1
Práctica 4: movimiento de proyectiles
Práctica 4 Movimiento de proyectiles
Facultad de Ciencias
Anatolio Hernandez Quintero Luis Alberto Garma Oehmichen César Alberto Martiñon Machorro
Ricardo Roque Jiménez
Resumen El movimiento de un balón al ser pateado, una bala que sale de un cañón, un objeto lanzado desde un avión o una pelota de beisbol al ser bateada, todos estos movimientos tienen algo en común, son proyectiles, lo que significa que describen una trayectoria parecida a una parábola. El objetivo de esta práctica es estudiar y determinar las características de este tipo de movimientos. Para conseguir este objetivo, reproducimos un movimiento disparando una pelota de golf con un cañón aproximadamente con la misma fuerza y con diferentes ángulos para estudiar cada caso. Usamos la técnica de fotografía de larga exposición con luz estroboscópica para analizar el movimiento y tras el análisis de los datos obtenidos pudimos determinar las características de estos movimientos.
Introducción
El movimiento de proyectiles o tiro parabólico se trata de manera similar a la caída libre. Es decir, se estudia sin considerar la resistencia del aire, y con una única aceleración debida a la gravedad. La diferencia radica en que este movimiento ocurre en 2 dimensiones, y para analizarlo es necesario descomponer el movimiento en sus componentes vectoriales x y y. [1]
Es decir, si la velocidad del proyectil fuera v , en la dirección , entonces sus componentes vectoriales serían: v x
cos( )v
v y
sen( )v
También podemos decir que: v
2
v x
2
v y
1
2
Práctica 4: movimiento de proyectiles
Figura 1 Trayectoria de un proyectil.
arctan
El movimiento en y, al estar acelerado por la gravedad, sigue las ecuaciones del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado:
v y v x
Podemos considerar como Movimiento Rectilíneo Uniforme al movimiento en x, pues en esta componente no hay aceleración. Es decir, el movimiento en x se describe con las mismas ecuaciones del Movimiento Rectilíneo Uniforme: a x
v x
x
0
a y
g
v y
y
2
x 0
y 0
gt v 0 sen( ) gt
v0 y t
1 2
2
gt
y 0
v0 sen( )t
1 2
2
gt
(2) v y
v x 0
v0 y
2
v0 y
2 g ( y y0 )
cos( )v0
v x t x0
cos( )v0 t
(1)
Notemos que el tiempo total que puede estar en el aire se da sustituyendo en (2)
Notemos que si es una caída libre.
v x 0
0
y
0 y y0
0
, y esta dado por:
el movimiento 2
3
Práctica 4: movimiento de proyectiles
t
2v0 sen( ) g
(3)
Con estas ecuaciones se puede calcular el alcance en términos de la velocidad inicial y el ángulo del disparo, utilizando las ecuaciones (1) y (3), simplemente sustituyendo t.
R
v 0 cos( )
2v 0 sen ( )
g
También es posible describir su posición sin conocer el tiempo. Considerando la posición inicial igual a cero, basta con despejar el tiempo de la ecuación (1) y sustituirlo en la ecuación (2) [2]
t
x
cos( )vo
2
v 0 sen ( 2 ) g
y
xv0 sen( ) v0 cos( )
gx 2
2 2
2v0 cos ( )
x
tan( )
gx
2
2v0 cos ( )
Material Cañón Cámara Estrobo Prensa
Pelota de Golf 2 Reglas de 2 metros Tripie Transportador con
plomada
Desarrollo
Para analizar el movimiento de proyectiles, en esta práctica se utilizo la fotografía con luz estroboscopica. Para esto fue necesario una cámara que capturará las imágenes en un intervalo de tiempo de tres segundos. Para tomar estas imágenes, se utilizo un estroboscopio a una frecuencia de 1800 disparos por minuto. De forma que cada vez que el estroboscopio disparaba, quedaba capturado en la fotografía la
2
posición del proyectil. Estos proyectiles fueron disparados de un cañón a 3 ángulos distintos: 30°, 45° y 60°, y siempre con la misma fuerza. Para poder calcular la posición del proyectil, se colocaron las dos reglas de dos metros de forma que en las fotos aparecieran como ejes del plano.
3
4
Práctica 4: movimiento de proyectiles
Para el ángulo de 45° se tomaron 10 fotos, y se promediaron tiempos y posiciones. Para los ángulos de 30° y 60° se tomó solo
1 foto. Las fotos fueron analizadas con el programa Tracker y los datos y graficas fueron analizados con Origin.
