FISICA: Cinemática de Proyectiles

CINEMATICA. MOVIMIENTO DE PROYECTILES 1. Se lanza un proyectil desde el punto A, como se muestra en la figura. Determinar: a) La magnitud de la velocidad v o del proyectil. b) La velocidad del del proyectil justo antes de tocar el suelo. c) La altura máxima alcanzada por el proyectil respecto al suelo. Rpta: a) 16,5 m/s, b) ( 9,93i – 16,5j) m/s, c) 13,9 m

2. Desde la azotea de un edificio de 60 m de altura se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 25 m/s y un ángulo de tiro de 37º. Frente al primer edificio hay otro de 80 m de altura a la distancia de 50 m. Encontrar: a) Si el proyectil impacta sobre el segundo edificio a que altura lo hace desde su base. b) El tiempo que tarda en impactar el proyectil sobre el segundo edificio. Rpta: a) h= 66,9 m b) t= 2,5 s

3. Un jugador de fútbol fútbol patea una pelota hacia el arco contrario, desde desde una distancia d = 15 m, con un ángulo θ = 30° respecto al piso, la bola ingresa rozando el palo horizontal que esta a una altura h = 2,4 m sobre el nivel nivel del piso. Halle: a. El vector velocidad con que sale la pelota del pie del futbolista b. El tiempo que tarda la pelota desde el pie del jugador hasta que ingresa al arco. Rta: a) 13,65 i + 7,66 j m/s. b) Rta:1,1 s 

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4. Se dispara dispara un proyectil proyectil desde el suelo con una velocidad velocidad inicial inicial de 20 3 m/s bajo un ángulo de inclinación ɵ respecto a la horizontal. Si su velocidad en el punto mas alto es 30 m/s, determinar: a) El ángulo ɵ. b) Su vector posición un segundo después de ser lanzado c) Su vector velocidad un instante antes de chocar con el suelo Rpta. a) 30°, b) (30i + 12,4j) m, c) (30i – 17,3j) m/s

5. Se dispara un proyectil proyectil horizontalmente desde una altura h = 10 m con una velocidad inicial de 10 10 m/s, determinar determinar : a) El vector posición en el instante t = 1 seg. b) El vector velocidad cuando ha descendido 5 m c) El instante y su posición cuando impacta con el suelo Rpta. a) 10i + 5,1 j m b) 10i − 9,9 j m/s c) 1,43 s y 14,3i m 

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6. Se lanza un proyectil desde el suelo con una velocidad de 20 m/s. Si el proyectil pasa rozando la parte mas alta de una pared (punto P) de 10 m de altura, determinar: a) El tiempo que demora en pasar por el punto P. b) La distancia del punto de lanzamiento al pie de la pared. c) El vector velocidad en el punto P. Rpta. a) 2,4 s, b) 29 m, c) (12i – 7,5j) m/s

7. Un proyectil es lanzado desde el punto A, de tal manera que el proyectil impacta en el punto B (ver figura). Determinar: a) El tiempo de vuelo del proyectil b) El ángulo que forma el vector velocidad con la horizontal en el punto de caída o sea en el punto B Rpta. a) 7,06 s; b) 63,4 °

8. Una pelota es lanzada horizontalmente desde una altura H = 5m con una velocidad V = 5m/s. Calcular : a) El vector posición en el instante t = 0.5 s. b) El vector velocidad, cuando x = 2m c) La posición y la velocidad cuando impacta en el piso Rpta. a) (2,5i + 3,78j) m, b) (5i – 3,92j) m/s, c) (5,05i + 1,51x10 -3 j) m, y (5i – 9,90j) m/s

9. Un proyectil se dispara desde un punto 0 de la superficie terrestre y debe impactar en un blanco que se encuentra en la parte superior de un acantilado (punto A) . El acantilado se encuentra a 250m del punto de disparo (punto 0) y a una altura de 80m de la superficie terrestre. Determinar: a) El vector velocidad inicial (v 0) del proyectil para que de en el blanco A. b) El vector velocidad un instante antes de impactar con el blanco en A. Rpta. a) (37,1i + 49,5j) m/s, b) (37,1i -29,7j) m/s

10. Un proyectil se dispara desde el suelo con una velocidad inicial V 0 y un ángulo o de 37 con la horizontal. El proyectil choca con una pared vertical, ubicada a 20m del punto de disparo, a una altura de 10m del suelo. Determinar: Determinar: a) La velocidad inicial V 0 del proyectil.









