Deberes
1. Teoría eoría de fotones fotones 1.1. La luz solar llega a la superfcie terres terrestre tre con una intensidad intensidad aproximada aproximada de 1 300 W/m2. Supongamos que se tratara de luz monocromáca de 00 nm de longitud de onda. !"uántos #otones atra$esar%an una secci&n de 2 m2 en un segundo' !"uál es el momento lineal de uno de esos #otones' Solución
E= hv =
h∗c λ −34
¿
6,626 ∗10
∗8∗108
−7
5∗10
¿ 1,06∗10−18 J PSt 1300∗2∗1 n= = E 1.06∗10−7
¿ 2,45∗10−21 h 6,626 ∗10−34 p= = =1.33∗10−27 kg m / s −7 λ 5∗10 1.2. (eseamos que los electrones electrones de un microscopio microscopio electr&nico electr&nico posean una longitud de onda onda de 10)11 m. !"on qu* di#erencia de potencial +emos de acelerarlos' Solución: , parr de la longitud de onda de un electr&n podemos calcular su momento linealmediante la segunda relaci&n de lanc)instein −34
h 6,626∗10 p= = −11 λ 10
¿ 6.626∗10−23 kg m/ s p 2 E= 2m −46
¿
6,626 ∗10
−31
2∗9,1∗10
¿ 2,41∗10−15 J E 2,41∗10−15 V = = e 1,6∗10−19
¿ 1,51∗10 4 V 1.3. La maor parte de la luz procedente procedente de una lámpara lámpara de sodio ene una longitud longitud de onda de 4 nm. !"uál es la #recuencia de esta radiaci&n' !"uál es la energ%a asociada a esta radiaci&n' c = λ ν
c =3∗108 m / s
λ =589 nm v =?
c v= λ
¿
(
8
3∗10
m/s 589 nm
)[ ∗
1 nm −9
1 10
m
]
=5.09∗1014 s−1
5n láser produce una radiaci&n con una longitud de onda de 670 nm. "alcule la
(
3∗10
8
m/s 589 nm
)[ ∗
1 nm −9
1 10
m
]
=5.09∗1014 s−1
1.7.. #recuen 1.7 #recuencia cia de esta radiac radiaci&n. i&n. 8 9'
c v= λ
( )[ 3∗10
¿
8
m
s 640 nm
1 nm −9
1∗10
m
]=¿
¿ 4.69∗1014 s−1 1.. "alcule la energ%a energ%a de un #ot&n #ot&n de luz amarilla amarilla cua longitud longitud de onda es 4 nm. :espuesta
Efoton =? c = λv Efoton = λv
c v= λ
( )[ 3∗10
¿
8
m
s 589 nm
1 nm −9
1∗10
m
]=¿
¿ 5.09∗1014 s−1 Efoton =hv =( 6.63∗10−34 )|5.09∗1014 s−1|=3.37∗10−19 J s decir que un #ot&n de energ%a radiante proporciona o genera 3.37∗10−19 ;/#ot&nentonces cuanta energ%a proporcionará un mol de #otones' La energ%a se expresa en ;/mol- luego entonces +a que con$err estos 3.37∗10−19 a ;/mol. ara ello consideremos el
(
fotones mol
23
6.023 ∗10
)[
−19
3.37∗10
]
J mol 14 − 1 1.6. 5n láser emite luz con una #recuencia de 4.69∗10 s
¿ 202975
j J =2.02975∗105 mol mol
J mol
¿ 2.03∗10 5
a= "alcule la energ%a del #ot&n de la radiaci&n de este láser. >= l láser emite una rá#aga de energ%a que conene 5∗10 17 #otones de esta radiaci&n "alcule la energ%a total de esta rá#aga c= Si el láser emite 1.3∗10−2 de energ%a durante la rá#aga. "uantos #otones emite durante esa rá#aga. − 14 −19 14 − 1 E= hv =( 6.63∗10 )|4.69∗10 s |=3.11∗10 J E=3.11∗10
−19
J =energia del foton
:espuesta > 5.0∗10
17
fotones
(
−19
3.11∗10
)
J =0.1555 J =0.16 J =¿ Esla enrgia de larafaga foton
:espuesta c −2
1.3∗10
−19
3.1111
= 4,180006∗1016 fotones = 4.18∗1016 fotones
1.?. La luz amarilla que emite una lámpara de sodio ene una longitud de onda de 4 nm. "alcular la #recuencia de esta radiaci&n. c = λv
(onde c es la constate de la $elocidad de la luz- @ es la longitud de onda- A es la #recuencia.
c =3∗108 m / s λ =589 nm
v =?
