Miloš Marinković
Matematika 2011/12
HiT Vrnjačka Banja
m, n, k N (m,n i k su elementi skupa prirodnih brojeva) m+neN m·neN (m+n)+k = m+(n+k) m+n = n+m (m·n)·k = m·(n·k) m·(n·k ) m·n = n·m n·1 = 1·n = n k·(m+n) k·(m+n) = k·m+k·n
(asocijativnost (asocijativnost sabiranja) (komut (komutati ativno vnost st sabir sabiranj anja) a) (asocij (asocijati ativno vnost st množ množenja) (komutativnost množ množenja) (pos (posto toji ji neut neutra raln lnii elem elemen entt za mno množenje) (distr (distribu ibutiv tivnos nostt množ množenja enja u odno odnos su na sabira biranj nje) e)
k+0=0+k=k
(postoji neutralni element za sabiranje)
(k je elem elemen entt sk skupa upa celi celih h broj brojev eva) a)
( je je inve inverz rzni ni elem elemen entt za sabi sabira ranj nje e u odno odnosu su na elem elemen entt k) k) k i (-k) (-k) su sup supro rotn tnii bro roje jev vi
Z
n>0
skup celih brojeva većih od 0 Z
n 0
skup celih brojeva većih od 0 ili jednakih 0
a,b,c Z oduzimanje se svodi na sabiranje ◦
◦
a – b = a + (-b) a – b – c = a + (-b) + (-c)
•
•
prioritet operacija viši prioritet niži prioritet
•
množenje ( * )
•
deljenje (
• •
•
•
•
•
a a a a
· b + c = (a · b) + c – b · c = a – (b · c) + b : c = a + (b : c) : b – c = (a : b) - c
•
•
•
:
)
sabiranje (+) oduzimanje (-) a·b:c= a:b:c= a:b·c=
?
•
•
nepravilan zapis neophodne zagrade
Izračunati vrednost izraza:
1. a) b) c) d) e) f) g) h)
1233 – 999 +767 – 601= 1400 + 863 – 1368 – 495= 124 + (336 – (270 – 58)) – (211 + 36) = 16 · 240 + 16 · 173 – 16 · 113 = 150 + 17 · 3 – 105 = 232 · 11 + 60 - 81 : 3 + 3 · 5 = (-3) · (-2) – ( -12 + (5 · (-2) + 2 · (-7 – 2 · (-3)) – 3 · (-2))) + (-7) · (-3) = 4 · (7 − 6) − 315 − 3[7 · (3 − 1) − 2 · (2 + 3)] − (−1) + 2 =
U izrazu 7 · 6 + 12 : 3 – 1 postaviti zagrade tako da vrednost izraza bude:
2. a) b) c) d)
17 69 45 35
1.a)
1233 – 999 + 767 – 601 =
234
+ 767 – 601
=
1001
– 601
1233 – 999 + 767 – 601 ILI
= =
234
+
166
400
400
=
1.g) (-3) · (-2) – ( -12 + (5 · (-2) + 2 · (-7 – 2 · (-3)) – 3 · (-2)))+ (-7) · (-3) = = = = = = = =
2.b)
6 6 6 6 6 6 6
-
( ( ( ( (
-12 + ( -10 -12 + ( -10 -12 + ( -10 -12 + ( -10 -12 + ( ( -18) +18 45
+ 2 · (-7 – (-6)) + 2 · (-7 + 6 ) +2· (-1) -2 -6
- (-6))) + 6 )) + 6 )) + 6 )) ))
+ + + + + + +
21 21 21 21 21 21 21
7 · (6 + 12 : 3) – 1 = 7 · (6 + 4) – 1 = 7 · 10 -1= 70 – 1=69
Broj Broj Broj Broj Broj Broj Broj Broj
◦
je deljiv sa 2 ako se završava sa 0,2,4,6,8 je deljiv sa 3 ako mu je zbir cifara deljiv sa 3 je deljiv sa 5 ako mu je poslednja cifra 0 ili 5 je deljiv sa 4 ako je njegov dvocifreni završetak deljiv sa 4 je deljiv sa 6 ako je deljiv sa 2 i sa 3 je deljiv sa 8 ako mu je trocifreni završetak deljiv sa 8 je deljiv sa 9 ako mu je zbir cifara deljiv sa 9 je deljiv sa 10 ako se završava sa 0, sa 100 ako se završava sa 00 , itd. su deljivi samo sa jedinicom i sa samim sobom
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…
su deljivi sa još nekim brojem osim sa jedinicom i sa samim
sobom ◦
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14…
po dogovoru
.
