50x 0.36&x 3.6&x #5x #500x 6 + − − − 3 3 4 500x 0.16&x 50x 3 3 2 4 2 − + + + 2 3 3 4 0 3.6&x #50x3 − + 36&x + 3 2 6 3
3
2
4
2
19$@; 6 - =1;;;$;; 3 ; R > 1;13.+4- @. resto de as in,=gnitas se o;tienen or e>uii;rio est?ti,o.
@:; Dg$Bm ;4$ 17
•
•
114$:8 =
@81$ @:
%l momento en se obtiene aciendo momentos a la i&quierda o a la dereca de este apo!o$ + 3 ;4$17 () - @:;()= 3 874$98
+ 3 @81$@:(4) K @:;(4)@ 3 87:
in del problema$ NOTA ara igas con más redundantes el mtodo se uele mu! laborioso ! es recomendable utili&ar otros mtodos, por e*emplo el mtodo de 6igideces o el de endiente-2eleión$
roblema 14$ %l marco simple de la igura 1:) tiene una redundante ! la rigide& a leión %5 3 constante$ 2eterminar las reacciones en la base del marco ! los momentos en los nodos$ %l apo!o 1 es empotramiento ! el 4 es un carro$ #00
400
5m 1
2m 4
Fig. 15
6m
°
Estr'ct'ra Primaria$ or acilidad se retira el apo!o 4, !a que este
contiene una sola incógnita$ /a redundante .60 es la reacción ertical en el apo!o retirado$ #00
400
5m
2m 6m
Ec'aciones %e momentos$ "e escriben las ecuaciones de momento
para las cargas aplicadas ! despus para la redundante ! luego se suman$ Caras aplica%as.
7; ;
4;;
4; ;
@;;;
7; ; "x = 2000 − 400 x "x = 0 0 ≤ x ≤6 "x = 0 0 ≤ x ≤#
0
≤ x ≤5
Re%'n%ante.
6
6
6 6
"x = 6& 0 ≤ x ≤ 5 "x = 6 & − &x 0 ≤x ≤6 "x = 0 0 ≤ x ≤#
%l despla&amiento ertical en 4 es cero$ 8
δ4
=
∂"x
∫ "x ∂& !
dx
=
0
0
5
∫ [2000 − 400x 0
6 6 dx + 6& ] + ∫ [6& − &x ][6 −x ] dx ! ! 0 5
6
2 2 3 2400 x 2 + 36&x + 36&x − 6&x − 6&x + &x = 12000 x − 2 2 2 3 0 0
0
@:@6 Q =;;;; 3 ; R > 11<.(+ @.
or equilibrio ertical la reacción en el soporte 1 es O1 Q 6 K 7;;$;; 3 ; O1 3 819$;:
#00 400 #14.30
400
1275.# 0
71*.05
∑" 2der . = " 2 − 11*.05(6) = 0
+@ 3 714$=; . = " 1 + #14 .30 − 400(5) = 0 +1 3 1@8:$7;
°11*.05
in del problema$
roblema 1:$ %l marco de la igura 1) tiene ambos etremos empotrados ! soporta las cargas que se indican$ Calcular los elementos mecánicos en los nodos$
2!
3m
300
3m
7m Figura 16.
Estr'ct'ra primaria$ 6etirar el soporte de arriba$ uesto que este
soporte está empotrado tiene tres reacciones, estas reacciones serán las redundantes$ & 2
& 1 & 3 300
Ec'aciones %e momento$ %s coneniente anali&ar
las cargas aplicadas ! las redundantes, una por una ! luego sumar sus eectos indiiduales$ x 300
400
x 400
1;8; x ; 2400
"x
= 0
0
≤ x3
"x
= −150 x 2
"x
= 10700 − 400 x
0 ≤x
0
≤7
≤ x ≤3
61 x
861 x x
861 "x = 0
"x = & 1x
"x = − 7& 1
0 ≤x ≤3
61
0≤x≤7
0≤x≤3
6@ x
=6@
=6@
x
"x
=
"x
= 3& 2
& 2 x
x
≤3
0≤ x
≤7
0
"x = & 2 x − 6& 2
≤
6@ 6@
x
0≤x≤3
6= x
6= x
6= 6=
"x = & 3
0≤x≤3
"x = & 3
0≤ x ≤7
x
"x = − & 3
0 ≤ x ≤3
,ua,iones de momento ara todas as a,,iones. "x = & 2 x + & 3
0≤ x≤ 3
"x = −150x 2 + & 1x + 3& 2 + & 3
0≤ x ≤7
"x = 10700 − 400x − 7& 1 + & 2 x − 6& 2 − & 3
0 ≤ x ≤3
@esaamiento -erti,a en e soorte 1. 8
=
δ- 1
∫
∂"x dx ! = & ∂ 1
"x
0
3
∫ [& 2 x + & 3 ][0] 0
0
7
dx
+
2 !
