EL RETROCESO DE LA MAQUINA LANZADORA DE PELOTAS
Un jugador de béisbol utiliza una maquina lanzadora para ayudarse a mejorar su promedio de bateo. Coloca la máquina de 50 kg. Sobre un estanque congelado, como se puede er en la !igura. "a máquina dispara #orizontalmente una bola de béisbol de 0,$5 kg. Con una elocidad de %&i m'seg. Cuál es la elocidad de retroceso de la máquina.
Cuando la pelota de béisbol se lanza #orizontalmente #acia la derec#a, la maquina lanzadora total del sistema antes y después después del lanamiento lanamiento retrocede #acia la izquierda. El momento total es !e"o#
m$ ( masa de la bola de béisbol ( 0,$5 kg. )$* ( )elocidad con la cual se lanza la pelota ( %&i m'seg. m+ ( masa de la maquina lanzadora de pelotas de béisbol ( 50 kg. )+* ( )elocidad de retroceso de la maquina lanzadora de pelotas ( El momento total del sistema antes antes del lanamiento lanamiento es !e"o
m$ - )$i
m+ - )+i ( 0
El momento total del sistema después después del lanamiento lanamiento es !e"o
m$ - )$* m+ - )+* ( 0 0,$5 - %& /50 - ) +* ( 0 0,$5 - %& /50 - ) +* 5,1 /50 - )+* ( 0 /50 - )+* ( 2 5,1 V2F
=
- 5,4 50
=
(0
- 0,108 m seg
$%& ' ( )*+), m-se.#
El si.no /(0 ne.ati1o si.ni2i!a 3ue la ma3uina lanado"a se mue1e 4a!ia la i3uie"da después del lanamiento#
3n términos de la tercera "ey de 4eton, para toda !uerza /#acia la izquierda sobre la maquina lanzadora #ay una !uerza igual pero opuesta /a la derec#a sobre la bala. 6ebido a que la maquina lanzadora tiene mas masa que la pelota, la aceleraci7n y la elocidad de la maquina lanzadora es mas peque8o que la aceleraci7n y elocidad de la pelota de béisbol.
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El si.no /(0 ne.ati1o si.ni2i!a 3ue la ma3uina lanado"a se mue1e 4a!ia la i3uie"da después del lanamiento#
3n términos de la tercera "ey de 4eton, para toda !uerza /#acia la izquierda sobre la maquina lanzadora #ay una !uerza igual pero opuesta /a la derec#a sobre la bala. 6ebido a que la maquina lanzadora tiene mas masa que la pelota, la aceleraci7n y la elocidad de la maquina lanzadora es mas peque8o que la aceleraci7n y elocidad de la pelota de béisbol.
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QUE TAN 5UENAS SON LAS DE&ENSAS
Un autom7il de $500 kg. 6e masa c#oca contra un muro, como se e en la !igura 9.&a. "a elocidad inicial )i ( 2 $5i m'seg. "a elocidad !inal )* ( 2 $5i m'seg. Si el c#oque dura 0,$5 seg. 3ncuentre el impulso debido a este y la !uerza promedio ejercida sobre el autom7il
m ( $500 kg.
)i ( 2 $5i m'seg.
)! ( +,&i m'seg.
:omento inicial ;i ( m )i ;i ( $500 - /2 $5 Pi ' ( %%6)) 7.# m-se.#
:omento !inal ;! ( m )! ;! ( $500 - /2+,& P2 ' 89)) 7.# m-se.# Po" lo tanto el impulse i mpulse es: I ' ;P ' P2 ( Pi
< ( %900 = /2 ++500 < ( %900 ++500
I ' %<=)) Ne>ton ? se.# la !uerza promedio ejercida sobre el autom7il es> F prom
=
ΔP
Δt
=
26400 Newton * seg 0,15
seg
&p"om ' +@<))) Ne>ton
5
ES NECESARIO ASEURARSE CONTRA CBOQUES
Un autom7il de $?00 kg. 6etenido en un semá!oro es golpeado por atrás por un auto de 900 kg. @ los dos quedan enganc#ados. Si el carro mas peque8o se moAa +0 m'seg antes del c#oque. Cual es la elocidad de la masa enganc#ada después de este. 3l momento total del sistema /los dos autos antes del c#oque es igual al momento total del sistema después del c#oque debido a que el momento se consera en cualquier tipo de c#oque. ANTES DEL CBOQUE
m$ ( masa del autom7il que esta detenido ( $?00 kg. )$i ( )elocidad del autom7il que esta detenido ( 0 m'seg. m+ ( masa del autom7il que golpea ( 900 kg. )+i ( )elocidad del autom7il que golpea ( +0 m'seg. DESPUES DEL CBOQUE
mB ( /m$ m+ ( $?00 900 ( +00 kg. ;or que los autos después del c#oque quedan unidos )* ( )elocidad con la cual se desplazan los dos autos unidos después del c#oque. 0
m$ - )$i m+ - )+i VF
=
m+ - )+i ( mB )* ( mB )*
m 2 * V2i mT
=
900 * 20 2700
=
180
=
27
6,66
m seg
$& ' <*<< m-se.#
6ebido a que la elocidad !inal es positia, la direcci7n de la elocidad !inal es la misma que la elocidad del auto inicialmente en moimiento.
Que pasa"a si
Suponga que inertimos las masas de los autos. Un auto estacionario de 900 kg. 3s golpeado por un auto de $?00 kg. 3n moimiento. D3s igual la rapidez !inal que antes.
ANTES DEL CBOQUE
m$ ( masa del autom7il que esta detenido ( 900 kg. )$i ( )elocidad del autom7il que esta detenido ( 0 m'seg. m+ ( masa del autom7il que golpea ( $?00 kg. )+i ( )elocidad del autom7il que golpea ( +0 m'seg. DESPUES DEL CBOQUE
mB ( /m$ m+ ( $?00 900 ( +00 kg. ;or que los autos después del c#oque quedan unidos )* ( )elocidad con la cual se desplazan los dos autos unidos después del c#oque.
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0
m$ - )$i m+ - )+i VF
=
m+ - )+i ( mB )* ( mB )*
m 2 * V2i mT
=
1800 * 20 2700
=
36000 2700
=
13,33
m seg
$& ' +8*88 m-se.#
GU3 3S 34 )3H6F6 :FS F"BF GU3 "F )3"IC<6F6 *<4F" ;H3)
EL PENDULO 5ALISTICO
3l péndulo balAstico /*ig. 9.$$ es un sistema con el que se mide la elocidad de un proyectil que se muee con rapidez, como una bala. "a bala se dispara #acia un gran bloque de madera suspendido de algunos alambres ligeros. "a bala es detenida por el bloque y todo el sistema se balancea #asta alcanzar la altura #. ;uesto que el c#oque es per!ectamente per!ectamente inelástico y el momento se consera, la ecuaci7n 9.$1 proporciona la elocidad del sistema inmediatamente después del c#oque cuando suponemos la aproEimaci7n del impulso. "a energAa cinética un momento después del c#oque es> K =
1 m1 2 + m2!V /ECUACION +0 2 F
ANTES DEL CBOQUE
m$ ( :asa de la bala )$i ( )elocidad de la bala antes del c#oque m+ ( masa del bloque de madera. )+i ( )elocidad del bloque de madera ( 0 DESPUES DEL CBOQUE
/m$ m+ kg.
;or que la bala se incrusta en el bloque de madera después del c#oque. )* ( )elocidad con la cual se desplaza el conjunto bloque de madera la bala. 7
)
m$ - )$i
m+ - )+i ( mB )*
m$ - )$i
( mB )*
m1 * V1i m1 + m 2 Ele1ando al !uad"ado amas eFp"esiones m1 * V1i 2 2 VF ! = ! m1 + m 2 /ECUACION %0 VF
=
Reemplaando la e!ua!iGn % en la e!ua!iGn + tenemos:
K
=
1
m1
2
+
1 m2! V 2= m F 2 ( 1
2 ( m1 V1i ) + m 2) ( m1 + m 2 ) 2
Can!elando /m$
K
K
=
=
m+ (m1 V1i )2 ( 1 + m2 )
1 2
m
(m1 )2 ( V1i )2 ( 1 + m2 )
1 2
m
Donde
)$i ( )elocidad de la bala antes del c#oque H es la ene".a !inéti!a un momento después del !4o3ue#
Sin embargo, en todos los cambios de energAa que ocurren después del c#oque, la energAa es constante. "a energAa cinética en el punto mas bajo se trans!orma en energAa potencial cuando alcance la altura #. Ene".a !inéti!a en el punto mas bajo ' Ene".a poten!ial cuando alcance la altura #.
1 2
(m1 )2 ( V1i )2 ( 1 + m2 )
=
(m1
+
m 2 ) g "
m
(m1 )2 (V1i )2
=
2 (m1 + m 2 ) (m1 + m 2 ) g "
(m1 )2 (V1i )2
=
2 (m1 + m 2 )
(V1i )2
=
2 (m1
+m
2) 2
2
2
g "
g "
( m1 )
8 V1i
=
2 (m1
+m
2) 2
(m1 ) (m1
+m
2)
2
g "
V1i
=
2 g "
m1
Ee"!i!io: 3n un eEperimento de péndulo balistico suponga que # ( 5 cm ( 0,05 metros
m$ ( :asa de la bala ( 5 gr. ( 0,005 kg. m+ ( masa del bloque de madera ( $ kg. 3ncuentre> a "a elocidad inicial del proyectil $+i ' $elo!idad de la ala antes del !4o3ue b "a perdida de energAa por el c#oque. V1i
=
V1i
=
V1i
=
V1i
=
( m1
+m
2)
m1
(0,005
+
0,005
1)
2 g "
2 * 9,8 * 0,05
( 1,005)
0,98 0,005 ( 1,005) * 0,9899 0,005
=
0,9948 0,005
=
198,96
m seg
$+i ' $elo!idad de la ala antes del !4o3ue ' +9,*9< m-se.#
UN CBOQUE DE DOS CUERPOS CON UN RESORTE
Un bloque de masa m $ ( $,& kg. Gue se muee inicialmente #acia la derec#a con una elocidad de 1 m'seg. Sobre una pista #orizontal sin !ricci7n c#oca con un resorte unido a un segundo bloque de masa m + ( +,$ kg. Gue se muee #acia la izquierda con una elocidad de +,5 m'seg. Como muestra la !igura 9.$+a. 3l resorte tiene una constante de resorte de &00 4'm. a 3n el instante en el que m$ se muee #acia la derec#a con una elocidad de % m'seg como en la !igura 9.$+b determine la elocidad de m +
9
ANTES DEL CBOQUE
m$ ( :asa del bloque ( $,& kg. )$i ( )elocidad del bloque #acia la derec#a ( 1i m'seg. m+ ( masa del bloque que esta unido al resorte ( +,$ kg. )+i ( )elocidad del bloque que esta unido al resorte ( 2 +,5 i m'seg DESPUES DEL CBOQUE
)$! ( )elocidad del bloque m $ #acia la derec#a después del c#oque ( %i m'seg. )+! ( )elocidad del bloque m + después del c#oque. Fdierta que la elocidad inicial de m + es = +,5i m'seg. ;or que su direcci7n es #acia la izquierda. ;uesto que momento total se consera, tenemos> m$ - )$i
m+ - )+i (
m$ - )$!
m+ - )+!
