VISOKA ŠKOLA “CEPS-CENTAR ZA POSLOVNE STUDIJE”KISELJAK Studijski program: Poslovna ekonomija
Studijski smjer: Menadžment
SEMINARSKI RAD FUNKCIJE – DEFINICIJA DEFINICIJA I OSNOVNI POJMOVI
Mentor:
Student:
Kiseljak, juni 2015. godine
SADRŽAJ
1. UVOD...................................... UVOD............................................................. ............................................. ............................................ ...................................... ................ 3 2. POJAM FUNKCIJE.............................. FUNKCIJE.................................................... ............................................... ..............................................4 .....................4 2.1.Jednakost funkcija........................................ funkcija.............................................................. ............................................. ...........................5 ....5 2.2.Klasifikacija funkcija............................................. funkcija................................................................... ........................................5 ..................5 2.3.Graf funkcije............................................ funkcije.................................................................. ............................................. ...............................6 ........6 2.4.Inverzna funkcija............................................ funkcija.................................................................. ............................................6 ......................6 2.5.Ostale osobine........................................ osobine.............................................................. ............................................. ...............................6 ........6 2.6.Klasifikacija funkcija.......................... funkcija................................................ ............................................. .................................7 ..........7 2.7. Načini .................................................................. .............................9 .......9 Načini zadavanja zadavanja funkcija............................................ 2.7.1.
................................................................... ........................................9 ..................9 Tablično zadavanje .............................................
2.7.2. Eksplicitno zadavanje....................... zadavanje............................................. ............................................ ......................................11 ................11 2.7.3. Implicitno zadavanje......................... zadavanje............................................... ............................................ ........................................12 ..................12 2.7.4. Parametarsko zadavanje.......................... zadavanje................................................ ............................................ ..............................14 ........14 3. ZAKLJUČAK ............................................. ................................................................... ............................................. ......................................16 ...............16 4. LITERATURA................................ LITERATURA...................................................... ............................................ ............................................ .............................17 .......17
1. UVOD 2
Funkcija ili preslikavanje je
jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja
preslikavanje elemenata iz jednog skupa (domena) (domena) u drugi (kodomena). (kodomena). Pri tome
preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.Funkcija ili preslikavanje je neko pravilo element
, f ) koja sadrži skupove D, D K ,K f D, K i K i uređena trojka t rojka ( D,
po kojem se svakom elementu
pridružuje jedinstveni
tako da je y je y = = f f ( x). x).
Skup D Skup D se se naziva područje naziva područje definicije ili definicije ili domena domena funkcije f funkcije f , a skup K skup K područje područje vrijednosti ili vrijednosti ili kodomena funkcije f . Element domene x je nezavisna varijabla ili varijabla ili argument funkcije funkcije f , a element kodomene y kodomene y je je zavisna zavisna varijabla funkcije varijabla funkcije f f .
Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo . Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo
.
Funkcije f Funkcije f i g i g su jednake su jednake, što zapisujemo sa f = g = g , ako vrijedi: 1. imaju jednake domene, tj. D tj. D f = D = D g ; 2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj.
.
2. POJAM FUNKCIJE
Matematički koncept funkcije izražava zavisnost između dvije veličine, jedne, koja je zadata (nezavisna varijabla ili argument funkcije), i druge, koja se dobija (zavisna varijabla ili
3
vrijednost funkcije). Funkcija prodružuje samo jedno rješenje za svaki argument funkcije koji se uzima iz fiksnog skupa fiksnog skupa, kao što su realni brojevi.
Slika 1. Grafik primjera funkcije Leibniz 1694. godine godine Funkcija kao matematički termin je prvi put objavio Gottfried Wilhelm Leibniz 1694. krivoj. Te funkcije danas zovemo kako bi opisao količinu u relaciji prema krivoj. diferencijali.Uobičajena
f(x), koju je prvi upotrebio švicarski notacija za funkciju je f(x),
matematičar Leonhard Euler. Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka ( D, D K , K f ,f ) koja sadrži skupove D, D, K i i neko pravilo po kojem se svakom se svakom elementu
pridružuje jedinstveni element
tako da je y je y = = f f ( x). x). Skup D Skup D se se naziva područje naziva područje definicije ili definicije ili domena domena funkcije f funkcije f , a skup K skup K područje područje vrijednosti ili vrijednosti ili kodomena funkcije f . Element domene x je nezavisna varijabla ili varijabla ili argument funkcije funkcije f , a element kodomene y kodomene y je je zavisna zavisna varijabla funkcije varijabla funkcije f f .
Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo . Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo
.
2.1.Jednakost funkcija
Funkcije f Funkcije f i g i g su jednake su jednake, što zapisujemo sa f = g = g , ako vrijedi: 1. imaju jednake domene, tj. D tj. D f = D = D g ;
4
2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj.
Znači, iako funkcije
.
i g ( x) x) = x = x imaju jednako pravilo pridruživanja (kada se kod
f ( x) x) skrati razlomak dobijemo f ( x) x) = x) x) one nisu jednake jer nemaju istu domenu ( , dok je
).
2.2.Klasifikacija funkcija
injektivnost, surjektivnost i Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost bijektivnost.1Injekcija ili 1-1 preslikavanje je
funkcija takva da ne postoje dva različita
elementa domene koja se preslikavaju u isti element kodomene. Za takvu funkciju kažemo da
ima
Matematički
svojstvo
injektivnosti
i
da
je
injektivna.
zapisujemo,
ili ekvivalentnu tvrdnju
.
Slika funkcije f funkcije f je je skup elemenata iz kodomene na koje se preslikava neki e lement domene. Surjekcija ili preslikavanje na je
funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni R f = K .
Drugim riječima, za svaki element kodomene ima neki iz domene koji se u njega preslikava, pa
su
svi
elementi
Matematički zapis:
kodomene
"iskorišteni".
. Za takvu funkciju kažemo da ima
svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna. Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna.
Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo
bijektivnosti.Primjer bijekcije je identiteta, identiteta, odnosno funkcija
definirana s
. 2.3.Graf funkcije
1
Klaričić Bakula, S. Braić, Uvod u matematiku, skripta PMF-a, Split 2008.
5
Graf funkcije f jest
x, y) y) ravnine skup točaka ( x,
za koje vrijedi y = f ( x x)
te čine krivulju.
Formalnije, to je skup
.
Slika 2. Graf funkcije f funkcije f ( x) x) = x = x2 2.4.Inverzna 2.4.Inverzna funkcija
Ako je ƒ funkcija od X do Y , tada je inverzna funkcija za ƒ, označenasa ƒ −1, funkcija u suprotnom smijeru, od Y do X do X , sa osobinom da kompozicija da kompozicija) vraća svaki element u samog sebe. Svaka funkcija ne posjeduje svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzabilne.Kao
primjer, ako je ƒ konvertuje temperaturu iz Celzijusa u Fahrenheite,
funkcija koja konvertuje stepene Fahrenheita u stepene Celzijusa bi bila odgovarajuća funkcija ƒ−1.
2.5.Ostale osobine
Postoji mnogo posebnih klasa funkcija koje su važne za pojedinačne grane matematike, ili za pojedinačne primjene.Ovo je djelimičan spisak takvih funkcija:
bijekcija, injekcija i surjekcija, ili pojedinačno: o
injektivna, surjektivna injektivna, surjektivna i bijektivna funkcija
neprekidna
diferencijabilna funkcija, integrabilna funkcija, integrabilna
linearna, polinomi, linearna, polinomi, racionalna racionalna
6
algebarska, transcendentalna algebarska, transcendentalna
trigonometrijska
fraktal
parna ili neparna
conveksna, monotona, conveksna, monotona, jednomodalna jednomodalna
holomorfska, meromorfska, holomorfska, meromorfska, cijela cijela
vektorska
jive izračunl jive
funkcija cijelog dijela
2.6.Klasifikacija funkcija
Neka je
Funkcija
je omeđena ako postoji broj
Funkcija
je neomeđena ako nije omeđena.
iz poglavlja poglavlja 1.7.2 1.7.2 je neomeđena jer za svaki
Na primjer, funkcija takav da je
Funkcija
takav da je
za svaki
.
postoji
.
je parna ako je za svaki
za svaki
, a neparna neparna ako je
.
