Ejercicios Estadísticos Autoevaluación 5-4 Como parte de un programa de servicio de salud para los
empleado empleadoss de la empresa empresa General General Concrete Concrete,, se efectúan efectúan anualmen anualmente te exámenes exámenes físi físico coss de ruti rutina na.. Se desc descub ubri rió ó que que 8 de los los empl emplea eado doss requ requie iere ren n !apa !apato toss correc correctiv tivos" os" #$ un traba% traba%o o denta dentall import important ante" e" & ' requiera requieran n tanto tanto !apato !apatoss correctivos como un traba%o dental ma&or. a( )Cuál )Cuál es la prob probabi abilid lidad ad de que un emplea empleado do selecci selecciona onado do al a!ar a!ar neces necesite ite !apatos correctivo o un traba%o dental considerable* b( +uestre +uestre esta situac situación ión en forma forma de diagra diagrama ma de enn. enn. Solución: a) -l evento se refiere a la necesidad de !apatos correctivos. -l evento / se
refiere a la necesidad de un tratamiento dental. 01 o /( 2 01( 3 01/( 4 01 & /( 01 o /( 2 5.58 3 5.#$ 5.5' 01 o /(2 5.65 b)
7n estudio de 655 empresas de publicidad reveló los siguientes ingresos despus de impuestos9 Ingresos después de impuestos
Menos de $ 1 millón De $ 1 millón a $ 20 millones $ 20 millones o mas
Número de empresas
#56 :# '; 200
a( )Cuál )Cuál es la prob probabi abilid lidad ad de que una empresa empresa de publi publicid cidad ad selecci selecciona onada da al a!ar tenga un ingreso despus de impuesto menor a <# millón*
b( )Cuál es la probabilidad de que una empresa de publicidad seleccionada al a!ar tenga un ingreso despus de impuestos entre <# millón & <65 millones o un ingreso de <65 millones o más* )=u regla de probabilidad aplicó* Solución: a) 01(2#55 > 655 2 5.$ " $#
-s la probabilidad de que una cadena tenga
menos de # millón. b) Como son mutuamente exclu&entes & colectivamente ex?austivos9 61
01/ o C(2 01/(301C(2
200
+
37 200
=0.49 esta es la probabilidad de q una
tienda tenga entre # millón & 65 millones o más. Se aplicó la regla especial de la adición9
01 o /(201(301/( 1! 7n estudio de las opiniones de dise@adores en lo referente al color primario más
conveniente para aplicar en oficinas e%ecutivas indico9
Color primario
Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Índigo Violeta
Numero de opiniones
A6 8: B: A# '; B: 6 400
a( )Cuál es el experimento* b( )Cuál es un evento posible* c( )Cuál es la probabilidad de seleccionar una respuesta específica & descubrir que el dise@ador prefiere ro%o o verde* d( )Cuál es la probabilidad de que un dise@ador no prefiera el amarillo* Solución:
-l experimento seria -lección del color para las oficinas e%ecutivasD. a) 7n evento posible seria que A6 dise@adores opinan que el ro%o sería una buena
elección.
b) Color primario
Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Índigo Violeta
"#$)
Numero de opiniones
/ C E F G
A6 8: B: A# '; B: 6
TOTAL
400
a suma de todas las opiniones son de B55 por lo tanto para descubrir una respuesta específica & descubrir que el dise@ador prefiere entre ro%o & verde usamos la siguiente regla9 "#A o %)&"#A)'"#%)
Son mutuamente exclu&entes 92
01 o E(2
+
400
91 400
=
0.46
0ara la probabilidad de que el dise@ador no prefiera el amarillo usamos la regla del complemento9 01C(301HC(2# P ( ~ C)
=
1−
46 400
=
0.86
1(! -l presidente de la %unta directiva afirma9 Ia& $5 de posibilidades de que esta
compa@ía obtenga utilidades" '5 de que termine sin prdidas ni ganancias & 65 de que pierda dinero durante el próximo trimestre.D a( plique una de las reglas de la adición para determinar la probabilidad de que la compa@ía no pierda dinero el siguiente trimestre. b( plique la regla del complemento para determinar la probabilidad de que no pierda dinero el próximo trimestre. Solución: a) usamos la regla de la adición9
01 o E(201(301E(
∴
P( Ao B) =
50
+
30
=
100 100
0.8
-s la probabilidad con la q no se pierde dinero.
