CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO - CHOQUES
-
-.~~
~
v.
2.EJ~..00
~~
Luego de la colision los cuerpos quedan adheridos. cion de energfa. :;}
...~
...
~,.
._
::;;~-
~-
~
-~
.
~Tv~~
Se produce la maxima disipa-
_ ..
~
~.
__ ,:UZCAN" ----------------~
Si una esfera colisiona frontal y elasticamente (e= 1) can otra identica enreposo. Entonces, esta ultima adquiere la cantidad de movimiento y energfa cinetica del prim era.
-~ii'
--:-i
v
v
B
A
~qjtfG~ Supongamos que las veJocidades de las esferas antes y despues de la colis ion. son:
-- -ill
il2
~iA~'~ a) Par conservacion de la cantidad de
De (I) y (II) :
movimiento. il1+ilz=V}
-
Po =Pf mxVl +mt.
ilz -ill = V
2ilz
=m~l +~z V
=~l
ilz =VI_
+~z~
b) Par relacion de coeficiente de restitucion (e=l). De:
-
,!7
~z - ~l = e (V 1 - .,v Z
~z -
~l
= 1x V ~
= 2V
)
...
(II)
+
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES"-
=1!-.i~{il~AP::{1ID t Si una esfera colisiona frontal e inelasticamente (0 < e < 1) fon otra identica en repo~. Entonces, las velocidades de las esferas finalmente son :
~t~'
IDo..altte!
fDespft~
-~l
i,
ii2
~DeniOSttaciOn Haciendo el mismo analisis de la situaci6n anterior.
- fil
Po =Pf
mVl
+
mt
= mD:l + D:2
D:l + D:2 = V ~ b) De la relaci6n de coeficiente de restituci6n.
ii2
I
~
--
MJ!W!III
J:,UZCANo. ----------------~
.-.,J.!.8JmlEoki.::j 1lliJI: Si una pelota colisiona frontalmente con rapidez Va' contra una pared en forma inelastica (0 < e < 1), La rapidez con que sale despu€s de la colisi6n es :
----------4, ------,
,'~
~()------
III
'
Si suponemos que luego de la colisi6n la pared practicamente ces:
no se ha movido, enton-
112=0
J--- :;~ ~2 -~l
=e(Vl
-
V2)
0-111 =e(-Vl -0) III
= eVl
Lqqd.
~I ,~
~-;..----------
'- __ mmm____
~Si
la fuerza media que se produce durante la colisi6n es mucho mayor que la fuerza de gravedad. Entonces :
:::::Q)
~l
m
, _EaQpIEDAri..,:.; -~'~UiS{j): ~ ~ Si una pelotita colisiona ine"~sticamente con una superficie horizontal lisa, de la forma como se indica, entonces : el coeficiente de restituci6n se calcula par :
~OSti'dCi6n
.•
Descomponemos
las velocidades
antes
~..~f\~
y despues de la colisi6n, en la direcci6n de la Ifnea de choque y perpendicular a
ella.
'~
~'
v,cosa',
~'/'
-'fP'0!
1 'lIIIIIIllllllllllllllmmm;:%:>llmi
a)
Si no existe rozamiento, cambia, es decir :
entonces la componente VI cosa
horizontal de la velocidad no
= III cos~
VI III
cos~ cosa
-=-b) La componente
de la velocidad inicial en la vertical; cambia debido al coeficiente de
restituci6n. IIIIIII
(t": ~.w~·i .
Illsen~
= eVlsena
III sen~ e=-x-VI sena
i cosa sen~ e=--x-·-cos~ sena
j),-
_
~ CUZCAN~
~ ----------------~
DE PROBLEMA 98 Sem. UNI ':' ----------------':' CEPRE
'.'
Una esfera de 1 kg can una velocidad de 4 im/s realiza una colisi6n elastica frontal can otra esfera estacionaria identica en sus dimensiones. 2.A que distancia de la primera esfera, se encuentra la segunda esfera; 3s despues de la colisi6n? A) 6m
B) 10 m
D) 24m
E) 8m
:;: .:. :~: ':' :;: .:.
.. (d
= 12
.:.
.:.
.:. Dos pelotas de igual masa moviendose can :~:rapidez de 3 mis, chocan de frente. En.:. cuentrese la rapidez de cada una despues .:. .:. de la colisi6n (en m/s) .
R~
.:. I) Si quedan juntas .
.:.
Despues de fa colision ; 3s J.Ll=O~
J.L2=4m/s "X'R'f
~d-
Rpta.
:~:,PROBLEMA 99
RESOLUCION
mrZ;l.v:
=1
~Q~
.:. .:. .:. .:. .:. .:.
.:. .:. .:.
I)
III
= 112 = 0
II)
III
= 112 = 0
III) I) C) I)
III
= 112 = 0
III
= 112 = 1,5
II)
III
= 112 = 3
III)
III
= 112 = 0,9
CANTIDAD DE MOVIMIE:NTO - IMPULSO - CHOQUES
0)
I) ~l ==~z ==0 II)
~l
::: a) Por conservacion de .:.
==~z ==3
Ill) ~l ==~z ==0 E)
P
.:.
Po ==PI
:~:
mVI + mVz ==mill + mllz
I) ~l ==~z ==3
3 i-3i==1l1
II) ~l ==~z ==0
ill + ilz ==0
+ilz
Ill) ~l ==~z ==2,7 RESOLUCION
.:.
k¢~~'d.'11 I
ilz~ill
.:..:.
i - (-3 i))
ilz - ill ==1x ( 3.
Esbozando una grMica antes y despues de .:. .:. la colision plastica. .:.
ilz - ill == 6 i
--
V2=3m/s
~=3m/s
Por conservacion miento.
Ilz
==
3
i m/s
ill == -3 i m/s
de la cantidad de movi- .:. Los modulos de sus velocidades ::: seran :
Po
m
==e(VI-Vz)
==
PI
(~1= ~2= 3 m/~]RPta.
:~::.
0
rapideces
(II)
~~':
(3 i) + m (-3 i) == 2m Vr :~:It~{[ill]
Significa que las pelotas se detienen; enton- ':'. . •. ces : .:. Graficamos instantes antes y despues de la colision inelastica (e=O,9)
-----lli
[
. '~l=
~~.~
OJ
:::
Rpta (I)
:::
~~~~el~ condicion esbozamos el grMico si- :~:
rQes"p'u~
1FAn1'&1
'r
::;;:!
