UNIVERSIDAD CENTRAL MODELAMIENTO Y SIMULACIÓN Juan Guillermo López Guzmán Cindy Tatiana Tatiana Moya Mo ya Hernandez Ivan Leonardo Sepúlveda Angel
3.10 modelado matemático del moimie!to de "#o$ectile%&
'RO(LEMA De!ri"ir el !omportamiento de la traye!toria de un proye!til #ue e lanzado !on un determinado ángulo de eleva!ión Ɵ$ !on una velo!idad ini!ial %o %o y dede !ierta altura yo !on repe!to al uelo in tener en !uenta en el mimo la reiten!ia del aire$ la !urvatura y la rota!ión de la tierra&
INTRODUCCIÓN 'un proye!til e !ual#uier !uerpo #ue re!i"e una velo!idad ini!ial y luego igue una traye!toria determinada totalmente por lo e(e!to de la a!elera!ión gravita!ional y la reiten!ia del aire& )na pelota "ateada$ un "alón lanzado *(igura +,$ un pa#uete oltado de un avión y una "ala diparada de un ri(le on proye!tile& -l !amino #ue igue el proye!til e u traye!toria& .ara .ara anal analiz izar ar ete ete tipo tipo de movi movimi mien ento to tan tan !omú !omún$ n$ e part parte e de un mode modelo lo matemá matemáti! ti!o o ideal idealiza izado do #ue repre repree enta nta el proy proye!t e!tilil !omo !omo una una part/ part/!ul !ula a !on !on a!elera!ión *de"ida a la gravedad, !ontante en magnitud y dire!!ión& Se 0a!e !ao omio de lo e(e!to del aire$ de la !urvatura y de la rota!ión de la tierra& Como todo lo modelo matemáti!o ete tiene limita!ione& La !urvatura de la tierra e !oniderada en el vuelo de miile de largo al!an!e$ la reiten!ia del aire e !ru! !ru!ia iall para para un para para!a !aid idi ita ta&& 1o o"t o"tan ante te$$ e pued puede e apre aprend nder er mu!0 mu!0o o analizando ete en!illo modelo matemáti!o&2
DE)INICIÓN DE LA SITUACIÓN DEL 'RO(LEMA -l pro"lema !onite en poder (ormular un modelo matemáti!o #ue de!ri"a la rela!ión entre la varia"le 'poi!ión de un proye!til2 #ue e lanzado !on un
determinado ángulo de eleva!ión Ɵ$ !on una velo!idad ini!ial %o y dede !ierta altura yo !on repe!to al uelo y 'el tiempo2& -l proye!til e lanzado !on la iguiente !ondi!ione ini!iale3 ángulo de eleva!ión Ɵ$ velo!idad ini!ial %o y dede !ierta altura yo !on repe!to al uelo& La !oordenada ini!iale de la poi!ión on *4$4,& De"ido a la (uerza de la gravedad$ el proye!til tiende a llegar 0ata !ierta altura y luego de!iende& -te modelo no tiene en !uenta la (ri!!ión del aire la !urvatura y la rota!ión de la tierra& .ara reolver ete pro"lema e de"e o"tener una e5preión matemáti!a #ue permita !ono!er la !oordenada *5$ y, en el plano 5y de la traye!toria del proye!til en !ual#uier intante del tiempo&
TEORIAS *UE +O(IERNAN EL 'RO(LEMA Deplazamiento3 Cam"io en la poi!ión de una part/!ula$ e denota !omo3 ∆ x = x f − x i
%elo!idad promedio3 Se de(ine !omo la razón de u deplazamiento y el intervalo de tiempo *Ser6ay$+778, y e e5prea de la iguiente (orma3 v=
∆ x x f − xi = ∆ t t f −t i
A!elera!ión3 De(inimo la a!elera!ión !omo el !am"io en la velo!idad repe!to al tiempo durante el !ual o!urre el !am"io *Sepúlveda$ 94+9,3 α =
∆ v v f − v i = ∆ t t f −t i
Movimiento de .roye!tile3 De!ri"e el movimiento de una part/!ula en un plano *movimiento "idimenional, "a:o lo iguiente upueto +, la a!elera!ión de !a/da li"re e !ontante *gravedad, 9, la traye!toria del proye!til de!ri"e una pará"ola
)ORMULACIÓN DEL MODELO MATEM,TICO