/$,& - /1 /+,$ - /2 +,5 ( /$,& - /% /+,$ - )+! &,1 2 5,+5 ( 1,? +,$ )+! $,$5 ( 1,? +,$ )+! $,$5 2 1,? ( +,$ )+! 2 %,&5 ( +,$ )+! V2# =
− 3,65
=
m
- 1,738
2,1
seg
3l alor negatio de ) +! signi!ica que m+ aun se muee #acia la izquierda en el instante que estudiamos. 0 Dete"mine la distan!ia 3ue el "eso"te se !omp"ime en ese instante
;ara determinar la compresi7n del resorte J usamos la conseraci7n de la energAa, puesto que no #ay !ricci7n ni otras !uerzas no conseratias que actKen sobre el sistema. 1
2 m1 V 1i 2
+
1
2 m 2 V2i 2
=
1 2
2 m1 V1#
+
1
2 m 2 V2# 2
+
1 2
K $
2
Can!elando J en toda la eFp"esiGn 2 2 2 2 2 m 1V 1i + m 2 V 2i = m 1 V1# + m 2 V 2# + K $
m$ ( :asa del bloque ( $,& kg. )$i ( )elocidad del bloque #acia la derec#a ( 1i m'seg. m+ ( masa del bloque que esta unido al resorte ( +,$ kg. )+i ( )elocidad del bloque que esta unido al resorte ( 2 +,5 i m'seg )$! ( )elocidad del bloque m $ #acia la derec#a después del c#oque ( %i m'seg. )+! ( )elocidad del bloque m + después del c#oque. ( 2 $,%? m'seg. L ( constante del resorte ( &00 4'm 10 1,6 * 4!
2
1,6 * 16!
+ +
2,1 * (- 2,5 ) 2,1 * (6,25 )
2
2 * (- 1,738 ) 2 1,6 * (9 ) + 2,1 * (3) + 600 $ =
=
1,6 * (3)
2
+ 2,1
+ 600
* $
2
+5,& $%,$+ ( $1,1 &,% &00 J + %?,+ ( +0, &00 J+ %?,+ 2 +0, ( &00 J + $? ( &00 J+ $
$
2
=
=
18 600 18 600
0,03
=
K ' )*+@8 met"os
6etermine la elocidad de m $ y la compresi7n en el resorte en el instante en que m + esta en reposo. m$ ( :asa del bloque ( $,& kg. )$i ( )elocidad del bloque #acia la derec#a ( 1i m'seg. m+ ( masa del bloque que esta unido al resorte ( +,$ kg. )+i ( )elocidad del bloque que esta unido al resorte ( 2 +,5 i m'seg )$! ( )elocidad del bloque m $ #acia la derec#a después del c#oque ( %i m'seg. )+! ( 0 )
m$ - )$i
m+ - )+i (
m$ - )$!
m+ - )+!
/$,& - /1 /+,$ - /2 +,5 ( /$,& - ) $! &,1 2 5,+5 ( $,& )$! $,$5 ( $,& )$! V1# =
1,15 1,6
=
0,71
m seg
)$! ( )elocidad del bloque m $ #acia la derec#a después del c#oque ( 0,$ m'seg. 1
2 m1 V 1i 2
+
1
2 m 2 V2i 2
=
1 2
2 m1 V1#
+
1
2 m 2 V2# 2
+
1 2
K $
2
Can!elando J en toda la eFp"esiGn 2 2 2 2 2 m 1V + m 2V = m 1V +m2V +K $ 1i 2i 1# 2#
11
;3HI. )+! ( 0 1,6 * 4!
2
1,6 * 16!
+ +
2,1 * (- 2,5 ) 2,1 * (6,25 )
2
= =
1,6 * (0,71)
2
1,6 * (0,5041)
+
+ 600
600 $
* $ 2
2
+5,& $%,$+ ( 0,? &00 J + %?,+ ( 0,? &00 J+ %?,+ 2 0,? ( &00 J+ %,9+ ( &00 J+ $
2
=
37,92
=
0,0632
600
K ' )*%6+ met"os
COLISIONES EN DOS DIMENSIONES
Un auto de $500 kg que iaja #acia el este con rapidez de +5 m'seg c#oca en un crucero con una camioneta de +500 kg que iaja al norte a una rapidez de +0 m'seg. Como se muestra en la !igura 9.$1. 3ncuentre la direcci7n y magnitud de la elocidad de los e#Aculos c#ocados después de la colisi7n, suponiendo que los e#Aculos eEperimentan una colisi7n per!ectamente inelástica /esto es se quedan pegados.
VF VF% m1 & 1500 'g V1 & 25 m(seg
)
VF$ & VF os )
m2 & 2500 'g V2 & 20 m(seg
;iJ > Cantidad de moimiento en el eje J antes del c#oque ;*J > Cantidad de moimiento en el eje J después del c#oque ;i@ > Cantidad de moimiento en el eje @ antes del c#oque ;*@ > Cantidad de moimiento en el eje @ después del c#oque P$i P%i
= tg θ
Mo1imiento en el ee K antes del !4o3ue#
;iJ > Cantidad de moimiento en el eje J antes del c#oque ( m $ - )$ m$ ( $50 kg. )$ ( +5 m'seg 12
;iJ ( m$ - )$ ( $500 - +5 ( %500 kg - m'seg
PiK ' 8@6))
E!ua!iGn +
Mo1imiento en el ee K después del !4o3ue#
Como la colisi7n es inelástica, quiere decir que los carros quedan unidos después del c#oque. )*J > 3s la elocidad !inal en el eje E de los dos carros después del c#oque. )*J ( )* cos M /)er gra!ica m$ ( $500 kg. m+ ( +500 kg. ;*J > Cantidad de moimiento en el eje J después del c#oque ( /m $ m+ - )*J ;*J ( /m$ m+ - )*J ;*J ( /m$ m+ - )* cos M ;*J ( /$500 +500 - ) * cos M
P&K ' /=)))0 ? $& !os
E!ua!iGn %
!os
E!ua!iGn 8
Mo1imiento en el ee antes del !4o3ue#
;i@ > Cantidad de moimiento en el eje @ antes del c#oque ( m + - )+ m+ ( +500 kg. )+ ( +0 m'seg ;i@ ( m+ - )+ ( +500 - +0 ( 50000
Pi ' 6))))
E!ua!iGn =
Mo1imiento en el ee después del !4o3ue#
Como la colisi7n es inelástica, quiere decir que los jugadores quedan unidos después del c#oque. )*@ > 3s la elocidad !inal en el eje @ de los dos jugadores después del c#oque. )*@ ( )* sen M /)er gra!ica m$ ( $500 kg. m+ ( +500 kg. ;*@ > Cantidad de moimiento en el eje @ después del c#oque ( /m $ m+ - )*@ ;*@ ( /m$ m+ - )*@ ;*@ ( /m$ m+ - )* sen M ;*y ( /$500 +500 - ) * sen M
P& ' /=)))0 ? $& sen
E!ua!iGn 6
Pi ' 6)))) P& ' /=)))0 ? $& sen 50000 ( /=)))0 ? $& sen E!ua!iGn < Di1idiendo E!ua!iGn < !on la E!ua!iGn 8
13 50000
=
4000 VF sen θ
4000 VF os θ
37500
Can!elando té"minos semeantes# 50000 sen θ = = tgθ 37500 os θ
$,%%% ( tg M M ( arc tg0 $,%%% M ( 5%,$ Heemplazando en la 3cuaci7n %, para #allar la elocidad !inal 8@6)) VF
=
( /=)))0 ? $& !os
37500 4000 os (53,1)
=
37500 2401,68
E!ua!iGn 8
=
$& ' +6*<+ m-se.# P"olema +# Cua"ta edi!iGn Se">ay P"olema +# Quinta edi!iGn Se">ay P"olema +# SeFta edi!iGn Se">ay
Una partAcula de % kg tiene una elocidad de /%i = 1j m's. 3ncuentre sus componentes de momento J, @ y la magnitud de su momento total. ( /%i = 1j m ( % kg. < (
+=
(+ $ )2 + (+ % )2
+=
(9 )2 + (- 12)2
=
81
+
144
=
225
I ' +6 7.# m-se.# +
% tg θ = +$
=
- 12 9
=
- 1,333
N ( arc tg /2 $,%%% N ( 2 5%0 P"olema % Cua"ta edi!iGn Se">ay
Una bola de bolic#e de kg se muee en lAnea recta a % m's. DGué tan rápido debe moerse una bola de ping2pong de +.15 gr. en una lAnea recta de manera que las dos bolas tengan el mismo momento mO ( masa del bolic#e ( kg. )O ( )elocidad del bolic#e ( % m'seg. 14
mp ( masa de la bola de ping pong ( +,15 gr. ( 0,00+15 kg. ); ( )elocidad de la bola de ping pong Cantidad de moimiento de la bola de bolic#e ( Cantidad de moimiento de la bola de ping pong mO - )O ( mp - ); VP
=
m * V m p
=
7*3 0,00245
=
21 0,00245
=
8571,42
m seg
); ( )elocidad de la bola de ping pong ( ?5$,1+ m'seg. P"olema % Quinta edi!iGn Se">ay P"olema % SeFta edi!iGn Se">ay
Se lanza una bola de 0,$ Lg. en lAnea recta #acia arriba en el aire con rapidez inicial de $5 m'seg. 3ncuentren el momentum de la bola. a 3n su máEima altura. b F la mitad de su camino #acia el punto máEimo. a0 En su mFima altu"a#
Cuando la bola alcanza su máEima altura, la elocidad es cero, por lo tanto la cantidad de moimiento también es cero. 0 A la mitad de su !amino 4a!ia el punto mFimo#
)$ ( )elocidad inicial de la bola ( $5 m'seg. )+ ( )elocidad !inal a la máEima altura ( 0 )% ( )elocidad cuando la bola este en el punto medio. Pallamos la máEima altura
/)++ ( /)$+ = + g # /3l signo es negatio por que la bola a perdiendo elocidad #asta que sea cero. 0 ( /)$+ = + g # /)$+ ( + g # "=
(V1 )2
=
2 g
(15)2 2 * 9,8
=
225
=
11,47 metros
19,6
Pallamos la altura en el punto medio " 2
=
11,47 2
=
5,73 metros
Con la altura media, se puede #allar la elocidad en ese punto. $8 ' $elo!idad !uando la ola este en el punto medio#
/)%+ ( /)$+ = + g # /3l signo es negatio por que la bola a perdiendo elocidad #asta que sea cero. /)%+ ( /$5+ = + - 9,? - 5,% /)%+ ( ++5 = $$+,5 /)%+ ( $$+,5 m'seg. . 3 = 112,5
15
$8 ' +)*< m-se.#
Cantidad de moimiento en el punto medio ( m $ - $8 Cantidad de moimiento en el punto medio ( 0,$ kg. - $0,& m'seg. Cantidad de mo1imiento en el punto medio ' +*)< H.# m-se.# P"olema 8 Cua"ta edi!iGn Se">ay#
Un ni8o bota una gran pelota sobre una acera. 3l impulso lineal entregado por la acera a la pelota es + 42seg. durante $'?00 seg. de contacto. DCuál es la magnitud de la !uerza promedio ejercida por la acera sobre la pelota < (