NZS(3,4) = 12 3,4 2 3,2 2 3,1 3 1,1
NZD(8,24,6) = 2 8,24,6 2 4,12,3
p
p Z, q N
q
k
Q k Z => 1 p :{ | p Z, q N, NZD(p,q)=1}, q
◦
◦
p
p k· q + p : { k | k Z ,p Z, q N, NZD(p,q)=1, k = } q q q
◦
·
1 k
(
1 k
je inverzni element za
množenje u odnosu na element k)
7 1 3 10 2 3 1, 2, 2, , , , , 2 , 3 8 2 7 17 25 4
sabiranje p q
+
m n
NZS (q, n) q
=
· p +
NZS (q, n) n
· m
NZS (q, n)
2 3
+
3 4
=
17 12
oduzimanje p q
-
m n
NZS (q, n)
=
q
· p -
NZS (q, n)
NZS (q, n)
n
· m
2 3
-
3 4
=-
1 12
množenje p q
·
m n
=
2 3 6 · = 3 4 12
p·m q·n
deljenje p q
m :
n
p
n
q
m
= ·
=
p·n q·m
2 3
:
3 4
=
8 9
1.
Izračunati vrednost izraza:
a)
20
c)
1 3
1
5 7
6
5 12
3
2 3
2 1 1 1 9 : 7 3 6 0, 23 1
2 1, 2 8
:5
1 2
b)
d)
2 3 1 5 4 3 2
1
4
5
1 2 3 1 4, 2 2, 25 4 2 3 3 1 3 2 7 4 2 5 :3 4 2 4 3 9
1.b)
2
3
7
3
28 15
13
1 (:13 13 1 5 4 5 4 20 20 (:13 3 2 1 6 20 6 26 26 2 1 4 5 1 20 20 20
skraćivanje razlomaka ako je NZD(a,b)=c tada važi
a a b
a (:c b (:c
c
b c
oni koji nisu racionalni ◦
algebarski
◦
2, 3 10,
3 9
, - 3
transcedentni
rešenja (koreni) jednačina sa racionalnim koeficijentima:
p = O/(2 r),
ø
R = Q I
1 2
2
apsolutna vrednost broja x
|x|
x , ako je x ≥ 0
|5| = 5
-x , ako je x < 0
|-5| = 5
n-ti stepen broja x n 2 x = x·x·… ·x x = x·x
2 3=9
n puta
5 3 = 243
n-ti koren broja x n
n
x = y <=> y = x 2
144 = 12
16 = 4 jer je 4 =16 5
243 = 3
kvadrat binoma: 2
2
(x + y) = x + 2xy + y
2 ( 3 + 4) = 9 + 24 + 16 = 49 2
2 2 2 ( a - b) = a - 2ab + b
razlika kavadrata: 2
2
x - y = (x – y) (x + y)
49 – 25 = (7 – 5) (7 + 5) = 2 · 12= 24
( 5 - 3)( 5+ 3) = 5 – 3 = 2
1.
a)
Uprostiti izraze: a ab - b
2
2
+
b 2
a - ab
-
a+b ab
=
b)
2
a - a a + 2a + 1 · = c) 2 a-1 a +a
d)
a+1 a+2
+
6a 2
a -4
2
2
2
2
2
2
-
2a - 1 a-2
a + b - c + 2ab a + c - b + 2ac
=
=
1.b)
a + 1 a + 2 a + 1 a + 2
+ +
6a a
2
-4
-
2a - 1 a -2
6a (a + 2)(a - 2)
= 2a - 1
-
a -2
=
(a + 1)(a - 2) + 6a - (2a - 1)(a + 2) (a + 2)(a - 2) 2
a - 2a + a - 2 + 6a - (2a
2
=
+ 4a - a - 2)
(a + 2)(a - 2) 2
a - 2a + a - 2 + 6a - 2a
2
- 4a + a + 2
(a + 2)(a - 2) 2
- a + 2a (a + 2)(a - 2)
=
- a(a - 2) (a + 2)(a - 2)
=
-a a + 2
=
=
ax + b = c (opšti oblik) 5x + 3 = 23
x=
c-b a
(rešenje)
5x = 23 – 3 x=
23 - 3
5x - 3 = 22
5x = 22 + 3 x=
22 + 3 5
x=
25 5
x=
5 20 5
1.
Rešiti jednačine: a) 9 – 2x = 5x + 2 b) 3(2 – 3x) + 4(6x - 11) = 10 – x y-5 2y - 3 6y + 5 + 2 = c) 7 2 14
d) (x + 3) e)
2-x
2
– (x – 4) 2 = 2x – 13
=1+
1-x
-
2 3 f) |5x - 1| + x = 2 g) |x – 4| - |2x + 3| = 2 h) |x + 2| - |x – 2| = 4
2x 3
2.