∫ [−150 x 2
+ & 1 x + 3& 2 + & 3 ][ x ]
0
3
∫ [10700 − 400x − 7&
1
+ & 2 x − 6& 2 − & 3 ][ −7]
0
dx 3!
=
dx !
+
0
234.666& 1 + 132& 2 + 40& 3 − 235200 = 0 − − − − − − ,.1
@esaamiento :orionta en e soorte 1. 8
=
δ- 1
∫
∂"x dx ! = ∂ & 2
"x
0
3
∫ [&
2x
0
+ & 3 ][ x ]
0
7
dx
+
2 !
∫ [−150 x
2
+ & 1 x + 3& 2 + & 3 ][3]
0
3
∫ [10700 − 400x − 7&
1
+ & 2 x − 6& 2 − & 3 ][ x − 6]
0
132 & 1
+ *#.50& 2 + 30.#5& 3 − 123000 =
0
dx 3!
dx !
=
+
0
− − − − − ,. 2.
&ota,i=n de soorte 1. 8
φ1
∂"x = ∫ "x ∂& 3 0
dx !
=
3
dx [ & 2 x + & 3 ][1] 2 ! 0
∫
0
7
+
∫ [−150 x 0
2
+ & 1 x + 3& 2 + & 3 ][1]
dx !
+
3
∫ [10700 − 400x − 7&
1
+ & 2 x − 6& 2 − & 3 ] [−1]
0
dx 3!
=
0
40& 1 + 30.#5& 2 + 10.5& 3 − 35700 = 0 − − − − − ,. 3.
&eso-iendo as e,ua,iones 1A 2 3B & 1 % 117*.00 Kg. & 2 % 66.053.Kg. & 3 % 1313.47 Kg.m
117* 66.05 1313.47 300 400
333.*5 1211
8os momentos en os nodos 2A3 4 se o;tienen or e>uii;rio est?ti,o.
∑" 2 i> . = 66.05(3) − 1313.47 + " 2 =
0
"2 % 1115.33 Kg.m
∑" 3i>. = 66.05(3) + 117*(7) − 300(7) 4 − 1313.47 + "3 % 1203.33 Kg.m
∑" 3der . = " 4 − 1203.33 − 333.*5(3) = 0 "4 % 2205.17 Kg.m
117* 66.05 1313.47
1203.33
1115.33
2205.17
333.*5 1211
"3
=
0
Fin de ro;ema.
$ro;ema 16. 8a armadura de a 9igura 1#) es indeterminada en grado unoA (tiene una redundante) se ,arga ,omo se muestra. @eterminar as rea,,iones en os soortes as 9ueras internas en ,ada una de as ;arras. omar % ,onstante. 8os dos soortes son 9iDosA as ,argas est?n dadas en toneadas as ongitudes en metros.
1 ;
4 :
1
7;
= 1
@
=
4
=
4
4
igura 17 Incnitas en los soportes. /a armadura tiene 4 reacciones
desconocidas dos por cada soporte i*o$ 1 ;
4
O@
R@
1 ;
O4
R4
E$r"r! Prim!ri! . Cam;iar e soorte 2) or un soorte sime m=-i. (En ,arrito). 8a rea,,i=n >ue se eimina (2) es a redundante &.
