Estática 9
Centro de Gravedad y Centroide
Objetivos • Concepto de centro de gravedad, centro de masas y centroide • Determinar la localización del centro de gravedad y del centroide para un sistema de partículas discretas y para un cuerpo de forma arbitraria • Teoremas de Pappus y Guldinus • Mtodo para encontrar la resultante de una carga distribuida de manera general
Objetivos • Concepto de centro de gravedad, centro de masas y centroide • Determinar la localización del centro de gravedad y del centroide para un sistema de partículas discretas y para un cuerpo de forma arbitraria • Teoremas de Pappus y Guldinus • Mtodo para encontrar la resultante de una carga distribuida de manera general
Índice !" Centro Centro de Graved Gravedad ad y Centr Centro o de de Masas Masas par un #istema de Partículas $" Cuerp uerpos os comp compue uest sto os %" Teor Teorem emas as de de Papp Pappus us y Gul Guldi dinu nuss &" 'esu 'esultltan ante tess de carg cargas as dis distr trib ibui uida dass (" Pres Presió ión n de un flui fluido do
9.1 Centro de Gravedad y Centro de Masas para un Sistema de Partícuas Centro de Gravedad • )ocaliza el peso resultante de un sistema de partículas • Consideramos un sistema de n partículas fi*o dentro de una región del espacio • )os pesos de las partículas pueden reempazarse por una +nica e-uivalente. resultante con un punto de aplicación G bien definido
9.1 Centro de Gravedad y Centro de Masas para un Sistema de Partícuas Centro de Gracedad • Peso resultante / peso total de las n partículas •
•
W R=
∑ W
#uma de los momentos de los pesos de todas las partículas respecto a los e*es 0, y, z a0es / momento del peso resultante respecto a esos e*es #uma de momentos respecto al e*e 0, xW ̄ R =̃ x 1 W 1 + x̃ 2 W 2 +. .. + x̃ n W n
•
#uma de momentos respecto al e*e y, ȳ W R=̃ y 1 W 1 +̃ y 2 W 2 +.. . +̃ y n W n
9.1 Centro de Gravedad y Centro de Masas para un Sistema de Partícuas Centro de Gravedad • 1un-ue los pesos no producen momento sobre el e*e z, podemos rotar el sistema de coordenadas 234 respecto al e*e x o y . con las partículas fi*as y sumar los momentos respecto al e*e x o y ., z̄ W R = z̃ 1 W 1 + z̃ 2 W 2 + . . . + z̃ n W n
•
De manera general, si g es constante, x̃ m z̃ m y m ∑ ∑ ∑ ̃ x̄ = ; ȳ = , z̄ = ∑m ∑m ∑m
9.1 Centro de Gravedad y Centro de Masas para un Sistema de Partícuas Centro de Masas • 5a -ue el peso es 6 / mg ỹ m x m z m ∑ ∑ ∑ ̃ ̃ x̄ = ; ȳ = , z̄ =
∑m
• •
∑m
∑m
7sto implica -ue el centro de gravedad coincide con el centro de masas )as partículas tienen peso solo ba*o la influencia de una atracción gravitatoria, mientras -ue el centro de masas es independiente de la gravedad"
9.1 Centro de Gravedad y Centro de Masas para un Sistema de Partícuas Centro de Masas • 8n cuerpo rídigo est9 compuesto poun un n+mero infinito de partículas • #i consideramos una partícula arbitraria de peso d6
x̃ dW ỹ dW ∫ z̃ dW ∫ ∫ x̄= ; ȳ= ; z̄= ∫ dW ∫dW ∫dW
9.1 Centro de Gravedad y Centro de Masas para un Sistema de Partícuas Centroide de un :olumen • Consideremos un ob*eto subdivididos en elementos de volumen d:" Para la localización del centroide,