~=3m/s
~
~l
~
@~
.-;Sj
i~,
I~ ~L
:~:a) Por conseivacion de P .
- I~ - - ::;;:tt, 3m/s
m;.ta,
~
.:. .:. .:. .:. .:.
Po ==Pr ,m'VI + ,m'V2=,m'1l1 '+ ,m'ilz
~"
MI!II!R
~ CUZCA.Q---------------~ 3 i + (-3 i) == ill + il2
°
b)
== ill
... (1)
+ il2
~. Par conservaci6n de la cantidad de movi:~:miento en el sistema :
Si el choque es inelastico (e==O,9);en- :~ tonces : .:.
~.
il2-ill
==e(VI-V2)
il2 - ill ==
0,9 (3 1- (-3
il2 - ill == 5,4
1))
ill == 0
1
0 mI:J
.. (ill = i
De (I) y (II) ;
Rpta.
Clave: E
.
.:
.;. PROBUMA.',101,
Sem. CEPRE UNI
.;.
.. (J.lI ==J.l2 = 2,7 mlS)
.;. Sobre una mesa horizontal Iisa se en:~ cuentran dos esf~ras juntas en reposo y Rpta. (III) .;. una tercera va al encuentro de ellas. Si Cl '·A :~:las velocidades despues del choque son ave. ~: ill ==(2 1- 0,5 3) m/s , il2 ==(1 + 4 3) mls
1- 3 3) mis, hallar la velocidad ~. de la esfera que se estaba moviendo, antes ~. del choque. :; .:. :~ .:' ~, .:.
Sem. CEPRE UNI":~ y il3 ==(3
fpa"OB~Oi
, "" " . Una p.?-rhcula A de masa m y velocldad 2i mls va al encuentro de una partfcula B de masa 2m y ~n reposo. Si despues de la colisi6n eAntre A y B; B adquiere la velocidad i mis, determine la velocidad de A.
51 m/s ::) 1 m/s
B)
A)
D)
.
:. .:.
21 m/s (1/2) m/s
.;.
(antes del choque)
. .
--------·X
.: :.
:.~ 0 i m/s
3)
mls
3) (10 1- 0,5 3) (13i-1,5 3)
mls
:~:A) (10 1- 2,5 RESOWCION .:' 'tu'aClones an t es y despues ' ';' '.' B) (101 -1,5 Graf·leand0 Ias Sl
de la colisi6n.
:~:C)
~DeSpues, _
Vt=2tmls
v=o
~~------G'-' ~--A A B
:~:D)
~
-
::;:~ B
Ami
m/s mls
.:'
8:~E) (131-2,53) •
'.'
.
m/s
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO - CHOQUES
.:. A) 1,67 mls Las situaciones antes y despues del choque :~:C) 1,33 mls segun el problema serim : :~:E) 2 mls
B) 2,67 mls
RESOLUCION
D) 0,67 mls
.:. RESOLUCION .:.
';' Inicialmente el cai-rito '.' .:. estan detenidos .
.:.
~L'
3i'
a
m
-3j'
Por conservacion miento.
.:. EI bloque inicia su movimiento con rapidez :~:de 2 m/s; como no existe rozamiento, en.:. tonces el carro seguira en reposo y el bloque :~: se movera a velocidad constante. .:.
de la cantidad de movi- .:.
.:.
Po =Pf ml Vl
= ml~l + m2~2 + m3~3
Resolviendo :
.. (VI
=
(13 i-1,Sj)
mlsJ Rpta.
:~:Cuando el bloque llega al extremo de la pa';' red del. carrito; se produce la colision elasti...• .:. ca, entonces cada uno de ellos tendran ye:~:locidades ~l e ~2 constantes, respecto de .:. tierra .
.:.
\\=2m1s
.:.
Un bloque de masa 2m se encuentra dentro de un carrito de masa "m", inicialmente en reposo, tal como indica la figura. Si el bloque parte del centro del carrito con una rapidez de 2 m/s. Halle la rapidez del carrito despues de la primera colision elastica con el bloque. Ignore todo efecto de friccion.
~=o
UiJ:m
.:. ';' I) Por conservacion de P '.' --------.:. :~: :~: .:. :~:Asumimos un signa a sus vectores veloci.:. dad: .:.
.:. Luego ;
.:.
II'-
.I.If!I!
J:'U~
II) 5i el choque es elastico (e=l). il2 - ill = e (VI 112 - III
ml (V) + m2 (-V) = ml
-1:.)
V(ml-m2)=m21l2
= 1x 2
Resolviendo (1) y (II) : 2 III =-
3
.:. .:.
Ilz =-
...... =====~
... -(1)
... (II) :~:5i el choque es perfectamente .:. e=l .:.
8 3
il2 -ill =e
.:. .:. .:. .:. .:.
Luego :.
.. [~=2,67.~s
0 + m2 (1l2)
x
' Rpta.
elastico.
(Vl-V2)
Ilz = l(V -(-V)) ... (II)
Ilz = 2V
.:.
.:.Reemplazando
(II) en (1):
Clave: B :~: .:. Sem. CEPRE UNI .:. Resolviendo :
Dos esferas perfectamente elasticas van al .:. encuentro con igual rapidez y despues del :~: choque una de ellas queda en reposo. <.En :' '.' que relaci6n estanln sus masas? .:. A) 2/1
B) 3/1
C) 4/1
D) 5/1 E) 6/1 . RESOWCION 5eglin la condici6n del problema, la grafica que identifica el movimiento de las esferas, antes y despues de la colisi6n sera :
-V1=V
'i';;~' ,
.:.
:.
(E _1
m2
.:. fPaoiLEMAF
()
=-
1.
'3
Rpta
Sem. CEPRE UNI
:~:Los cuerpos mostrados en la figura, reali:~:zan un choque perfectamente inelastico sa::: liendo luego con una rapidez de 0,25 im/ s . .;. Determine la relaci6n ml / m2 : :~:
:~:A) 2/3 .:. D) .5/3 .:.