=
2 1 = 1600 Newton 800
P"olema 8 Quinta edi!iGn Se">ay
Un ni8o de 10 kg. parado sobre un lago #elado arroja una piedra de 0,5 kg. #acia el este con rapidez de 5 m'seg. 6espreciando la !ricci7n entre el ni8o y el #ielo, encuentre la elocidad de retroceso del #ielo / #acia el este. mn ( masa del ni8o ( 10 Lg. ) ( )elocidad de retroceso del #ielo mp ( masa de la piedra ( 0,5 Lg. )p ( )elocidad de la piedra ( 5 m'seg. mn - ) ( 2 mp - )p 10 - ) ( 2 0,5 - 5 10 ) ( 2 +,5 V=
- 2,5 40
=
- 0,0625
m seg
P"olema = Cua"ta edi!iGn Se">ay#
Una gran pelota con una masa de &0 g se deja caer desde una altura de + m. Hebota #asta una altura de $.? m. DCuál es el cambio en su momento lineal durante el c#oque con el piso m ( &0 gr. ( 0,0& kg. )ia ( )elocidad inicial antes ( o )*a ( )elocidad !inal antes #$ ( altura que se deja caer la pelota. ( + m
"1 & 2 m
)id ( )elocidad inicial después )*d ( )elocidad !inal después ( 0 #+ ( altura que rebota la pelota. ( $,? m
"2 & 1,8 m
Se 4alla la 1elo!idad !on la !ual l a pelota !4o!a en el suelo#
/)*a+ ( /)ia+ + g #$ 16
/)*a+ ( 0 + g #$ =
VF/
2 * 9,8 * 2
39,2
=
=
6,2609
m seg
)*a ( ( <*%<)9 m-se. Se asume /2 cuando el cuerpo se desplaza #acia abajo. Se 4alla la 1elo!idad !on la !ual la pelota "eota en el suelo#
/)*d+ ( /)id+ + g #+ 0 ( /)id+ - + g #+
Vi
=
2 * 9,8 *1,8
35,28
=
=
5,9396
m seg
Se asume / cuando el cuerpo se desplaza #acia abajo. ; P ' P& ( Pi ' m $& ( m$i
Q ; ( /0,0& - 5,9%9& 2 /0,0& - /2 &,+&09 Q ; ( /0,%5&% 2 /2 0,%5& Q ; ( 0,%5&% 0,%5& ; P ' )*@8+ 7. ? m-se.# P"olema = Quinta edi!iGn Se">ay#
Un pitc#er dice que puede lanzar una pelota de béisbol con tanto momentum como una bala de % gr. moiéndose con una rapidez de $500 m'seg. Una pelota de béisbol tiene una masa de 0,$15 kg. Cual debe ser su rapidez, si la declaraci7n del pitc#er es alida mb ( masa de la bala ( % gr. ( 0,00% Lg. )b ( )elocidad de la bala ( $500 m'seg. mp ( masa de la pelota de béisbol ( 0,$15 kg. )p ( )elocidad de la pelota de béisbol Cantidad moimiento de la pelota de béisbol ( cantidad de moimiento de la bala mp - )p ( mb - )b 0,$15 - )p ( 0,00% - $500 0,$15 )p ( 1,5 V p
=
4,5 0,145
=
31,03
m seg
P"olema 6 Cua"ta edi!iGn Se">ay#
"a !uerza *J que actKa sobre una partAcula de + kg arAa en el tiempo, como se muestra en la !igura ;9.5. 3ncuentre a el impulso de la !uerza, b la elocidad !inal de la partAcula si inicialmente está en reposo, c su elocidad !inal si al principio se muee a lo largo del eje x con una elocidad de 2+ m's, y d la !uerza promedio ejercida sobre la partAcula en el espacio de tiempo t i ( 0 a t* ( 5 seg. 3l área bajo la cura es el impulso. t =5
I = ∫ F t t =0
17
;ero por geometrAa se pueden #allar las tres áreas y se suman, esto equiale a encontrar el impulso. re/ 1 = 1 2
*2*4 4
=
Newnton seg
Frea + ( $ - 1 ( 1 4eton . seg. 1
re/ 3 =
* 2 * 4 =
Newnton seg
4 2 I ' area $ area + area % I ' = = = ' +% Ne>ton # se.#
b la elocidad !inal de la partAcula si inicialmente está en reposo, es decir $) ' ) m ' % 7.# I ' m ? /$& $)0
< ( m - )* $+ ( + - )*
$& ' < m-se.#
c su elocidad !inal si al principio se muee a lo largo del eje x con una elocidad de $) ' 2+ m's, y $& ' $) < m-se.# $& ' ( % < m-se.# $& ' = m-se.#
d la !uerza promedio ejercida sobre la partAcula en el espacio de tiempo t i ( 0 a t* ( 5 seg. ton # se.# tiempo ( 5 seg /)er gra!ica + 12 = 2,4 Newton Fer/ promeio = = t 5 P"olema < SeFta edi!iGn Se">ay
Un amigo dice que, mientras tenga puesto su cintur7n de seguridad, puede sujetar un ni8o de $+ kg. 3n un c#oque de !rente a &0 millas'#ora. Con un muro de ladrillo en el que el compartimiento de pasajeros del auto se detiene en 0,05 seg. 6emuestre que la iolenta !uerza durante el c#oque a a arrebatar al ni8o de los brazos del amigo. Un ni8o siempre debe estar en una silla para ni8o asegurada con un cintur7n de seguridad en el asiento trasero del e#iculo. & /; t0 ' ; P ' P& ( Pi ' m $& ( m$i Vi
=
60
mi/s "or/
*
1609 metros 1 mi/
*
1 "or/ 3600 seg
ΔP
Fer/ promeio & ' ( <=8< Ne>ton
= Δ t=
=
m 26,81 seg
mV - V !
F Δ
t
i
=
12 [0 - 26,81] = 0,05
- 321,8 Newton 0,05
18
3n el c#oque, la !uerza desarrollada es de &1%& neton, lo cual es imposible que el amigo pueda sostener el ni8o en los brazos cuando ocurre el c#oque. P"olema @ 3uinta edi!iGn Se">ay P"olema 6 SeFta edi!iGn Se">ay#
a Una partAcula de masa m se muee con momentum ;. :uestre que la energAa cinética de la partAcula esta dada por> 2
K=
P 2m
b 3Eprese la magnitud del momentum de la partAcula en términos de su energAa cinética y masa. L ( 3nergAa cinética ; ( :omentum ( m .= .
2
P m P2
=
m K=
1
2
/3cuaci7n $
m.
2
2
/3cuaci7n +
Heemplazando la /3cuaci7n $ en la /3cuaci7n + 1 ⎛ ⎜P ⎞⎟ = m 2 ⎜ m2⎟ ⎝ ⎠ 2
1 K= m.2 2
Simpli!icando m
⎛⎜ P2⎟ ⎞ K= 2 ⎜⎝ m ⎠ ⎟ ⎛ P2 ⎞ ⎜ ⎟ K= ⎜⎝ 2m⎠ ⎟ 1
0 EFp"ese la ma.nitud del momentum de la pa"t!ula en té"minos de su ene".a !inéti!a y masa#
K=
1
m.
2
2
+ L ( m + .
2
=
.=
2 K m 2 K m
P ' Momentum ' m 1
P =m
2 K m
P=m
2 K m
=
2 Km
2
m
Simpli2i!ando la masa m
19
P=
2 K m
P"olema , Se">ay !uat"o#
Una pelota de 0,$5 kg. 6e masa se deja caer del reposo, desde una altura de $,+5 metros. Hebota del piso para alcanzar una altura de 0,9& metros. Gue impulso dio el piso a la pelota. m ( 0,$5 kg. )ia ( )elocidad inicial antes ( o )*a ( )elocidad !inal antes #$ ( altura que se deja caer la pelota. "1 & 1,25 m )id ( )elocidad inicial después )*d ( )elocidad !inal después ( 0 #+ ( altura que rebota la pelota.
"2 & 0,96 m
Se 4alla la 1elo!idad !on la !ual la pelota !4o!a en el suelo#
/)*a+ ( /)ia+ + g #$ /)*a+ ( 0 + g #$
VF/
=
2 * 9,8 *1,25 =
24,5
=
4,9497
m seg
)*a ( ( =*9=9@ m-se. Se asume /2 cuando el cuerpo se desplaza #acia abajo. Se 4alla la 1elo!idad !on la !ual la pelota "eota en el suelo#
/)*d+ ( /)id+ + g #+ 0 ( /)id+ - + g #+
Vi
=
2 * 9,8 * 0,96 =
18,816
=
4,3377
m seg
Se asume / cuando el cuerpo se desplaza #acia abajo. ; P ' P& ( Pi ' m $& ( m$i
Q ; ( /0,$5 - 1,%% 2 /0,$5 - /2 1,919 Q ; ( /0,&50& 2 /2 0,1+1 Q ; ( 0,&50& 0,1+1 ; P ' +*898 7. ? m-se.# P"olema 9 Se">ay !uat"o#
Una ametralladora dispara balas de %5 gr. a una elocidad de 50 m's. Si el arma puede disparar +00 balas'min, Dcuál es la !uerza promedio que el tirador debe ejercer para eitar que la ametralladora se muea ; P ' P& ( Pi ' m $& ( m$i ;ero Pi ' ) ; P ' P& ' m $& ' I
20
m ' 86 ." ' )*)86 7. I ' m $&
< ( 0,0%5 kg - 50 m'seg I ' %<*%6 7. m-se. /es el impulso deido a una sola ala* no se ol1ide 3ue el a"ma lana un total de %)) alas en un tiempo de <) se.0
Se considera un tiempo de disparo de &0 seg. por que esa es la cantidad de tiempo que dispara el arma las balas, además la cantidad de balas disparada por la masa de cada bala es la masa total de balas disparadas en la unidad de tiempo. I'*t
+&,+5 - +00 ( * - &0 seg 6espejando la !uerza F=
26,25 * 200
=
5250
=
87,5 Newton
60 60 & ' ,@*6 Ne>ton
P"olema +) Se">ay !uat"o#
a Si el momento de un objeto se duplica en magnitud. Gue ocurre con su energAa cinética b Si la energAa cinética de un objeto se triplica, que sucede con su momento
Si el momento de un objeto se duplica en magnitud. Gue ocurre con su energAa cinética P'm$
Ibseramos por la 3cuaci7n de momento, que si el momento se dobla es por que la elocidad se dobla. %P ' m /%$0
;or lo tanto, si la elocidad se dobla la energAa cinética se aumenta cuatro eces. K=
K
1
m.
2
2
1
=
2 m (2V )
2
1 ⎡ 2⎤ K = [4] ⎢ m (V ) ⎥ ⎦ ⎣2 Si la energAa cinética de un objeto se triplica, que sucede con su momento K=
1 2
m.
