INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
Ingeniería Civil
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA Departamento: CIENCIAS DE LA TIERRA
Asignatura: MODELOS DE OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS
Unidad: 4
Tema: MODELO DE FLUJOS EN REDES
Autores:
Alejo Félix Samuel Arturo Carrillo Alfonso Eduardo Ramón Hernández Nallely
Catedrático: Ing. Juan Solís Hernández
VILLAHERMOSA, TABASCO, 02 DE MAYO DEL 2017
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................................ ....... 1 4. MODELOS DE FLUJOS EN REDES.................................................................. 2 4.1 EL MODELO DEL CAMINO .......................................................................... 4 4.2 EL MODELO DE FLUJO MÁXIMO ............................................................. 10 4.3 EL MODELO DEL ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA ................................. 18 4.4 USO DE SOFTWARE ................................................................................. 21 CONCLUSIÓN ................................................................................................ ..... 23 GLOSARIO DE TÉRMINO T ÉRMINO ................................................................................... 24 ANEXOS ........................................................................................... ................... 27 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... ..... 41
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................................ ....... 1 4. MODELOS DE FLUJOS EN REDES.................................................................. 2 4.1 EL MODELO DEL CAMINO .......................................................................... 4 4.2 EL MODELO DE FLUJO MÁXIMO ............................................................. 10 4.3 EL MODELO DEL ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA ................................. 18 4.4 USO DE SOFTWARE ................................................................................. 21 CONCLUSIÓN ................................................................................................ ..... 23 GLOSARIO DE TÉRMINO T ÉRMINO ................................................................................... 24 ANEXOS ........................................................................................... ................... 27 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... ..... 41
INTRODUCCIÓN Las técnicas Las técnicas de flujo de redes están orientadas a optimizar situaciones vinculadas a las redes de transporte, transporte, redes de comunicación, sistema de vuelos de los aeropuertos, rutas de navegación de los cruceros, estaciones de bombeo que transportan fluidos a través de tuberías, rutas entre ciudades, red es de conductos y todas aquellas situaciones que puedan representarse mediante una red donde los nodos representan las estaciones o las ciudades, los arcos los caminos, las líneas aéreas, los cables, las tuberías y el flujo lo representan los camiones, mensajes y fluidos que pasan por la red. la red. Con Con el objetivo el objetivo de encontrar la ruta más corta si es una red de caminos o enviar el máximo fluido si es una red de tuberías. Cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un origen y un destino, la técnica, algoritmo técnica, algoritmo o el modelo el modelo adecuado es el de la ruta más corta; aunque existen otros modelos otros modelos de redes como el árbol de expansión ex pansión mínima, flujo máximo y flujo de costo mínimo cada uno abarca un problema en particular. En este trabajo se mencionan los modelos de redes existentes y los problemas que abarca cada uno de ellos, además se describen los algoritmos que aplican estos modelos para encontrar la solución óptima al problema. Utilizando la terminología utilizada para representarlos como una red.
1
4. MODELOS DE FLUJOS EN REDES MODELOS DE REDES Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:
Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión).
Modelo de la ruta más corta.
Modelo del flujo máximo.
Modelo del flujo del costo mínimo.
MODELO DE MINIMIZACIÓN DE REDES El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en la solución del problema. Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características: 1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo. y tiempo.)) 2. Se desea diseñar diseñar la red con suficientes ligaduras ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos. 3. El objetivo es satisfacer satisfacer este requisito de manera que se minimice minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red. Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que las redes resultantes formen un árbol de expansión. Por tanto, el problema es hallar el
árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras. Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima:
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1. Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano. 2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados. Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución óptima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trab aja con las demás formas de romper los empates hasta el final.
LA IMPORTANCIA DE LOS MODELOS DE REDES Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos rede El resultado de un problema de redes garantiza una solución entera, dada su estructura matemática. No se necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de solución. Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos, no importando el tamaño del problema, dada su estructura matemática.
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4.1 EL MODELO DEL CAMINO Definición del Problema Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y ter minando en el nodo final n. Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, dij Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n.
MODELO DE LA RUTA MÁS CORTA Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura ( arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino. Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino. El método de la ruta más corta es un método de programación lineal, que permite buscar la solución a un problema de optimización que resulte de una combinatoria y de diferentes aplicaciones, el objetivo de este método esta en encontrar rutas cortas o de menor costo, según sea el caso, que va desde un nodo especifico hasta cada uno de los demás nodos de la red. En este sentido un nodo es una representación gráfica en forma de circulo, este nodo es muy importante ya que denota los orígenes y destinos del problema que se realice, asimismo una red representa un conjunto de puntos y líneas que conectan pares de puntos, estos puntos son los que llamaremos nodos y las líneas serían las aristas., por ejemplo:
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FIGURA1. Ejemp lo De NODOS Y ARCOS
Un ejemplo simple para aplicar a este tipo de problemas sería el viaje de una persona desde un estado a ciudad el cual pudiese tener varias alternativas, según el interés de la persona, bien sea para ir más rápido o llegar de manera económica según sus recursos, para el primer caso se minimizaría la distancia y para el segundo caso el costo, en cualquier caso el objetivo consistiría en encontrar la ruta más eficiente a un menor costo, y por lo tan to tendríamos que los estados estarán representados como los nodos y las carreteras como los arcos.