(
c 3∗108 m / s v= = 589 nm λ
)[ ∗
1 nm −9
1 10
m
]
=5.09∗1014 s−1
1.. La radiaci&n de longitud de onda de 272.7 nm- es la longitud de onda más larga que produce la #oto disociaci&n de la mol*cula de B2. a= "uál es la energ%a de un #ot&n de esta radiaci&n >= "uál es la energ%a de un mol de #otones de esta radiaci&n' :espuesta literal a
Efoton = λv λ =242.4 nm
c v= λ
( )[ 8
3 ∗10 m
¿
s
242.4 nm
1 nm −9
1∗10
m
]
=1.239∗10 15 s−1
¿ 1.24∗1015 s−1 E= hv =( 6.63∗10
− 14
)|1.24∗10
15
|=
−1
s
−19
8.22∗10
❑
J
foton
Literal > "omo a tenemos la energ%a de un #ot&n podemos mulplicarla por el <, ara conocer la energ%a en ;/mol. E= 8.22∗10
−19
(
23
j / foton 6.023∗10
fotones mol
)
¿ 4.95090 ∗105 j / mol 1.4. "alcular la longitud de onda de un electr&n que ene una $elocidad de 28 −6 5.97∗10 m/ s . "onsidere que la masa del electr&n es 4.11 C 10 g g.
λ =
h mv −34
6.63∗10
λ =
9.11∗10
λ =
−28
6
g(
5.97∗10 m
s
−34
6.63∗10 −28
9.11∗10
J
g(
m2 / s2
5.97∗10
s
6
m
)
[)
1∗10
3
g
1 Kg
]
−31
=
6.63∗10
m
−21
5.4367 ∗10
−10
λ =1.21∗10 m sta el longitud de onda del electr&n a una $elocidad de .4? x 106 m/s. sta longitud de onda se encuentra mu pr&xima a la longitud de onda de los :)D.
1.10. "alcule la longitud de onda asociada a los electrones que se mue$en a una $elocidad que es la d*cima parte de la $elocidad de la luz.
(
v =0.10∗
3∗10
8
m
s − 34
)
¿ 3∗10 7 m / s
[
]
− 31 3 1∗10 g 6.63 ∗10 m m2 / s 2 λ = = −28 −20 g ( 3∗107 m / s ) 1 Kg 9.11∗10 2.733∗10 λ =2.4259∗10−11
6.63∗10
−11
λ =2.43∗10 =0.0243 nm sta el longitud de onda del electr&n a una d*cima de la $elocidad de la luz. sta longitud de onda se encuentra mu pr&xima a la longitud de onda de los :)Eamma.
2. #ecto #otoel*ctrico 2.1. "onsidere una superfcie de potasio que se encuentra a ? cm de un #oco de 100F. Suponga que la energ%a radiada por el #oco es G de la potencia de entrada. Hmaginando cada aromo de potasio como un disco circular con diámetro 1I- determine el empo que requiere cada uno en a>sor>er una candad de energ%a igual a su #unci&n de tra>aJo 2.0 e8 de acuerdo con la interpretaci&n ondulatoria de la luz :espuesta Kratando el #oco como la #uente puntual- la intensidad en la localizaci&n de superfcie de potasio es de 100 w∗0.05 potencia Intensidad = = =0.707 / m2 2 area dela esfera 4 π ( 0.75 m) La potencia incidente so>re cada átomo de potasio se traduce en otencia por átomo 9 intensidad x área de átomo= 2
−10 π ( 1∗10 m ) ¿ 0.707 2 =5.56∗10−21 4 m
(
)
ntonces- el inter$alo para o>tener 2.0 e8 de energ%a se determina a parr de
Potencial =
energia tiempo
( 2.0 eV ) ( 1.6∗10−19 J / eV ) ¿ =57.6 s −21 5.56∗10 J / s n este cálculo se +a puesto que toda la energ%a incidente #ue a>sor>ida. uesto que- como en un esquema de onda la maor%a de la energ%a incidente seria reMeJada- el empo real calculado en exceso seria de ?.6s (e esta #orma- un esquema de la radiaci&n electromagn*ca de la onda predice un empo de emisi&n de muc+as magnitudes maores que el empo o>ser$ado experimentalmente de 10−9 s 2.2. "ando un experimento #otoel*ctrico se realiza usando calcio como emisor- se determina los potenciales de paro siguientes
λ ! " $- Nz C
36 1-1
3 132 0-4
3 60 0-22
7 07? 0-?71
1-4
0-4
0-0
0-17
15
10
v 2 ! V
ncuentre la constante de lanc a parr de esta in#ormaci&n :espuesta n primer lugar se de>e interpretar los datos.