b) usando la regla del complemento9
( ) + P ( ~ C)
P C ∴ P
( ~ C) = 1−
=1
20 =
0.8
100
41! -l equipo de beisbol udloJ Kildcats, un equipo de las ligas menores de la
organi!ación de los Lndios de Cleveland, %uega ;5 de sus partidos por la noc?e & '5 de día. -l equipo gana $5 de los %uegos nocturnos & A5 de los %uegos de día. Ee acuerdo con el periódico de ?o&, ganaron el día de a&er. )Cuál es la probabilidad de que el partido se ?a&a %ugado de noc?e. Solución:
# 2 %uegos por la noc?e 2 5.;5 6 2 %uegos por el día 2 5.'5 / 2 ganar 01/>#( 2 5.$5 01/>6( 2 5.A5
(
/ )=
P A 1 B
(
) ( / ) P ( A 1 ) P ( B| A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∨ A 2) P A 1 P B A 1
P ( noche ∨ ganar )=
P ( noche ∨ ganar )=
(
∨ B 1)=
(
∨ B 1)=
P A 1
P A 1
P ( noche ) P ( ganar ∨ noche ) P ( noche ) P ( ganar|noche ) + P ( dia ) P ( ganar ∨ dia)
( 0.70 ) ( 0.50 ) ( 0.70 ) ( 0.50 )+( 0.30 )( 0.90 )
0.35 0.35
+ 0.27
0.35 0.62
P ( A 1|B 1 )= 0.5645 P ( A 1|B 1 )= 56.45
a probabilidad de que el %uego se ?a&a desarrollado por la noc?e es del $:.B$ 42! a doctora Stallter ?a ense@ado estadística básica por varios a@os. -lla sabe que
85 de los estudiantes terminará los problemas asignados. Mambin que entre quienes ?acen sus tareas, A5 pasará el curso. -ntre los que no ?acen su tarea, :5 pasará el curso. +iNe Fis?baug? cursó estadística el semestre pasado con la doctora Stallter & pasó. )Cuál es la probabilidad de que ?a&a terminado sus tareas*
Solución:
# 2 ?acen todos los problemas 2 5.85 6 2 no ?acen todos los problemas 2 5.65 / 2 menores a 6B meses 01/>#( 2 5.A5 01/>6( 2 5.:5
(
) ( / ) P ( A 1 ) P ( B| A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∨ A 2) P A 1 P B A 1
(
/ )=
(
∨ B )=
(
∨ B 1)=
P A 1 B
P A 2
P A 1
( 0.80 ) (0.90 ) ( 0.80 ) ( 0.90 ) +(0.20 )( 0.60 ) 0.072 0.35
+ 0.27
P ( A 1|B 1 )= 0.8571 P ( A 1|B 1 )= 85.71
a probabilidad de que +iguel Sánc?e! ?a&a resuelto todos los problemas asignados es de 8$.;#. 4! -l departamento de crdito de ions Eepartamento Store, informo que '5 de las
ventas se paga con efectivo o con c?eque, '5 se paga con tar%eta de crdito & B5 con tar%eta de dbito. einte por ciento de las compras con efectivo o c?eque, A5 de las compras con tar%eta de crdito & :5 de las compras con tar%eta de dbito son por más de <$5. a se@ora Mina Stevens acaba de comprar un vestido nuevo que le costó <#65. )Cuál es la probabilidad de que ?a&a pagado en efectivo o con c?eque* Solución:
# 2 ventas en efectivo 2 5.'5 6 2 ventas con c?eque 2 5.'5 ' 2 ventas a crdito 2 5.B5
/# 2 compras O < $5 /6 2 compras P < $5 01/>#( 2 5.65 01/>6( 2 5.A5 01/>'( 2 5.:5
(
) ( / ) P ( A 1 ) P ( B| A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B| A 2 ) + P ( A 3 ) P ( BǀA 3 ) P A 1 P B A 1
(
/ )=
(
∨ B )=
P A 1 B
P A 1
( 0.30 ) (0.20 ) ( 0.30 ) ( 0.20 )+( 0.30 )( 0.90 )+( 0.40 )( 0.60 )
P ( A 1∨ B 1)=
P ( A 1∨ B 1)=
0.06
0.06
+ 0.27 + 0.24
0.06 0.57
(
|
)=0.1053
(
|
)=10.53
P A 1 B 1
P A 1 B 1
a probabilidad de que la Sra. Mina Stevens ?a&a pagado en efectivo es del #5.$' *1! rmco, un fabricante de sistemas de semáforos, descubrió que, en las pruebas de
vida acelerada, A$ de los sistemas recin desarrollados duraban ' a@os antes de descomponerse al cambiar de se@al. a( Si una ciudad comprara cuatro de estos sistemas, )cuál es la probabilidad de que los cuatro sistemas funcionen adecuadamente durante ' a@os por lo menos* b( )=u regla de la probabilidad se e%emplifica en este caso* c( Qepresentando los cuatro sistemas con letras, escriba una ecuación para demostrar cómo llegó a la respuesta a(. Solución: a) Sea x el evento de que un sistema dure ' a@os, entonces9
01x( 2 5.A$ Eado que son B sistemas, entonces la probabilidad de que los cuatro sistemas funcionen adecuadamente durante al menos ' a@os estará dada por9 01x(01x(01x(01x( 2 15.A$(15.A$(15.A$(15.A$( 2 5.8#B$ b) Qegla del producto para eventos independientes.