IMPORTANCIA Este método es muy importante ya que por medio de este modelo se p ueden resolver de manera rápida, ya que pueden formularse como modelos de redes obteniendo soluciones enteras sin necesidad de restricciones (aunque en algunos casos pudieran tenerlas), asimismo se puede decir que no importa que tan grande sea el problema se puede resolver por pequeños algoritmos. Por otra parte según la página www.ptolomeo.unam.mx en sus conceptos básicos, capitulo 1 señala la importancia de este método:
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El problema de la Ruta más Corta es fundamental en muchas áreas, c omo son: investigación de operaciones, ciencia de la computación e ingeniería. Algunas de las razones son: I. La amplia variedad de aplicaciones prácticas como es el envío de algún material entre dos puntos específicos de la forma más eficiente, económica o rápida. II. Existen métodos de solución eficientes, los cuales al ser aplicados a una red con características específicas (a cíclica y con costos no negativos), proveen una solución exacta a un tiempo y costo razonables. III. Se puede utilizar como inicio en el estudio de modelos complejos de redes, esto es, cuando no se conoce la estructura de la red se pueden aplicar algoritmos para conocer algunas características de la red (presencia de ciclos negativos). IV. Se utiliza frecuentemente como sub-problemas (subrutinas) en la solución de problemas combinatorios y redes, así en el caso de problemas para los cuales no existe un algoritmo de solución exacto (p. e. problemas NP-completos), la aplicación de algoritmos de ruta más corta, resultan auxiliares p ara encontrar una buena solución.
APLICACIONES En cuanto a sus aplicaciones este modelo tiene muchas aplicaciones en la vida práctica, dentro de las que podemos mencionar: Transporte, Horarios de operadores telefónicos, Planeación de tráfico urbano, Trasbordo, En las redes eléctricas, 6
Diseño de rutas de vehículos Telecomunicaciones, Planeación de inventarios, Planeación de producción, entre otros.
ALGORITMO DE LA RUTA MÁS CORTA: 1. Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. (Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo nodo más
cercano sea el nodo destino.) 2. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.) 3. Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.) 4. Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera esta distancia. Anexo 1
El Problema del Camino más Corto El problema es determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar la forma más económica posible desde un origen a un destino dado. Suponga que en una red dada existen m nodos y n arcos (bordes) y un costo C ij asociado con cada arco (i a j)
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en la red. Formalmente, el problema del camino más corto (CC) es encontrar el camino más corto (menor costo) desde el nodo de comienzo 1 hasta el nodo final m. El costo del camino es la suma del costo de cada arco recorrido. Defina las variables binarias Xij, donde Xij =1 si el arco (i a j) es sobre el CC y X ij = 0 de lo contrario. Existen dos nodos especiales llamados origen y destino. El objetivo es encontrar el camino más corto entre el origen y el destino. En la red siguiente, varios costos son asignados para el camino que va de un nodo a otro. Por ejemplo, el costo de ir desde el nodo 2 al 4 es 6. La función objetivo considera los costos de moverse de un nodo a otro, o de un origen a un destino. Las restricciones están divididas en tres grupos. La restricc ión del nodo de origen dice que debe dejar el nodo 1 para ir al 2 o 3. La restricción del nodo intermedio dice que si siempre que se dirija a un nodo usted deberá dejar ese nodo. El nodo de destino es similar al nodo de origen dado que se puede alcanzar este nodo solo desde los nodos vecinos. Considere la siguiente red dirigida (para una red indirecta, haga que los arcos estén dirigidos en ambas direcciones, luego aplique la misma formulación. Note que en este caso usted tiene Xij y X ji variables). El objetivo es encontrar el camino más corto desde el nodo 1al nodo 7.
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Luego de correr el problema en cualquier paquete que solucione programación lineal, los resultados son: Ir
desde
1
hasta
el
3
Ir
desde
3
hasta
el
5
Ir
desde
5
hasta
el
6
Ir desde 6 hasta el 7 Este es el camino más corto con un total de 22 unidades de longitud. Anexo 2
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4.2 EL MODELO DE FLUJO MÁXIMO Modelo de Flujo Máximo Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar de
destino a través de arcos que conectan nodos intermediarios. Los arcos tienen una capacidad máxima de flujo y se trata de enviar desde la fuente al destina la mayor cantidad posible de flujo.