∫ x̃ dV ∫ ỹ dV ∫ z̃ dV x̄ =
V
∫ dV V
; ȳ =
V
∫ dV V
; z̄ =
V
∫ dV V
9.1 Centro de Gravedad y Centro de Masas para un Sistema de Partícuas Centroide de un ;rea • Para el centroide de la superficie de un ob*eto, tal como una placa o un disco, subdividimos el 9rea en elementos diferenciales dA x̄ =
∫ x̃ dA
̃ ∫ ydA
∫ z̃ dA
A
A
A
∫ dA A
; ȳ =
∫ dA A
; z̄=
∫ dA A
9.1 Centro de Gravedad y Centro de Masas para un Sistema de Partícuas Centroide de una )ínea • #i la geometría de un ob*eto toma la forma de una linea, el balance de los momentos de cada elemento diferencial dL respecto a cada e*e, resulta
∫ x̃ dL x̄ =
L
∫ dL L
̃ ∫ ỹ dL ∫ zdL ; ȳ =
L
∫ dL L
; z̄ =
L
∫ dL L
Ejempo )ocalice el centroide de la barra doblada formando un arco parabólico
Souci!n 7lemento diferencial )ocalizado sobre la curva en un punto arbitrario 0, y. ;rea y
2
+
( dy )
2
=
√ ( ) dx dy
2
+ 1 dy
dL= √ ( 2y )2 + 1 dy
5a -ue 0 / y , y resulta, d0=dy / $y $
y ̃ =y ̃ =x, x
7l centroide est9 localizado en
Souci!n >ntegrando
∫ x̃ dL ∫ x √ 4y + 1 dy ∫ y √ 4y + 1 dy x̄ = = = ∫ dL ∫ √ 4y + 1 dy ∫ √ 4y + 1 dy 2
2
2
L
2
2
L
0.6063 =0.410 m 1. 479
∫ ỹ dL ∫ y √ 4y +1 dy ȳ = = ∫ dL ∫ √ 4y + 1 dy 2
L
2
L
0.8484 = 0.574 m 1. 479
9." Cuerpos compuestos •
• •
Consisten en una serie de cuerpos ?m9s simples@ e*" rectangulares, triangulares o semicirculares. conectados entre sí 8n cuerpo puede ser seccionado en sus partes componentes Para un n+mero finito de pesos tenemos x ̄=
∑ x̃ W ∑ W
y ̄=
∑ ỹ W ∑ W
z ̄=
∑ z̃ W ∑ W
9." Cuerpos compuestos Procedimiento de 1n9lisis Partes • Dividir el cuerpo en un n+mero finito de partes -ue tengan una forma m9s simple • )os Auecos se tratan como una parte con peso o tamaBo negativo
9." Cuerpos compuestos Procedimiento de 1n9lisis #umas • Determinar las coordinadas del centro de gravedad aplicando las ecuaciones del centro de gravedad • #i un ob*eto es simtrico respecto a un e*e" 7l centroide est9 localizado en ese e*e
Ejempo )ocalizar el centroide de la placa"
Souci!n Partes Dividimos la placa en % segmentos" l 9rea del rect9gulo pe-ueBo se puede considerar ?negative@"
Souci!n
#uma x ̄=
∑ x̃ A =−4 =−0.348 mm ∑ A 1 1 . 5 ∑ ỹ A 14
9.# $eoremas de Pappus y Gudinus •
•
8na superficie de revolución se genera rotando una cuerva plana alrededor de un e*e fi*o en el plano de la curva 8n volumen de revolución se genera rotando un 9rea plana alrededor de un e*e fi*o en el plano del 9rea
9.# $eoremas de Pappus y Gudinus •
#e usan los teoremas de Pappus y Guldinus para encontrar las superficies y los volumenes de cual-uier ob*eto de revolución siempre -ue las curvas y 9reas generadoras no crucen el e*e respecto al cual son rotadas ;rea de una #uperficie • 7l 9rea de una superficie de revolución / producto de la longitud de la curva por la distancia -ue recorre el centroide al generar la superficie
A=θ̄ r L
9.# $eoremas de Pappus y Gudinus :olumen • :olumen de un cuerpo de revolución / producto del 9rea generadora por la distancia via*ada por el centroide al generar el volumen