1 ;
4
1 ;
6 F'r+!$ in'rn! . @e;en ,a,uarse ara as ,argas ai,adas ara a redundante a,tuando or searado uego sumarse.
!'erzas internas para las caras aplica%as. "e ace el análisis
por el mtodo de los nodos nodo por nodo, para las cargas aplicadas solo en el nodo que se está anali&ando$ arra 1-@ @-= =-4 1-: @-: @- =- =-7 4-7 :- -7
uer&a ;$;; 4$ -4$;; ;$;; ;$;; -:$8== -$:;; 1;$8== -1$:;; -4$;; -8$
1 ;
4
1 ; 4
=$: ;
1$: ;
!'erzas internas para la re%'n%ante $
arra 1-@ @-= =-4 1-: @-: @- =- =-7 4-7 :- -7
uer&a ; 6 6 ; ; ; ; ; ; ; ;
6 ;$;;
6
;$;;
Desplazamiento "orizontal en el no%o * $ %s cero puesto que el
apo!o es i*o$
∂' 8 + = 0 & ∂
δ 2 = ∑' ' 23
' 34
= & + 4.666 = & − 4.00
4 4 = 0 + & − 4 . 00 1 [ & + 4.666 ][1] [ ][ ] + +
46 Q 18$4 Q 46 K 1$;; 3 ; 6 3 - ;$=== ton$ ---- A la dereca$ Conocida la redundante es posible calcular el resto de las incógnitas$ ∑ F = 4.00 + 0.233 − F 4 = 0 4 = 4.233
∑ " 2 = 4(3) + 10 ( 4) + 10 (7) − 74 = 0 4 = 16.50 ton. 1 = 3.50
1 ;
4
=$: ;
;$== =
1 ;
1$: ;
4$== =
!'erzas internas en las $arras. "e obtienen por equilibrio de los
nodos o sumando los eectos de las cargas aplicadas ! los de la redundante$ %*emplo ' 34
= & + 4.666 = − 0.333 + 4.666 = 4.333 ton . = & − 4.00 = − 0.333 − 4.0 = − 4.333 ton .
' 4#
= 0.00 − 16 .50 = −16 .50
' 23
arra 1-@ @-= =-4 1-: @-:
uer&a ;$;; 4$=== -4$=== ;$;; ;$;;
@- =- =-7 4-7 :- -7
-:$8== -$:;; 1;$8== -1$:;; -4$;; -8$
in del problema$
roblema 17$/a armadura de la igura 18, tiene @ redundantes una eterna ! una interna$ "i A% es constante, determine las uer&as internas en las barras$ /as cargas están dadas en toneladas ! las longitudes en metros$ 15
4
20
5
6
3 1
3
2
4
4
Figura 17.
/a armadura tiene dos apo!os i*os ! por ello es indeterminada eternamente (a! @ reacciones en cada soporte)$ 5nternamente tiene más barras que las que son necesarias para garanti&ar su estabilidad, un de estas barras ace que la armadura sea indeterminada internamente %n los nodos 1,@,4 ! : las uer&as internas no pueden calcularse directamente puesto que a! más incógnitas que ecuaciones de equilibrio ! para su análisis será necesario retirar una de las barras$ "e puede retirar cualquiera de las barras (1-:) o (@-4), la barra que se retira es la redundante interna$ Estr'ct'ra primaria. %l apo!o = se cambia por uno de rodillo ! se
retira la barra (1-:)$ osteriormente se reinstala para oler a la armadura a su geometr'a original$ /as redundantes serán 61 ! 6@$ Cuando se pone el rodillo en = se elimina la reacción ori&ontal, esa es 61 ! 6@ es la uer&a indicada en tensión en la barra que se retira$ 20
15 & 2 & 2
°
& 1
!'erzas
internas
redundantes$
para la cara
arra uer&a 1-@ 1:$;; 15 @-= @;$8== 4-: @;$8== 15 :- ;$;; 1-4 -4$=7:4.3#5 1-: ;$;; @-4 7$@9@ @-: -4$=7: =-: @$;4@ =- ;$;;
aplica%a$
"e retiran las
20
° 15.625
!'erzas internas para R1.