c) Eado los siguientes eventos independientes9 A+ -l sistema dura al menos ' a@os. ,+ -l sistema / dura al menos ' a@os. + -l sistema C dura al menos ' a@os. %+ -l sistema E dura al menos ' a@os.
-ntonces9 01 & / & C( 2 01 R / R C R E( 2 01(01/(01C(01E( 2 15.A$(15.A$(15.A$(15.A$( 2 5.8#B$ *! -n un programa de empleados que reali!an prácticas de gerencia en Claremont
-nterprises, 85 de ellos son mu%eres & 65 ?ombres. oventa por ciento de las mu%eres fue a la universidad, así como ;8 de los ?ombres. a( l a!ar se elige a un empleado que reali!a prácticas de gerencia. )Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea una mu%er que no asistió a la universidad* b( )-l gnero & la asistencia a la universidad son independientes* )0or qu* c( Constru&a un diagrama de árbol que muestre las probabilidades condicionales & probabilidades con%untas. d( )as probabilidades con%untas suman #.55* )0or qu* Solución:
a( Sea x el evento de elegir una mu%er. Sea & el evento de elegir a alguien que no fue a la universidad. -ntonces : 01x(01&( 2 15.8(15.#( 2 5.58 b( o son eventos independientes dado que los datos indican que ?a& una relación entre el porcenta%e de ?ombres 1;8( & mu%eres 1A5( que fueron a la universidad. c(
d) as probabilidades con%untas deben sumar # dado que se enuncian todos los
posibles resultados. *5! Ia& #55 empleados en la empresa Tiddie Carts Lnternational, de esos $; son de
producción, B5 son supervisores, 6 son secretarias & el empleado restante es el director general. Suponga que se selecciona un empleado de ese grupo9 a( )Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un traba%ador de producción* b( )Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un traba%ador de producción o un supervisor* c( Qespecto del inciso b(, )estos eventos son mutuamente exclu&entes* d( )Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado no sea traba%ador de la construcción ni supervisor* Solución: a)
01# labore producción( 2 $; > #55 01# labore producción( 2 5,$; b) 01 o /( 2 01( 3 01/(
01 o /( 2 $;>#55 3 B5>#55 2 5.$; 3 5.B5 2 5.A; c) os eventos del inciso 1b( si son mutuamente exclu&entes, &a que el empleado
no puede ser de producción & supervisor al mismo tiempo. d) 0 1no producc. ni supervisor( 2 # U 5,A;
0 1no producc. ni supervisor( 2 5,5' .2! Se extrae una bola de una urna que contiene B bolas ro%as, $ blancas & : negras,
)cuál es la probabilidad de que la bola sea ro%a o blanca* )Cuál es la probabilidad de que no sea blanca* Solución: 4
01QV/( 2
15
+
5 15
=
9 15
=
5
01Ḃ( 2 # 4 p1/( 2 # U
15
3 5
=
10 15
=
2 3
.! -l conse%o directivo de Saner utomatic Eoor Co. -stá formado por #6 integrante,
' de los cuales son mu%eres. Se va a redactar un nuevo manual de políticas & procedimientos para la empresa. Eebe seleccionarse un comit de miembros, en forma aleatoria, del personal del Conse%o, para que redacten el manual. a( )Cuál es la probabilidad de que todos los integrantes del comit sean varones*
