Linearne jednačine i nejednačine
A) 3 x = 9 x =
B) 6 = −7 x x =
9
3 =3
6
1
4 x
2 1
−
−7
x = −
1
V) − x = =
4 2 − 2 x = 4
6 7
x =
4
−2 = −2
A) 4 x − 6 + 3 x = x
B)
y + 1 2
4 x + 3 x − x = 6
y + 1 = 0
6 x = 6
y = −1
x =
= 0 /⋅ 2
6
6 =1
1) a 2 a
−2= −
2
1 2
a−2=
1 3
a Pazi:
A B
⋅ C =
A ⋅ C B
a 3 a
= /⋅ 6 2 1 3 3a − 12 = 2a 3a − 2a = 12 a = 12
1
2) 0,5 − 0,2 x = 1 /⋅10 5 − 2 x = 10
− 2 x = 10 − 5 − 2 x = 5 x =
5
−2
⇒ x = −
5 2
= −2
1 2
1 1 1 − 0,5 ⋅ ( 2 x + 2) = 0,25 ⋅ (1 − x) + ⋅ 2 3 4 5 25 1 9 1 − ⋅ (2 x + 2) = ⋅ (1 − x) + ⋅ 10 100 3 4 1 1 3 1 − ⋅ ( 2 x + 2) = ⋅ (1 − x ) + /⋅ 4 2 4 4 1 1 3 4 − 4 ⋅ ⋅ ( 2 x + 2) = 4 ⋅ (1 − x ) + 4 ⋅ 2 4 4 4 − 2( 2 x + 2) = 1(1 − x) + 3 4 − 4 x − 4 = 1 − x + 3
− 4 x = − x + 4 − 4 x + x = 4 − 3 x = 4 x = −
4 3
To jest x = −1
p − 2
+
p + 1
1 3
3
= /⋅ 4
2 4 1 2( p − 2) + 1( p + 1) = 12 2 p − 4 + p + 1 = 12 2 p + p = 12 + 4 − 1 3 p = 15 p =
15
3 p = 5
2
x − 7
1
3 x − 1
1 x − 7
5
−
5 x + 1
/⋅ 60 12 3 x − 1 5 x + 1 60 ⋅ + 60 = 60 ⋅ − 60 ⋅ 4 5 12 15( x − 7) + 60 = 12(3 x − 1) − 5(5 x + 1) 4
+ =
15 x − 105 + 60 = 36 x − 12 − 25 x − 5 15 x − 36 x + 25 x = −12 − 5 + 105 − 60 4 = 28 x =
28
4 =7
5( x − 2)( x + 2) − 6 = (3 x − 5) 2 − (2 x + 3) 2
Razlika kvadrata kvadrat binoma kvadrat binoma 5( x 2 − 4) − 6 = ((3 x) 2 − 2 ⋅ 3 x ⋅ 5 + 52 ) − (( 2 x) 2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ 3 + 32 ) 5 x 2 − 20 − 6 = (9 x 2 − 30 x + 25) − ( 4 x 2 + 12 x + 9) 5 x 2 − 26 = 9 x 2 − 30 x + 25 − 4 x 2 − 12 x − 9 5
2
−9
2
+ 30 + 4
2
+ 12 = +25 − 9 + 26 42 = 42 x =
42
42 =1
( 4 x − 3) 2 = (5 − 4 x) 2 − 16 ( 4 x) 2 − 2 ⋅ 4 x ⋅ 3 + 32 = 5 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 4 x + ( 4 x) 2 − 16 16 x 2 − 24 x + 9 = 25 − 40 x + 16 x 2 − 16 16 x − 24 + 40 − 16 x = 25 − 16 − 9 16 x = 0 2
2
x =
0
16 x = 0
( 2 − ) ⋅ (3 − ) − (1 − ) ⋅ (5 − ) = 0 (6 − 2 x − 3 x + x 2 ) − (5 − 1 x − 5 x + x 2 ) = 0 6 − 2 x − 3 x +
− 5 + x + 5 x − x 2 = 0 x = −6 + 5 x = −1
2
3
( x − 1)( x + 1) − ( x + 1) 2 = 5 − 4 x x 2 − 1 − ( x 2 + 2 x + 1) = 5 − 4 x x 2 − 1 − x 2 − 2 x − 1 = 5 − 4 x − 2 x + 4 x = 5 + 1 + 1 2 x = 7 x =
7 2