Resultados y análisis.
Primeramente analizaremos el movimiento del proyectil disparado a cuarenta y cinco grados. En la figura 2 tenemos una delas fotografías que obtuvimos para analizar este movimiento. Para este movimiento se tomaron diez fotografías, de las cuales obtuvimos los datos mostrados en la tabla 1, allí las posiciones son el promedio y la incertidumbre es el radio de la pelota.
Como f es nuestra frecuencia:
De modo que el intervalo de tiempo entre cada imagen de la pelota es aproximadamente 0.0333 s.
Tabla 1 Datos de las posiciones y tiempos del movimiento del proyectil disparado a 45°
Figura 2 Fotografía de larga exposición que muestra la trayectoria de la pelota de golf lanzada a 45°
Para calcular el tiempo hicimos lo siguiente: el estrobo que iluminó la fotografía tenía una frecuencia de 1800 revoluciones por minuto, lo que significa que:
Tiempo [s]
Posición x -3 (±8.5×10 )[m]
Posición y -3 (±8.5×10 )[m]
0.0333±0.0011
0.02543803
0.02002536
0.0666±0.0022
0.08739966
0.09458188
0.0999±0.0033
0.14731069
0.14739316
0.1332±0.0044
0.20852521
0.18851903
0.1665±0.0055
0.26841673
0.2194711
0.1998±0.0066
0.32988836
0.2393847
0.2331±0.0077
0.39010938
0.24695831
0.2331±0.0088
0.44943741
0.24371117
0.2997±0.0099
0.51015348
0.23007324
0.333±0.011
0.57086784
0.20561699
0.3663±0.0121
0.62969183
0.16968586
0.3996±0.0124
0.69028464
0.12401667
0.4329±0.0143
0.74937218
0.06644544
4
5
Práctica 4: movimiento de proyectiles
Con los datos de la tabla 1 y con el software Origin® pudimos construir la grafica de la figura 3 que muestra la posición x en función del tiempo. Figura 3 Gráfica de x vs t para la posición en x y su recta ajustada
De este análisis concluimos que con ajuste tenemos esta ecuación:
De donde sabemos lo siguiente:
x (m) Linear Fit of x 0.9
Este valor es aproximado al de la aceleración de la gravedad. 0.6
x (m) Polynomial Fit of x
) m ( x
0.3
0.3
0.0
0.0
0.2
0.4
) m ( x
0.2
Tiempo (s) 0.1
Como podemos ver los puntos se aproximan a la forma de una recta cuyo ajuste nos resulta la ecuación:
0.0 0.0
0.2
0.4
Tiempo (s)
De modo que según la ecuación (1)
Figura 4 Grafica de distancia vs tiempo para la posición en y para el movimiento a 45°
De todo esto podemos observar que el movimiento en la componente x es equivalente a un movimiento rectilíneo uniforme, con aceleración igual a cero.
Ahora ponemos el análisis de los otros dos movimientos en la práctica. Uno es un disparo con 60° y otro a 30°
En la figura 4 observamos la grafica de la posición en y como función del tiempo.
En la siguiente tabla mostramos los datos de l movimiento a treinta grados.
5
6
Práctica 4: movimiento de proyectiles
Tabla 2 Posición y tiempo para 30° v x
Tiempo [s]
Posición x -3 (±8.5×10 )[m]
Posición y -3 (±8.5×10 )[m]
0.0333±0.0011
0.052717623
0.0338899
0.0666±0.0022
0.124262968
0.072800527
0.0999±0.0033
0.193297951
0.096648975
0.1332±0.0044
0.266098478
0.120497424
0.1665±0.0055
0.336388641
0.124262968
0.1998±0.0066
0.406678805
0.123007787
0.2331±0.0077
0.476968969
0.104180064
0.2331±0.0088
0.547259133
0.079076434
0.2997±0.0099
0.617549297
0.045186534
0.333±0.011
0.687839461
-0.001255181
2.12
m s
en el eje x. Esta velocidad debe ser la mayor a las obtenidas en 45° y 60°, según lo que predice la teoría ( v x v cos( ) ) Notemos que el alcance del proyectil fue: 0.68 m que debe de coincidir con el proyectil lanzado a 60° Podemos ver de la figura 6 que la grafíca resultante es tiene forma de parábola. Esto quiere decir: 1.- El movimiento en el eje y esta siendo acelerado
Posicion en x Curva ajustada
2.- Su altura maxima la alcanzo en y
0.124m , y se espera que esta sea
la altura minima de las alturas maximas, es decir que para 45° y 60° se obtengan alturas más grandes.