B)"3/4 E) 3/5
:~:RESOWCION ;,: Esboza'ndo el grMico del movimiento de 10s .:. cuerpos antes y despues de la colisi6n .
.:..
.-
\i=O.25m1s
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
Por conservacion miento.
de la cantidad de movi- .:.
Po =Pf
.:.
mV1 + mV2 = (M + m)p: Po =Pf
m1V1 +m2V2 =(ml +,m2)Vf Asignando un signa a la direccion del vector .:. velocidad. ' :~:
. 8xO,5
+i
x(-1,5)
.. (~ = 0,44
m1 (+4) + m2 (-6) = (ml + m2)0,25
._-
=( +i}~ 8
m/s) .-
Rpta.
",!)
3,75 m1 = 6,25 m2 .:. PROBLEMA 106·
Rpta.
v
.:. Entre las masas de la figura se produce un ' Clave: D :~: choque perfectamente inelastico. Calcule :~:la fraccion (en %) de la energia cinetica del Sem. CEPRE UNI .:. sistema que se disipa en forma de calor. Un pez de 8 kg esta nadando a 0,5 m/s hacia la derecha. Se traga otro pez de 1/4 de kg que nada hacia el a 1,5 m/s hacia la izquierda. ('Cual es la rapidez del pez mas
v ' :~: ~ ", 2V .~. V .:. --- ~~_._-----~--.:. :~:A) 33,3 % B) 66,67 % C) 14,8 %
grande inmediatamente despues de su co- ':' D) 74 % E) 7,4 % mida? :;: RESOWCION A) 0,44 m/s B) 0,34 m/s . :~:En el choque perfectamente C) 0,48
D) 0,92 m/s
:~:conserva la cantidad de movimiento del sis-
E) 0,5 m/s
.':' tema .
.:.
RESOLUCION .:. La colision realizada por los peces es practi- :~: camente plastica, graficamos : IDido j
inelastico se
Final
::: ~ "
~tes
. Despues
3
2.V n~..
..
=:.d:>-J: ..:.
.:.
.:. Asignado un signa a la direccion de la velo:~:cidad. 2m· 2V + mV = 3mll
Por conservacion de la cantidad de movi- .:. miento en el sistema. :~:
~ [~=~v]
.;.
Calculo de la energia disipada 1
Z
EK =-x2m(2V) o 2 EKo
= 4,5
25
E
Z
B) 0,13 MV
M
m
.:.
.;. MV .;.C)0,5-
mVzl_
.;. .:.
J
EKf =~x3mx(%v Kf
1
+-xmV 2
mV
::: A) 0,13
.
mV
D)0,5V
m
•;. E) 1,86 MV/m
.:.
.;. RESOWCION
.:.
.;. Dato del problema:
.:.
Z
=6mV ~
(Para la bala)
:;: Si pierde el 75% de su EKo' entonces : .:.'
Q=EKo -EKf Q =4 5mV2 ,
_
25 mVz 6 V
Q=l.mVz 3 ~
111= -l
2
V
III =-
Finalmente : eI porcentaje de energfa disi- ::: pada en forma de calor es : .;.
%
Q
EdisiPada
= --
EKo
x
100 =
1/3
-
4,5
x
100
2
';' Calculo de la rapidez del bloque
'.' -------------::: Analizando instantes antes y despues que Iq. .;. bala perfora el bloque. jDesptibi"
Clave: E :;:
---
II_=?? r-" ..
~=V .;. Sem. CEPRE UNI .;. __ ~ .;. m
_
La figura muestra un proyectil de masa "m" .;. que se mueve con una velocidad V, hacia :;: Por conservacion un bloque de masa M, en reposo. Si la bala ';' miento.
de la cantidad de movi-
perfora al bloque perdiendo el 75% de su ';' energfa cinetica, determine la rapidez del :;: bloque despues que la bala 10 atraveso. .;.
= Pf
'.'
.:.
Po
m V 1 = mill + Milz
.;.-Asignamos a cada vector velocidad un sig.:. .;. no. V mV = mx-+Mllz
2
CANTIOAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES
.:. Ccilculo de la cantidad de calor des- .. :~:prendido durante la colisi6n.
£i( )v .. [~2= ii ~2
=
1- ~
0,5
V)
Sem. CEPRE UNI :~:
Se tienen dos partfculas cuyas masas son 4 :~: g y 2g cuyas velocidades son 2 i m/s e·:· * * i m/s, respedivamente. Despues de coli- :;: sionar la partfcula de rI;asa 2g tiene una .:. velocidad de 2 i m/s; determine la canti- :;: dad de calor desprendido en la colision. :~: A) 0,3 mJ
B) 0,4 mJ
D) 5 mJ
E) 2 mJ
C) 0,5 mJ
:~:
E
=.! ml~i + .! m2~~ 2 2 1 (3 )2 1 2 EKf ="2 (2m) x"2 + "2x m x 2 Kf
EKf = 4,25 m~
:~:Luego : Q=EKo -EKf
RESOLUCION : Esbocemos un grafico antes y despues de la .:. '.' colision. .:.
Q = (4,5 -4,25)m Q = 0,25 x 2 x 10-3 J
:. ( ~ = 0,5 mJ JJ -
•
V. =2f
~=f'
~
--'-
ill .j---'''-
--
il2=2t --
:~: .:.
Rpta. Clave: C
----.--~0--1..__ ~--~-------~--:.:: ,r .
Data :
.:.
5tR~BLEMA'109
:~:Un cuerpo con energfa cinetica Eo produce
*
m=2g=2
Por conservacion miento.
x 10-3 kg
.:. un choque perfedamente inelastico con un :~:segundo cuerpo de igual masa e inicialmen-
de la cantidad de movi- ::: te en reposo. La energfa cinetica del con.;. junto despues del choque es :
(2m)(2 i)+m(i)=
2mill +m(2 i)
- =~i1
~l~
:~:RESOLUCION :~:Esbozamos la grafica instantes antes y des.:. pues de la colision plastica .
.:-
.....
~
--
PUZCAIIQ -----------------~ (. A) 0,5
B) 0,6
:;: D) 0,8
E) 0,9
.:. RESOWCION :~ Las masas de las particulas son de 2 kg; : conodendo la energia cinetica, determina.) mos su rapidez.