2
⎡1 m ( 2 ⎣
K = [3] ⎢ K=
⎡1 ⎢ 2m ⎣
(
2⎤ V) ⎥
⎦ 2⎤ 3V ⎥ ⎦
)
;ara que la energAa cinética se aumente % eces es necesario la ) se aumente raAz de % eces la elocidad. 21
P"olema ++ Se">ay !uat"o#
Un bal7n de !Ktbol de 0.5 kg se lanza con una elocidad de $5 m's. Un receptor estacionario atrapa la pelota y la detiene en 0.0+ seg. a DCuál es el impulso dado al bal7n b DCuál es la !uerza promedio ejercida sobre el receptor :b ( 0,$5 kg. masa del bal7n de !Ktbol )! ( 0 m'seg. )elocidad !inal del bal7n )i ( $5 m'seg. )elocidad inicial que se le imprime al bal7n Q; ( m )* = m )i Q; ( 0,$5 - /0 = 0,$5 - /$5 Q; ( 0 2 ,5 ;P ' ( @*6 7. ? m-se.# ' I I ' & ? t ' ( @*6 Ne>ton ? se. + - 7,5 Newton * seg 750 F= = = t 0,02 seg 2
=
- 375 'g *
m 2 seg
& ' ( 8@6 ne>ton
P"olema +% Se">ay CUARTA edi!iGn P"olema , Se">ay 3uinta edi!iGn
Un auto se detiene !rente a un semá!oro. Cuando la luz uele al erde el auto se acelera, aumentando su rapidez de cero a 5,+ m'seg. en 0,?%+ seg. Gue impulso lineal y !uerza promedio eEperimenta un pasajero de 0 kg. en el auto Impulso /I0 ' m ? /$& $O0 /$& $O0 ' 6*% m'seg = 0 ( 5,+ m'seg
< ( m ? /$& $O0 I ' @) ? /6*%0 ' %&1 kg - m'seg I ' %&1 kg - m'seg I'&?t F=
+ t
364 'g * =
m
seg 0,832 seg
=
437,5 'g *
m 2 seg
& ' =8@*6 ne>ton
P"olema +8 Se">ay !uat"o#
Una pelota de béisbol de 0.$5 Lg. se lanza con una elocidad de 10 m'seg. "uego es bateada directamente #acia el lanzador con una elocidad de 50 m'seg. a Cual es el impulso que recibe la pelota b 3ncuentre la !uerza promedio ejercida por el bate sobre la pelota si los dos están en contacto durante + - $02 % seg. Compare este alor con el peso de la pelota y determine si es alida o no la aproEimaci7n del impulso en esta situaci7n. m ( 0,$5 kg. masa de la pelota de béisbol )i ( 2 10 m'seg. )elocidad con la cual es lanzada la pelota de béisbol. 3l signo /2 por que se desplaza #acia la izquierda 22
)* ( 50 m'seg elocidad con la cual es bateada la pelota de béisbol. 3l signo / por que se desplaza #acia la derec#a. Q; ( m )* = m )i Q; ( 0,$5 - /50 = 0,$5 - /210 Q; ( ,5 & ;P ' +8*6 7. ? m-se.# ' I I ' +8*6 kg - m'seg I'&?t F=
+
13,5 'g * =
m seg
−3 seg 2 *10 & ' <@6) ne>ton
t
=
6,75 *10
3
'g *
m 2 seg
Compa"e !on el peso de la pelota de éisol
R ( m - g ( 0,$5 - 9,? ( $,1 4eton 3sta !uerza es muy peque8a comparado con la !uerza aplicada en el instante del bateo. P"olema +< Se">ay 3uinta edi!iGn
Un patinador de #ielo de 5 kg. que se muee a $0 m'seg. c#oca contra un patinador estacionado de igual masa. 6espués del c#oque los dos patinadores se mueen como uno solo a 5 m'seg. "a !uerza promedio que un patinador puede eEperimentar sin romperse un #ueso es de 1500 neton. Si el tiempo de impacto es de 0,$ seg. se rompe algKn #ueso F4B3S m$ ( 5 kg m1 m2 $ ( $0 m'seg .1
m+ ( 5 kg + (0 m'seg
.2 /ntes
63S;U3S
esps m1 m2 ! VF
m1 m2 ! & 75 'g 75 'g & 150 'g VF & 5 m'seg
Pallamos el impulso de cada patinador después del c#oque. + & m1 * V# & 75 'g * 5 m'seg I ' 8@6 7. ? m-se. I'&?t F=
+ t
375 'g * =
m
seg 0,1 seg
=
3750 'g *
m 2 seg
& ' 8@6) Ne>ton
Como los #uesos de cada patinador soporta 1500 neton, entonces los #uesos soportan la estrellada de los dos patinadores. P"olema +@ Se">ay 3uinta edi!iGn
23
Una bala de $0 gr. Se dispara a un bloque de madera estacionario /m ( 5 kg.. 3l moimiento relatio de la bala se detiene dentro del bloque. "a rapidez de la combinaci7n bala mas madera inmediatamente después del c#oque es de 0,& m'seg. Cual es la rapidez original de la bala F4B3S m$ ($0 gr
$ (
m1 .1
m+ ( 5 kg + (0 m'seg
m2 .2 /ntes
63S;U3S m1 = 10 gr * 'g
1 'g 1000 gr
=
10- 2
esps m1 m2 ! VF
-2
m1 m2 ! & 10 gr 5 'g & 10 'g 5 'g & 5,01 'g VF & 0,& m'seg
/m$ - $ 2 /m+ - + ( /m$ m+ - )* /$02+ - $ 2 /5 - 0 ( /5,0$ - 0,& /$02+ - $ ( /%,00& /$02+ - $( %,00& V1 =
3,006 - 2 10
=
300,6
m seg
P"olema +, Cua"ta edi!iGn Se">ay P"olema < Quinta edi!iGn Se">ay# P"olema = SeFta edi!iGn Se">ay
6os bloques de masa : y %: se colocan sobre una super!icie #orizontal sin !ricci7n. Un resorte ligero se une a uno de ellos y los bloques se empujan juntos, con el resorte entre ellos /!igura 9.& Una cuerda que inicialmente los mantiene unidos se quema y después de eso el bloque de masa %: se muee #acia la derec#a con rapidez de + m'seg. a Cual es la rapidez del bloque de masa : b 3ncuentre la energAa elástica original en el resorte si : ( 0,%5 Lg. / #acia la derec#a. : ( :asa del bloque peque8o de la izquierda. ): ( )elocidad del bloque peque8o de la izquierda.
%: ( :asa del bloque grande de la derec#a. 24
)%: ( )elocidad del bloque grande de la derec#a. ( 0 + m'seg. 2 : ): ( %: - )%: Se cancela : a ambos lados de la igualdad 2 ): ( % - )%: 2 ): ( % - + 2 ): ( & $M ' ( < m-se.# 0 En!uent"e la ene".a elsti!a o"i.inal en el "eso"te si M ' )*86 H.#
1
K$
2 1
K$
2 1
K$
2 1
K$
2
1
K$
2
=
2
=
2
=
2
K$
2 1
2
1 2 1 2 1 2
2
0,35 * (18)
=
2
2
1 2 3 (V3 ) 2 1 2 2 0,35 * (- 6 ) + 3 * 0,35 (2 ) 2 1 0,35 * (36 ) + 3 * 0,35 (4 ) 2
(V )
=
=
+
6,3
+
+
3 * 0,35 (2 )
2,1
8,4 :;+<=
P"olema %) Se">ay !uat"o#
Carros de aire idénticos /m ( +00 gr están equipados con resortes idénticos L ( %000 n'seg. "os carros, que se mueen uno #acia el otro con elocidad de % m'seg. Sobre una pista de aire #orizontal, c#ocan y comprimen los resortes /*ig p9.+0. 3ncuentre la compresi7n máEima de cada resorte ;ara determinar la compresi7n de cada resorte J, usamos la conseraci7n de la energAa puesto que no #ay !ricci7n ni otras !uerzas no conseratias que actKen sobre el sistema. 1 2 1 2 1 2 1 2 m. + m (- V ) = K $ + K -$! 2 2 2 2
1 2 1 2
2 02 (3) 02 (9 )
+
+
1
1 2
0,2 (- 3)
2
0,2 (9 )
=
2
=
1 2
3000 * $
1 3000 $ 2 2
+
1 2
2
+
1 2
2 3000 (- $ )
2 3000 ( $ )
Cancelando en la eEpresi7n 2 02 (9 ) + 0,2 (9 ) = 3000 $ 2 + 3000 ( $ ) $,? $,? ( &000 J+ %,& ( &000 J + $ $
2 =
=
36 6000
=
0,0006
0,0006
25
J ( +,15 - $02 + metros K ' %*=6 !m
P"olema %)a Se">ay !uat"o#
Carros de aire idénticos, cada uno de masa m están equipados con resortes idénticos cada uno con una constante de !uerza H. "os carros, que se mueen uno #acia el otro con elocidades $ sobre una pista de aire #orizontal, c#ocan y comprimen los resortes /*ig p9.+0. 3ncuentre la compresi7n máEima de cada resorte ;ara determinar la compresi7n de cada resorte J, usamos la conseraci7n de la energAa puesto que no #ay !ricci7n ni otras !uerzas no conseratias que actKen sobre el sistema.
1
m.
2
+
1
m (- V )2
=
1
2 2 2 Cancelando en la eEpresi7n 2 2 m . + m (- V )2 = K $ m.
2
+
m (V )2 = K $
2
K$
+K +K
2
+
-$!
$!
1 2
K -$!
2
2
2
2 2 m (V )2 = 2 K $
2 m. $
$
2
=
=
=
mV
K$
2
2
K
mV K
2
P"olema %= Se">ay !uat"o# P"olema %) Se">ay !in!o#
Tayle corre a una elocidad de 1 m'seg. @ se lanza sobre un trineo que esta inicialmente en reposo sobre la cima de una colina cubierta de niee sin !ricci7n. 6espués de que ella y el trineo #an descendido una distancia ertical de 5 metros, su #ermano, que esta inicialmente en reposo, se monta detrás de ella y juntos continKan bajando por la colina. DCuál es su elocidad al !inal de la pendiente si el descenso ertical total es de $5 metros "a masa de Tayle es de 50 kg. "a del trineo 5 kg. @ la de su #ermano %0 kg. )T ( 1 m'seg. )elocidad de Tayle. )B ( 0 m'seg. )elocidad del trineo. )$ ( )elocidad inicial del conjunto /Tayle trineo )+ ( )elocidad !inal del conjunto /Tayle trineo cuando #an descendido 5 metros en !orma ertical. )% ( )elocidad inicial del conjunto /Tayle trineo #ermano )1 ( )elocidad !inal del conjunto /Tayle trineo #ermano al !inal de la pendiente mT ( masa de Tayle ( 50 Lg. mt ( masa del trineo ( 5 Lg. m# ( masa del #ermano ( 5 Lg. 26
m ( masa del conjunto /Tayle trineo ( 50 Lg. 5 kg ( 55 kg. :t ( masa del conjunto /Tayle trineo #ermano ( 50 Lg. 5 kg %0 kg. ( ?5 kg. Cantidad de moimiento de Tayle antes de subirse ( Cantidad de moimiento del conjunto /Tayle trineo m
? $ ' m ? $+
1 - 50 ( 55 - ) $ +00 ( 55 )$
V1 =
200
=
m
3,636
55
seg
)$ ( %,&%& m'seg )elocidad inicial del conjunto /Tayle trineo ;or conseraci7n de energAa #allamos la ) + ( )elocidad !inal del conjunto /Tayle trineo cuando #an descendido 5 metros en !orma ertical. 3Ci 3; i ( 3C! 3;! 1 >?i = m . 2 1 2 3; i ( m g #
>? #
=
1
m .2 2 2
3;! ( 0 )$ ( %,&%& m'seg )elocidad inicial del conjunto /Tayle trineo )+ ( $0,51 m'seg )elocidad !inal del conjunto /Tayle trineo " &5m
)% ( &,? m'seg )elocidad inicial del conjunto /Tayle trineo #ermano
"1 &10 m
1
m .2 1 2
+m
g"
=
1 mV 2 2 2
)1 ( $5,5& m'seg )elocidad !inal del conjunto /Tayle trineo #ermano al !inal de la pendiente.