11. Se dispara un proyectil horizontalmente horizontalmente desde la cima de una una torre cuya altura h = 39.2 m, con una velocidad inicial de 10 m/s, Calcular: a) Elija un sistema coordenado y escriba las ecuaciones del del vector posición, velocidad y aceleración para para cualquier instante de tiempo t . b) Determine los vectores posición y velocidad cuando se encuentra a una altura de 19.6 m. c) El vector posición y velocidad cuando impacta impacta en el piso. Rpta. a) x(t) x(t) = 10t, y(t) = 39,239,2- 4,9t2, vx = 10 10 m/s vy = -9,8t. b) (20i +19,6j) +19,6j) m, (10i -19,6j) m/s. c) 28,3i m , v = (10i – 27,7 j) m/s

12. Se lanza un proyectil desde tierra, con una velocidad inicial v o y con un ángulo o de elevación de 30 . a) Hallar el valor de la velocidad inicial v o , si el alcance máximo fue de 141m. b) Encontrar las velocidades horizontal y vertical a los 1.5 s después del lanzamiento, así como el ángulo que forma la velocidad del proyectil con la horizontal en ese instante. c) Bosquejar la trayectoria seguida por el proyectil y representar en ella los vectores posición, velocidad y aceleración aceleración a los 15 s del disparo. Rpta. a) 39,9 m/s b) 34,6 m/s, 5,25 5,25 m/s y 8,65

13. El clavadista de la quebrada se lanza horizontalmente desde una plataforma de piedra que se encuentra aproximadamente a una altura H = 40,0 m por arriba d el nivel del agua, pero debe evitar chocar con las formaciones rocosas que se extienden dentro del agua hasta una distancia d = 5,50m de la base del acantilado. Se pide: a) Trace un sistema de coordenadas apropiado y escriba las ecuaciones de la posición x(t) e y(t). reemplazando los datos iniciales del problema b) El tiempo que pasa el clavadista en el aire c) La rapidez mínima de lanzamiento a fin de no chocar con las rocas d) Grafique la altura del clavadista vs. el tiempo a medida que cae, indicando los interceptos con los ejes horizontal y vertical. Rpta. a) x = v 0,x t , y = 40,0 – 4,9 t 2. b) 2,86 s. c) 1,92 m/s

14. Un arquero arroja oblicuamente un proyectil, el que parte desde una altura de 1,25 m con una velocidad de 20,0 m/s y formando un ángulo con la horizontal de 53°. Durante la subida, el proyectil impacta a 10 m de altura en un árbol. Despreciando el rozamiento, determinar.









15. Desde el borde de un acantilado de 75 m de altura se dispara un proyectil con una velocidad de 30 m/s y un ángulo de 37° por encima de la horizontal. Encontrar: a) El tiempo que demora el proyectil en llegar a la base del acantilado. ( 3 puntos ) b) Las coordenadas del punto de impacto. (0.5 puntos ) El vector de posición del proyectil a los 2 s. (0.5 puntos ) c) d) El ángulo entre la velocidad a los 4 s y la aceleración de la gravedad. ( 2 puntos ) e) La máxima altura que alcanza el proyectil desde el fondo del acantilado. (1 punto) Rpta. a) 6,17 6,17 s; b) (148;0) m; c) (48,0i + 91,6j) m; m; d) 48,7 °; e) 96,3 m

16. Un cañón que hace un ángulo de 37° por encima del suelo dispara una bala a un edificio ubicado a 80 metros de distancia. La bala choca con el edificio a una altura de 40 metros medidos desde el suelo. Encontrar: a) La velocidad inicial con la que fue disparada la bala. (3 puntos) b) El tiempo empleado por la bala para chocar con el edificio. (1 punto) c) La velocidad de la bala en el punto de impacto con el edificio. (1 punto) Rpta. a) (39,3i (39,3i + 29,6j) m/s; b) 2,04 s; c) (39,3i + 9,62j) m/s