.
(
.
~
)
:
Por conservacion de P .
.)
Po = Pf
i]
.)
.. (E
f
=21x
2mxll z
1
VZ
=
particulas
2
~o)
Rpta.
.)
*
1 25=-x2xllz 2
z
~
III = 3 m/s
masas
z
~
Ilz = 5 m/s
.)
.) .) .) 0)
.) 0)
~=6"".
~=5"".
-
(.. 7.5' .:.
Sem. CEPRE UNI :;: de
9 =-x2xlll 1 2
.:. EI movimiento realizado poT la particula se0) ria :
4
z 1 x2
f,paliiii.EMA'l1o Dos
Vl=6m/s
.)
<-
1 Ef =-xmxVl
*
.)
0)
Ef =-x2mx-l 2
~
0)
<-
La' energia cinetica final se calcula por :
Ef
z
1 36=2x2xVl
: *
mVl=2mxll
[Il=
~
<-
iguales
m· (6
i;;aa,
i) + m (-4 i) = m~l
+ m~z
:;:
.:. ~l + ~z = 2 i~ ... (I) :;: .:. Seglin la grafica (despues de Ie colisi6nl, la .:. .:. (mica forma como cumpliriala condidon 1 .'. (l) seria : mz es de 4 m/s. Si luego del choque fron- .;.
ml = mz = 2kg se desplazan sobre la misma recta; ambos una al encuentro de la otra, y antes del choque la energia cinetica de m es 36 J y la rapidez de
tallas energfas de m1 y mz son 9J y 25J; :;: respectivamente, determfnese eJ coefidente de restitucion entre ambas.
:;: .:.
~l
=-3
i m!s~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
EI coeficiente de restituci6n se calcula de:
-
.;. Esbozando un grafico, instantes antes y des:~:pues de la colisi6n.
il2 - ill = e (V I - V2) 5 i - (-3 i) = e (6 i - (-4 i)) 8 i=(e.l0)
i
8=exlO
.. (e=0,8] ::sa
.:.
l?pta.
~
_~
Clave: D :~:
Un bloque A de 2 kg se mueve con veloci- :::
j)
dad V I = (7 i + 24 m Is, impacta frontal ~~: con otro B que inicialmente .;. estaba en reposo. .;. y elasticamente
.:.
*
ml = 2 kg
Determine la masa y rapidez del bloque B, .;. ' la direccion inclinada_ si despues del choque el bloque A se mueve .;.En .;. con ill = (-7 I 5 i - 241 5j) m/s . A) 3 kg ; 10 m/s
B) 2 kg ; 30 m/s
C) 3 kg ; 20 m/s
D) 2 kg ; 20 m/s
E) 1 kg ; 60
m/s
RESOLUCION
:~:Por conserv~ci6n de
P:'
.;.
-:-
.;.
.:. .;. :~:
2 x 25 + 0 = 2 x (-5) + m x Ilz
De los datos del problema podemos notar :~: .;. mll2 = 60 .~ (bloque A). :~:Del coeficiente de restituci6n (e = 1) : A)
VI
.:.
=(7,24)m/s
.;. ill =--.!(7,24) 5
:.~
r:-v:1
m/s \
.:.
.:.
.;.
il2-ill=e{VI-Vz) Ilz-(-5)=lx(25-0)
:~:Resolviendo :
Ilz = 20
Sus m6dulos se calculan como :
VI
= .J72 + 242 = 25 m/s
III
= 5 m/s
VI ..
m2 = 112 ~
3 kg
... (II)
I
20 m/s ~
l?pta .. Clave: C
~
~
~
C,UZCANQ ----------------~ Sem. CEPRE UNI .:. .:.
Un moviLde 4 kg se desplaza hacia la derecha con rapidez de 3 m/s y choca con otro movil de masa 6 kg que se mueve tambien hacia la derecha con rapidez de 2 m/s. Despues del choque el movil de 4 kg se mueve a 2,1 m/s. Determine el coeficiente de restituA) 0,2
B) 0,3
D) 0,5
E) 0,6
-
~i 4kg
I'3 i - 2 'Ii
e-
.. Ce=~,~
.:.
';' Los centros de las esferas iguales se mueven .:. en la misma direccion sobre la misma rec.:. .:. ta. La velocidad de una de ellas despues .:. del choque tiene igual magnitud, pero direc:~: cion contrario de la que tenia antes el mis:~:mo. Determine la relacion de rapideces VI .:. y V2 antes del choqu~ (coeficiente de resti.:. .:. tucion : £) '.'
RESOLUCION Esbozamos el movimiento, realizado por moviles antes y despues de la colision.
V1=3m/s
_12,6 1 - 2,1 11
.:. :~: :~: .:. :~: .:.
105
:~:A)
(E + 1) I (£ + 3)
B)
(£-1)/(£+
(£+1)/(£-3)
D)
(£-1)/(£-3)
~§i,~ -~iL:~:
V2=2m/s
~1=2.1m1s
~
C)
6kg
Por conservacion miento.
4kg'
6kg
:~:E)(£+1)/3£
de la cantidad de movi- ';' RESOWCION :;: Segun el problema : (Antes y despues de la :~:colision)
~
4 x (3
3)
~
~j.
i) + 6 (2 1) = 4 (2,1 i) + 6 ~2
mJir= Jll=\,\
.:.
15,61=6 ~2 =
2,6
JIz
i~
.;. Por conservacion de P: Po =Pf mVI +mV2 =m~1 +m~2
1~2- ~Il e=IVI-V2
V(--7)
(+)
V(~)
(-)
1
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
·:. A) 0,4 ; 72 J
B) 0,6; 75 J D) 0,2 ; 192 J
... (I) :~:C) 0,4 ;62 J .:. E) 0 ; 85,7 J En el choque inelastico, relacionamos el co- .:. RESOWCION eficiente de restitucion (e) .:~:
Segun la condicion del problema el movi:~:miento de los cuerpos antes y despues de la ... (II) .:. colision es : .:.
Reemplazando
(I) en (II) :
(2VI +V2)
-
(-VI)
= e(VI - V2)
3VI + V2 = e(VI - V2)
.:.