0.6
y=2.12x-0.02 ) m ( x 0.3
Figura 6 grafica de y en función del tiempo para el movimiento a 30° 0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
Posicion en y Curva ajustada
0.4
t(s)
Figura5 Grafica ajustada de posición en x vs tiempo
Podemos ver en la figura 5 que la grafica resultante fue una recta con pendiente 2.12.
y=-4.77x^2+1.63-0.02
0.14
) m ( y 0.07
Esto quiere decir que: La velocidad en x es constante. Esa velocidad esta dada por la pendiente, es decir que el proyectil viajaba a
0.00
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
t(s)
6
7
Práctica 4: movimiento de proyectiles
3.- Su velocidad inicial esta dada por el segundo coeficiente y es
v0 y
1.63
m s
0.4995±0.0165 0.5328±0.0176
0.564
0.152
0.602
0.084
0.5661±0.0187
0.642
0.001
, que
debe ser la velocidad inicial más lenta, comparandola con los tiros de 45° y 60° 4.- Su aceleración esta dada por el doble de su coeficiente principal y es a y
4.77 2 9.54
m s
2
, que es un valor
muy aproximado a la gravedad, que es un resultado que era esperado. Este resultado debe coincidir con las aceleraciones para 45° y 60
Posicion en x Curva ajustada
0.6
y=1.13x+0.0 ) m ( x 0.3
0.0
Tabla 3. Datos sobre el movimiento a 30° 0.0
Tiempo [s]
Posición x -3 (±8.5×10 )[m]
Posición y -3 (±8.5×10 )[m]
0.0333±0.0011
0.038
0.071
0.0666±0.0022
0.076
0.144
0.0999±0.0033
0.118
0.201
0.1332±0.0044
0.157
0.255
0.1665±0.0055
0.192
0.292
0.1998±0.0066
0.229
0.3224
0.2331±0.0077
0.264
0.34
0.2331±0.0088
0.301
0.351
0.2997±0.0099
0.34
0.351
0.333±0.011
0.376
0.344
0.3663±0.0121
0.412
0.325
0.3996±0.0124
0.451
0.301
0.4329±0.0143
0.487
0.26
0.4662±0.0154
0.526
0.212
Su alcance fue de 0.64 m que de hecho se acerca al 0.68 m de el proyectil de 30°
0.3
0.6
t(s)
Figura 7 Grafica ajustada de posición en x vs tiempo para 60°
Podemos ver en la figura 7 la grafica resultante resulto ser una recta, como pasó con la de 30° y 45° Por lo tanto también tiene una velocidad v x
1.13
m
s , y constante, en este caso efectivamente, esta es la velocidad en x más pequeña.
Probablemente con una muestra experimental más grande se vería que coinciden de manera más exacta, recordemos que usamos solamente datos de una foto para estos ángulos. 7
8
Práctica 4: movimiento de proyectiles
Posicion en y Curva ajustada
0.4
0.3
) m ( y
y=-4.48x^2+2.55x-0.00
0.2
0.1
0.0
0.0
0.3
0.6
t(s)
Figura 8 Grafica ajustada de posición en y vs tiempo para 60°
Finalmente podemos ver de la figura 8, que nuevamente obtenemos una grafica de forma parabólica.
Alcanza una altura máxima en 0.35m, y efectivamente es la altura máxima de las alturas máximas, es decir, se obtuvo una altura máxima mayor a la obtenida con 30° y 45°
Partió con una velocidad inicial en e igual al segundo coeficiente, es decir v0 y
2.55
m s
Con una aceleración igual al doble del coeficiente principal, es decir a y
4..48 2 8.96
m s
2
Conclusiones 1. Con la realización de esta práctica pudimos observar que el movimiento de un proyectil esta tiene dos componentes.
3. La otra componente, en y, es equivalente a un movimiento uniforme con aceleración igual a la aceleración de la gravedad.
2. De estas dos componentes, el movimiento en x es equivalente a un movimiento con aceleración constante igual a cero.
4. Pudimos comprobar que el ángulo para temer el máximo alcance es de 45° 8
9
Práctica 4: movimiento de proyectiles
Bibliografía
[1] Wilson, Buffa, Lou. Física . Sexta Edición. Editorial Pearson. Págs. 81-87. [2] Resnik, Halliday, Krane. Física. Volumen 1. Cuarta Edición. Editorial Continental. Págs. 63-64
9