Se cancela la masa m
1
.2 2 1
+g
"
=
1 2 V2 2
27
1 2
3,636! 2
+
9,8 * 5
1 13,22! + 49 2 6,61! + 49 55,61
=
111,22
=
=
=
1 2 V 2 2
1 2 V 2 2
1 2 V 2 2
1 2 V 2 2
=
V2 2
V2 = 111,22 $% ' +)*6= m-se.# $elo!idad 2inal del !onunto /ayle t"ineo0 !uando 4an des!endido 6 met"os en 2o"ma 1e"ti!al#
Cuándo Tayle #a descendido con el trineo 5 metros en !orma ertical, se sube al trineo el #ermano de Tayle, por lo tanto es necesario calcular ) % ( )elocidad inicial del conjunto /Tayle trineo #ermano Cantidad de moimiento del conjunto /Tayle trineo ( Cantidad de moimiento del conjunto /Tayle trineo #ermano )+ ( $0,51 m'seg. )elocidad !inal del conjunto /Tayle trineo cuando #an descendido 5 metros en !orma ertical. )% ( )elocidad inicial del conjunto /Tayle trineo #ermano m ( masa del conjunto /Tayle trineo ( 50 Lg. 5 kg ( 55 kg. :t ( masa del conjunto /Tayle trineo #ermano ( 50 Lg. 5 kg %0 kg. ( ?5 kg. m
? $% ' :t $8
55 - $0,51 ( ?5 - )% 5,5 ( ?5 ) %
V3 =
577,5
=
m
6,8
85
seg
)% ( &,? m'seg )elocidad inicial del conjunto /Tayle trineo #ermano ;or conseraci7n de energAa #allamos la ) 1 ( )elocidad !inal del conjunto /Tayle trineo #ermano al !inal de la pendiente #$ ( $0 metros 3Ci 3; i ( 3C! 3;! 1 >?i = m . 2 3 2 3; i ( m g #$ 28
>? #
=
1 2
2 m .4
3;! ( 0
1
m .2 3 2
+m
g "1
1 mV 2 4 2
=
Se cancela la masa m
1
.2 2 3
1 2
+g
6,8! 2
"1 +
1
V2 2 4
=
9,8 *10
1 46,24! + 98 2 23,12! + 98
=
121,12
=
1 2 V 2 4
242,24
=
V2 4
=
=
1 2 V 2 4
1 2 V 2 4
1 2 V 2 4
V4 = 242,24 $= ' +6*6< m-se.# $elo!idad 2inal del !onunto /ayle t"ineo 4e"mano 0 al 2inal de la pendiente
P"olema %= SERA 3uinta
Una bola de bolic#e de kg. C#oca !rontalmente con un pino de + kg. 3l pino uela #acia delante con rapidez de % m'seg. Si la bola continua #acia delante con rapidez de $,? m'seg. DCuál !ue la rapidez inicial de la bola
m @ & 7 'g
m p & 2 'g
)*O ( )elocidad !inal del bolic#e ( $,? m'seg. )i; ( )elocidad inicial del pino ( 0 )*; ( )elocidad !inal del pino ( % m'seg.
29
Cantidad moimiento del bolic#e ( cantidad de moimiento del pino 0
/mb
-
)ib
/mp - )
/ - )ib ( / - $,? /+ - % / )ib ( /$+,& /& )ib ( $?,& 18,6 = 2,65 m Vi@ = seg 7
P"olema %, SERA SEIS#
Un de!ensa de 90 kg que corre al este con una rapidez de 5 m's es tracleado por un oponente de 95 kg que corre al norte con una rapidez de % m's. Si la colisi7n es per!ectamente inelástica, /a calcule la rapidez y direcci7n de los jugadores inmediatamente después de la tacleada y /b determine la energAa mecánica perdida como resultado de la colisi7n. Bome en cuenta la energAa !altante. VF VF% m1 & 90 'g V1 & 5 m(seg
)
VF$ & VF os )
m2 & 95 'g V2 & 3 m(seg
;iJ > Cantidad de moimiento en el eje J antes del c#oque ;*J > Cantidad de moimiento en el eje J después del c#oque ;i@ > Cantidad de moimiento en el eje @ antes del c#oque ;*@ > Cantidad de moimiento en el eje @ después del c#oque P$i P%i
= tg θ
Mo1imiento en el ee K antes del !4o3ue#
;iJ > Cantidad de moimiento en el eje J antes del c#oque ( m $ - )$ m$ ( 90 kg. )$ ( 5 m'seg ;iJ ( m$ - )$ ( 90 - 5 ( 150 kg - m'seg
PiK '=6)
E!ua!iGn +
Mo1imiento en el ee K después del !4o3ue#
Como la colisi7n es inelástica, quiere decir que los jugadores quedan unidos después del c#oque. )*J > 3s la elocidad !inal en el eje E de los dos jugadores después del c#oque. )*J ( )* cos M /)er gra!ica 30
m$ ( 90 kg.
m+ ( 95 kg.
;*J > Cantidad de moimiento en el eje J después del c#oque ( /m $ m+ - )*J ;*J ( /m$ m+ - )*J ;*J ( /m$ m+ - )* cos M ;*J ( /90 95 - )* cos M
P&K ' /+,60 ? $& !os
E!ua!iGn %
150 ( /+,60 ? $& !os
E!ua!iGn 8
Mo1imiento en el ee antes del !4o3ue#
;i@ > Cantidad de moimiento en el eje @ antes del c#oque ( m + - )+ :+ ( 95 kg. )+ ( % m'seg ;i@ ( m+ - )+ ( 95 - % ( +?5
Pi ' %,6
E!ua!iGn =
Mo1imiento en el ee después del !4o3ue#
Como la colisi7n es inelástica, quiere decir que los jugadores quedan unidos después del c#oque. )*@ > 3s la elocidad !inal en el eje @ de los dos jugadores después del c#oque. )*@ ( )* sen M /)er gra!ica m$ ( 90 kg.
m+ ( 95 kg.
;*@ > Cantidad de moimiento en el eje @ después del c#oque ( /m $ m+ - )*@ ;*@ ( /m$ m+ - )*@ ;*@ ( /m$ m+ - )* sen M ;*y ( /90 95 - )* sen M
P& ' /+,60 ? $& sen
E!ua!iGn 6
Pi ' %,6 P& ' /+,60 ? $& sen +?5 ( /+,60 ? $& sen
E!ua!iGn <
Di1idiendo E!ua!iGn < !on la E!ua!iGn 8 285 185 VF sen θ 450
=
185 VF os θ
Can!elando té"minos semeantes# 285 sen θ 450
=
os θ
31
0,&%%% ( tg M M ( arc tg 0,&%%% M ( %+,%1 0 Heemplazando en la 3cuaci7n %, para #allar la elocidad !inal
150 ( /+,60 ? $& !os VF
=
450 = ) 185 os (32,34
E!ua!iGn 8
185 * 450 (0,8448)
=
450 156,3043
$& ' %*,@ m-se.# /0 dete"mine la ene".a me!ni!a pe"dida !omo "esultado de la !olisiGn# Tome en !uenta la ene".a 2altante# EC+ ' Ene".a !inéti!a antes del !4o3ue 1 1 1 2 2+1 2 2 > ?1 = m 1 V + ( ) = m 90 * 5 95 * (3) V 2 1 2 2 2 2 2 > ?1 = 45 * 25 + 47,5 * 9
3C$ ( $$+5 1+,5 EC+ ' +66%*6 ulios
EC% ' Ene".a !inéti!a después del !4o3ue 1 > ?2 = 1 m F V2 = (90 + 85) * (2,87 )2 F 2 2 > ?2 = 1 (185) * (8,2369) 2 EC% ' @<+*9+ oules
"a energAa perdida ( EC+ ( 3C+ "a energAa perdida ( $55+,5 ulios 2 &$,9$ oules La ene".a pe"dida ' @9)*69 oules
P"olema %% SERA SEIS#
6os autom7iles de igual masa se aproEiman a un crucero. Un e#iculo iaja con una elocidad de $% m'seg #acia el este y el otro iaja #acia el norte con rapidez ) +i "os e#Aculos c#ocan en el crucero y se quedan pegados. 6ejando marcas paralelas de patinazo a un angulo de 55 0 al norte del este. 3l limite de rapidez para ambos caminos es de %5 millas'#ora y el conductor del e#iculo que se dirige al norte dice que el estaba dentro del limite de rapidez cuando ocurrio el c#oque. 6ice la erdad VF VF% ) & 55
m V1 & 13 m(seg
0
VF$ & VF os 55
m V2i
;iJ > Cantidad de moimiento en el eje J antes del c#oque ;*J > Cantidad de moimiento en el eje J después del c#oque 32
;i@ > Cantidad de moimiento en el eje @ antes del c#oque ;*@ > Cantidad de moimiento en el eje @ después del c#oque P$i P%i
= tg θ
Mo1imiento en el ee K antes del !4o3ue#
;iJ > Cantidad de moimiento en el eje J antes del c#oque ( m $ - )$ m( masa de los autom7iles )$ ( $% m'seg ;iJ ( m$ - )$ ( m - $% ( $% m
PiK ' +8 m
E!ua!iGn +
Mo1imiento en el ee K después del !4o3ue#
Como la colisi7n es inelástica, quiere decir que los jugadores quedan unidos después del c#oque. )*J > 3s la elocidad !inal en el eje E de los dos jugadores después del c#oque. )*J ( )* cos M /)er gra!ica m ( masa de los autom7iles ;*J > Cantidad de moimiento en el eje J después del c#oque ( /m $ m+ - )*J ;*J ( /m m - )*J ;*J ( /+m - )* cos M
P&K ' /%m0 ? $& !os 66
E!ua!iGn %
+8 m ' /%m0 ? $& !os 66
E!ua!iGn 8
Mo1imiento en el ee antes del !4o3ue#
;i@ > Cantidad de moimiento en el eje @ antes del c#oque ( m + - )+ m ( masa de los autom7iles )+i ( elocidad del auto que iaja #acia el norte ;i@ ( m - )+i
Pi ' m - )+i
E!ua!iGn =
Mo1imiento en el ee después del !4o3ue#
Como la colisi7n es inelástica, quiere decir que los jugadores quedan unidos después del c#oque. )*@ > 3s la elocidad !inal en el eje @ de los dos jugadores después del c#oque. )*@ ( )* sen M /)er gra!ica )*@ ( )* sen 55 m ( masa de los autom7iles ;*@ > Cantidad de moimiento en el eje @ después del c#oque ( /m m - ) *@ ;*@ ( /+ m - )*@ 33
;*@ ( /+ m - )* sen M
P& ' /% m0 ? $& sen 66
E!ua!iGn 6
Pi ' m - )+i P& ' /% m0 ? $& sen 66 m - )+i ( /% m0 ? $& sen 66
E!ua!iGn <
Di1idiendo E!ua!iGn < !on la E!ua!iGn 8 m V2i 2 m VF sen 55 = 2 m VF os θ 13 m Can!elando té"minos semeantes# V2i sen 55 = os 55 = tg 55 13
)+i ( $% tg 55 )+i ( $% tg $,1+?$ )+i ( $?,5& m'seg. 3l limite de rapidez es de %5 millas '#ora. V2i = 18,56
metros seg
*
1 mi/ 1609 metros
*
3600 seg 1 "or/
=
41,53
mi/s "or/
Po" lo tanto el !ondu!to" 3ue 1iaa al no"te* ia !on eF!eso de 1elo!idad# P"olema %% SERA SEIS#
Una bola de billar que se muee a 5 m'seg golpea una bola estacionaria de la misma masa. 6espués de la colisi7n, la primera bola se muee a 1,%% m'seg a un ángulo de %0 grados con respecto a la lAnea original del moimiento. Si se supone una colisi7n elástica, encuentre la elocidad de la bola golpeada después de la colisi7n V1F & 4,33 m(seg V1F%
m
V1F$ & V1F os 30
m ) & 30
V1 & 5 m(seg
V1F% & V1F sen 30 0
V2F$ & V2F os A
A
V2F$ & V2F os A V2F%
V1F$ & V1F os 30
V2F% & V2F sen A
V2F
;iJ > Cantidad de moimiento en el eje J antes del c#oque ;*J > Cantidad de moimiento en el eje J después del c#oque ;i@ > Cantidad de moimiento en el eje @ antes del c#oque ;*@ > Cantidad de moimiento en el eje @ después del c#oque 34
P$i P%i
= tg θ
Mo1imiento en el ee K antes del !4o3ue#
0
;iJ > Cantidad de moimiento en el eje J antes del c#oque ( m - ) $ m - )+ m( masa de la bola de billar )$ ( 5 m'seg )+ ( 0 /esta en reposo ;iJ ( m$ - )$ ( m - 5 ( 5 m
PiK ' 6 m
E!ua!iGn +
Mo1imiento en el ee K después del !4o3ue#
Como la colisi7n es elástica, quiere decir que cada bola de billar cogen en di!erentes direcciones después del c#oque. )$*J > 3s la elocidad !inal en el eje E de la bola atacadora del billar después del c#oque. )$*J ( )$* cos %0 /)er gra!ica )+*J > 3s la elocidad !inal en el eje E de la bola que estaba en reposo después del c#oque. )+*J ( )+* cos V /)er gra!ica m ( masa de las bolas de billar ;*J > Cantidad de moimiento en el eje J después del c#oque ( m - ) $*J m - )+*J ;*J ( m - )$*J m - )+*J ;*J ( m - )$* cos %0 m - )+* cos V ;ero> )$* ( 1,%% m'seg
;*J ( m - )$* cos %0 m - )+* cos V ;*J ( m - %,19? m - ) +* cos V E!ua!iGn %
;*J ( m - %,19? m - ) +* cos V 6m ' m - %,19? m - ) +* cos V Cancelando la masa m
6 ' %,19? )+* cos V )+* cos V ( 5 ( %,19?