~=4m/s
.+.
----.....--
:
12kg
:;: t~
~=6m/s
1-11= 2m/s
---..
~
J.12
-
2kg
~~Im.[J[J~Sm~m .. ~[]LH
Dividiendo +V2 a toda la expresion : 3 VI + 1 = e( VI -1 V2 V2
J
Po =Pf
.
12.x 41 + 2 x (-'-61)= 12 x 21+ 2 x D:2
Resolviendo :
i12
=
61 m/s
P-2 = 6 m/s ~ Clave: C :~: ~:.Calculo del coeficlente de restitucion (e) : .:.
--------------D:2 - D:I = e (\1I - \12)
Sem. CEPRE UNI :~: .:. Dos cuerpos cilfndricos : A(12 kg) y B(2 kg) :~:
se desplazan con velocidades
61- 21 = e (41 - (-61))
VI = 4 m/s y .:.
V2 = 6 m/s , respectivamente, sobre un eje horizontal que no ~resenta rozan;iento, c~~o se muestra en la flgura. Despues de colIslonar, el cuerpo A se mueve a 2 m/s mante. did" . • . .. lOt . I men 0 a IreCClOnImCIa. e ermme e coeficiente de restitucion y la energia calorifica desprendida como consecuencia del choque.
:~:Luego : :~: [e 0 R to. (I) .:. .' s= p .:. , " .:. Calculo de energra calorifica ... d'd .;. ,a (Q) .. .:. * AI inicio : :~: E 1 V2 1 V2 .:. Ko ='2ml I +'2m2 2
= 4)
_ despren-
.:.
1 1 2
2 EK =-x12x4 o
+-x2x6
2
2
EKo =132 J
lID
:~:D) 100 i EKr =
1
2
2" mllll
1 EKr =-x12x2
1 2 + 2" m2112 2
2
1 +-x2x6
:;: E) -100
i
-170 -170
i i
2
2
EKr =60 J Luego:
.:.
ml Voi+m2 (-2Vo)i = - 40 i
Clave: A·:·
.:.
(m1Vo -2m2Vo)i
=-40
m1Vo -2m2Vo=-401 Las esferitas de la figura se aproximan so- :~: bre la misma recta. Bajo las condiciones .:. ilustradas en la figura "a" el sistema tiene una cantidad de movimiento. de -401 kg m/s, y bajo las condiciones de la ' 1 f igura "b' la cantidad de movimiento de sistema seria de lOi kg m/s. Asumiendo m1 + m2 = 0,5 kg y que el coeficiente de
"'-1
:~: :;: .:.
r
... (I)
O....,·a,....s-o"T'-b.,J
=::;:~_._
..•.. ~~
mt
~
.:.
.:. ..... '.' .:.
i
PSiS!.
=10
i
2 ml V01~- m2. V01~= 10 ~1
restitucion es e = 1 12; determine para el :~: caso "a" las velocidades de la esferita (1) ';' '.' antes y despues de la colision respectivamen- .:. Restando las expresiones (I) - 2 x (II) : te (en m/s).
.
:~:
-3m1Vo
= -60
.:. Oividiendo estas expresiones, obtenemos .:.
•:.
A) -2001 B) 200 i C)
100 i
i 130 i -130 i -170
.:.
ml
2
m2
3
-=-
.:.
.:. Oato del problema : .:.
'.'
m1 +m2 =0,5 kg
: .
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
Reemplazando
ml
= 0,2 kg
m2
= 0,3kg
.:. Las velocidades de la esferita (I) antes y des':' pues de la colision seran : -.,----:----- .....•. VI = 100 i m/s
i m/s
[II = -170
en (III) :
-
Rpta, Clave: D
9'
. Va =100m/s~ .:.
Ccilculo de la velocidad de la esferita (I) -;. La figura muestra tres canicas 1, 2 y 3 iden- antes y despues de la colision. :~:ticas en 'masa y alirreadas; de modo que 1 Analizando esos instantes. ':' lIeva rapidez "V", 2 y 3 . estan en reposo. 5i y .;. todos los choques tienen coeficiente de res:~:titucion 0,5. Determine la magnitud de la Iii -:' velocidad de la particula 3 apenas inicia su -.' .:. movimiento. ~
o~········o~ -:. :~:
0
'\lIIIIIIIIIl~lIIIIIl!P:fIllllll'lIIIIIl!V_,
.;.
(1)
.:.
:~:A) (3/4) V (0,2 x 100 - 0,3x 200)i = 0, 2ill + 0,3ilz .;. ~ .;. C) (9/16) V 2ill +3ilz =400 i ~ ... (IV) (1/16) V
(2)
(3)
B) (3/8) V D) (1/4) V
:~:,E)
De la relacion de coeficiente de restitu- ':' RESOWCION '.' cion : + ilz - ill = e (\7 I -
\7 z )
ilz -ill = 0,5 (Va -(-2Va))
Teoria (Ver Propiedad II)
Choque inelastico frontal entre 2 esferas identicas.
[Iz - [II = 0,5 (3 x 100) i ~=o
[Iz - [II = 150 i ~
i Resolviendo de (IV) y (V) : [II = -170
i m/s ~
~l =
VI (I-e) 2
V ~z =-.l(l+e) 2
__
--
CUZCANQ ~
4&Ili1I:iI
En el problema :
-V
0. (3)
a)
.;. camente con una esfera (2) identica a la .;. primera que se encuentra en reposo, deter.:. .;. mine la velocidad de la esfera (2) inmedia.;. tamente despues del choque .
.:.
Cuando colisiona la esfera (1) con (2), ':' .~ la segunda esfera sale con la siguiente .;. rapidez : . :;:
v2 = V2 (1 +e)
... (I) :~:A) ~i m/s B) 3i m/s . :;:D) i/2 m/s E) 0 m/s b) Cuando colisiona la esfera (2) con (3), la .:. RESOWCI0N tercera esfera sale con una rapidez : :;: V ~. Teoria: V3 = ; (I-+:e) ~: Choque inelastico de una esfera con la
? .
Ree!llplazando
(I) :
VI·:· V, =~ (1+e))~2(1+e) V3 = 22 1 + Reemplazando
.