( 1.6∗10− )∗1.66 V 19
h= e ( pendiente ) =
15
0.40 ∗10
−1
s
= 6.6∗10−34 J # s
( 1 $ #V =1 J )
2.3. Las energ%as cin*cas de los #otoelectrones $ar%an de cero a 4.0∗10−19 J cuando una luz de longitud de onda de 3 000 , cae so>re una superfcie. !"uál es el potencial de paro de esta luz' :espuesta −19 J ∗1 eV K ma% =4.0∗10 = 2.5 eV −19 1.6∗10
Entonces ! el potencial es de eV = K ma% ! V = 2.5 V
2.7. "uál es la longitud de onda de um>ral para el material del pro>lema anterior :espuesta e V s=hv − e o =
hc hc − λ λ n
3
2.5 eV =
eV ∗ " 12.4∗10 3 eV " − λ n 3000 "
12.4∗10
λn =7590 "
2.. l emisor en un tu>o #otoel*ctrico ene una longitud de onda um>ral de 6 000,. (etermine la longitud de onda de la luz incidente so>re el tu>o- si su potencial de paro es de 2.8
hc 12.4∗103 " e o=hv n= = = 2.07 eV 6 000 λn ntonces- la ecuaci&n #otoel*ctrica da
hc eV s=hv − e o = −e o λ
3
2.5 eV =
12.4 ∗10
λ
eV ∗ "
−2.07 eV
λ =2.713 "
2.6. ncuentre la #unci&n de tra>aJo para el potasio si la longitud de onda más larga para a emisi&n de electrones en un experimentos #otoel*ctricos es de 620 , :espuesta
hc 12.4∗103 eV " ∅ = e o = = =2.21 eV λn 5620 " 2.?. Se ilumina potasio con luz ultra$ioleta de longitud de onda de 2 00 ,. Si la #unci&n de tra>aJo del potasio es de 2.21e8 !"uál es la máxima energ%a cin*ca de los electrones emidos' :espuesta 3 h∗c 12.4∗10 eV ∗ " K ma% = − e o= −2.21 eV =2.75 eV 2500 " λ
2.. n el pro>lema anterior la luz ultra$ioleta ene una intensidad de 2 W/ m2 # "alcule la relaci&n de emisi&n de los electrones por unidad de área. :espuesta n dic+o pro>lema- cada #ot&n ene una energ%a de 7-46e8 9 7,94∗10−19 J ! suponiendo que cada uno li>era un electr&n - se ene
n&mero de electrones m
2
2 J / m
2
−19
7.94∗10
# s=
n&merode fotones 2
m #s
=¿
#s =2.52∗1018 fotones / m2 s J / foton
2.4. (emuestre que el e#ecto #otoel*ctrico no puede ocurrir para electrones li>res :espuesta B>ser$e e proceso +ipot*co en el centro de masa que se muestra en la fgura el cual se defne como el sistema cua candad de mo$imiento inicial es cero. , parr de la conser$aci&n de la energ%a -
Einicial = E final o hv + mc 2= mo c 2 Lo cual implica mo Om. como esto no puede ser cierto- el proceso no puede ocurrir. Los electrones que parcipan en el e#ecto #otoel*ctrico no son li>res. La materia pesada presente toma un momento pero a>sor>e una candad de energ%a sin importancia.
2.10. La #recuencia um>ral para cierto material es de 1.1∗1015 ciclos / s # (etermine la energ%a cin*ca máxima para los electrones cando la luz- cua #recuencia es de 15 ciclos/s- incide so>re ese material. "alcule el potencial de #renado - por 1.5∗10 Plmo- encuentre la máxima $elocidad de los #otoelectrones. −19
V o= v=
√
2.65 ∗10
V =1.656 volts
−19
1.6∗10
− 19
2 ( 2.65 ∗10
−31
9.1∗10
)
1
K ma% = m v 2
2
v=
√
2 K ma%
m
v =7.631∗105 m / s
3. #ecto compton 3.1. 5n #ot&n de un rao D de 0.3 Qe8 de #rente con un electr&n inicialmente en reposo. (e acuerdo con la conser$aci&n de la energ%a la candad de mo$imiento- encuentre la $elocidad de retroceso del electr&n. :espuesta en la notaci&n de la fgura la conser$aci&n de la energ%a se expresa por
'
2
E + mo c = E +
√
mo c 2
()
v2 1− 2 c
'
0.3 (eV + 0.511 (eV = E E
'
+
0.511 (eV
√
1−
() v2 c2
l momentum de un #oton es +$/c 9 /c or lo que la conser$acion de mmentun es $alida
( ) =180* ! =0 ) ∅
E − E + 0 = + c c
√
(oV
( )
v2 2 1− 2 c c
0.3 (eV
c
=
− E c
+
0.511 (eV
√
()
v2 2 1− 2 c c
:esol$iendo simultaneamente las ecuaciones de la energia del omentun da $9 0.6c. 3.2. (el pro>lema anterior $erifque que la $elocidad concuerda con el $alor que se determin& a parr de la ecuaci&n de compton :espuesta h ' ( 1− cos) ) = h ( 1−cos 180 * ) = 2 h λ − λ= (o$ moc moc
λ' = λ +
2h
moc
Qulplicando este resultado por 1/+c se o>ene '
2 1 2 1 2 7.24∗1 λ λ = + = + = + = 2 2 hc hc mo c hv moc (eV 0.3 (eV 0.511 (eV
Si se sustue 9 1/?.27= Qe8 en la ecuaci&n de la energ%a del pro>lema anterior despeJamos $- se o>ene nue$amente $90.6c 3.3. "alcule el cam>io #raccional en la longitud de onda de un rao D de 0.700I que experimenta una dispersi&n compton de 40R de un electr&n. :espuesta
h ( 1− cos) ) =(1 −cos90 * )( 0.0243 " ) =0.0243 (o$ λ− λ ' 0.0243 " = =0.0608 λ 0.400 "
λ' − λ=
3.7. 5n rao D de longitud de onda de 0.300I experimentan una dispersi&n compton de 60R ncuentre la longitud de onda del #ot&n la energ%a del electr&n- despu*s de la dispersi&n. :espuesta