b( )Cuál es la probabilidad de que al menos # elemento del citado comit sea una mu%er* Solución:
∗
3 C 9 0 C 3
a) 01I( 2
3 C 12
=
84 220
= 0.382
84
b) 01+( 2 # 4 01I( 2 # 4
220
=0.618
=ue tambin se podría ver como 3 C 12
01+( 2
−3 C 9∗0 C 3 3 C 12
=0 . 618
.5! -l comisario de la policía de Kood Count& clasifica los delitos de acuerdo con la
edad 1en a@os( del mal?ec?or, & si el crimen ocurrió con violencia o sin ella. Como se muestra a continuación, al comisario le reportaron un total de #$5 delitos cometidos durante el pasado a@o. Edad #en a/os) Tipo de delito
enos de 20
20 a 40
40 o mas
otal
Con violenia !in violenia
6;
B#
#B
86
#6
'B
66
:8
Total
(
.5
*
150
a) Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso para anali!arlo & encontrar que
fue un delito con violencia* b) Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso para anali!arlo & descubrir que
el delito lo cometió alguien con menos de B5 a@os de edad*
c) Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso & que el crimen ?a&a sido
cometido con violencia o que el delincuente tenga menos de 65 a@os* =u regla de adición se aplicó* d) Eado que se selecciona para análisis un delito con violencia, cuál es la
probabilidad de que lo ?a&a cometido una persona menor de 65 a@os* e) 7n %ue! seleccionó dos casos para revisarlos. Cuál es la probabilidad de que
ambos sean crímenes cometidos con violencia* Solución: a)
01( 2 86 > #$5 2 5,$B: b)
01 o /( 2 01( 3 01/( 01 o /( 2 1'A > #$5( 3 1;$ > #$5( 01 o /( 2 5,6: 3 5,$5 01 o /( 2 5,;: c) Se aplicó la regla general de la adición9
01 o /( 2 01( 3 01/( U 01 & / ( 01 o /( 2 86 > #$5 3 'A > #$5 U 6; > #$5 01 o /( 2 5,$B: 3 5,6: U 5,#8 01 o /( 2 5,:6: d)
0 1#( 2 6; > 86 2 5,'6A e)
0 1 & /( 2 0 1( 0 1/( 0 1 & /( 2 186 > #$5( 18# > #BA( 0 1 & /( 2 15,$B:( 15,$B'( 0 1 & /( 2 5,6A:
Ejercicios Estadísticos 10! -n una situación binomial, n 2 $ &
5.B 2
siguientes eventos usando la fórmula binomial. a( x 2 # b( x 2 6
a( 01x2#( 2 $C# 15.B5(#1#U5.B5(1$U#(
Eetermine las probabilidades de los
2 $ W 15.B5( W 15.#6A:( 2 5.6$A6 2 6$.A6
b) 01x26( 2 $C6 15.B5(61#U5.B5(1$U6(
2 #5 W 15.#:( W 15.6#:( 2 5.'B$: 2 6$.A6
#6. Suponga que existe una distribución binomial en la que n 2 $ & 5.'52 . a( Consulte el apndice /.A & elabore una lista de probabilidades para valores de x de 5 a $. b( Eetermine la media & la desviación estándar de la distribución a partir de las definiciones generales de las fórmulas 1:U#( & 1:U6(. Solucuion9 a(
a(
x
"#)
!pm
#-u)2!pm
0 1 2 " #
5,#:8 5,':5 5,'5A 5,#'6 5,568 5,556
5,55 5,': 5,:6 5,B5 5,## 5,5#
5,$$ 5,6$ 5,5# 5,#A 5,#$ 5,55
EJERCICIO 17
Una población normal tiene media 50 y desviación estándar 4
a. Calcule la probabilidad de tener un valor entre 44.0 y 55.0
b. Evalúe la probabilidad de tener un valor mayor que 55.0 05 ! 0"#44 $ 0%05& c. 'etermine la probabilidad de tener un valor entre 5(.0 y 55.0