17. Desde el origen de un sistema de coordenadas se lanza una partícula con una rapidez v 0 formando un ángulo θ = 37º con la horizontal y choca al cabo de un tiempo t = 3 s, con una pared en el punto P(x, y) m. Si se cambia el ángulo de lanzamiento a θ1 = 53º con la horizontal manteniendo la misma rapidez de lanzamiento v 0 la partícula impacta la pared en el punto R(x, y +7) m. a) Halle el tiempo que demora el proyectil lanzado con el ángulo θ1 (2P) b) Encuentre la rapidez de lanzamiento de la partícula (2P) c) Dibuje los vectores posición, velocidad y aceleración un instante antes de llegar a P (1P) Rpta. a) 3,99 s; b) 29,7 m/s

18. Desde la parte superior de un edificio de 80 m de altura se dispara horizontalmente un proyectil, el cual cae a 100 de la base del edificio. Encontrar: a) La velocidad inicial con la que se dispara horizontalmente el proyectil. b) La velocidad y el tiempo que demora en llegar al piso. c) Las coordenadas de posición del proyectil a los 3.5 s. Rpta. a) 24,7 m/s; b) (24,7i – 39,6j) m/s; 4,04 4,04 s; c) (86,5; 20,0) m

19. Un patinador desciende por una pista helada, alcanzando al finalizar la pista rapidez 45 m/s. En









a)

El ángulo o los ángulos que debe formar su vector velocidad inicial con la horizontal b) El tiempo tiempo que demora en tener tener contacto nuevamente con la pista Rpta. a) 84,6° y -54,6° ; b) 10,6s y 1,73 s

20.

Un golfista se encuentra en la cima de una colina a 50 m horizontales del hoyo y 5,0 m de altura. Elige un palo que hace que la pelota salga disparada con un ángulo de 45º respecto a la horizontal. a) Determine la rapidez que debe imprimirle a la pelota, para que caiga justo dentro del del hoyo. b) La altura máxima que alcanza la pelota c) La velocidad con que la pelota ingresa al hoyo Rpta. a) 21,1 m/s; b) 16,3 16,3 m; c) (14,9i – 17,9j) 17,9j) m/s

21.

Se dispara desde el origen en t = 0s un proyectil proyectil con una velocidad inicial v o = 50 m/s formando un ángulo de 53º con la horizontal. El proyectil se introduce en un tubo apuntado a 45º con la horizontal, de forma que la dirección del proyectil coincide con el eje del tubo en el momento de penetrar en el, por el punto A. Ver fig. Determine: a) Las componentes v x y vy del vector velocidad en el punto A. (2 p). b) El tiempo de vuelo hasta el punto A. (1 p) c) Las coordenadas x e y de la boca del tubo. (2 p). Rpta. a) 30m/s y -30m/s; b) 7,14 s; c) (214; 35,8) m

22.

En la figura se muestra una moto que va a tratar de saltar una zanja de anchura L = 12,0 m gracias a una rampa que posee una pendiente de 4/3. Entre un extremo y el otro existe un desnivel h = 3,00 m respecto al lado inicial. a) Para el ángulo (tg( θ) = 4/3) dado y L dado, ¿cuál debe ser la magnitud de V o para que la moto alcance la máxima altura y cuál cuál es el valor de esta última? (02 pts) b) Para un Vo = 15,0 m/s, ¿con qué velocidad (vector) llegará a la superficie del otro lado. (03 pts) Rpta. a)12,3 m/s; 4,92 m; b) (9,03i -9,20j)m/s

23.

Se requiere disparar un proyectil de tal manera que pase por los puntos A y B, que se encuentran en la azotea de un edificio de altura h = 60 m (fig). El proyectil debe ser disparado de una distancia d = 50 m de la base









24.

Se lanza una piedra desde un acantilado con un ángulo de 37° con la horizontal como se indica en la figura. El acantilado tiene una altura de 30,5 m respecto al nivel del mar y la piedra alcanza el agua a 61 m medidos horizontalmente desde el acantilado. Encontrar: a) Las ecuaciones de la posición y velocidad en función del tiempo

b) El tiempo que tarda la piedra en alcanzar el mar desde que se lanza desde el acantilado. c) La altura, h, máxima alcanzada por la piedra. Rpta. b) 3,94 s; c) 37,4 m

25.