I
:;:
pared (Vista de planta)
.
~
IRL~;:
.:,:-
e~:
datos e=O,5 :
"I
:;: .:.
~ (Ill =
eVd
~
~ Si hubieran Un" esferas alineadas, la rapidez de la enesima esfem serla :
La esfera (1) choca inelasticamente la pared e=O,2.
con
La velocidad con que retorn~ sera :
Vn=V(~J-l ~.+i..-----~~;_· ~ (1)
III =(O,2x10) Una esfera (1) que viaja con una velocidad .;.
il
III ::d2 i .m/s choca inelasticamente con :~: una pared rfgida de coeficiente de restitu- .;. II) Choque elastico de la esfera (1) con la esfera (2). cion e=O,2. Si aI rebotar (1) choca elasti- .:.
VI = (-10 i) m/s
.
y
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
Por teoria :
~t~
.:.
--%1'
.:.
~
Il2
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
-=~ ~d
(1)
(2)
112 = 0 Finalmente
(1)
113
(2)
= III
:
.:.
:. [~= 2 i2~1 Rpta.
~: vf
~1~
Clave: A .:.
LPROBLE@fiS
Vi - 2 gh
Sem. CEPRE UNI :~:De (I) y (II) :
Una esfera de 1 kg se suelta desde una altu- :~: ra de 2m, choca contra el piso y rebota has- .:. o
-2xgxh
EHJfh V: e
.:.
=
=
Vii
0
ta una altura de 1m. Si la misma esfera se De los datos del problema : suelta de una altura de4 m, Ghasta que .:. .:. RGaso I I I altura rebota? .:. ---A) 1 m B) 2 m 0
D) 4 m
:~:
E) 5 m
RESOLUCION Teoria:
.:.
(Ver Prapiedad III)
Esfera saltada desde una altura H gra elevarse hasta una altura h.
y
la-
::: .:.
Vb V
e=-
:. (V = eV) 1
.:. 19ualando estas expresiones : :. ( y
=
~_0J)
:~:Una pelota es soltada desde una altura H y ':' en eloquinto rebote la pelota sube hasta una :;: altura de 5e4 em. Determine la rapidez con :~:la que rebot6 la tercera vez . .:. (e : coeficiente .de restituci6n) .:.
:~: Vi : rapidez despues de 1° colision. e : coeficiente de restitucion
(g=10m/s2)
':' .. A) 1 m/s .:. D)20 m/s '
.:.
B) 2 m/s E) 10 m/s
C) 10 m/s
lID
RESOLUCI0N .~ La rapidez con la eual rebot6 la tereera vez Esbozando el movimiento realizado por la ::: habrfa sido : pelota para "n" rebotes. .;. V3 = e3 . V .:.
~
I
,
v=o
tS"~~ ','
H
A,~
t~
t~
V3=e
3-3
xe
:. CV3 = 1 m/£]
I
Rpta.
h
Clave: A
I::::~:~
I~,:;,;,J
V
/. La'drapl ez con que sa Ie para e I eneslmo re. f"1 t b o t e, pue d e d e d UClrse aCl men e a pa rt'Ir d e I - bl t . resu Ita d 0 d e I pro ema an enor.
.;. Una esferita se suelta de una altura de 10 m .:. . . . .;. respeeto de una superflele honzontal y re... : bota alcanzando una altura maxima de '.' .;. 8,1 m. Determine el poreentaje de energia :::'meeaniea que tiene la esfera cuando rebota Vn : rapidez de la pelata en el enesima rebate. :::por 2da vez respedo de la energia meeani.;. ea que tenia al inicio del movimiento. ::: A) 61,61 % B) 62,61 % C) 63,61 % ::: D) 64,61 %
E) 65,61 %
:::RESOLUCI0N De:
(vl = V
2 j
-
2gh )
Recordando
Partfcula saltada desde una altura H y lagra elevarse "h" despues de la calision.
O=V; -2xgh V2 e2n V2 h=_n =--_ 2g 2g h En el problema
I
0:., vl=o
e2n V2 2g
=-n
:
'2'V=O
,
Por dato en el quinto rebote sube , 5e4
:
4
11/1111
,'.
Ii.:;';)
2
em <> 5e x 1O- m V
de (I) : Sx2 e hs=--xV 2x10
En el rebate se cumple : 2
=5e
4
x10
-2
I h
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
Segun la condici6n del problema y en el pn- .:. ra alcanzada par la esferita luego del segunmer rebote, se cumpllra : :~:do rebote. e=
[h
=
[8,1=091
fH VlO ~
.:.
~~-\
La velocidad de salida en el primer rebote .:. es :
,, ,,
·· ·
v
VI = eV~
,,, ,, ,,
La velocidad con la cual sale despues del :~: segundo rebote es :
,, ,, ,
... , ,,, ,, ,,
J. : ·:i.t
I
V2 =e2V~ Luego :
:~:A) 5,25 m
Tomando como referencia en nivel del piso; la relaci6n de energias mecaniCas despues del segundo rebote y antes del primer rebote; seran :
B) 3,02 m
:~:C) 2,048 m .:. E) 4 096 . .:. , m .:~:RESOWCION
0) 1,024 m
.
.:
.:. Evaluemos la rapidez con la cual impacta ~: la esferita con el piso, la primera vez .
.:.
.:. * Expresado en porcentaje sera : EM2 % = (0,9)4 EMo
EM2
Vo=Mmls+
100
x
-.-%=65,61% EMo
Tomando como nivel de referencia el piso:
i
--T---Oj
1' . Rpta.
. H=14•5m
.i.
--------------l~-~--~---~~i
.:. Sem. CEPRE UNI .:.
En la figura se muestra una esferita la cual es lanzada desde una altura de 4,5 m respedo del piso, con una rapidez de m/s verticalmente hacia arriba. La esferita rebota en el piso y si el coeficiente de restituci6n es igual a 0,8; determine la altu-
M
.:. Por conservaci6n de la EM' .:. :~: .: .:.. .:. :~: .:.
.:.
N.R.
....