V=θ r̄ A
Ejempo Demuestre -ue el 9rea de la superficie de una esfera es 1 / &' y su volumen : / &=% ' " $
%
Souci!n ;rea de la superficie Generada por el semicírculo rotando alrededor del e*e 0 Para el centroide, r =2R / π ̄
Para la superficie 9rea, A=θ r̃ L;
Souci!n :olumen Generado por la rotación de un 9rea semicircular alrededor del e*e 0 Para el centroide, r̄ = 4R / 3π Para el volumen, V=θ ̃r A;
( )( )
4R V= 2π 3π
1 πR 2 2
4 3 = πR 3
9.% &esutante de una car'a distribuida Distribución de la presión sobre una superficie • Consideramos una superficie plana sometida a una carga por unidad de superficie p / p0, y. Pa • Determinamos la fuerza dE -ue act+a sobre el elemento de 9rea d1 m de la placa, localizado en el punto 0, y. dE / Fp0, y. =m Hd1 m . / Fp0, y. d1H • )a carga entera se representa como un infinito n+mero de $
$
$
9.% &esutante de una car'a distribuida Distribución de la presión sobre una superficie" • 7l sistema se puede simplificar a una fuerza resultante ( actuando sobre un punto +nico de la placa '
9.% &esutante de una car'a distribuida Magnitud de la fuerza resultante • Para determinar la magnitud de (', sumamos las fuerzas diferenciales d( actuando sobre cada elemento de 9rea • Magnitud de la fuerza resultante / volumen total el diagrama distribuido de cargas • )a localización de la fuerza resultante es xρ ( x,y ) dA xdV x̄ = = ρ ( x,y ) dA dV
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ yρ ( x,y ) dA ∫ ydV
9.) Presi!n en *uidos • De acuerdo a la ley, y fluido en reposo crea una presión p en un punto siendo la misma en todas las direcciones" • )a magnitud de p depende del peso específico I o de la densidad m9sica J del fluido, y de la profundidad z desde la superficie a la -ue se encuentra el punto considerado p / Iz / Jgz • 7sto solo es v9lido para fluidos incompresibles • 8n gas es un fluido compresible y la anterior ecuación no puede usarse
9.) Presi!n en *uidos Placa plana de ancAura constante • Considere una placa rectangular de espesor constante sumergida en un lí-uido de peso específico I • 7l plano de la placa forma un 9ngulo con la Aorizontal seg+n se muestra
9.) Presi!n en *uidos Placa plana de ancAura constante • Como la presión varía linealmente con la profundidad, la presión sobre la placa se representa por un volumen trapezoidal, teniendo una intensidad de p / Iz en z , y p / Iz en z • Magnitud de la fuerza resultante ( / volumen del diagrama de cargas !
$
$
$
'
!
!
9.) Presi!n en *uidos Placa plana curvada de ancAura constante • Cuando la placa sumergida est9 curvada, la presión -ue act+a normal a la placa cambia continuamente de dirección • #e puede determinar E , la localización del centroide C, y del centro de presiones P, por integración '
9.) Presi!n en *uidos Placa plana de ancAura variable • Consideramos la distribución de carga -ue act+a sobre la superficie de una placa sumergida de espesor variable • )a presión uniforme p / Iz fuerza=9rea. actu9 sobre d1, la magnitud del elemento de fuerza d ( dE / d: / p d1 / Iz0dyK.