A) (3 x − 1)( x + 1) = 0 Da se podsetimo: A ⋅ B = 0 ⇔ A = 0 ili B = 0 3 x − 1 x + 1 Dakle: 3 x = 1 ili x = −1 1 x = 3
B) 4( x + 1)( x − 2)( x − 3) = 0 x + 1 x − 2 x − 3 ili ili x = −1 x = 2 x = 3
A)
x( 2 x − 3) − 5(2 x − 3) =
Zajednički (ide ispred zagrade) = (2 x − 3)( x − 5) B)
x( 2 x − 3) − 5(2 x − 3) = 0 ( 2 x − 3)( x − 5) = 0 2 x − 3 = 0 ili x − 5 = 0 2 x = 3 x = 5 3 x = 2
4
Neka je X traženi broj 11 + x
=
2
→ Množimo unakrsno
14 − x 3 3(11 + ) = 2(14 − x) 33 + 3 = 28 − 2 x 3 x + 2 x = 28 − 33 5 x = − 5 x =
−5
5 x = −1
Neka je X- traženi broj x
+
x
+
x
= x + 1 /⋅ 30 2 3 5 15 x x + 6 x = 30 x + 30 + 10 31 x − 30 x = 30 x = 30
Uzastopne prirodne brojeve možemo obeležiti sa n, n + 1, n + 2, n + 3 Dakle: n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 1014 4n + 6 = 1014 4n = 1014 − 6 4n = 1008 n=
1008
4 n = 252 ⇒ Traženi brojevi su: 252,253,254,255
5
Neka je X-broj učenika. Ako su u odeljenju
3 7
učenika devojčice, to nam govori da su
4 7
učenika dečaci.
3
4 x + 4 = x /⋅ 7 7 7 3 x + 28 = 4 x 3 x − 4 x = −28
− x = −28 /⋅ (−1) x = 28
Neka je X-broj godina koji prodje: Majka
27
27+x
Sin
3
3+x
sad
Posle x godina
5(3 + x ) = 27 + x 15 + 5 x = 27 + x 5 x − x = 27 − 15 Dakle:
4 x = 12 x =
12
4 =3
Da proverimo: Kroz 3 godine majka ima 27+3=30 godina a sin 3+3=6 godina. Tad je majka 5 puta starija od sina jer je 6 ⋅ 5 = 30
350 m
2 5
puta
1 2
puta
Neka je X dužina celog puta. Razmišljamo: Na koji deo puta se odnosi 350m? 6
2 5
+
1
4+5
=
2
10
=
9 10
⇒ 1−
Dakle, 350m se odnosi na
1 10
9 10
=
1 10
puta
1
⋅ x = 350 10 x = 350 ⋅10 x = 3500m
Primena pitagorine teoreme: 2
a 2 2 + ha = b 2 2
2 12 2 2 + ha = (ha + 2 ) 2
36 + ha = ha + 4ha + 4 2
2
4ha + 4 = 36 4ha = 36 − 4 4ha = 32 ha =
32
4 ha = 8cm
a = 7cm b = c −1
__________ _
c=? a2 + b2 = c2 7 2 + (c − 1) 2 = c 2 49 + c 2 − 2c + 1 = c 2
− 2c = −49 − 1 − 2c = −50 c = −50 − 50 c= −2 c = 25cm
7
Stari obim je O = 2a + 2b Novi obim je O1 = 2a1 + 2b1
O1 = 2a1 + 2b1 = 62 2(b + 5) + 2( 2(b + 2) = 62 2b + 10 + 2b + 4 = 62 62 4b = 62 − 10 − 4 4b = 48 b = 12cm ⇒ a = 12 + 3 = 15 a = 15cm
Nejednačine
A) 3 x < 4 x <
B)
6 > 2 x
V)
1
− x ≤
− 2 x > −6 −6 x < −2 x < 3
4 3
2 4 1 1 − x /⋅ 4 2 4 − 2 x ≤ 1 x ≥ −
−∞