arra uer&a 1-@ -61 @-= -61 4-: ; :- ; & 1 1-4 ; 1-: ; @-4 ; 0.00 @-: ; =-: ; =- ;
°
& 1
0.00
!'erzas internas para R@. %sta uer&a no produce reacciones
eternas$
arra uer&a 1-@ ;$8;6@ @-= ; 4-: ;$8;6@
& 2
0.00 0.00
& 2
°
0.00
0.00
:- 1-4 1-: @-4 @-: =-: =-
; ;$;6@ 6@ 6@ ;$;6@ ; ;
Con las uer&as internas calculadas se obtienen los despla&amientos en los puntos de las redundantes ! se les iguala a cero$ 2e esta manera se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas$ arra uer&a ∂F / ∂& 1 1-@ 1: K 61 K ;$86@ -1$;; @-= 4-: :- 1-4 1-: @-4 @-: =-: =-
/ 4
@;$8== K 61 -1$;; -@;$8== K ; ;$86@ ; ; -4$=7: -;$6@ ; 6@ ; 7$@9@ Q 6@ ; -4$=7: K ;$6@ ; -@$;4@ ; ; ; "umas
arra uer&a ∂F / ∂& 2 1-@ 1: K 61 K -;$8; ;$86@ @-= @;$8== K 61 ; 4-: -@;$8== K -;$8; ;$86@ :- ; ; 1-4 -4$=7: -;$6@ -;$; 1-: 6@ 1$;; @-4 7$@9@ Q 6@ 1$;; @-: -4$=7: K -;$; ;$6@ =-: -@$;4@ ; =- ; ; "umas
4 4
A% F ( ∂F / ∂& 1 ) 8 Cte -; Q 461 Q =$@;6@ $ -8=$==@ Q 461
4 = : : = : = -14=$==@ Q 861 Q =$@6@
/ 4
A% F ( ∂F / ∂& 2 ) 8 Cte$ -48$;; Q =$@;61 Q @$:6@
4 4
$: Q @$:6@
4 = : : =
7$87: Q 1$;86@ :6@ =$4 Q :6@ 7$87: Q 1$;86@
: = 7;$87: Q =$@;61 Q
17$@86@ Ec'aciones %e e&'ili$rio.
-14=$==@ Q 861 Q =$@6@ 3 ; 7;$87: Q =$@;61 Q 17$@86@ 3 ; 61 3 @1$1@17 ton$ 6@ 3 -8$;1=@ ton$ !'erzas internas.
arra uer&a 1-@ 1: K 61 K ;$86@ @-= @;$8== K 61 4-: -@;$8== K ;$86@ :- ; 1-4 -4$=7: -;$6@ 1-: 6@ @-4 7$@9@ Q 6@ @-: -4$=7: K ;$6@ =-: -@$;4@ =- ;
$ 5nterna ;$@89 -;$@89 -14$4@@ ; ;$4== -8$;1= -;$7@1 ;$4== -@$;4@ ;
in del problema$
roblema 18$ Calcular las uer&as internas para la armadura de @ redundantes eternas ! dos redundantes internas de la igura 19$ #omar A% 3 constante$ 20
10
20
6
#
7
20
2 1
°
2
20
3
5
5
5 Figura 1*
5
4
5
Estr'ct'ra primaria$ 6etirar el apo!o =) ! cambiar el apo!o :) por
un apo!o móil (carro)$ 2e esta manera las reacciones ertical en =) ! la ori&ontal en :), son las redundantes eternas$ %liminar las barras (@-7) ! (=-8) de tal modo que las uer&as internas en estas barras sean las redundantes internas$
10
20
20 & 3
& 3
20 & 4
& 4
& 1
°
20
& 2
!'erzas internas para la cara aplica%a. 10
20
20
20
10
°
20
46
34
arra 1-@ @-= =-4 4-: -7 7-8 1- @- @-7 =-
uer&a 9:$;;; 9:$;;; 1=;$;; 11:$;; -1=;$;; -11:$;; -91$:48 ; ; =7$7;
arra =-7 =-8 4-7 4-8 :-8
uer&a -14$;;; ; -1$1; @$;;; -1@=$8
!'erzas internas para R1$
0.00 0.50& 1
& 1
°0.50&
1
arra 1-@ @-= =-4 4-: -7 7-8 1- @- @-7 =-
uer&a -1$@:61 -1$@:61 -@$:61 -1$@:61 @$:61 1$@:61 1$=461 ; ; 1$=461
arra =-7 =-8 4-7 4-8 :-8
uer&a -;$:61 ; 1$=461 -;$:61 1$=461
!'erzas internas para R@.