Hay problemas donde lo importante es la cantidad de flujo que pasa a través de la red como por ejemplo: en las líneas de oleoductos, redes eléctricas o de transmisión de datos. Por esta razón en dichos problemas se determina el flujo máximo que pasa a través de una red. Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una r ed de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino. Características: 1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino. 2. Los nodos restantes son nodos de trasbordo.
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3. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dado por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo. 4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino. El problema de flujo máximo se puede formular como un problema de programación lineal, se puede resolver con el método simplex y usar cualquier software. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada. Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo máximo: 1. Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria
dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo). 2. Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria. 3. Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa la paso 1.
Problema del Flujo Máximo En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el flujo máximo posible proveniente de los orígenes de forma tal de ahogar las capacidades de flujos de los arcos.
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Considere una red con m nodos y n arcos con un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como X ij. Asociamos cada arco a una capacidad de flujo, kij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total máximo en la red, F, del nodo 1 al nodo m. En la formulación de la programación lineal, el objetivo es maxim izar F. El monto que parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo que entra debe ser igual a lo sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambas direcciones. La capacidad que puede ser enviada a una dirección en particular también es mostrada en cada ruta.
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Luego de resolver este problema de PL mediante el uso de LINDO (entre otros software), obtenemos los siguientes resultados: Enviar
10
Enviar
7
Enviar
unidades
de
1
a
2
unidades
de
1
a
3
3
unidades
de
2
a
6
Enviar
7
unidades
de
2
a
4
Enviar
4
unidades
de
3
a
6
Enviar
6
unidades
de
3
a
5
Enviar
7
unidades
de
4
a
7
13
Enviar
8
unidades
de
5
a
7
Enviar
3
unidades
de
6
a
3
Enviar
2
unidades
de
6
a
5
Enviar 2 unidades de 6 a 7 El flujo máximo es F= 17 unidades. El Problema Dual de Flujo Máximo: El problema dual para el ejemplo numérico anterior es: Min 10Y12 + 10Y13 + Y23 + Y32 + 6Y26 + 4Y36 + 4Y63 + 8Y24 3Y64 + 3Y46 + 12Y35 + 2Y65 + 2Y56 + 8Y75 + 7Y47 + 2Y67 sujeto a: X2 - X1 + Y12 ³ 0, X3 - X1 + Y13 ³ 0, X3 - X2 + Y23 ³ 0, X3 - X2 + Y32 ³ 0, X6 - X2 + Y26 ³ 0, X6 - X3 + Y36 ³ 0, X3 - X6 + Y63 ³ 0, X4 - X2 + Y24 ³ 0, X4 - X6 + Y64 ³ 0 X6 - X4 + Y46 ³ 0, X5 - X3 + Y35 ³ 0, X5 - X6 + Y65 ³ 0, X6 - X5 + Y56 ³ 0, X5 - X7 + Y75 ³ 0, X7 - X4 + Y47 ³ 0, X7
-
X6
+
Y67
³
0,
X1
-
X7
³1,
y
Yij ³ 0, y todos los Xi son variables libres. La formulación dual sugiere que se intente asignar flujos a arc os de misma manera que para cada arco, la diferencia en valores en el nodo inicial y el nodo final excede el valor agregado.
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Ejemplo
Nos permite conocer (calcular) la máxima cantidad de cualquier artículo o información que podemos transportar desde un origen hasta un destino. Pasos a seguir: Primer paso: Elegir una ruta arbitraria. Segundo paso: En dicha ruta escoger aquel ramal de menor flujo en ese sentido y transportar por esa ruta la cantidad escogida. Hacer esto repetitivamente hasta que no sea posible encontrar una ruta con capacidad de flujo.
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Ejemplo: El origen puede despachar 28 unidades y el destino puede recibir 22 unidades, pero por las restricciones, el destino solo puede recibir 19 unidades en la ruta AB- BC – CD – DF – FG
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4.3 EL MODELO DEL ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA Este problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre ellos, sin formar un loop. El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantáneo.
REDES (ARBOL DE EXPANSION MINIMA) Modelo de minimización de redes El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en la solución del problema. Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características: Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.) Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red. Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que las redes resultantes formen un árbol de expansión. Por tanto, el problema
es hallar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus
ligaduras.
Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima: 18
Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados. Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución óptima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates hasta el final. EJEMPLO
La ciudad de Vancouver está planificando el desarrollo de una nueva línea en sistemas de tránsito. El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales. El distrito metropolitano de tránsito necesita seleccionar un conjunto de líneas que conecten todos los centros a un mínimo costo. La red seleccionada debe permitir: Factibilidad de las líneas que deban ser construidas. Mínimo costo posible por línea.