'.rimero$ e o"erva #ue el movimiento de un proye!til etá limitado a un plano verti!al determinado por la dire!!ión de la velo!idad ini!ial& La razón e #ue la a!elera!ión de"ida a la gravedad e e5!luivamente verti!al; la gravedad no puede mover un proye!til lateralmente& .or tanto$ ete movimiento e "idimenional& Se llamara al plano de movimiento plano 5y$ !on el e:e 5 0orizontal y el < verti!al 0a!ia arri"a& .ara analizar el movimiento de lo proye!tile e tratan la !oordenada 5 e y por eparado& La !omponente 5 de la a!elera!ión e !ero$ y la !omponente e igual a =g& e de"e re!ordar #ue$ por de(ini!ión$ g iempre e poitiva pero$ por la dire!!ione de !oordenada e!ogida$ ay e negativa& A/$ e puede analizar el movimiento de un proye!til !omo una !om"ina!ión de movimiento 0orizontal !on velo!idad !ontante y movimiento verti!al !on a!elera!ión !ontante& Se pueden e5prear toda la rela!ione ve!toriale de poi!ión$ velo!idad y a!elera!ión !on e!ua!ione independiente para la !omponente 0orizontale y verti!ale& -l movimiento real e la uperpoi!ión de lo do movimiento&2
-nton!e$ la !omponente de la a!elera!ión
a on a5>4 y ay > ?g& de a!uerdo ⃗
!on la !inemáti!a e tiene #ue3
{
2
d x = 0 2 dt (1 ) 2 d y =−g 2 dt
La e5preión matemáti!a *+, repreenta la rela!ión entre la !oordenada en el plano del proye!til y el tiempo
SOLUCIÓN MATEM,TICA DEL MODELO Lo modelo matemáti!o en *+, !orreponden a e!ua!ione di(erente de egundo orden de varia"le epara"le& La olu!ión viene dada de la iguiente manera3 •
A"!ia
∫
2
d x dt = 2 dt
∫ 0 dt (2 )
dx = K (3 ) dt
-l valor de @ e determina !on la !ondi!ión ini!ial
x
'
( 0 )= v
0 x
dx =v0 ( 4) dt x
Se integra nuevamente3 x ( t )= v 0 t + C ( 5) x
-l valor de c e determina !on la !ondi!ión ini!ial
x ( 0 )= x 0
x ( t )= v 0 t + x 0 (6 ) x
Se de:a #ue 5 #uede en trmino de la velo!idad ini!ial$ de la poi!ión ini!ial y del ángulo de lanzamiento& x ( t )= v 0 cos (Θ ) t + x0 ( 7 )
Brdenada
•
∫
2
d y dt =− gdt ( 8 ) 2 dt
∫
dy =−¿+ K ( 9 ) dt
-l valor de k e determina !on la !ondi!ión ini!ial dy =−¿+ v 0 ( 10) dt y
Se integra nuevamente3
y ' ( 0 )= v 0
y
1
2
y (t )= v o t − g t + C ( 11) y
2
-l valor de ! e determina !on la !ondi!ión ini!ial 1
y ( 0 )= y 0
2
y (t )= y 0+ v 0 t − g t ( 12 ) y
2
Se de:a #ue y #uede en trmino de la velo!idad ini!ial$ de la poi!ión ini!ial y del ángulo de lanzamiento& 1
y (t )= y 0+ v 0 sin (Θ ) t − g t ( 13 ) 2
2
-nton!e la !oordenada del punto *5$ y, #ue de!ri"en la traye!toria del proye!til vienen dada por3
(
1
)
v 0 cos ( Θ ) t + x 0 , y 0+ v 0 sin ( Θ ) t − g t ( 14 ) 2
2
.ara determinar la altura má5ima$ primero derivamo la e5preión #ue no da la !oordenada del e:e y3 1
2
y (t )= y 0+ v 0 sin (Θ ) t − g t 2
y
' ( t )
=v
0
sin
( Θ )−¿
Hallamo la ra/!e3 v 0 sin ( Θ )−¿=0
t =
eemplazamo en má5ima3
v 0 sin (Θ ) g y (t )
para en!ontrar la e5preión #ue de(ine la altura
y m= y 0 + v 0 sin ( Θ )
[
v 0 sin ( Θ ) g
]− [ 1 2
g
v 0 sin ( Θ ) g
]
2
[ v sin ( Θ ) ] − [ v = y + 2
y m
0
0
g
sin 0
(Θ) ]
2
2g
[ v sin ( Θ ) ] ( 15 ) = y + 2
y m
0
0
2g
.ara determinar el tiempo total de vuelo tomamo do traye!to$ el primero dede el lanzamiento 0ata la altura má5ima y luego !al!ularemo el tiempo dede la altura má5ima 0ata la !a/da3 1
2
y (t )= y 0+ v 0 sin (θ ) t − g t 2
Sa"emo #ue +, La altura (inal y , Al al!anzar la altura má5ima
0
1
2
= y m + 0− g t
t =
2
√
y (t )= 0 9, La altura ini!ial erá la altura má5ima v 0 =0
3
2 y m
g