& 2
° 0.00
arra 1-@ @-= =-4 4-: -7 7-8 1- @- @-7 =-
& 2
0.00
uer&a -6@ -6@ -6@ -6@ ; ; ; ; ; ;
arra =-7 =-8 4-7 4-8 :-8
uer&a ; ; ; ; ;
!'erzas internas para R=. /as uer&as internas no producen
reacciones en los soportes$
& 3 & 3
0.00
° 0.00
0.00
arra 1-@
uer&a ;
arra =-7
@-=
;$9@8:6= ; ; ;$9@8:6= ; ; ;$=7146= 6= 6=
=-8
uer&a ;$=7146= ;
4-7 4-8 :-8
; ; ;
=-4 4-: -7 7-8 1- @- @-7 =-
!'erzas internas para R4. /as uer&as internas no producen
reacciones en los soportes$
& 4 & 4
0.00
° 0.00
0.00
arra 1-@
uer&a ;
arra =-7
@-= =-4 4-:
; -;$9@8:64 ;
=-8 4-7 4-8
-7 7-8 1- @- @-7
; -;$9@8:64 ; ; ;
:-8
uer&a ;$=71464 64 64 ;$=71464 ;
=-
;
Desplazamiento en el p'nto %e aplicacin %e R 1.
arr uer&a a 1-@ 9:-1$@:61-6@
∂F / ∂& 1
/
A%
-1$@:
:
Ct e$
@-=
9:-1$@:61-6@;$9@486=
-1$@:
:
=-4
1-
1=;-@$:61-6@-@$: ;$9@4864 11:-1$@:61-6@ -1$@: -1=;Q@$:61-;$9@486= @$: -11:Q1$@:611$@: ;$9@4864 -91$:48 Q 1$=4@61 1$=4@
@- @-7
-;$=7146@-;$=7146= 6=
; ;
=-
=7$7;-1$=4@61Q6=
=-7
-14-;$:61;$=76=-$=764 64
1$=4@ -;$:;
4-: -7 7-8
=-8 4-7
;
1$=4@ 1$1Q1$=4@61Q6
F ( ∂F / ∂& 1 ) 8
-:9=$7:Q7$81@:61Q$@:6@ :9=$7:Q7$81@:61Q$@:6@Q:$78 6= 1@:Q=1$@:61Q1@$:6@Q11$:64 -718$7:Q7$81@:61Q$@:6@ -1@:Q=1$@:61-11$:6= -718$7:Q7$81@:61-:$7864
: : : : :$= 8: @ :$= 8: :$= 8: @
-=$:77 Q 9$7:8961
-@7=$@981Q9$7:8961-7$@49=6= 14$;;Q;$:;61Q;$=7146=Q;$=71 464
:$= 8: :$= 8:
-117$1484Q9$7:8961Q7$@49=64
4
4-8 :-8
@-;$:61-;$=71464 -1@=$8Q1$=4@61
-;$: 1$=4@
@ :$= 8:
-@$;;Q;$:61Q;$=71464 -897$897 Q 9$7:8961
"umas
-78=9$;; Q 1==$78:61Q =1$@:6@ -1@$:796= Q 1=$77@164 3 ;
Desplazamiento en el p'nto %e aplicacin %e R @.
arr uer&a a 1-@ 9:-1$@:61-6@
∂F / ∂& 2
/
A%
-1$;;
:
Ct
F ( ∂F / ∂& 1 ) 8
-47:$;; Q $@:61 Q :6@
e$ @-=
-1$;;
:
-1$;;
:
-1$;; ; ;
: : :
;
:$= 8: @
1-
9:-1$@:61-6@;$9@486= 1=;-@$:61-6@;$9@4864 11:-1$@:61-6@ -1=;Q@$:61-;$9@486= -11:Q1$@:61;$9@4864 -91$::Q1$=4@61
@-
-;$=7146@-;$=7146=
@-7
6=
=-
=7$7;-1$=4@61Q6=
;
=-7
-14-;$:61;$=76=-$=764 64
;
1$1Q1$=4@61Q6
;
=-4 4-: -7 7-8
=-8 4-7
;$=714 ;
;
-47:$;; Q $@:61 Q :6@ Q 4$@46= -:;$;; Q1@$:;61 Q :6@ Q 4$@464 -:7:$;; Q $@:61 Q :6@
;$@7:86@ Q ;$@7:86=
:$= 8: :$= 8: @ :$= 8: :$= 8:
4
4-8 :-8
@-;$:61-;$=71464 -1@=$8Q1$=4@61
; ;
@ :$= 8:
"umas
-@17:$;; Q =1$@::61 Q @;$@7:86@ Q 4$89986= Q 4$@464 3 ;
Desplazamiento en %ireccin %e R=.