4 3
∞
x ∈ (−∞,
4 3
)
−∞
3
1
∞
x ∈ (−∞, 3 )
−∞
−
1 2
1 2 ∞
x ∈ [−
1 2
∞)
8
a <4
− 4 < a < 4 ⇒ a ∈ {− 3,−2,−1,0,1,2,3}
-3
-4
-2
-1
0
1
2
3
4
A)
5 − 2 < 2 x + 1
5 x − 2 x < 1 + 2 3 x < 3 x <
3
3 x < 1
∈ (−∞,1)
1
B)
0,6 x − 0,4 > 0,5 x − 0,2 /⋅10 6 x − 4 > 5 x − 2 6 x − 5 x > −2 + 4 1 x > 2 x > 2 x ∈ (2, ∞)
2
5 ≤ y − 5 1
≤
y 1
−
y+5 5 y+5 5
/⋅ 5 → pazi na - ispred zagrade
9
25 ≤ 5 y − ( y + 5) 25 ≤ 5 y − y − 5
− 5 y + y ≤ −5 − 25 − 4 y ≤ −30 − 30 y ≥ −4 y ≥ + y ≥ 7
−∞
15 2 1 2
7
1
∞
y ∈ [7
2
1 2
, ∞)
A)
0, 8 − 0, 8 ⋅ ( − 5) ≥ − 0, 2 / ⋅ 10
8 − 8 ⋅ ( x − 5) ≥ −2 8 − 8 x + 40 ≥ −2
−8 x ≥ −2 − 8 − 40 −8 x ≥ − 50 −50 25 1 ⇒x≤+ ⇒x≤6 x ≤ −8 4 4
6
1 4
1 x ∈ (−∞, 6 ] 4
B) 1 − p 3
< 0 /⋅ 3
1 − p < 0
− p < −1 /( −1) p > 1
1
p ∈ (1, ∞)
10
x
−
1 − x
1 + x
>
+
x − 2
/⋅ 24 6 4 3 24 4 x − 6(1 − x) > 8(1 + x) + 1( x − 2) 4 x − 6 + 6 x > 8 + 8 x + x − 2 4 x + 6 x − 8 x − x > 8 − 2 + 6
x > 12 x ∈ (12, 12, ∞)
12
1+
x − 6
−
x
≤ 3+
3+ x
/ ⋅12 3 2 4 12 + 4( 4( x − 6) − 6x ≤ 36 + 3( 3(3 + x ) 12 + 4 x − 24 − 6x ≤ 36 + 9 + 3x 4 x − 6 x − 3x ≤ 36 + 9 − 12 + 24
−5 x ≤ 57 x ≥ −
57 5
x ≥ − 11
2 5 2
−11
∈ [−11 , ∞ )
2
5
5
3 < −2 x + 5 < 17
Ovde moramo rešavati dve nejednačine: 3 < −2 x + 5
I
2 x5 − 3 2 x < 2 x <
2
− 2 x < 17 − 2 x < 17 − 5 − 2 x < 12 x >
12
−2 x > −6
2 x < 1
Spojimo rešenja − 6 < x < 1 ⇒ x ∈ (−6,1)
-6
6,1) ∈ (−6,1)
1
11
Najpre rešimo datu nejednačinu: ( x − 1)2 − ( x + 1) 2 < −10 − x ( x 2 − 2 x + 1) − ( x 2 + 2 x + 1) < −10 − x x 2 − 2 x + 1 − x 2 − 2 x − 1 < − 10 10 − x
−4 x < −10 − x −4 x + x < −10 −3 x < − 10 −10 x > −3 x > +3
1 3
Najmanji prirodni broj je x = 4
2
3
3
1
4
1
∈ (3 , ∞)
5
3
3
Šta znači da je neki izraz pozitivan? Pa to znači da mora biti veći od nule. Dakle: (3 x + 1) ⋅ ( x − 2) − 3 ⋅ ( x + 1) 2 > 0 (3 x 2 − 6 x + x − 2) − 3 ⋅ ( x2 + 2 x + 1) > 0 3 x 2 − 6 x + x − 2 − 3 x2 − 6 x − 3 > 0
−6 x + x − 6 x > 2 + 3 −11 x > 5 x < −
5 11 x ∈ (−∞, − 5
−
5
) 11
11
12
Kada kažemo da neki izraz ‘nije veći’ to znači da je manji ili je jednak (≤) Dakle: x + 5 4 − x − ≤ −2 /⋅ 8 8 2 1⋅ ( x + 5) − 4(4 − x ) ≤ −16
x + 5 − 16 + 4 x ≤ −16 x + 4 x ≤ −16 − 5 + 16 5 x ≤ −5 x ≤
−5
5 x ≤ −1
x ∈ (−∞, −1] -1
13