λ' = λ +
h ( 1−cos) ) (o$
¿ 0.30 " + ( 0.0243 " ) ( 1−cos60 )=0.312 "
(e acuerdo con el principio de conser$aci&n de la energ%a-
hc hc + moc = + Ke + mo c 2 λ λ
12.4 KeV" 0.3 "
=
12.4 keV 0.312 "
"
+ ke
ke =1.59 keV
3.. n un experimento compton- un electr&n alcanza una energ%a cin*ca de 0.100Qe8 cuando un rao D de energ%a 0.00Qe8 lo golpea. (etermine la longitud de onda del #ot&n una $ez dispersado- si el electr&n esta>a inicialmente en reposo. :espuesta Einicial= E final 0.500 (eV = E ' + 0.100 (eV E' =0.400 (eV
hc 12.4∗10−3 (eV " λ = ' = = 31∗10−3 " 0.400 (eV E '
3.6. (el pro>lema anterior encuentre el ,ngulo que #orma el #ot&n dispersado con la direcci&n incidente :espuesta la longitud de onda incidente es
hc 12.4∗10−3 (eV " λ = = =24.8∗10−3 " 0.500 (eV E ,l aplicar la ecuaci&n de "ompton- se o>ene
h ( 1−cos) ) (o$ +solviendo= 42 * λ' = λ +
31∗10 "− 24.8∗19 " = ( 24.3∗10 " ) ( 1− cos) ) −3
−3
−3
3.?. Si la energ%a máxima imparda a un electr&n en la dispersi&n "ompton es de 7 e8!"uál es la longitud de onda del #ot&n incidente' :espuesta Si el electr&n logra su energ%a máxima de retroceso- entonces el #ot&n de>e ser dispersado de regreso. or la conser$aci&n de la energ%a resulta 2 2 ' ' E + mo c = E + 45 keV + mo c o E − E = 45 keV or la conser$aci&n del momentum
E − E' = + Pe c c
2
:elacionando el momentum la energ%a del electr&n en Er =( pec )
pe=
2
0.219 (eV
c
Si despu*s se sustue esto en la ecuaci&n 2 e encuentra que
E + E' = 219 keV ,l resol$er las ecuaciones 1 3 resulta 9132e8 de lo cual
hc 12.4 keV " λ = = = 9.39∗10−2 " 132 keV E 3.. (emuestre que un electr&n li>re en reposo no puede a>sor>er un #ot&n de aqu% que la dispersi&n "ompton de>e ocurrir con electrones li>res= :espuesta hv 2 2 2 Pfoton= Pelectron o = pe ( ) ( ) P P o hv pec mo c = = + √ foton electron c (i$idiendo la expresi&n de energ%a entre c da
hv = √ P e 2+ mo 2 c 2 > pe c Lo cual contradice la expresi&n de la candad de mo$imiento sencialmente el mismo pro>lema se +a resuelto en una #orma di#erente en conexi&n con el e#ecto #otoel*ctrico anteriormente 3.4. (etermine el ,ngulo de dispersi&n máximo en un experimento "ompton donde el #ot&n disperso puede producir un par positro)electron :espuesta La longitud de onda de um>ral para un par positr&n)electr&n h∗c h =2 mo c 2 0 =2 λn Sustuendo este resultado en la ecuaci&n de "ompton se λ moc ene ' λ = λ + 2 λn ( 1 −cos) ) La expresi&n de la derec+a es la suma de dos t*rminos posi$os defnidos. (e aqu%- si ' 2 λn ( 1−cos) ) , λ n ntonces λ > λ n ! la producci&n de pares no puede ocurrir. Komado la igualdad para )n se determina 2 λn ( 1−cos ) n )= λ n B>ser$ando la grafca
3.10.
'
(eduzca la ecuaci&n de "ompton λ = λ +
:espuesta
h ( 1−cos) ) (o$
(e>emos tomar en cuenta que E= hv =
h hc el momentum p= . Si se λ λ
considera la conser$aci&n de energ%a
hc hc + mo c 2= ' + m c2 λ λ le$ando el cuadrado reacomodando t*rminos resulta 2 2 2 ' 2 3 h c 2 λ λ 2 hmoc ( m c ) = 2 ' 2 − ' + ( λ' − λ ) +( mo c 2 )2 ' λ λ λ λ λ λ 2
,partar de la conser$aci&n de momentum se o>ene el diagrama $ectorial que muestra ' 2
2
λ − λ − 2 λλcos) 2
2
2
' 2
2
' 2
'
Pe∗ Pe = P e = p + p = p + p − 2 p∗ p =
Sustuendo las ecuaciones 1 2 en la relaci&n
h 2
' 2
λ λ
¿
2 2
2 2
( m c ) =( Pec ) +( mo c ) se ontiene 2
h2 c 2 ( ' 2 2 2 2 ) ( ) 2 λ λ λλcos) mo c + − + λ2 λ' 2 :esol$iendo se o>ene la relaci&n de "ompton
λ' = λ +
h ( 1−cos) ) (o$ 45 * 1 −cos ¿
'
- λ = λ − λ o=
6.626∗10
( 9.11∗10−
31
kg )
−34
Js
(∗ ) 8
3 10 m
¿
−13
07.10 ∗10
=0,000710 nm
s
'
porlo tanto : λ = - λ + λ o=0,200710 nm
7. roducci&n aniquilaci&n de pares 7.1. 5n #ot&n de longitud de onda 0.0030 , en $ecindad con un nPcleo pesado- produce un para electr&n positr&n. (etermine la energ%a cin*ca de cada una de las parTculas si la energ%a del positr&n es el do>le de la del electr&n
.e E inicial= Efinal −3
12.4∗10
hc =2 mo c 2+ k + k =2 moc 2 + 3 K λ
(eV " ( =2 0.511 (eV ) 3 K 0.0030 "
K =1.04 (eV
K =2 K = 2.08 (ev
7.2. ncuentre las energ%as de dos #otones que se producen cuando la aniquilaci&n entre un electr&n un positr&n que inicialmente esta>a en reposo. :espuesta "omo el momentum inicial del par positr&n)electr&n es cero los #otones de>en $iaJar en direcciones opuestas con energ%as iguales entonces aplicando el principio de conser$aci&n de la energ%a se produce.