-l tiempo total erá la uma del tiempo en lo do tramo elegido3 t v =
v 0 sin (θ ) + g
√
2 y m
g
( 16 )
.or lo tanto$ en (un!ión al tiempo total de vuelo la ditan!ia má5ima al!anzada por t =t v el proye!til en el e:e de la a"!ia lo en!ontraremo !on *E, donde 3 x m= v 0 cos (θ ) t v + x 0 ( 17 )
RE'RESENTACIÓN COM'UTACIONAL DE LA SOLUCIÓN A !ontinua!ión la repreenta!ión !omputa!ional de la olu!ión o"tenida en MatLa"3
Figura +& epreenta!ión !omputa!ional de la olu!ión
Fuente& -la"ora!ión MatLa"
INTER'RETACIÓN DE LOS RESULTADOS .ara la interpreta!ión de reultado utilizaremo el iguiente pro"lema3 'Dede la azotea de un edi(i!io e lanza una piedra 0a!ia arri"a a un ángulo de 4 !on la 0orizontal !on una velo!idad ini!ial de 94 m& Si la altura del edi(i!io e m a, KCuánto tiempo permane!e la piedra en vuelo ", KDónde golpea la piedra el uelo De a!uerdo !on el pro"lema tenemo la iguiente !ondi!ione ini!iale3
'o%ici-! I!icial de la A%ci%a3 4 m 'o%ici-! I!icial de la O#de!ada 3 m Velocidad I!icial3 94 m ,!/lo de La!amie!to3 4 )tilizando el modelo matemáti!o de!rito en e!!ione anteriore tenemo3
Alt#a Má2ima3 84$+4 m Tiem"o de Velo3 $99 Alca!ce Má2imo3 E$48 m Con eta in(orma!ión podemo reponder la pregunta planteada por el e:er!i!io$ la repueta erán el tiempo de vuelo y el al!an!e má5imo para la pregunta a y " repe!tivamente
.ara !omplementar la in(orma!ión$ en!ontraremo la !oordenada del proye!til en 94 punto ditinto en el tiempo3 Ta"la +& Coordenada del proye!til en el tiempo
t (s)
x
Y
0,00
0,00
45,00
0,47
8,12
48,61
0,94
16,24
50,07
1,41
24,35
49,37
1,87
32,47
46,53
2,34
40,59
41,53
2,81
48,71
34,37
3,28
56,82
25,07
3,75
64,94
13,61
4,22
73,06
0,00
Fuente& -la"ora!ión propia
.or medio de la ta"la anterior podemo o"ervar #ue el modelo matemáti!o !umple !on el !omportamiento eperado& La traye!toria del proye!til de!ri"e una pará"ola; !omo pudimo o"ervar en la representación computacional del modelo ademá en ninguno de lo punto la !oordenada o"repaan la altura y el al!an!e má5imo 0allado !on el modelo
LIMITACIONES DEL MODELO -l modelo matemáti!o de!rito podrá er utilizado para pro"lema de movimiento de proye!tile imple e de!ir$ e tienen la iguiente retri!!ione3
1o podrá utilizare en modelo de movimiento a larga ditan!ia$ de lo !ontrario de"er/a !oniderare !omo una varia"le la !urvatura de la tierra -l peo y el material del proye!til no de"en !orreponder a la de un o":eto volátil$ en !ao !ontrario de"er/a !oniderare la velo!idad del viento !omo una varia"le Si la naturaleza del pro"lema no pide !oniderar la !urvatura de la tierra y la reiten!ia del viento; el modelo de!rito no erá de utilidad Cuando la !ondi!ione ini!iale o la olu!ión del pro"lema re#uiera in(orma!ión rela!ionada !on lo poi"le re"ote del proye!til
RE)ERENCIAS Ser6ay$ &A&$ +778$ Physics for scientists & engineers with modern physics $ Saunder College .u"li0ing Sepúlveda$ -&M&$ 94+9$ A!elera!ión = F/i!a en L/nea& e!uperado de 0ttp3ite&google&!omitetimeolar!inemati!aa!elera!ion .0yi!al S!ien!e Study Comittee$ +78$ Física$ -ditorial y Tipogra(ia edout Matemáti!a F/i!a Nu/mi!a$ 94+$ -:er!i!io !on Solu!ión de Movimiento .ara"óli!o& e!uperado de 0ttp3666&matemati!a(ii!a#uimi!a&!om(ii!a? #uimi!a?"a!0illerato?(ii!a?y?#uimi!a?+o?"a!0illerato879?e:er!i!io?olu!ion? !ompoi!ion?movimiento?para"oli!o?(ii!a?"a!0illerato?!inemati!a&0tml