Desde una altura de 40m se lanza un proyectil con una velocidad de 60 m/s y un ángulo de elevación de 50º. a) ¿Qué distancia horizontal recorre hasta llegar al piso? b) Calcule la altura máxima que alcanza con respecto al piso y su posición x. c) En la máxima altura halle el ángulo entre el vector posición r y el vector velocidad v . Rpta. a) 393 m; b) 148 m; 181 m; c) 39,3 

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˚

26.

En la figura se muestra el lanzamiento de un pequeño cuerpo desde una altura h = 50 m, con una rapidez inicial v o = 15 m/s y con un ángulo de inclinación inicial θo desconocido. El cuerpo, en el punto más alto de su trayectoria, tiene una rapidez de 12 m/s. Se considera que la fricción con el aire es 2 despreciable y que g = 9,8 m/s . En relación al cuerpo, a) hallar el valor del ángulo inicial θo . [1 pt] b) calcular el ángulo que forman sus vectores velocidad y aceleración cuando cuando t = 4 s. [2 pts] c) hacer un bosquejo de su trayectoria e indicar en ella los vectores posición, velocidad y aceleración para el instante t = 4 s. [2 pts] pts] Rpta. a) 36,9 ; b) 21,7 ˚

27.

˚

Un alumno de física lanza una pelota con cierta rapidez, que forma un ángulo por encima de la horizontal, tal que logra lanzar 20,0 m de de desplazamiento horizontal, medido en el mismo nivel del lanzamiento, resultando ser el máximo posible. a) Hallar la rapidez de lanzamiento.











28.

El deportista de la figura, se desliza por la pendiente de o una montaña inclinada 30 llegando al borde A con cierta velocidad. Luego de 1,50 segundos de vuelo l ibre, retoma la pista en B, 4,33 m más adelante del punto A. a) Halle la velocidad que el esquiador tiene en el punto A b) el desnivel existente entre A y B. c) ¿Qué velocidad tendrá el deportista en B? Rpta. a) (2,88i – 1,67j)m/s; b) 13,5 m; c) (2,88i – 16,4 j) m/s

29.

Un proyectil se lanza desde el origen de coordenadas y recorre una distancia horizontal de 50,0 m en un tiempo de 4.0 segundos. a) Halle las componentes rectangulares de su vector velocidad inicial v o. b) Calcule el ángulo de tiro con que fue lanzado el proyectil. c) ¿Hasta que altura llegó en el punto más alto de su trayectoria? Rpta. a) 12,5 m/s y 19,7 m/s; m/s; b) 57,5 ; c) 19,8 m ˚

30.

Se lanza una partícula desde el punto 0 con una rapidez inicial de 40m/s y un ángulo de inclinación θ respecto del eje x. Si demora 2 s en llegar al punto más alto de su trayectoria respecto del eje x, punto P. Determinar: a) El ángulo θ. (1pto) b) El tiempo que demora en llegar al punto Q. c) El vector posición del punto Q. d) La velocidad en el punto Q. Rpta. a) 29,3 °; b) 4,19 s; c) (146i (146i -4,0j) m; d) (34,9i – 21,5j) 21,5j) m/s

31.

Un patinador comienza a descender desde el reposo, por una pista inclinada 30º respecto de la horizontal, con una aceleración









c) A los 4.5 segundos cual es la rapidez de la bomba. (1 punto) Rpta. a) 25°; b) b) 58,3 m; c) 73,2 m/s

MOVIMIENTO CURVILINEO 1.

Una partícula es lanzado desde el piso y del origen de coordenadas con una velocidad Vo = (30i + 40j) m/s, se sabe que la aceleración es uniforme y cuyo 2 valor es a = g = -9,8j m/s . a) Exprese la ecuación de las componentes componentes de la posición de la partícula, es decir, x(t) y y(t). b) Encuentre la posición y la velocidad cuando t = 6s. c) ¿Cuál es el tiempo de vuelo? 2 Rpta.: a) 30t, 40t-4,9t , b) (100i+63,6j)m c) 8,16s 2

2. La aceleración de un móvil esta dado dado por a = (2ti + j) m/s . Halle: a) La posición del móvil para cualquier instante t, sabiendo que cuando t = 0, la velocidad esta dada por v 0 = j m/s y que se encuentra en la posición r 0 =(i + 2j) m b) La velocidad media en el intervalo 1 ≤ t ≤ 2 3 2 Rpta: a) (r = (t /3 + 1)i + (t /2 + t + 2)j m; b) vm = (7/3)i + (5/2)j m/s