2 mo c
2
=2 E o E =mo c 2=0.511 (eV
7.3. La aniquilaci&n de un pa ene lugar cuando un electr&n un positr&n c+ocan de #renteproduciendo do #otones de 2.0 Qe8 que $iaJan en direcciones opuestas ncuentre las energ%as cin*cas del electr&n el positr&n antes del c+oque 2 mo c
2
2 ( 0.511 (eV ) +2 K =282.0 (eV ¿
+ 2 K =e 2 E
K =1.49 (eV
7.7. (etermine la longitud de onda um>ral para la producci&n de pares :espuesta La longitud de onda um>ral es aquella en la cual el positr&n el electr&n ene cero de energ%a cin*ca. La conser$aci&n de la energ%a en esta situaci&n ignorando la energ%a en retroceso del nPcleo= da
hc =2 m o c 2 λn
−3 12.4 ∗10 (eV " hc o λ n= = =0.0121 " 2 2 ( 0.511 (eV ) 2 mo c
7.. Bcurre una aniquilaci&n entre un electr&n un positr&n en reposo- produciendo tres #otones. "alcule la energ%a del tercer #ot&n si las de los otros dos son 0.20 0.30 Qe8 :espuesta , parr de la conser$aci&n de la energ%a 20.11Qe8= 9 0.20Qe8 U 0.30 Qe8 U E3= 0.522 (eV 7.6. !"uántos positrones puede producir un #ot&n de 200 Qe8' :espuesta La energ%a que se necesita para crear un par de electr&n positr&n en reposo es el do>le de la energ%a de un electr&n o 1.022 Qe8. or lo tanto
(
1 par 1.022 (eV
)(
1∗ positron
par
)
¿ 195 positrones 7.?. 5n electr&n de Qe8 experimenta aniquilaci&n con un positr&n en reposo- produciendo dos #otonesV uno de estos $iaJa en direcci&n del electr&n incidente. "alcule la energ%a de cada #ot&n. :espuesta l segundo #ot&n de>e $iaJar paralelo 9U1= o an paralelo 9)1= al primer #ot&n si se +a de conser$ar el momentum en direcci&n trans$ersal. (e acuerdo con la conser$aci&n del momentum
E E∗ E2 P= 1 + 0 E1 + E2 = pc c c Sustuendo pc en
( K ❑ + mo c ) =( pc ) (mo c ) 2 2
❑
Se o>ene
2
2 2
−¿+ mo c
5.511 (eV
¿
2
0.511 (eV ¿ 2 (¿)
k ¿
¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿
E1 + E2= √ ¿
E1 + E2= √ ¿ ara la conser$aci&n de la energ%a se requiere ❑
E1 + E2= k + m c + mo c =5 (eV + 2 ( 0.511 (eV )=6.02 (eV Si se sustue E1 en la ecuaci&n del momentum- da 2
2
o
−0.53 (eV =( E −1 ) E 2 or lo tanto se de>e considerar a )1 de manera que el segundo de #ot&n $iaJe en direcci&n opuestas al primero. ntonces las energ%as se determinan de E2=0.27 (eV E 1=5.75 (eV 7.. 5n electr&n un positr&n que $iaJan Juntos- como se muestra en la fgura- se aniquilan. encuentre las longitudes de onda de los #otones que se producen si am>os se deslazan a lo largo de la l%nea de mo$imiento del par original. :espuesta Si el proceso se o>ser$a en el sistema centro de masa- los #otones se aleJan en direcciones opuestas. Krans#ormando esto de regreso el marco de re#erencia del la>oratorio- aun se de>en encontrar los #otones que se mue$en en direcciones opuestas- porque la $elocidad de la>oratorio respecto el centro de masa es menor que c. La conser$aci&n de la candad de mo$imiento da
h h − λ1 λ2
2 mv= p 1− p 2=
"on 3 2
¿
2 ( 0.511 (eV ) ¿
(
2 mo c 2 mv=
√
2
)
( ) =¿ v c
()
c 1−
2
v
c
2
1
1
− =
λ1 λ 2
( 2 mv ) c hc
=
1.700 (eV −3
1.24∗10
(eV "
=142.7 "−1
Komando en cuenta la conser$aci&n de la energ%a 2 mc
2
=h v 1∗h v 2=
hc hc + λ1 λ2
"on 2 mc
2
=
√
2 mo c
2
=
2 ( 0.511 (eV )
=164.8 " −1
( ) √ −( )
v 2 1− 2 c
1
3
2
2
:esol$iendo simultáneamente las ecuaciones 1 2 se o>ene