$%& !os ' +*%< m-se.
E!ua!iGn 8
Mo1imiento en el ee antes del !4o3ue#
;i@ > Cantidad de moimiento en el eje @ antes del c#oque ( m - ) $i@ m - )+i@ m ( masa de las bolas de billar )$i@ ( 3s la elocidad de la bola atacadora en el eje @ antes del c#oque ( 0 )+i@ ( 3s la elocidad de la bola que esta en reposo en el eje @ antes del c#oque ( 0 35
;i@ ( 0
E!ua!iGn =
Mo1imiento en el ee después del !4o3ue#
Como la colisi7n es elástica, quiere decir que las bolas de billar quedan cogen en di!erentes direcciones después del c#oque. )$*@ > 3s la elocidad !inal de la bola atacadora en el eje @ después del c#oque. )$*@ ( )$* sen %0 /)er gra!ica m ( masa de las bolas de billar )+*@ > 3s la elocidad !inal de la bola que estaba en reposo en el eje @ después del c#oque. )+*@ ( )+* sen V /)er gra!ica ;*@ > Cantidad de moimiento en el eje @ después del c#oque ( m - ) $*@ 2 m - )+*@ ;*@ ( m - )$*@ m - )+*@ ;*@ ( m - )$* sen %0 m - )+* sen V
;*@ ( m - )$* sen %0 m - )+* sen V
E!ua!iGn 6
Pi ' 0 P& ' m - )$* sen %0 m - )+* sen V
0 ( m - )$* sen %0 m - )+* sen V ;ero> )$* ( 1,%% m'seg 0 ( m - 1,%% sen %0
m - )+* sen V
Cancelando la masa que es comun 0 ( 1,%% sen %0 )+* sen V 0 ( +,$&5 )+* sen V E!ua!iGn < 2 +,$&5 ()+* sen V Di1idiendo E!ua!iGn < !on la E!ua!iGn 8 - 2,165 V2F sen β = V2F os β 1,26 Can!elando té"minos semeantes# - 2,165 sen β = = tg β 1,26 os β
2 $,$?+ ( tg V V ( arc tg /2$,$?+ ' ( <)
)
Pa"a 4alla" la 1elo!idad 2inal de la ola de illa" 3ue estaa en "eposo después del !4o3ue $%& !os ' +*%< m-se. E!ua!iGn 8
36 V2F = 1,26 =
1,26
=
1,26
m 2,52 os β os - 60 =
0,5
seg
$%& ' %*6% m-se.
P"olema 8=# SERA CUATRO SEIS#
P"olema +< SERA 3uinta P"olema %= SERA
Como se e en la !igura ;9.+1, una bala de masa m y rapidez atraiesa completamente el disco de un péndulo de masa : bala emerge con una rapidez '+ . 3l disco del péndulo esta suspendido por una arilla rAgida de longitud l y masa despreciable. DCuál es el alor mAnimo de tal que el disco del péndulo a oscile todo un cArculo ertical completo
"&
"a energAa cinética en el punto mas bajo se trans!orma en energAa potencial cuando alcance la altura #. Ene".a !inéti!a en el punto mas bajo ' Ene".a poten!ial cuando alcance la altura #.
/)i ( )elocidad inicial con la que se desplaza la masa :.
# ( + l /)er gra!ica K
=
1 2
Vi
2 Ene".a !inéti!a
3; ( : g # 1 2
Vi
2
=
Ene".a poten!ial
g"
Se cancela la masa : 1
Vi 2
2
=
g"
= 2 * g * 24 2 Vi = 2 g " Vi = 4 g = 2 g )elocidad inicial con la que se desplaza la masa :.
3l momento se consera en cualquier tipo de c#oque. m ( masa de la bala ( )elocidad inicial de la bala. '+ ( )elocidad !inal de la bala 37 Vi = 2 g )elocidad inicial con la que se desplaza la masa :.
Momento antes de la !olisiGn ' momento después de la !olisiGn
m .
=
m .
=
m * m *
Se despeja m
m . -
. 2 .
=
2 =
* Vi
+
* 2 g
2
.
2m. - m.
+
2 g
2 g
2 m . .
=
=
4 g 4
4 g 4 m
P"olema 86# SERA CUATRO P"olema %@ SERA Cin!o
Una bala de $+ gr. se dispara contra un bloque de madera de $00 gr. inicialmente en reposo sobre una super!icie #orizontal. 6espués del impacto el bloque se desliza .5 m antes de detenerse. Si el coe!iciente de !ricci7n entre el bloque y la super!icie es 0.&5, Dcuál es la elocidad de la bala inmediatamente antes del impacto J ( ,5 metros distancia que recorre el conjunto bloque bala. Cuando la bala se incrusta en el bloque de madera, el conjunto se desplaza ,5 metros #asta que se detiene por acci7n de la !uerza de rozamiento que se opone al desplazamiento. mB ( 3s la suma de la masa de la bala la masa del bloque de madera. ( 0,0$+ 0,$ ( 0,$$+ kg. a ( 3s la aceleraci7n del conjunto, en este caso es retardatriz por que se detiene por acci7n de la !uerza de rozamiento *H ( 3s la !uerza que se opone al desplazamiento del conjunto bala bloque de madera. W *@ ( 0 4 = mB g ( 0 4 ( mB g 4 ( 0,$$+ - 9,? N ' +*)9@< Ne>ton
*H ( X 4 X ( coe!iciente de !ricci7n entre el bloque y la super!icie es 0.&5, *H ( 0,&5 - $,09& &R ' )*@+8== Ne>ton
W *J ( mB a *H ( mB a /
=
FB mT
=
0,71344 0,112
a ' <*8@ m-se.
=
6,37
m seg
2
%
38
0 +
/)* ( /)0+ = + a J /3l signo es negatio por que el conjunto a perdiendo elocidad #asta que sea cero. 0 ( /)0+ = + a J /)0+ ( + a J V0 = 2 / $ = 2 * 6,37 * 7,5 = 95,55 $) ' 9* @@ m-se.# Es la 1elo!idad del !onunto made"o ala después del impa!to
3l momento total del sistema /bloque bala antes del c#oque es igual al momento total del sistema después del c#oque debido a que el momento se consera en cualquier tipo de c#oque. ANTES DEL CBOQUE
mb ( masa de la bala ( $+ gr. ( 0,0$+ Lg. )bi ( )elocidad de la bala. mm ( masa del bloque de madera ( $00 gr ( 0,$ kg. )mi ( )elocidad del bloque antes del c#oque ( 0 DESPUES DEL CBOQUE
mB ( 3s la suma de la masa de la bala la masa del bloque de madera. ( 0,0$+ 0,$ ( 0,$$+ kg. ;or que la bala se incrusta en el bloque de madera. )0 ( Es la 1elo!idad del !onunto made"o ala después del impa!to 0
:b - )bi
mm - )mi ( mB )0
0,0$+ - )bi V @i
=
( 0,$$+ - 9,
0,112 * 9,77 0,012
=
1,094 0,012
=
91,23
m seg
PRO5LEMAS RESUELTOS ADICIONALES P"olema +
Un jugador de gol! golpea la bola de masa 0,$& kg con una !uerza de 10 4eton. Si el tiempo de c#oque del palo con la bola es de 0,$ seg. Calcular> a 3l impulso que le comunica a la bola b "a elocidad con que sale disparada la bola a 3l impulso que le comunica a la bola. <(*-t ;ero * ( 10 4eton, t ( 0,$ seg. < ( * - t ( 10 - 0,$ I ' = Ne>ton ? se.#
b "a elocidad con que sale disparada la bola &'m?a
;ero * ( 10 4eton, m ( 0,$& kg. /
=
F m
=
40 Newton 0,16 'g
=
250 m
seg
2
39
0
)! ( )0 = a - t )0 ( a - t )0 ( +50 - 0,$ $) ' %6 m-se.# P"olema %
Un autom7il de 950 kg. Gue se muee a 10 m'seg. *rena en !orma constante y en 1 seg. cambia su elocidad a $0 m'seg. Calcular la magnitud de la !uerza que lo detiene )0 ( 10 m'seg )* ( $0 m'seg t ( 1 seg )! ( )0 = a - t /=
V0 - VF
=
40 - 10
t
4
=
30
=
7,5
4
m seg
2
&'m?a
* ( 950 kg - ,5 m'seg+ & ' @+%6 Ne>ton
YC ( < ( * - t C = C0 ( * - t ;ero> C ( m- 0 C0 ( m - * m- 0 2 / m - * ( * - t /950 - 10 2 /950 - $0 ( * - 1 %?000 = 9500 ( * - 1 %,6))-= ' & & ' @+%6 Ne>ton
P"olema 8
Un objeto de 5 kg. Biene una elocidad de $0 m'seg. Gue !orma un ángulo de % 0 con el eje J a Cual es su cantidad de moimiento b Cual es su cantidad de moimiento en el eje J y en el eje @ $K ' , m-se.
)@ ( - sen % ( $0 - sen % $ ' < m-se.