~
-
CUZCAIIQ ----------------~ 10 V2 -+lOx45=2 ' 2
.;._Una pelotita colis ion a inelasticamente so'.' .:. bre una superficie rugosa de coeficiente de 10 m/s ) .:. .:. rozamiento "~" como se indica. Hallar el De modo identico aI problema anterior: .:. coeficiente de restitudon durante la colision . .:. (Considere la fuerza de gravedadmuy peEn el primer rebote, la rapidez de salida :~:quefia comparada con las fuerzas impulsivas de la esferita sera : :~:y que la fricdon es la minima necesaria para .:. evitar el deslizamiento de la pelota).
:. (V =
En el segundo rebote sera : .
.:.
.:.
Vz =ezV~
.;. .;.
Para evaluar la altura alcanzada en el se- .:. gundo rebote aplicamos el principio de con- :~ servacion de la EM' . .:.
tana+~ tan/3- ~
tana-~ B) e = tan /3+ II
.:.
ctg a -ll
.:.
ctg /3+ ~
ctg a+ ~ D) e = ctg /3-11
.:. A) e=---
.:.
.:. C) e=
.
~:
.:. E) e = tan 13 .;. tan a .;.
.;. Cuando ~a pelotita colisiona con el piso la .:. .:. fuerza de impulsion se origina por la resul.:. tante de la fuerza de rozamiento y la fuerza .:. .:. de reaccion normal.
EMo = EMf EKo +
r::
1
.:. Supondremos que la fuerza de gravedad es .:. .:. muy pequefia comparada con la fuerza de .:. reaccion normal.
z
2mVz h=
=Epf + ~
=mgh
2
vi = (eZV) 2g
.:. Si hacemos el D.C.L. ala pelotita en el mo.:;:. mento de la colision, notaremos :
2g
(0,82 xlO)z h=---2xlO
:. ( ~ = 2, o'!!.~Rpta.
.:.
:~:
Clave: C :~:
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
*
En la horizontal : la fuerza de friccion modifico la componente de la velocidad en esa direccion. Por la condicion del problema esta debe ser la fuerza de rozamiento estatica maximo.
.:. De (I) y (II) : :;: VI cos a - V2 cas ~ :;: Il = V2 sen ~ + VI sen a .:. D . d .'. espeJan 0 : .;. .:. V2 = cos a -Il sena :;: VI cas~ + Il sen~
... (III)
';' Por t~oria del coeficiente de restitucion : '.' Pero como N> >mg, entonces "N" sera la .:. V2sen~ impulsiva en esta direccion. :;: e = Visena Ubicando. las velocidades de la colision. ....;~
antes y despues :;: De (III) : .:. . .:. (cos a -Il sena) senp e = -(c-o-s-P-+-Il-se-n-p-) x -se-n-a
yr
u
'{sena~. VIcosa ..~.
.LJV2seDP~t1 V2_cos/l
.:. :~:
:!-...L .:.
\ . N(f=~ ,
cos a - Il sena
!-t :~:
Por teoria de impulsion:
e = (cos~s::asenp
:;:
. senp
[I =Fx~tl ..
.:. De la condicion del problema se deduce que .:. la fuetza de rozamiento sera la estatica ';' ',' maxima
(f=JlN)
:;: .:.
(JlN x ~t)( -i) = m x (V2 cosp - VI cosa)i
:;:
J
ctga-Il e= ctg ~+Il ~
!
Si en 1a co1isi6n fueran datos: e, e!>Y Il
0
0rmal
,
i jif ".
......a-kt/ 0
jIir'
../.!..
"'p
e=
Nx~t=m~Vv (N x ~t)] = m(Vzsenp] - (-VIsena])) N x M = m(V2sen~ + Visena)
... (II)
(tane -Il) . (tane!> + Il)
L"
-
Si la bola estuvo en contacto con el piso ':' Se lanza una partfcula con un angulo de '.' durante 0,1 s, determine el modulo de la .:. incidencia de 45° s0'2!e una superficie heri.:. fuerza de friccion constante. (m = 1 kg) .:. zontal cuyo coeficiente de friccion minima .:. que evita el deslizamiento durante la coli-
/
~=(21+3j)m/s
~. ~~ ~=(41'-3j)m/s
.J
X,
.:.
.:. sion es 2/9. Caleular el angulo e de rebote, ::: si el coeficiente de restitucion es 0,8.
f
~~
............... /// .. A) 10 iN
B) 20 iN
0) -20 iN
E) -2 iN
.:.
RESOLUCION
.:. A) 30°
B) 37°
Hacemos O.c.L. a la bola, cuando esta se ::: 0) 60°
E) 45°
encuentra en contacto con el piso.
:::.RESOWCION
I
.
~
~
~ 3j
-3j
41'
~
•..•..
..
•••
2'"I
·r···.··./
: Segun ]a mndicion d,1 pmbl,ma. .:. ::: .:.
'>..
:::
J:l
•:.
f N
:~:
.";
.' .. ,ftt;
•
••••••••
---:J
'
~/
0
Nt.
JQ
f
Podemos notar en los triangulos de veloci- ';' '.'
dades; la velocidad horizontal disminuyo, esto fue debido a la friccion.
::. Por teoria : si el piso es rugosa y el coeficien::: te de restitucion es "e". tan a -l-l e=---tane+l-l
f x 0, 1 = 1 x (2i - 4i) .. ( f = (-20 ~)~; Rpta.
.:.
08= ,
tan45°-2/9 tane+2/9
.:. .:.
Clave: D·:·
tane+ 2/9 = _1-_2_/_9 . 0,8
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
tan8=0,75
:~:D) ~A=(91+1,4j-0,9k)xl0-3
.. (~::::37~1Rpta.
:~:
~B=(281+4,3j-2,8k)xl0-3
Clave: B :~: ---.:. E) iIA PROBLEMA
125
;
:~:
=
(' ~ ~ ~) 0,032 i+O,123 j-O,S k
~B =(0,03
Sem. CEPRE UNI .:.
1+0,02 j-O,OOI k)
Las naves A y N quisieron acoplarse el :~:RESOWCION 15/07/75. Si el primer intento no tuvo exito :~:Para simplificar la soluci6n, consideraremos y el coeficiente de restituci6n del imp acto ::: a las naves como partfculas que realizan un resultante fue e=O,95. .;. choque inelastico. lCuales fueron las velocidades de los 2 ve- :~:Graficamos instantes antes y despues de la hfculos despues del impacto, (en m/s)? :~:colisi6n elastica. Datos : VB =
:~:Antes
0
V A = (0,2
V.