Očito i kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično s obzirom na ishodište. Na primjer, funkcija
je parna za
paran, a neparna za
neparan pa odatle i nazivi:
7
Funkcija
a ako je
je parna: ako je
tada je
, tada je
pa vrijedi
pa vrijedi
Funkcija
je rastuća ili rastuća ili uzlazna na intervalu
Funkcija
je strogo je strogo rastuća na intervalu
ako
ako
je padajuća ili ili silazna silazna na intervalu Slično, funkcija je padajuća
a strogo padajuća strogo padajuća na intervalu
Ako je
ako
ako
tada kažemo da je funkcija
(strogo) rastuća ili padajuća padajuća bez navođenja
skupa. monotona. Ako je funkcija (strogo) rastuća ili padajuća, još kažemo i da je (strogo) monotona. Funkcija je po je po dijelovima monotona ako se područje d efinicije
može rastaviti na konačno
mnogo podintervala takvih da je na svakom od njih funkcija monotona.
2
2
M. Pepić, Uvod u matematiku, UM BiH, Sarajevo, 2000.
8
je strogo padajuća na intervalu
Na primjer, funkcija intervalu
i strogo rastuća na
, dakle po dijelovima strogo monotona. Konstantna funkcija
je
monotona i to istovremeno i rastuća i padajuća na čitavoj domeni (ali ne strogo).
Funkcija
je periodična je periodična ako postoji broj
Tada očito mora vrijediti
takav da za svaki
. Najmanji pozitivni
osnovni period ili period ili period funkcije funkcije
vrijedi
s ovim svojstvom zove se
.
Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije. Funkcija najveće cijelo, cijelo,
je definirana s
Definirajmo funkciju
Kako je
pa je
s
, to je
. Nadalje, za svaki
periodična funkcija funkcija s osnovnim periodom periodom
vrijedi
.
2.7.Načini zadavanja funkcija
Funkciju možemo zadati tablično, eksplicitno, implicitno i parametarski. parametarski. 2.7.1.
Tablično zadavanje
Tablično zadavanje funkcija je često u primjenama, jer se vrijednost zavisne varijable može izmjeriti samo u nekim točkama. Tako se na primjer temperatura ili tlak zraka mjeri su
9
meteorološkim stanicama, a kod prikaza se u meteorološkim kartama te vrijedno sti interpoliraju glatkim krivuljama. 3 Funkcija zadana s
0
1 3 4 5 8
-1 1 3 5 7 6 prikazana je na slici 3.
Slika 3: Tablično zadana funkcija
Graf tablično zadane funkcije je skup točaka u ravini,
, definiran s
interpolacije. Za određivanje vrijednosti funkcije u ostalim točkama koristimo postupak interpolacije. Najjednostavnija je linearna interpolacija
kod koje se vrijednosti funkcije između dvije
susjedne točke grafa prikazuju kao da leže na pravcu između te dvije točke. Dak le, za se uzima
3
R. Živković, H. Fatkić i Z. Stupar, Zbirka zadataka iz matematike, Svjetlost, Sarajevo, 1987.
10
Tako je, na primjer
Slika 4. Linearna interpolacija
Važan primjer tablično zadanih funkcija su i logaritamske tablice. U tablicama su zadane vrijednosti elementarnih funkcija kao
,
,
,
i
u određenim
točkama, dok se vrijednosti funkcija u ostalim točkama nalaze odgovarajućom interpolacijom. 2.7.2. Eksplicitno zadavanje
Eksplicitno se funkcija zadaje pomoću pravila pr avila
gdje je
izraz koji sadrži samo nezavisnu varijablu
funkcija je preslikavanje skupa
pri čemu su domena
. Dakle, eksplicitno zadana i kodomena
. Domena je skup svih vrijednosti nezavisne varijable
za koje izraz
smisla (definicija 1.7). 1.7). Pri tome jednoj vrijednosti nezavisne varijable samo jedna vrijednost zavisne varijable
podskupovi ima odgovara
.
11
Graf eksplicitno Graf eksplicitno zadane funkcije je krivulja u ravini,
, definirana s
Primjer eksplicitno zadane funkcije je
Domenu funkcije
određujemo iz definicija elementarnih funkcija. Znamo da se ne smije
dijeliti s nulom, a kako je kosinus jednak nula u svim točkama zaključujemo da je
,
.