V%
0
37 .C
Cual es su cantidad de moimiento C(m- C ( 5 - $0 ( 50 Lg m'seg Cual es su cantidad de moimiento en el eje J C ( m - J C ( 5 - ? ( 10 Lg m'seg 40
Cual es su cantidad de moimiento en el eje @ C ( m - @ C ( 5 - & ( %0 Lg m'seg P"olema =
Un objeto tiene una energAa cinética de %00 julios y una cantidad de moimiento de &0 kgm'seg. Calcular la masa del objeto 1
=
>?
*m*.
2
2
1
=
;ero C ( m - =
>? .=
1
*m*.
2
2>? ?
=
2
=
(m
* .) .
(m
* .) . = 2
2 1 2
2 * 300 Dios m 60 'g seg
=
1
(?) * .
m 10 seg
C(m- m
60 Kg ? m= .
seg m 10 seg
=
=
6 Kg
P"olema 6
Un taco de billar le pega a una bola, ejerciendo una !uerza media de 50 4eton durante $0 milisegundos Si la bola tiene una masa de 0,5 kg. Gue elocidad adquiere después del impacto $ seg. $000 mseg E $0 mseg C
=
1 seg * 10 mseg 1000 mseg
=
0,01 seg
&'m?a
;ero * ( 50 4eton, m ( 0,5 kg. /
=
F m
=
50 Newton 0,5 'g
=
100 m
seg 2
0
)! ( )0 = a - t )0 ( a - t )0 ( $00 - 0,0$ $) ' + m-se.#
P"olema <
Una bola de masa m y rapidez 1 pega perpendicularmente contra una pared y rebota con la misma rapidez. Si el tiempo que dura el c#oque es t# Cual es la !uerza de la bola ejercida por la pared YC ( < ( * - t 41
C = C0 ( * - t ;ero> C ( m- C0 ( 2 m - m- 2 /2 m - ( * - t m- m- ( * - t + m- ( * - t F
=
m .
2m*.
p/re
m -.
t
P"olema @
Un cami7n de carga de %0000 kg que iaja a $0 m'seg c#oca contra un autom7il de 00 kg que iaja en direcci7n opuesta a +5 m'seg, si quedan unidos después del c#oque. F que rapidez y en que direcci7n se moerán. m$ ( %0000 kg $ ( $0 m'seg m+ ( 00 kg + ( +5 m'seg
m1 .1
m2 .2 /ntes
/m$ - $ 2 /m+ - + ( /m$ m+ - ) /%0000 - $0 2 /00 - +5 ( /%0000 00 - )
esps m1 m2 ! V
/%00000 2 /$500 ( /%000 - ) +?+500 ( %000 -) $' %)*9 m-se. en la di"e!!iGn del !amiGn P"olema ,
Una bola de 0,5 kg que iaja a & m'seg c#oca !rontalmente con otra de $ kg que iaja en direcci7n opuesta a = $+ m'seg "a elocidad de la primera bola después de la colisi7n es de 2$1 m'seg Cual es la elocidad de la segunda bola m$ ( 0,5 Lg $a ( & m'seg $d ( 2$1 m'seg m+ ( $ Lg +a ( 2$+ m'seg +d ( /m$ - $a /m+ - +a ( /m$d $d /m+d +d /0,5 - & /$ - 2$+ ( /0,5 - /2$1 /$ - +d /% 2 /$+ ( 2 +d % 2 $+ ( +d 1%d ' ( % m-se.#
P"olema 9
Una partAcula de masa m tiene una elocidad $# Itra partAcula de masa 8m tiene una elocidad de %$# Cuantas eces es la cantidad de moimiento de la segunda respecto de la primera. Cuantas eces es la energAa cinética de la segunda respecto de la primera 42
;ero> m$ ( m
)$ ( )
m+ ( %m
)+ ( +)
Cuantas eces es la cantidad de moimiento de la segunda respecto de la primera. ?2
m 2 V2
=
?1
m1 V1
3m * 2V
=
m*V
=
6
Cuantas eces es la energAa cinética de la segunda respecto de la primera (3m ) ⎜⎛ 4V 2 1 m2 * (V2 )2 1 (3m ) (2V )2 > ⎝ ⎠ ?2
> ?1
2 1 m * (V )2 1 2 1
=
=
2 1
2
(m ) (V ) 2
=
=
m*V
12 2
P"olema +) Un !usil de & kg dispara una bala de $00 gr con una elocidad de 900 m'seg
Cual es la elocidad de retroceso del !usil ;ero> mb ( $00gr ( 0,$ Lg )! ( & Lg.
)b ( 900 m'seg.
Cbala ( C!usil mb - )b ( m! - /2 )! /0,$ - 900 ( /& - /2 )!
90 ( 2 & )! )! ( 2 90'& $2 ' ( +6 m-se.# P"olema ++
Un cuerpo con energAa cinética E eri!ica un c#oque per!ectamente inelástico con un segundo cuerpo de igual masa inicialmente en reposo. Cual es la energAa después del c#oque Cantes ( Cdespues ma - )a ( md - )d
m/
m/
ma - )a ( + ma - )d V
=
m/* V/
=
V/ 2 ntes
2 m/ V
=
V/ 2
esps
V/
m/ m/ ! & 2m/
3nergAa cinética antes >? /
1
=
2
*m/*./
V 2
3nergAa cinética después ⎜
!
>
⎛
& * m * . ! 2 & // ! 2 &/ ⎟ &
( )
1
?
2
⎞
⎛
2
⎜
/
⎞
(/)
⎟
2
43
1 2
* 2m / *
V 2
1 2 m 2⎜
* V 4
⎝ ⎟ ⎠
1⎜m * V 2⎜ 2
⎝
⎟ ⎠ ⎟
43
>?
=
1 2
(> ?/ )
P"olema +%
Una granada de 5 kg en reposo eEplota en dos partes. Una de ella de masa de % kg sale disparada con elocidad de $0 m'seg. DCuál es la elocidad de la otra parte Hta. 2$5 m'seg. Cantes ( Cdespues 0 ( m$ - )$ m+ - )+ 0 ( % - $0 + - )+ + - )+ ( 2 %0 )+ ( 2 $5 m'seg. P"olema ,#% Sea"s emans7y
a Cual es la cantidad de moimiento de un cami7n de $0 toneladas cuya elocidad es 50 km'#ora. F que elocidad tendrá un cami7n de 5 toneladas b "a misma cantidad de moimiento c "a misma energAa cinética
V = 50
'm "or/
*
1000 m 1 'm
1 "or/ * 3600 seg
=
50000 m
3600 seg
) ( $%,??? m'seg. m = 10 ton *
1000 'g 1 ton
= 10000
'g
m ( $0000 kg.
;ero> C ( m - C ( $0000 kg - $%,??? m'seg C ( $%???,?? kg m'seg 0 Si tiene la misma !antidad de mo1imiento !ual se" la 1elo!idad del !amiGn de 6 toneladas de masa
m$ ( masa del cami7n de 5 toneladas m$ ( 5000 kg. )$ ( )elocidad del cami7n de 5 toneladas de masa C ( $%???,?? kg m'seg V1 = ? 13888,88 m = 27,77 = m 5000 seg
Si tiene la misma ene".a !inéti!a* !ual se" la 1elo!idad del !amiGn de 6 toneladas de masa > ? = 1 * m * . 3nergAa cinética del cami7n de $0000 kg. 2 2
>? = 1
1 *m 2 1 * .1 2
3nergAa cinética del cami7n de 5000 kg.
3C ( 3C$ 1
mV
2
=
1
*m *.
2 44
2
1
2
1
Cancelando términos semejantes mV
2
=
2
m1 * .1
10000 * 13,8888! 2 * 13,8888!
2
=
2
2
=
5000 * .
2
2 1
.1
385,753 = . 1 385,753 V1 =
$+ ' +9*<=m-se. 'm m 1 'm 3600 seg = 70,7 V1 = 19,64 * * seg 1000 m 1 "or/ "or/
P"olema ,#8 Sea"s emans7y
Un proyectil de masa de 0,05 kg que se muee con una elocidad de 100 m'seg. ;enetra una distancia de 0,$ metro en un bloque de madera !irmemente sujeto al suelo. Se supone que la !uerza desaceleradota es constante. Calcular> a "a desaceleraci7n b "a !uerza desaceleradora c 3l tiempo que dura la desaceleraci7n d
Vo & 400 m(seg
m ( 0,05 kg
)0 ( 100 m'seg
a0 La desa!ele"a!iGn
$ & 0,1 metro
0 +
/)* ( /)0+ = + a J /3l signo es negatio por que el conjunto a perdiendo elocidad #asta que sea cero. 0 ( /)0+ = + a J /)0+ ( + a J / =
(V0 )2 2$
2 ( 400 ) =
2 * 0,1
=
160000 = 800000 m 2 0,2 seg
0 La 2ue"a desa!ele"ado"a
*(m-a * ( 0,05 - ?00000
& ' =)))) Ne>ton !0 El tiempo 3ue du"a la desa!ele"a!iGn
45
)* ( )0 = a t /3l signo es negatio por que el conjunto a perdiendo elocidad #asta que sea cero. 0 ( 100 = ?00000 - t t =
400 800000
=
4
=
0,5 *10
- 3 seg
8000
d0 ImpulsiGn del !4o3ue# Comp"ese la "espuesta del apa"tado d0 !on la !antidad de mo1imiento ini!ial del p"oye!til
<(*-t < ( 10000 4eton - 0,5 - $02 % seg I ' %) Ne>ton ? se.