"a=o
::: ~O-----------"_--O .;.
IDA
IDB
.:. Usando los datos del problema .
kg
= 6,6xl03
.:.
.:. Por conservaci6n :~:miento.
kg
.:.
.:. X
----~----------
-:. .:. .:. .:.
.:.
.:.
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
A) ~A = (0,03 1+ 0,234 j - 0, 2 k)
~B = (0,24 1+ 0,003 j - 0, 2 k) ~A =(0,9 1+0,14 j-0,09
de la cantidad de movi-
Po =Pf
-:.
B)
'b~pues
':'. ~
1+ 0,03 j - 0,02 k) m/s
mA =18x103 mB
.:.
(respecto de XYZ)
.
mAV A + 0 = mA~A + mB~B mB f..lA+-f..lB mA
-
6,6_
f..lA+-f..lB= 18
=VA
VA
I,L V f..lA+3'f..lB = A
.:.
k)
.:. Si el choque es inelastico (e=0,95) P:B= - (0,28 1+ 0,43 j - 0,28 k) C) ~A =(0,09
1+0,0145
j-0,09
k)
~B = (0,28 1+ 0,043 j - 0,028 k)
.:.
... (I)
~
--
MlW!II
C,UZCANO ----------------~ (1)+ (II) :
De
.;. La colision fue perfectamente .:. .:. tonces :
~B( 1+ 131)= 1,95\1A = 1,427(0,2 i+0,03 j -0,02
i1B
elastica, en-
mV1 + 0 = (m + 300)V2
k)
mx15=(m+300)xV2 JIB = (0,28
i+ 0,043 j - 0, 028
k) m
,
Rpta.(l)
5
:~: .;.
'"
(I)
Despues de la colision elastica el automovil Y el muro se desplazaron una distancia "d".
~1~ ~A ~/t
g
.;.
:;:~~
v=%!-
~~M
i
·:·ijii!:~~
~A
=(0,09i+o,0145J-O,009k)m
__
_
_
.
_
Rpta.(H) _5
:~:
A
.;.
N ~-----d=9m-----
Clave: C .;.
it
8
f
.:.,
.;. Por relacion entre trabajo y energfa mecani-
.:. Sem. CEPRE UNI .;. ca . .:.
Un auto que viaja a 54 kmlh se incrusta en :~: un muro de proteccion de 300 kg y poste- .;. riormente el auto y el muro recorren una. :~: distancia de 9 m hasta que se detienen .. ;. Calcular la masa (en kg) del auto si el coefi- :~: ciente de friccion cinetica entre el auto y la :~: pista es Jlk = 0,2 . .;. .:.
A) 200
B) 300
D) 500
E) 600
C) 400
v.:. .;.
M:M=W~C ~
-EKA
1 2
2
1
2
--MV2
= -JlxN xd
-MV2 = JlxMgxd 2
vi = 2 x 0, 2 x 10 x 9 V2
Despues de la colisi6n
=-fxd
= 6 m/s~
.:.
.;.
mx15=(m+300)x6 ,:. (m=200kg)1
Rpta . . Clave: A
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO . CHOQUES
Dos autom6viles chocan perpendicularmente en una intersecci6n. Los autos A (m = 1 200 kg) y B (m = 1 500 kg) quedan unidos despues del choque y deslizan (Ilk = 0,2) juntos hasta a1canzar 100 m segun se i1ustra en la figura. Determine las rapideces de A y B inmediatamente antes de chocar.
di ... 100m ••.. : 53° •.•••·•
...~ ....
....~C.... ....
p.
..~
\~B
A) VA=16m/s
VB=12 m/s
B) VA =12 m/s
VB=16 m/s
C) VA =20 m/s
VB=20 m/s
D) VA
= 27
E) VA
= 28,8
m/s m/s
::: .:. :~: ';' :;: :~: .:. .: .:.. :::Por relacion entre Wy .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:~ .:. .:. .:. .:.
&:M=W~e ~
-EKe =-fxd --!,MVi 2
=-Jlx,Mgxd
vi = 2(0,2xl0xlOO) V2 = 20 m/s ~
:~:Ahora, analicemos antes de la colisi6n e ins.:. tantes despues de la colisi6n.
VB=28,8 m/s VB=27 m/s .:.
RESOWCION Analizamos primeramente 10 ocurrido instantes despues de la colisi6n hasta que finalmente se detiene :
EM
.:. ::: :~: .:.
~ II-
~
C·UZCANQ ----------------~
(12oovAi+1500
VBJ)=2
700
(1200 VA ; 1500 VB) = 2700
\}2
: I
.
~=o
(12; 16) .:.
.:.
..
·· · , ,
R=l"smj
./
____ ~¥.:::~:~~~?ef. VA
-
= 27~
~
1 500 VB = 2 700
x
16
VB=2~ :. ( VA = 27 m/s :. ( VB = 28,8
1
m/s]
.:.
Rpta.
~. Clave: D :~:
PROBLEMA 128
.:.
Sem. CEPRE UNI .:. .:.
VI2 = 2x lOx 1,8
EI costal ''P:.' de 2kg se suelta desde el repo- :~: VI = 6 m/s ~ / so en e = 00 e impacta contra la caja "B" .:. o. . . .:. Analicemos ahora instantes antes y despues de 4 k~; c~~ndo e = 90 . 51 el. coeficlent~ ':' de la colisi6n inelastica entre el costal ''P:.' y de restituclon es e=0,5; determme la rapl- :;: el bloque "B". dez (en m/s) de la caja instantes despues del.:. impacto. .:.
.:.
A) 1 m/s D) 4 m/s
B) 2 m/s E) 5 m/s
C) 3 m/s
RESOLUCION Analicemos el movimiento del costal desde que fue soltado, 'hasta instantes antes que colisione con "B".
.:. Por conservaci6n de la cantidad de movi:~:miento al sistema : costal - bloque .:. .:.
.:.
';' '.' .:. :~:Asignando .:. dad.
.:.
un signa a cada vector veloci-