2.7.3. Implicitno zadavanje
Implicitno se funkcija zadaje pomoću pravila
gdje je
izraz koji sadrži nezavisnu varijablu
implicitno zadane funkcije je krivulja u ravini,
i zavisnu varijablu
. Graf
, definirana s
Primjer implicitno zadane funkcije je
Domenu funkcije ponovo određujemo iz definicija elementarnih funkcija, ali u ovom slučaj potrebne su dodatne transformacije. Funkcija funkcija kosinusa. Slijedi
je inverzna
. Funkciju možemo zapisati i kao
12
Slijedi
, odnosno
. Za
i
koji zadovoljavaju prethodna
ograničenja možemo uzeti kosinus lijeve i desne strane jednakosti , što daje (u zadnjoj jednakosti koristili smo činjenicu da je kosinus parna funkcija.). Za
Da
slijedi
mora biti različit od nule slijedi i iz formule jer uvrštavanje nule daje
što je nemoguće.
Zaključimo: funkcija
definirana je za
i na tom
intervalu poprima iste vrijednosti kao eksplicitno zadana funkcija funkcija
definirana je na većem području,
. Sama .
Slika 5. Implicitno zadana funkcija
13
Slika 6. Funkcija
može biti zadano više eksplicitno
Za razliku od prethodnog primjera, izrazom
zadanih funkcija. U tom slučaju jednoj vrijednosti varijable vrijednosti varijable
može odgovarati više
.
Descartesov list je krivulja zadana s izrazom
Premda funkciju nije moguće jednostavno rastaviti na eksplicitno zadane funkcije, možemo je analizirati u parametarskom obliku.
Slika 7. Descartesov list 2.7.4. Parametarsko zadavanje
Funkcija se zadaje parametarski tako da se
i
zadaju kao funkcije parametra
,
14
Graf parametarski Graf parametarski zadane funkcije je krivulja u ravini,
, definirana s
Kao i kod implicitno zadanih funkcije, kod parametarski zadane funkcije jednoj vrijednosti varijable
može odgovarati više vrijednosti varijable
.
Na primjer, parametarska parametarska jednadžba kružnice glase:
Lako se provjeri da
i
zadovoljavaju jednadžbu jednadžbu kružnice iz primjera 4.1. Uočljivo je da
je ovo samo jedna jedna od beskonačno beskonačno mogućih mogućih parametarskih jednadžbi ove kružnice (navedite (navedite još barem jednu). jednu). Cikloida je
krivulja koju opisuje fiksna točka kružnice kada se ta kružnica kotrlja bez
klizanja po pravcu. Parametarska jednadžba cikloide glasi .
4
4
S. Kurepa, Uvod u matematiku, matematiku,
Tehnička knjiga, Zagreb, 1978.
15
Slika 8.Cikloida
3.
ZAKLJUČAK
Funkcija je,
uopšte, pravilo pridruživanja jednog elementa iz skupa H (domen funkcije)
drugom iz skupa U (kodomen
funkcije). Za zapisivanje funkcija koristimo oznake kao što je
ili y = f(x ), a prirodu skupova koji učestvuju opisujemo frazama kakva je na primjer: funkcija primjer: funkcija realne promjenljive. Opseg, raspon ili područje definicije funkcije f je skup je skup vrijednosti, f(x), vrijednosti, f(x), za x iz domena f. Funkcija je jedan od osnovnih pojmova matematike. Definicija matematike. Definicija funkcije kao promjenljive
veličine je nesavršena jer se pri tome koristi nestrogi pojam prom jenljive veličine i zato se obično koristi savremeniji pristup ovom problemu preko teorije skupova.
16
4. LITERATURA
1.
Klaričić Bakula, S. Braić, Uvod u matematiku, skripta PMF-a, Split 2008.
2. Kurepa, Uvod u matematiku,
Tehnička knjiga, Zagreb, 1978.
3.
Pepić, Uvod u matematiku, UM BiH, Sarajevo, 2000.
4.
Živković, H. Fatkić i Z. Stupar, Zbirka zadataka iz matematike, Svjetlost , Sarajevo, 1987.
17