Respuestas a las p"e.untas "pidas P"e.unta 9#+ SERA SEIS# Dos oetos tienen ene".a !inéti!a i.uales# CGmo se !ompa"an las ma.nitudes de sus !antidades de mo1imiento
a p$ < p+ b p$ ( p+ c p$ > p+ d0 No 4ay su2i!iente in2o"ma!iGn
/d 6os cuerpos idénticos /m $ ( m+ que se desplazan misma rapidez / ) $ ( )+ tienen las mismas energAas cinéticas y las mismas magnitudes de cantidad de moimiento. Bambién es posible, sin embargo, para combinaciones particulares de masas y elocidades satis!acer L $ ( L+ pero no ;$ ( ;+. ;or ejemplo un cuerpo de $ kg que se muea a + m's tiene la misma cinética que un cuerpo de 1 kilos que se muea a $ m's, pero es eidente que los dos no tienen las mismas cantidades miento. 3n ista que no tenemos in!ormaci7n acerca de masas y magnitudes de rapidez, no podemos escoger entre a, b o /c. P"e.unta 9#% SERA SEIS# El maest"o de edu!a!iGn 2si!a lana a usted* le!to"* una pelota de éisol a !ie"ta "apide y usted la at"apa# El maest"o le lana a !ontinua!iGn una ola de medi!ina !uya masa es die 1e!es la de la pelota de éisol# Usted tiene las si.uientes op!iones: Puede 4a!e" 3ue le lan!en LA 5OLA DE MEDICINA !on a0 La misma "apide 3ue la pelota de éisol# 0 La misma !antidad de mo1imiento !0 La misma ene".a !inéti!a Clasi2i3ue estas op!iones de la mas 2!il a la mas di2!il de at"apa"#
/b, /c, /a Cuanto más lenta sea la bola, más !ácil es atraparla. Si la cantidad de moimiento de la bola de medicina es la misma que la cantidad de moimiento de la pelota de béisbol, la rapidez de la bola de medicina debe ser $'$0 de la rapidez de la pelota de béisbol debido a que la bola de medicina tiene $0 eces la masa. Si las energAas cinéticas son iguales, la rapidez de la bola 1
de medicina debe ser 10 de la rapidez de la pelota de béisbol debido al término cuadrado de la rapidez de la ecuaci7n para K "a bola de medicina es más di!Acil de atrapar cuando tiene la misma rapidez que la pelota de béisbol. P"e.unta 9#8 SERA SEIS# Se suelta una pelota y esta !ae 4a!ia el suelo sin "esisten!ia del ai"e# 3l sistema aislado
para el que se consera la cantidad de moimiento es>
a la pelota b la tierra c la pelota y la tierra. d imposible de determinar. Respuesta>
/c "a pelota y la Bierra ejercen !uerzas una sobre la otra, de modo que ninguna es un sistema aislado. 6ebemos incluir ambas en el sistema para que la !uerza de interacci7n sea interna al sistema. P"e.unta 9#= SERA SEIS# Un auto y un ."an !amiGn 3ue 1iaan a la misma "apide !4o!an de 2"ente y 3uedan unidos# Cul 1e4!ulo eFpe"imenta el mayo" !amio en la ma.nitud de su !antidad de mo1imiento a 3l auto
b 3l cami7n c 3l cambio en la magnitud de la cantidad de moimiento es igual para ambos. d
/d 6e la ecuaci7n 9.1, si ; $ ;+ ( constante, entonces se deduce que Q; $ Q; + ( 0 y Q;$ ( 2 Q;+. :ientras el cantidad de moimiento sea el mismo, el cambio en la elocidad no es más grande para el auto. P"e.unta 9#6 SERA SEIS#
/c y /e 3l cuerpo + tiene una mayor aceleraci7n debido a su menor masa. ;or lo tanto, toma menos tiempo recorrer la distancia d. Fun cuando la !uerza aplicada a los cuerpos $ y + es la misma, el cambio en cantidad de moimiento es menor para el cuerpo + porque, Qt es menor. 3l trabajo R ( *d realizado sobre ambos cuerpos es el mismo porque * y d son iguales en los dos casos. ;or lo tanto, L$ ( L+. P"e.unta 9#< SERA SEIS#
/b y /d. 3l mismo impulso se aplica a ambos cuerpos, de modo que eEperimentan el mismo cambio en cantidad de moimiento. 3l cuerpo + tiene una mayor aceleraci7n debido a su menor masa. ;or lo tanto, la distancia que el cuerpo + cubre en el interalo Qt es mayor que la distancia para el cuerpo $. 3n consecuencia, se realiza más trabajo sobre el cuerpo + y L + Z L$ P"e.unta 9#@ SERA SEIS#
/a "os tres son iguales. Como el pasajero pasa de la rapidez inicial del auto a un alto total, el cambio en cantidad de moimiento /igual al impulso es igual, sin importar qué detenga al pasajero. /b 3l tablero, el cintur7n de seguridad, la bolsa de aire. 3l tablero detiene al pasajero muy rápidamente en un c#oque de !rente, lo cual resulta en una !uerza muy grande. 3l cintur7n de seguridad toma más tiempo, de modo que la !uerza es menor. Utilizada junto con el cintur7n de seguridad, la bolsa de aire prolonga más aKn el tiempo de !renado del pasajero, notablemente para su cabeza, que de otra !orma se muee iolentamente #acia delante. P"e.unta 9#, SERA SEIS#
3n una colisi7n unidimensional per!ectamente inelástica entre dos objetos. DGué condici7n Knica es necesaria para que toda la energAa cinética inicial del sistema desaparezca después de la colisi7n [ a0 Los oetos deen tene" !antidades de mo1imiento !on la misma ma.nitud pe"o di"e!!iones opuestas#
47
b "os objetos deben tener la misma masa c "os objetos deben tener la misma elocidad d "os objetos deben tener la misma rapidez, con ectores de elocidad en direcciones opuestas. /a Si se trans!orma toda la energAa cinética inicial, entonces nada se muee después de la colisi7n. 3n consecuencia, la cantidad !inal de moimiento del sistema es necesariamente cero y, por lo tanto, la cantidad inicial de moimiento del sistema debe ser cero. :ientras /b y /d juntas satis!acen las condiciones, ninguna lo #arAa por sí sola. P"e.unta 9#9 SERA SEIS#
Una pelota de tenis de mesa es lanzada a una bola de bolic#e estacionaria. "a pelota de tenis de mesa su!re una colisi7n elástica en una dimensi7n y rebota #acia atrás a lo largo de la misma lAnea. 6espués de la colisi7n, en comparaci7n con la bola de bolic#e, la pelota de tenis de meas tiene> a Una magnitud mayor de cantidad de moimiento y más energAa cinética. 0 Una meno" !antidad de mo1imiento y ms ene".a !inéti!a#
c Una mayor magnitud de cantidad de moimiento y menos energAa cinética. d Una menor magnitud de cantidad de moimiento y menos energAa cinética. e "a misma magnitud de cantidad de moimiento y la misma energAa cinética. Respuesta>
/b 6ebido a que se consera la cantidad de moimiento del sistema !ormado por la pelota de tenis de mesa y la bola de bolic#e, ; Bi 0 ( ;B! ;O. Como la pelota de tenis de mesa rebota en la muc#o más grande bola de bolic#e con aproEimadamente la misma rapidez, p B! ( 2 ; Bi . Como consecuencia, ;O ( + ;Bi. "a energAa cinética se puede eEpresar como L ( p +'+m. 6ebido a la masa muc#o más grande de la bola de bolic#e, su energAa cinética es muc#o mayor que la de la pelota de tenis de mesa. P"e.unta 9#+) SERA SEIS#
Un bate de béisbol se corta en la ubicaci7n de su centro de masa, como se muestra en la !igura 9.+0. "a parte con la menor masa es> a "a parte de la derec#a 0 La pa"te de la i3uie"da
c Fmbas partes tienen la misma masa. d
Respuesta>
/b "a parte de donde se sujeta el bat tendrá menos masa que la parte del eEtremo del bat. ;ara er por qué esto es asA, tome el origen de coordenadas como el centro de masa antes de cortar el bat. Sustituya cada parte cortada con una peque8a es!era situada en el centro de masa de cada parte. "a es!era que represente la pieza donde se sujeta el bat está más lejos del origen, pero el producto de menos masa y mayor distancia balancea el producto de mayor masa y menos distancia para la parte del eEtremo> 48
P"e.unta 9#++ SERA SEIS#
"os eraneantes de un barco crucero están ansiosos por llegar a su siguiente destino. 6eciden tratar de acelerar el barco al reunirsen en la proa /el !rente y correr todos a un tiempo #acia la popa /atrás del barco. Cuando están corriendo #acia la popa, la rapidez del barco es> a0 ms alta de lo 3ue e"a antes
b no cambia c mas baja que antes d imposible de determinar. Respuesta>
/a \ste es el mismo e!ecto que el nadador que se lanza de la balsa que acabamos de er. 3l sistema barco2pasajeros está aislado. Si los pasajeros empiezan todos a correr en una direcci7n, la rapidez del barco aumenta /muy poco) en la otra direcci7n. P"e.unta 9#+% SERA SEIS# Los 1e"aneantes de la p"e.unta 9#++ pa"an de !o""e" !uando lle.an a la popa del a"!o# Una 1e 3ue 4an deado de !o""e"* la "apide del a"!o es:
a mas alta de lo que era antes que empezaran a correr
0 No 4ay !amio "espe!to a lo 3ue e"a antes 3ue empea"an a !o""e"
c :as baja de lo que era antes que empezaran a correr d
/b Una ez que dejen de correr, la cantidad de moimiento del sistema es igual a la que era antes que empezaran a correr] no se puede cambiar la cantidad de moimiento de un sistema aislado por medio de !uerzas internas. 3n caso que se piense que los pasajeros podrAan #acer esto una y otra ez para aproec#ar el aumento en rapidez mientras estén corriendo, recuerde que an a reducir la elocidad del barco cada ez que regresen a la proa.
PREUNTAS CAPITULO SEIS SERA
P"e.unta +9# Bres pelotas son lanzadas simultáneamente al aire. DCuál es la aceleraci7n del
centro de masa de ellas cuando están en moimiento
P"e.unta %)# Una persona balancea una regla graduada en posici7n #orizontal sobre los dedos
Andices eEtendidos de sus dos manos, y luego junta lentamente sus dedos. "a regla permanece balanceada y los dos dedos siempre se encuentran en la marca de 50 cm, sin importar sus posiciones originales. /j inténtelo^ 3Eplique. P"e.unta %+# 3s !recuente que la 4FSF utilice la graedad de un planeta para _lanzar_ una
sonda a su ruta #acia un planeta más distante. "a interacci7n del planeta y la nae espacial es una colisi7n en la que los objetos no se tocan. DC7mo es posible que la sonda aumente su rapidez en esta !orma P"e.unta %%# "a "una gira alrededor de la Bierra. :odele su 7rbita como circular. DSe consera
la cantidad de moimiento lineal de la "una DSe consera su energAa cinética
P"e.unta %8# Un #ueo crudo que se deje caer al piso se rompe al impacto. 4o obstante, un
#ueo crudo que se deje caer sobre un grueso colc#7n de cauc#o celular desde una altura de $ m rebota sin romperse. D;or qué es esto posible Si el estudiante intenta este eEperimento, asegKrese de atrapar el #ueo después de su primer rebote. 49
P"e.unta %=# D;uede el centro de masa de un objeto estar localizado en posici7n en la que no
#aya masa Si es asA, dé ejemplos.
P"e.unta %6# Un malabarista lanza tres bolas en un ciclo continuo. Cualquiera de ellas está en
contacto con sus manos durante un quinto tiempo. 6escriba el moimiento del centro de masa de las bolas. DGué !uerza promedio ejerce el malabarista sobre una mientras la toca P"e.unta %<# DFcelera el centro de masa de un co#ete en el espacio libre eEplique. D;uede la
elocidad de un co#ete rebasar la rapidez de escape del combustible 3Eplique. P"e.unta %@. F principios del siglo EE, Hobert Toddard propuso eniar un co#ete a la "una. Sus
crAticos argumentaron que en el acAo, como el que eEiste entre la Bierra y la "una, los gases emitidos por el co#ete no tendrAan nada contra qué empujar para impulsar el co#ete. SegKn la reista Scientific American /enero de $95, Toddard coloc7 una pistola en un acAo y con ella disparo un cartuc#o de sala. /Un cartuc#o de sala no tiene balas y dispara s7lo el relleno y gases calientes producidos por la p7lora, D que ocurri7 cuando dispar7 el arma P"e.unta %,# 3Eplique c7mo podrAa usarse un globo aerostático para demostrar el mecanismo
que #ace posible la propulsi7n de co#etes. P"e.unta %9# Sobre el tema de las siguientes posiciones, eEprese el lector su propio punto de
ista y eEplique para apoyarlo. /a "a mejor teorAa del moimiento es que la !uerza produce aceleraci7n, b "a erdadera medida de la e!ectiidad de una !uerza es el trabajo que ésta realiza, y la mejor teorAa del moimiento es que el trabajo realizado sobre un objeto cambia su energAa. /c "a erdadera medida del e!ecto de una !uerza es el impulso, y la mejor teorAa de moimiento es que el impulso aplicado en un objeto cambia su cantidad de moimiento.
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