3. Las coordenadas de posición (x,y) de una partícula varían con el tiempo de acuerdo a las graficas graficas que se adjuntan. Determine; X(m) Y(m) a) Su posición (x,y) cuando t = 4s en (m) b) Su desplazamiento entre t 1 = 2s y t 2 = 4s 7 6 en (m) 4 c) Su velocidad media entre t 1 = 2s y t2 = 4s 3 en (m/s) d) Su velocidad cuando t = 4s en (m/s) 2 t(s) 2 t(s) Rpta. a) 11i+8j b) 4i+2j c) 2i+j d) 2i+j









2

3

6. El vector posición de un móvil esta dado por r (t) = 2t i + 6t j + 3 k donde r esta en metros y t en segundos. Determinar en el instante t = 2 s: a) El vector posición b) El vector desplazamiento c) El vector velocidad d) El vector aceleración e) El vector velocidad media de t = 0 a t = 2 s. 2 Rpta. a) 8i + 48j + 3k m, b) Δr 0-2 m/s , e) 4i + 0-2 = 8i + 48j m, c) 8i + 72j m/s, d) 4i + 72j m/s 2j m/s

2

7. La aceleración de un móvil esta representada por a = (2ti + j) m/s . Halle: a) La posición del móvil para cualquier instante t, sabiendo que cuando t = 0, la velocidad es v 0 = j m/s y que se encuentra en la posición r 0=(i + 2j) m b) La velocidad instantánea. c) La aceleración tangencial y centrípeta en t= 2s. t 3 2 2 2 Rpta. a) x(t) = 1 + , y(t) = 2 + t + 0,5t ; b) vx = t , vy = 1 + t ; c) 3,8 m/s m/s y 3 2 1,6 m/s

8. Un móvil se desplaza por una trayectoria curva, su posición se da por el vector metro y t en segundos, determinar: r = 3t 2 i + 5t 3 j , r se mide en metro a) Sus posiciones en los instantes t 1 = 0s y t 2 = 2s b) Su desplazamiento en ese mismo intervalo de tiempo. c) Sus velocidades en los instantes t 1=1s y t2=3s d) Su aceleración media en ese mismo intervalo de tiempo. e) Su aceleración en el instante t = 2s. Rpta. a) 0, (12i + 40j) m b) (12i + 40j) m, c) (6i + 15j) m/s y (18i + 135j) m/s, d) (6i + 60j) m/s2. e) (6i + 60j) m/s 2 

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d) El vector aceleración (1P) e) El vector velocidad media en el intervalo t =2 y t = 3s (1P) 2 Rpta. a) (8i + 48j 48j +3k) m; b) (10i + 114j) m; m; c) (8i + 72j) m/s; m/s; d) (4i + 72j) m/s m/s ; e) (10i + 114j) m/s

11. Una partícula se desplaza en el plano XY en donde su posición varía con el tiempo de acuerdo al vector r (t ) = ( 2t 3 − 2 ) i + (5t 2 ) j  m , en donde t está en segundos. 

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Determinar: a) El desplazamiento y la velocidad media entre los instantes t 1=2s y t2=4s (2 ptos) b) Los vectores velocidad y aceleración en el instante t=2s (1 pto) c) El ángulo entre los vectores velocidad y aceleración en el instante t=2s (2 ptos) 2 Rpta. a) (112i + 60j)m/s; 60j)m/s; (56i + 30j)m/s; 30j)m/s; b) (24i+20j)m/s; (24i +10j)m/s ; c) 17,2 ˚

12. Una partícula en t = 0 s, pasa por el origen de un sistema de coordenadas fijo en el espacio con velocidad v 0 = ( 2 i − j ) m/s, moviéndose en el espacio con una 



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2

aceleración a(t ) = (t i − j ) m/s . Determine: a) Los vectores velocidad y posición para cualquier tiempo t, (2P) b) El vector velocidad media en el intervalo 1 ≤ t ≤3 s (2P) c) El vector aceleración media en el intervalo 1 ≤ t ≤3 s (2P) Rpta. a) 2 3 2 2 a) (2+t /2)i +(-1-t)j m/s y (2t+t /6)i (-t-t /2)j m ; (4,17i (4,17i -3,5j) -3,5j) m/s; m/s; (2i-j) m/s m/s 