9.) Presi!n en *uidos Placa plana de espesor variable • 7l centroide CL define el punto en el -ue (' act+a
∫
∫
F R = ρdA= dV =V • 7l centro de presión P -ue se encuentra en la superficie de la placa *usto deba*o del centroide del volumen del diagrama de presiones de C viene dado por x̃ dV ỹ 'dV x̄ = ȳ '= dV dV
∫ ∫
∫ ∫
Ejempo Determine la magnitud y localización de la fuerza Aidrost9tica resultante sobre la placa sumergida 1<" )a placa tiene un ancAura de !"(m J / !333Og=m " %
N
Souci!n )a presión del agua a las profundidades 1 y < son ρ A =ρw gz A =( 1000 kg / m3 )( 9.81 m / s 2 )( 2m )= 19.62 kPa ρ B =ρ w gz B=( 1000 kg / m3 )( 9.81 m / s 2 )( 5m )= 49.05 kPa Para las intensidades de las cargas en 1 y <, w A =bρ A =( 1.5m )( 19.62 kPa )=29.43 k / m w B =bρ B=( 1.5m )( 49.05 kPa )=73.58 k / m
Souci!n Para la magnitud de la fuerza resultante ( creada por la carga distribuida" '
F R =ar!a "# $ra%!z"&d 1
( 3 )( 29.4 +73.6 )=154.5N
2
7sta fuerza act+a TAis force act+a sobre el centroide del 9rea, a una altura 1 2 ( 29.43 )+ 73.58 '= ( 3 )=1.29 m 3 29. 43 + 73.58
(
medida desde <
)
Soution 7l mismo resultado se puede optener considernado dos componentes de ( definidas por el triangulo y rect9ngle" Cada fuerza act+a a travs de su centroide asociado y tiene una magnitud de '
F Re =( 29.43 k / m )( 3m )= 88.3 k F $ =( 44.15 k / m )( 3m )= 66.2 k
5 resulta F R =F R! (F R= 8 8 . 3 k( 6 6 . 2 k= 154 .5 k
Souci!n )a localización de ( se determina sumando los momentos respecto a < '
∑ ( ) ) =∑ ) ; R B
B
( 154.5 ) = 88.3 ( 1. 5 )+ 66.2 ( 1 ) = 1.29 m
+,- !"7l es el punto -ue define el centro geomtrico de un ob*eto" 1.Centro de gravedad <. Centro de masa <.Centroide D. iguna respuesta es correcta $" Para estudiar problemas del movimiento de la materia ba*o influencias de fuerzas, i"e" de din9mica, es necesario localizar un punto llamado " 1. Centro de gravedad <. Centro de masa C. Centroide D. inguna respuesta es correcta
+,- %" #i una banda vertical se elige como el elemento diferencial, entonces, todas las variables, incluido los límites de integración deben de estar en función de " 1. 0 <. y C. z D. inguna es correcta
&" Para la banda elegida, cu9les son los valores deQ 0, y 1. 0 , y. <. 0 = $ , y = $. C. 0 , 3. D. 0 , y = $. ˜
˜
+,- (" 8n cuerpo compuesto se refiere en este tema a un cuerpo AecAo de " 1. Eibra de carbón y resina <. 1cero y cemento C. 8na colección de partes ?simples@ y Auecos D. 8na colección de partes ?comple*as@ y Auecos
R" 7l mtodo para determinar la localización del centro de gravedad conocidas los de las partes, re-uiere de " 1. >ntegración <. Diferenciación C. #imple aritmtica D. Todo lo anterior"
+,- S" 8nsando la información del centroide, cu9l es el mínimo n+mero de piezas -ue Aay -ue considerar para determinar el 9rea -ue se muestra a la derecAaU 1.! <. $ C. % D. & V" 1 storage bo0 is tilted up to clean tAe rug underneatA tAe bo0" >t is tilted up by pulling tAe Aandle C, NitA edge 1 remaining on tAe ground" 6Aat is tAe ma0imum angle of tilt measured betNeen bottom 1< and tAe ground. possible before tAe bo0 tips overU 1. %34 <. &( 4 C. R3 4 D. 23 4
+,- S" Cu9l es el mín numero de piezas -ue Way -ue considerar para determinar el centroide de la superficieU 1.! <. $ C. % D. & V" 8na ca*a is tilted up by pulling C, NitA edge 1 remaining on tAe ground" 6Aat is tAe ma0 angle of tilt possible before tAe bo0 tips overU 1. %34 <. &( 4 C. R3 4 D. 23 4
1 cm
3cm
1 cm 3cm
C
G B
30º
A