4. Mire and uto Suppl& contempla ?acer una división de 6 a # de las acciones.
ntes de reali!ar la transacción, por lo menos dos terceras partes de los #.655 accionistas de la compa@ía deben aprobar la oferta. 0ara evaluar la probabilidad de que la oferta se apruebe, el Eirector de finan!as eligió una muestra de #8
accionistas. Contactó a cada uno & vio que #B aprobaron la propuesta. )Cuál es la probabilidad de este evento, si dos terceras partes de los accionistas dan su aprobación* #B>#825,;;;8 6>'25,:::; 5,;;;8O5,:::; la probabilidad que dos terceras partes den su aprobación es alta. 54. a doctora Qic?mond, psicóloga, estudia el ?ábito de ver televisión durante el día
de estudiantes de preparatoria. -lla cree que B$ de los estudiantes de preparatoria ve telenovelas por la tarde. 0ara investigar un poco más, elige una muestra de #5. a) -labore una distribución de probabilidad del número de estudiantes de la muestra que ven telenovelas. b) Eetermine la media & la desviación estándar de esta distribución. c) )Cuál es la probabilidad de encontrar que exactamente cuatro vean telenovelas* d) )Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de los estudiantes elegidos vean telenovelas* Solución: a) 0ara elabora la tabla de probabilidad realice una distribución de probabilidad
binomial usando la siguiente fórmula9 01x( 2 nCx px 1# U 0(nUx Eonde9 C9 denota una combinación. n2 es el número de pruebas. x2 es la variable aleatoria definida como el número de xitos. )2 es la probabilidad de un xito en cada prueba o ensa&o. Con la información dada la tabla de probabilidad se constru&e con n25, #,6,',X. #5, siendo la probabilidad de xito 5.B$ Sustitu&endo9 015( 2 #5C5 15.B$(5 1# U 5.B$(#5U5 2 5.556$ 01#( 2 #5C# 15.B$(# 1# U 5.B$(#5U# 2 5.565; 016( 2 #5C6 15.B$(6 1# U 5.B$(#5U6 2 5.5;:' 01'( 2 #5C' 15.B$(' 1# U 5.B$(#5U' 2 5.#::$ 01B( 2 #5CB 15.B$(B 1# U 5.B$(#5UB 2 5.6'8B 01$( 2 #5C$ 15.B$($ 1# U 5.B$(#5U$ 2 5.6'B5 01:( 2 #5C: 15.B$(: 1# U 5.B$(#5U: 2 5.#$A: 01;( 2 #5C; 15.B$(; 1# U 5.B$(#5U; 2 5.5;B: 018( 2 #5C8 15.B$(8 1# U 5.B$(#5U8 2 5.566A 01A( 2 #5CA 15.B$(A 1# U 5.B$(#5 UA 2 5.55B6 01#5( 2 #5C#5 15.B$(#5 1# U 5.B$(#5 U#5 2 5.555' =uedando la tabla de la siguiente forma9
Número (x)
"robabilidad #")
0 1 2 " # % & ' ( 10
5,556$ 5,565; 5,5;:' 5,#::$ 5,6'8B 5,6'B5 5,#$A: 5,5;B: 5,566A 5,55B6 5,555'
b) 0ara determinar la media 1Y( & la varian!a 1 n6( se puede calcular de la
siguiente forma9
+edia de una distribución binomial Y 2 n.p Y 2 n.p 2 1#5( 15.B$( 2 B.$ Eesviación estándar de una distribución binomial Z[ 2 n.p 1#U p( Z[ 2 #55.B$ 1# U 5.B$( 2 #.$; c) 0ara determinar la probabilidad de que exactamente cuatro estudiantes vean
telenovelas, podemos ver la tabla del inciso a(, que lo podemos demostrar mediante la fórmula de distribución binomial quedando de la siguiente forma9 01B( 2 #5CB 15.B$(B 1# U 5.B$(#5UB 2 5.6'8B -s decir la probabilidad es de 6'.8B de que cuatro estudiantes vean telenovelas. d) -n este caso se está pidiendo la probabilidad de que menos del $5 de los
estudiantes vean telenovelas, es decir se acumulan o suman las probabilidades ?asta 01B(, quedando de la siguiente forma9 0 1x\B( 2 015( 3 01#( 3 016( 3 01'( 3 01B( Sustitu&endo9 0 1x\B( 2 5.556$35.565;35.5:;'35.#::$35.6'8B 2 5.$5BB -l $5.BB de probabilidades que menos del $5 de los estudiantes vean telenovelas. 5! ColgateU0almolive, Lnc., creó recientemente una nueva pasta dental con
sabor a miel. ]sta fue probada por un grupo de die! personas. Seis de ellas di%eron que les gustaba el nuevo sabor & las cuatro restantes indicaron que en definitiva no les agradaba. Cuatro de las die! se seleccionan para que
participen en una entrevista a fondo. -ntre quienes fueron elegidos para la entrevista, )cuál es la probabilidad de que a dos les ?a&a gustado el nuevo sabor, & a dos no*