13. La aceleración de un móvil esta dado por el vector: a = (2t i + j) m/s 2. Halle: a) El vector de posición del móvil para para cualquier instante t, sabiendo sabiendo que cuando t = 0, la velocidad inicial esta dada por v0 = j m/s y se encuentra en la posición inicial r 0 =(i + 2 j) m. (2pts) b) La velocidad media en el intervalo 1 ≤ t ≤ 2 (1pt) c) La velocidad instantánea para t = 2 s. (1pt) d) La aceleración instantánea para t =2s. (1pt)









La velocidad de un móvil esta dada por v = (t − 1) i + t 2 j 

16.

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m/s y su

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posición en t = 0 s es: r 0 = 2 i + 2 j m. Para t = 3 s: Encuentre: (5P) 

a) b)

El vector posición Los módulos de las aceleraciones tangencial y normal 2 2 Rpta. a) (3,5i +11j) m; m; b) 6,07 m/s m/s y 0,394 m/s

17.

El movimiento curvilíneo de una partícula en el plano XY se describe por las 2 3 ecuaciones: x(t) = 2 – 7 t ; y(t) = - 4 t + 5 t , donde x e y están dados en metros metros y t en segundos. s egundos. Encontrar: a) Las coordenadas y el vector posición de la partícula a los 3 segundos. (1 p). b) Los vectores velocidad y aceleración a los los 3 segundos. (2 p) c) El ángulo que forman forman el vector velocidad y el vector aceleración a los 3 segundos. segundos. (2 p) Rpta. a) r (t ) = (-61,0 i + 123) j m 2 b) v (t ) = (-42,0 i + 131 j) m/s m/s y a (t ) = (-14,0 i + 90,0 90,0 j) m/s a.v 2 c) aT = = 90,0 m/s y a N = a 2 − aT 2 = 14,0 m/s v 







18. a) b) c)

19.



3 2 Dada la ecuación r = t iˆ + t jˆ + (t-3) k ˆ que describe la trayectoria de una partícula en movimiento, determine: Los vectores posición, velocidad y aceleración en t=0 y en t= 2s. La aceleración tangencial y normal en t=2s. El ángulo entre la aceleración a y la velocidad v . 2 Rpta. a) r(0) = -3k m, v(0) = k m/s, a(0) = 2j m/s , r(2) = 8i + 4j –k m, v(2) = 12i + 2 2 4j +k m/s, a(2) = 12i + 2j m/s . b) (11,4i + 3,78j + 0,946k)m/s y (0,6i -1,78j – 2 0,946j) m/s , c) 10,0° 





Una partícula en t = 0 pasa por el origen de un sistema de coordenadas fijo en el 











2

21. Una partícula se mueve según el vector de posición r (t) = t i + (3t + 4)j . a) Determine el ángulo que forman la velocidad y la aceleración a los 2s de iniciado el movimiento [2.0 pts] b) ¿En algún instante posterior a t=0 llegan a ser perpendiculares la velocidad y la posición?. De ser afirmativa, halle dicho instante [1.0 pts]

22. Una partícula se mueve con una velocidad V = (t 2 + 5t )iˆ + 10t jˆ m / s donde t esta en 

segundos. En el t = 0 la posición de la partícula es . r 0 = (3iˆ − 2 jˆ)m . Determinar: a) Los vectores desplazamiento y velocidad media entre los tiempos t = 1s y t = 3s. b) El vector aceleración media media entre los tiempos t = 2s y t =4s. c) el módulo de la aceleración en t =5s.

23. Una partícula de mueve en una trayectoria curvilínea en el plano XY en donde su vector posición esta dado por r = ( 2t 2 + 5t )i + (3t 3 ) j en donde (r) se mide en metro y (t) en segundo. Determinar: Deter minar: a) Su desplazamiento entre los instantes t 1=1s y t 2=3s b) Su velocidad instantánea en t=3s c) Su aceleración instantánea en t=3s d) El ángulo que forma el vector velocidad y la aceleración en el instante t=3s 













26.

a) b) c)