λ1= 6.50∗10−3 " λ2= 9.05∗10−3 " 7.4. 5n electr&n un positr&n que se mue$en como en el pro>lema anterior se aniquilan los #otones se producen enen ángulos de dispersi&n iguales. (etermine la energ%a los ángulos de dispersi&n de los #otones. :espuesta "omo el momentum inicial en la direcci&n trans$ersal era cero- los #otones de>en tener la misma energ%a (e acuerdo con la conser$aci&n de energ%a con los resultados del pro>lema anterior
√
( )
v2 2 E =2 mo $ / 1 − 2 =¿ 2.077 Qe8 c 2
o 9 1.022 Qe8
, parr de la conser$aci&n del momentum en la direcci&n longitudinal2 mv=
E E cos) + cos−) c c
√
√
2 mo V
()
=
2
1−
v c2
√
2 mo c
( )
cos )
2
1−
v c2
3 v asi)= = / )= 30 * ) c 2 7.10. La producci&n de pares que ocurre en un campo magn*co de 0.1K da como resultado un positr&n un electr&n con radios de cur$atura de 120 mm 0 mm respec$amente (etermine la energ%a del #ot&n incidente. :espuesta ,plicando la segunda le de neFton a una parTcula carga en un campo magn*co
0&1 =
√
mo
() 2
& 1− 2 c
o
√
1
()
&2 1− 2 c
√ 1 +( 01+ ) =
2
mo c
(e aqu% que la energ%a total de una parTcula cargada sea
2
E= mc =0&1 =
√
+¿=( 0.511 (eV )
mo c 2
()
&2 1− 2 c
√[ 1+
√ 1+ ( 01+ ) =m o c
2
2
mo c
( 1,6∗10−
19
$ ) ( 0.1 2 ) ( 120∗10 m)
( 9.11∗10
−3
−31
kg )
(
8
3∗10 m
s
)
]
¿ 3,63 (eV
E ¿ ntonces por conser$aci&n de la energ%a ignorando el nPcleo pesado= −¿= 4.93 (eV +¿+ E¿ hv = E¿
5. ABSORCIÓN D !OTONS .1. !u* porcentaJe de la radiaci&n incidente de los raos x pasa a tra$*s de .0 mm de material cuo coefciente de a>sorci&n lineal es de 0.0?mmX)1' :espuesta − I =e &% =e−(0.07 mm )( 5.0 mm) =0.705=70.5 I o .2. 5n +az monocromáco de #otones incide so>re un material a>sor>ente .Si la intensidad incidente se reduce en un #actor de dos por mm de material !"uál es el coefciente de a>sorci&n' 1
I o 2
= I o e−& ( 8 mm)
−1
+esolviendo &=0.0866 m m
.3. ncuentre el semiespesor del aluminio si &= 0.070 mm−1 :espuesta l semiespesor es el que reduce la intensidad de un +az de #otones a la mitad de su $alor incidente (e esta #orma. 1 2
−1
= e−( 0.070m m ) r o % = 9.9 mm
.7. !"uál es la raz&n de la intensidad de un +az de #otones a su intensidad original despu*s de que pasa a tra$*s de un material cuo espesor es igual a dos semiepesores' :espuesta ,tre$es de cada semiespesor- la intensidad se reduce a la mitad de su $alor originalV por lo que siendo dos semiepesores la intensidad incidente ( I 0) disminue a un cuarto de su $alor inicial
I o 4
.. !"uál es el espesor del aluminio
−1
&o =0.44 m m
equi$ale a 6.0 mm de plomo
(&l=5.8 m m−1) ' 5n espeso equi$alente de aluminio reducirá la radiaci&n incidente en la misma candad que disminue al pasar a tra$*s de 6.0mm de plomo
I o 2
= I o e−& & = e−& &
% o=
l
&1 &o
deloc&al−& &l =−& o & o "si
l
−1
% 1=
5.8 m m
−1
0.044 m m
( 6.9 mm )=791 mm
.6. L material , ene un coefciente de a>sorci&n de 0.077 mm)1 el Y de 0-06mmX)1. Si la intensidad incidente es Ho la intensidad fnal será so>re - calcule los espesores de , Y si , tendrá el do>le del espesor de Y el +az pasa a tra$*s de am>os materiales. :espuesta Si el espesor de , es 2x la intensidad incidente so>re Y es
−¿ & e2 % I o e
¿
or lo tanto aplicando la le exponencial a Y
I ( ) I 3 = o = I o e−& 2 % e−& 2 = I o e−(2 &+ &) c 5
[
o
]
l
( 0.144 m m− ) 1
5= e