Rešiti jednačine:
a)
2
c)
x-2
=
2x - 1 2x + 1
1
b)
x+3
+
8 2
4x - 1
=
x+5 3x - 6
=
1 2
+
2x - 3 2x - 4
2x + 1 2x - 1
3.
Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko godina će otac biti dva puta stariji od sina?
4.
Turistički aranžman se plaća u tri rate. Prva rata 1 2 iznosi cene aranžmana, druga ostatka, a 4 3 treća 40 eura. Kolika je cena aranžmana?
1.a) 9 – 2x = 5x + 2
– 2x – 5x = 2 – 9 –7x=–7 x=–1
1.c)
y-5
+ 2 =
2y - 3
-
6y + 5
/·14
7 2 14 2(y - 5) + 28 = 7(2y - 3) - (6y + 5) 2y - 10 + 28 = 14y - 21 - 6y - 5 2y - 14y + 6y = - 21- 5 + 10 - 28 - 6y = - 44 /·(- 1)
2.a)
2 x-2
=
1 x+3
6y = 44
uslovi: x 2, x -3
y=
2(x + 3) = x - 2
y=
x=-8
44 6 22 3
1.f) uslovi II i III: -(x-4)-(2x+3)=2 -3x = 1
x – 4; x-4≥0, x ≥4
|x-4|
1
-(x – 4); x-4<0, x <4 2x + 3; 2x+3≥0, x ≥-
|2x+3|
2
-(2x + 3); 2x+3<0, x
3
3 3 2
uslovi I i IV: nema rešenja koje bi ispunilo ove uslove
uslovi II i IV: -(x-4)+(2x+3)=2
5x - 3 > 22
◦
◦
a>0 a<0
=> =>
x> x<
c-b a b-c a
5x > 22 + 3 x>
x>
22 + 3
25 5
5 x ,
◦
◦
a>0 a<0
=> =>
x> x>
c-b
-5x - 3 22
a b-c a
-5x 22 + 3 -5x 25 /*(-1) 5x -25
x-
25 5
x -,
1.
Rešiti nejednačine: a) b) c) d) e)
3(x – 2) + 9x < 2(x + 3) + 8 (x – 2) + 3x < 2(x + 3) + 6 (x – 2) + 3x < 5(x + 3) + 6 2x - 9 ≤ 8x – 4(3,75 – 3x) 2y + 1 3
-
3y - 2 2
f) (x – 1) (x – 4) > 0 g) (x + 3) (x - 5) ≤ 0 h)
6 -x 3 -x
≤ -2
≥-1
1.f)
(x – 1) (x – 4) > 0 I slučaj:
1.a)
3(x – 2) + 9x < 2(x + 3) + 8 3x – 6 + 9x < 2x + 6 + 8 3x + 9x – 2x < 6 + 8 + 6 10x < 20 x< 2
x– 1> 0x – 4 > 0 x>1 x>4
1 4 (4,+)
(-,2)
II slučaj:
2
x– 1< 0x – 4 < 0 x<1 x<4
(-,1)
Rešenje je:
1
(-
4 1)
U (4,+ )
domen
kodomen
x1 x2 . . .
f : A -> B
f
ili
y1 y2 . . .
y = f(x)
y=0 kx + n = 0 x= -
n k
y=x k=1 n=0
y = 2x + 4
0
-2
2
0
-2
2
k : koeficijent pravca
y1 = k1 + n1
,
y2 = k 2 + n 2
ako je k1 = k 2 grafici funkcija su paralelni ako je k1k 2 = -1 grafici funkcija su normalni y = -3 k=0 n = -3
x=2 k=0 n=2
y = -2x + 4 k = -2 < 0 n= 4 y > 0 za -
y = 2x + 4 k=2>0 n= 4
k<0 funkcija je opadajuća
y > 0 za
funkcija je rastuća
y<0
y < 0 za -
k>0
funkcija je negativna, y < 0 za ispod x-ose
y>0 funkcija je pozitivna, iznad x-ose
1.
2.
Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije: 1
b) y =
d) y = - 3x + 2
e) 2y = 3x + 2 f) 2x = 3y + 2
2
x-1
c) y = - x + 1
a) y = 2x - 6
Dat je skup funkcija y = 4mx – (3m - 2) a) Odrediti m tako da nula funkcije bude x=2 b) Za dobijeno m ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije
1. c)
1) domen (oblast definisanosti): x R 2) nule funkcije: y = 0 -x+1=0 -x = -1 x=1 3) znak funkcije: y>0 y<0 -x+1>0 -x+1<0 -x > -1/(-1) -x < -1/(-1) x<1 x>1 za x(-,1) za x(1,+) f-ja je f-ja je pozitivna negativna 4) monotonost: k = -1 => f-ja je opadajuća