En la fi ura se mu estra a un bloque qu se desliza por el plano inclinado l que impacta a una distancia R e la base. (Usar g = 9,8 m/s2) Calcular la velocidad de salida d l plano inclinado. (2P) El vector p osición cu ndo el pro ectil se encuentra n el punto P. (2P) El vector v elocidad e el punto P . (1P)

27. Un jugador de básque bol lanza u tiro a la c anasta desde una altur 2,0 m y u a distancia h rizontal d 10m como se indica n la figura. Si el ángul o de tiro es de 40º, Halle: a) ¿cuál debe s er el modul o de la velocidad inicial vo par a que el balón ingres e a la canasta? b) l tiempo q e tarda en llegar a la canasta c) a velocida con que i gresa a la canasta

28. La velocid d de una p artícula está dada por el vector

m/ y su









b) El vector velocidad justo en el momento de impacto del proyectil sobre la rampa. (2 pts) c) El tiempo cuando el proyectil proyectil alcanza su máxima altura respecto respecto al eje X. (1,0 pto)

31.

31. La velocidad velocidad de un móvil móvil esta dada por por v = (t − 1) i + t 2 j m/s y su 





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



posición en t = 0 s es: r 0 = i + 2 j m. Encuentre: (5P) a) El vector posición para cualquier instante t b) El vector velocidad velocidad media en en el intervalo intervalo 0 ≤ t ≤ 3 s c) El vector aceleración en el instante t = 3 s

32.

El vector posición de una partícula que realiza movimiento curvilíneo en el plano XY está dado por:

r = (3t 2 + 2) i + (5 − 2t + t 2 ) j Donde r está dado en metros y t en segundos. Encontrar para t = 3 s ( 5P ) a) Los vectores, posición, velocidad y aceleración. b) Los módulos de la aceleración tangencial y normal. 





33. a) La velocidad, de una cierta partícula, está dada por v = (2ti -5t2 j) m/s. Calcule el ángulo que forma esta velocidad con la aceleración de dicha partícula cuando t = 2,0 s.









3

3

2

36. a posición de una par ícula está ada media te la ecuación r(t) = t i + t j + (t – 3) k q e describe a trayector ia de la par ícula en m vimiento. Calcular: a) Los vectores posici n, velocid d y aceleración en t o s y t = 1 s. b) Las com ponentes tangencial y normal de l a aceleraci n en t = 1 s. c) El ángulo entre la a celeración a) y la vel cidad (v) en t = 1 s.

37. a posición de una partícula en pla no XY est dada por l vector de posición: Don e está ada en metros y t en s gundos. alle: a) Los vectores velocidad aceleraci n de la par ícula. (2 p b) El ángulo en re los vect res veloci ad y aceler ación cuan o t =0,5 se gundos. ( p) c) La magnitud o módulo e la aceler ción norm l. (1 p)

38. n esquiador de mon aña sale d un salto en una dire ción horiz ntal con u a rapidez e 30,0 m/ y cae sobr una pendi ente de 50 de inclinación. Se pid : a) Trace un sistema oordenado y escri a las cuaciones de la cinemática.[2 pts] b) as coordenadas del punto donde i mpacta [2p ts] c) l tiempo d caída [1pt ] ˚









42. Para una a. b. c. d.

, en d nde t está e n segundos . Determin : l instante en la qu cruza el ej e Y. (1p) os vectore velocidad y aceleración en el ins tante . (3p) l ángulo e tre los vec ores velocidad y aceleración en e instante . (1p) os módulos de la acel ración nor al y de la tangencial en el instan te t0. (2p)

MO IMIENT 1.

artícula que se des laza en el plano XY con po ición dad por

CIRCU AR

Un cuerpo inicialmen e en repos (θ = 0 , ω = 0 en t 0) es acelerado en s ntido antihorari , en una trayectoria circular e 1,30 m de radio e acuerdo a la ecuación: α

= 120t 2 − 48t + 1 . rad/s2. H lle:

a) La velocidad angul r y la posi ión angula como fun iones del t iempo. b) Las com ponentes tangencial y normal de u aceleración en t = 2 . 3 2 4 3 2 pta. a) (40t – 24t + 16t) ra /s y (10t -8t + 8t ) r d 2 4 2 b) 520 m/s 8,5x10 /s 2.

na partíc la se mue e en una rayectoria circular c n radio R = 2 m co elocidad angular w 5 rad/seg. Si en t = 0 s comi nza a des celerar co celeración angular 2 rad/s², determinar:

una una











c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración en ese instante. 2 Rpta. a) (1,46; 1,36) m, b) -6,81i + 7,32j m/s, c) 0 y 50 m/s

5.