+esolviendo %=11.18 mm ! 2 % = 22.36 mm .?. (eri$e la #ormula I = I o e−&% :espuesta ara una energ%a de #ot&n dada- el MuJo de #otones se reduce en un material de>ido al e#ecto #otoel*ctrico a la producci&n de pares a la dispersi&n "ompton. l numero o reacciones- d< en el espesor dx es directamente proporcional a la magnitud del MuJo de #otones < al nPmero de átomos encontrados cuando los #otones pasan a tra$*s del pequeZo espesor del material , su $ez el nPmero de átomos en dx es proporcional a dx. or lo tanto. −d4 −&4 d% 1
integrandoesta ec&acion seo5tiene
d4 =¿∫ d% 4 0 4
∫¿
4 = 4 o e−&%
4 o
Perolaintensidad I de un +az monocromáco es proporcional a < n consecuencia − &% I = I o e .. (eseamos o>tener raos D con una longitud de onda de 2 [. !"uál +a>rá de ser la energ%a de cada #ot&n' !"uál es la di#erencia de potencial m%nima con la que +emos de acelerar electrones para producir dic+os raos D' La energ%a de un #ot&n en t*rminos de su longitud de onda es
hc 6.6 6 1034 3 6 108 E= hν = = =9.95 6 10 16 J # 10 λ 2 6 10 ara o>tener esta energ%a +emos de someter electrones a una di#erencia de potencial de
E 9.95 6 10−16 3 V = = −19 =6.22 6 10 V # 7 1.6 6 10 .4. !"uál es la #recuencia m%nima de una onda electromagn*ca para que sus #otones puedan desintegrarse generando un par electr&n\positr&n' La energ%a correspondiente a la masa del electr&n más la del positr&n es 2 2 31 2 16 −13 E=( m e + m p ) c =2 me c =2 6 9.1 6 10 3 10 =1.64 6 10 J ara que un #ot&n tenga como m%nimo esta energ%a +a de poseer una #recuencia maor de
E 1.64 6 10−13 20 ν= = − 34 = 2.47 6 10 89 h 6.63 6 10 .10. (etermina la constante de red de un cristal con una estructura cristalina cP>ica simple= que produce un segundo rao di#ractado con un ángulo de 7] cuando se le ilumina perpendicularmente con raos D de 1.6 [ de longitud de onda. La relaci&n entre la distancia entre átomos- (- la direcci&n del rao re#ractado la longitud de onda ulizada es . sen ) =nλ # or tanto- la constante de red $ale
.=
nλ 2 6 1.6 = =4.52 : # sen) sen 45
". Ondas de Bro#lie 6.1. ncuentre la longitud de onda de Yroglie de una >olita de 0.01g que ene una $elocida de 10m/s :espuesta −34
h 6,63∗10 Js λ = = = 6.63∗10−33 m=6.63∗10−23 " "on o>Jeto de o>ser$ar las mv m 0.01 Kg∗10 s ondas de (e Yroglie - se de>er realizar experimentos de inter#erencia o di#racci&n usando aperturas compara>les con la longitud de onda (e Yroglie .La anterior de 10−23 " es mas pequeZa por &rdenes de magnitud que cualquier apertura existe 6.2. (etermine el potencial de aceleraci&n que se necesita para proporcionar a un electr&n una longitud de onda de (e Yroglie de 1 , - la cual equi$ale al espaciamiento interat&mico de los átomos en un cristal. :espuesta or conser$aci&n de la energ%a calculo no reli$ista=- se ene
()
p2 h 1 eV = mo v = = 2 2 m o 2 mo λ 1
2
2
−34 ( 6.63∗10 Js ) h2 V = = =151 V 2 2 −31 −19 −10 2 mo e λ 2 ( 9.11∗10 kg ) ( 1,6∗10 $ ) ( 1∗10 m ) 2
B>s*r$ese que una energ%a cineca de 11 e8 es pequeZa comparada con la energ%a en reposo de 0.11 Qe8V esto Jusfca el calculo no rela$ista. otenciales de aceleraci&n del orden de 10 $olts son #áciles de o>tener en el la>oratorio por lo tanto contrario al caso macroscopio
6.3. "alcule la longitud de onda de Yroglie de un neoton ^termico_= de 0.0e8 :espuesta +aciendo el calculo no rela$ista 2 mo c
¿
2¿
√ ¿
h h λ = = p ¿ sta longitud de onda del orden 1I es mu accesi>le en la `sica de neutrones lentos.