arr uer&a a 1-@ 9:-1$@:61-6@
∂F / ∂& 3
/
A%
;
:
Ct e$
@-=
9:-1$@:61-6@;$9@486=
;$9@48
:
=-4
1=;-@$:61-6@;$9@4864 11:-1$@:61-6@
;
:
;
:
4-:
F ( ∂F / ∂& 1 ) 8
4=9$@8Q:$7861Q4$@46@Q4$@7 @6=
-7
-1=;Q@$:61-;$9@486=
7-8 1-
-11:Q1$@:61;$9@4864 -91$::Q1$=4@61
@-
-;$=7146@-;$=7146=
@-7
6=
=-
=7$7;-1$=4@61Q6=
1$;;
=-7
-14-;$:61-;$=76= -$=764 64
;$=714 ;
=-8 4-7
1$1Q1$=4@61Q6
;$9@48 ;
:
;
:$= 8: @
;$=714 1$;;
;
;1$1@ K 11$:61 Q 4$@7@6=
:
;$@7:86@ Q ;$@7:86=
:$= 8: :$= 8: @
:$=8:6= @;=$;14: K 7$@49=61 Q :$=8:6= 1;$4; Q;$=71461Q ;$@7:86=Q ;$@7:864
:$= 8: :$= 8:
4
4-8 :-8
@-;$:61-;$=71464 -1@=$8Q1$=4@61
; ;
@ :$= 8:
"umas
=7:$@:4: K 1@$:7961 Q 4$89986@ Q 19$8746= Q ;$@78864 3 ;
Desplazamiento en %ireccin %e R4.
arr uer&a a 1-@ 9:-1$@:61-6@ @-=
∂F / ∂& 4
/
A%
;
:
Ct e$
1-
9:-1$@:61-6@; ;$9@486= 1=;-@$:61-6@;$9@4864 ;$9@48 11:-1$@:61-6@ ; -1=;Q@$:61-;$9@486= ; -11:Q1$@:61;$9@4864 ;$9@48 -91$::Q1$=4@61 ;
@- @-7
-;$=7146@-;$=7146= 6=
; ;
=-
=7$7;-1$=4@61Q6=
;
=-4 4-: -7 7-8
F ( ∂F / ∂& 1 ) 8
: : : : : :$= 8: @ :$= 8: :$=
-;1$1@Q11$:61Q4$@46@ Q 4$@7@64 :=1$7 K :$7861 Q 4$@7@64
=-7 =-8 4-7
-14-;$:61-;$=76= -$=764 64
;$=714 1$;;
4-8
1$1Q1$=4@61Q 64 @-;$:61-;$=71464
:-8
-1@=$8Q1$=4@61
1$;; ;$=714 ;
8: @ :$= 8: :$= 8: @
1;$4;Q;$=71461Q;$@7:86=Q;$@ 7:864 :$=8:64 -87$;@1 Q 7$@49=61 Q :$=8:64 -19$=1@8 Q ;$=71461 Q ;$@7:864
:$= 8:
"umas
-1:$@944 Q 1=$77@161 Q 4$@46@ Q ;$@7:86= Q 19$87464 3 ;
Re%'n%antes. "e obtienen resoliendo las ecuaciones que aparecen
al pie de cada tabla$ 61 3 :8$478 ton$ 6@ 3 @@$48;= 6= 3 1=$=49@ 64 3 - =7$@@@
!'erzas internas en las $arras.
arr uer&a a 1-@ 9:-1$@:61-6@ @-= 9:-1$@:61-6@=-4 4-: -7 7-8 1- @- @-7 =- =-7
;$9@486= 1=;-@$:61-6@;$9@4864 11:-1$@:61-6@ -1=;Q@$:61-;$9@486= -11:Q1$@:61;$9@4864 -91$::Q1$=4@61 -;$=7146@-;$=7146= 6= =7$7;-1$=4@61Q6=
-14-;$:61-;$=76=
uer&a 5nterna -;$:78 -1@$9@=8 -4$@:=8 19$4@14 =$8:11 -7$1;87 -1@$8@1 -1=$=;7= 1=$=49@ -@7$74 -=4$@@4=