Una partícula se s e desplaza en una trayectoria circular de radio R = 2m. Si parte del reposo con movimiento circular uniformemente variado en t = 0 s y se observa que en el instante t = 2 s la relación de de sus aceleraciones aceleraciones tangencial y aT 2 normal es = . Halle: a N 5

a) El desplazamiento angular durante los cuatro primeros s egundos b) La magnitud de su aceleración centrípeta en el instante t = 2 s 2 Rta: a) 5 rad. b) 3,12 rad/s

6. Un ciclista parte del reposo y pedalea de modo que las ruedas de su bicicleta poseen









9. Un cuerpo gira en una trayectoria circular de radio r = 20 cm. Si su posición angular varia con el tiempo de acuerdo a la ecuación θ = 6 + 8t − t 2 , en donde θ esta en radianes y t en segundos. Hallar: a) La velocidad angular ω en función del tiempo y la rapidez rapidez lineal v en t=3s. (1 pto) b) La aceleración angular en todo instante. (1 pto) c) Las magnitudes de la aceleración tangencial, la aceleración normal y la aceleración total en t=3s (3 ptos) 2 2 2 2 Rpta. a) (8-2t) rad/s y 0,40 m/s, b) -2 rad/s , c) -0,40 m/s , 0,80 m/s y 0,89 m/s

10. Un cuerpo gira con movimiento circular de radio 20 cm, alrededor de un eje cuya ecuación de su desplazamiento angular en función del tiempo es θ = 6 + 8t − t 2 donde θ esta en radianes y t en segundos. Hallar para t = 3s a) a) La velocidad angular ω y la velocidad lineal v (2p)









b) Encuentre la velocidad v, la aceleración centrípeta a c y la aceleración tangencial aT en función del tiempo t. ¿cuál es la magnitud de la aceleración total para t = 2,00 s. (03 pts) c) En la trayectoria circular dibuje la velocidad v para t = 3,00 s (01 pto) 2 2 Rpta. a) 21,3 rad/s; b) 0,4t m/s; 1,6t2; 0,4 0,4 m/s ; 6,4 m/s

14.

Un disco gira con movimiento circular uniformemente variado y alcanza la velocidad angular ω = 25 RPM en un tiempo t = 1,5 s partiendo del reposo. Si el radio del disco es R = 12 cm. cm. para puntos en el borde borde del disco y para un un tiempo t = 3,0 s. Halle: (5P) a) La aceleración angular b) Las aceleraciones tangencial y normal normal (centrípeta) c) La magnitud de la aceleración total 2 2 2 2 Rpta. a) 1,75 rad/s ; b) 3,31 m/s y 0,21 m/s c) 3,32 m/s









19.

Una esfera de radio R E = 8,2 cm, puede rotar alrededor de un eje vertical. Se enrolla una cuerda alrededor del plano ecuatorial de la esfera, la cual pasa por una polea de radio R P = 5,4 cm y esta atada al final a un bloque 2 que cae con aceleración de 3,8 m/s . El sistema empieza del reposo. Encuentre: a) Las aceleraciones angulares de la esfera y de la polea b) Las velocidades angulares angulares de la esfera y de la polea polea al cabo de 15 s de iniciado el movimiento. c) El numero de vueltas que ha girado, la polea cuando el bloque ha descendido 1,2 m 2 3 Rpta. a) 46,3 y 70,3 rad/s ; b) 695 y 1,05x10 rad/s; c) 3,5









23. Una partícula se desplaza por una trayectoria circular de radio r = 2m, con una 2 aceleración angular constante de 0.60 rad/s . Si en el instante t = 0s, θo= 0 y ωo = 2 rad/s (punto P), determinar: a) Su posición angular en grados en t = 0.5s después de pasar por por el punto P. (1punto) b) Su vector velocidad lineal en t = 0.5s. (2 puntos) c) Su aceleración tangencial y normal en t = 0.5s. (1 punto) d) Las coordenadas (x, y) de la posición en el instante t = 0.5s. (1 punto)

FISICA: Cinemática de Proyectiles

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