6.7. "alcule la energ%a de un proton de longitud de onda 0. #m :espuesta h hc como λ = = - entonces p pc 0.5 fm =
1240 (eV fm
pc
pc =2480 (eV
,qu% la relaci&n rela$ista energ%a) momentum
E2=( pc )2+ E2o= ( 2480 (eV )2+ ( 938 (eV )2 K = E − Eo =2650 (eV − 938 (eV =1712 (eV prod&ce n este caso 9 o por tanto- #ue necesario un calculo rela$ista. 6.. Si se desea o>ser$ar un o>Jeto que mide 2. , !"uál es el #oton de minima energ%a que se puede usar' :espuesta "on el fn de que ocurra dispersi&n- la longitud de las ondas de>e ser del mismo orden de magnitus o mas pequeZa que el tamaZo del o>Jeto o>ser$ado . (e a+% que la longitud de onda máxima que se puede usar en este pro>lema es 9 2. , 3
hc 12.40∗103 eV ¿ Emin =h v min= = 4.96 λ ma% 2.5 " 6.6. :esol$er nue$amente el pro>lema anterior para electrones a no para #otones :espuesta "onoce en el pro>lema anterior la longitud de onda máxima era 2. la relaci&n que esta>lece entre la energ%a cineca momentum no es rela$ista P=√ 2 mo K (e a+o mo c
2
¿ 2¿ √ ¿ h h λ = = ¿
10 eV ( 12.4 ( hc )2 h2 ❑" ) K min = = = 2 mo 2 ( m c 2) /ma% 2 ( 0.511∗106 eV ) ( 2.5 " ) 2 o 3
2
p ,l comparar con el pro>le anterior se demuestra que para una energ%a dada- los electrones tendrán una potencia de resoluci&n muc+o mas alta que los #otones por estaa raz&n la miscrocopia de electrones pueden lograr magnifcaciones muc+o maores que las
de los microscopios opcos 6.?. (emuestre que la longitud de onda de Yroglie de una parcula es aproximadamente la misma que de un #oton con igual energ%a en reposo. :espuesta 2 2 2 2 E = p c + Eo Si OO o or tanto
h hc λ = =¿ p E ara un #oton E= hv =
hc de a+% λ
hc λl = =¿ λ E 6.. (etermine la $elocidad de #ase de la onda que corresponde a la longitud de onda (e
h p
Yroglie si λ = =
h mv
:espuesta La #recuencia de Yroglie se determina a parr de
mc 2 n cuanto a la $elocidad de #ase up se pued o>tener en E= mc =h v o v = h 2
#unci&n de
( )( )
m c2 h c2 o5servese0&e como v > c entonces& < c &p= vλ = = p h mv v 6.4. (etermine la $elocidad grupal de la onda que corresponde a la longitud de onda de h Yroglie de λ = p :espuesta La $elocidad grupal &g esta dada por &g =
dv usando la expresio para $ d ( λ−1 )
encontrada en el pro>lema anterior
&g
( ) = = () mc d h d
p h
2
2
c dm dp
Por diferenciacion de m2 c 4= p2 c 2+ m2o c 4 ! seo5tiene c2 m dm= p dp or lo tanto p dp m p &g = = =v dp m n la estructura de la meanica cuánca una parcula se descri>e asociándole un grupo de ondas que se #orma de la superposici&n de un numero infnito de ondas planas. "ada una de ellas se mue$e a una $elocidad de #ase- la cual puede exceder la $elocidad de la luzcomo se mostro en el pro>lema anterior
( )
6.10. ¿Cuál es la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve con una velocidad de 3.109 cm s-1? Si toda su energía cintica se trans!ormara en un !otón ¿cuál seria la longitud de onda de ese !otón? a" #eniendo en cuente el $rinci$io de %. de &roglie' la longitud de onda de una $artícula que se mueve con un im$ulso $' viene dada $or la e($resión)
λ =
h p , $or tanto 1* calculamos el valor del im$ulso
$ + m.v+ 9'1091.10-31,g. 3.109 cm s-1.10- m.cm-1+ '3 10-3 ,g.m.s-1
Teniendo en cuenta el número de cifras significativas correcto; p = 3.10-3 ,g.m.s-1 %a longitud de onda asociada al electrón vale) − 34
λ =
J . s −23 −1 2,7327.10 kg . m . s 6,6256.10
+2,4254.10-11 m
#eniendo en cuenta el n/mero de ci!ras signi!icativas correcto) 9 0-2 [
" %a energía cintica de un electrón' c' que se mueve con la velocidad' v' que dice el enunciado del $rolema 2 que $or tanto tiene el momento lineal que acaamos de calcular es) 2
p 1 = p . v Ec = mv = 2 2m 2 =(12! 2,"#2".10 -2# (g.m.s )1 = #.10 " (ms!= 1
;
=4,0$$1.10 -1% &.
Teniendo en cuenta el número de cifras significativas correcto; 'c = .10-16 4 Si toda esta energía $udiera trans!ormarse en un !otón' entonces la !recuencia de ese !otón sería +5 < 2 la longitud de onda del !otón sería
λ =
c < . or tanto;
<=
−16
J . s = 6,167.1017 s−1 −34 6,6256.10 J
4,099.10
−1
8
λ =
2,9979.10 m . s 17
−1
6,167.10 s
=
4,856 .10)10 m
#eniendo en cuenta el n/mero de ci!ras signi!icativas correcto) 9 [
&S78S : ; :; < #7 C=S % 8=%7 S >S#;#.
?. . 4. 10. 11.
spectros at&micos rincipios de incerdum>re de +einsem>erg cuaciones de Sc+rdinger ozos >arreras de potencial #ecto tPnel