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Solución - Analogía con un problema de redes El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fácil (“trivial”). Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos”.
Algoritmo: Comience seleccionando el arco de menor longitud. En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor longitud del conjunto de arcos disponibles, tomando la precaución de no formar ningún loop. El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están conectados.
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4.4 USO DE SOFTWARE Análisis de Sensibilidad para los Modelos de Redes La familia de un clásico problema de optimización de redes incluye los siguientes prototipos de modelos: asignación, camino crítico, flujo máximo, camino más corto, y transporte. A pesar de que es bien conocido que este tipo de problemas se pueden modelar como programación lineal, normalmente nunca se hace. Debido a la ineficiencia y complejidad relativa del método simplex (primal, dual y otras variaciones) para modelos de redes, este problema es tratado por uno de más de 400 algoritmos especiales. Esto conlleva a muchas dificultades. Las soluciones de los algoritmos no están unificadas y cada algoritmo usa una estrategia diferente para explorar la estructura especial de un problema específico. Adicionalmente, pequeñas variaciones en el problema tales como la adición de una restricción aparte, o índices múltiples, destruye la estructura especial y obliga a re comenzar el algoritmo. Además, estos algoritmos obtienen soluciones eficientes al costo de la astucia gerencial, como la solución final de estos algoritmos que no tienen la información suficiente para realizar un análisis de sensibilidad. Otro acercamiento es adoptar el simplex para los problemas de optimización de redes a través del simplex de redes. Esto proporciona la unificación de varios problemas, pero mantiene todas las ineficiencias del simplex así como también la mayoría de las inflexibilidades de las redes para manejar problemas tales como las restricciones aparte. Al igual que el análisis ordinario de sensibilidad (AOS), ampliamente disponible en la tabular simplex, ha sido recientemente transferido a redes simplex.
Advertencia: las soluciones de computadoras para problemas de redes son v álidas, sin embargo, los resultados de sensibilidad producidos podrían no ser válidos. Esto se debe al hecho de que, entre otras cosas, estos problemas son PL de enteros, y cualquier restricción en cualquiera de estos modelos es una restricción redundante.
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Dado que el “camino” tomado por la rama - atadura (Branch-and-bound), la rama-
corte (Branch-and-cut) y otros métodos pueden ser muy diferentes para los pequeñ os cambios en el valor de los parámetros, hemos desarrollado, vea las referencias, nuevas soluciones algorítmicas, las cuales nos permiten realizar varias formas de análisis de sensibilidad.
Análisis de Perturbación de Costos: : Conjunto de Perturbación General, Análisis de Sensibilidad Paramétrico, Análisis de Sensibilidad Ordinario, Regla del 100%, Análisis de Tolerancia.
Análisis de la Capacidad de Perturbación del Arco : Conjunto de Perturbación General, Análisis de Sensibilidad Paramétrico, Análisis de Sensibilidad Ordinario, Regla del 100%, Análisis de Tolerancia.
Análisis de Perturbación de Oferta y Demanda: Conjunto de Perturbación General, Análisis de Sensibilidad Paramétrico, Análisis de Sensibilidad Ordinario, Regla del 100%, Análisis de Tolerancia.
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CONCLUSIÓN Utilice el algoritmo adecuado para encontrar la ruta más corta a través de la red que se muestra a continuación, en donde los números representan las distancias reales entre los nodos correspondientes. Formule el problema de la ruta más corta como uno de PL. Los modelos de optimización de redes constituyen una herramienta muy sencilla para la encontrar la solución óptima a los problemas de flujo de redes, porque proporcionan algoritmos fáciles de comprender y aplicar que comparados con el método simplex disminuyen el número de iteraciones que r esuelven el problema. Si se aplicara el método simplex en un problema de distribución o de redes, tendríamos muchas variables y restricciones en el modelo y se tendría que utilizar herramientas computacionales para encontrar la solución óptima de una forma rápida, ahora con los modelos de redes solo habría que aplicar las iteraciones al grafo que origina la representación de la red del problema y luego aplicar el algoritmo que corresponde, que puede ser el algoritmo de la ruta más corta, algoritmo para encontrar el árbol de expansión mínima, algoritmo de la trayectoria de aumento o el algoritmo de flujo máximo. Aunque los problemas de flujo de costo mínimo y el de la ruta más corta pueden formularse como modelos de programación lineal para luego aplicar el método simplex, no es conveniente su utilización. Por otro lado solucionar el problema utilizando redes mejora la eficiencia de los cálculos.
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GLOSARIO DE TÉRMINO Red: Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vértices). Las líneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas). Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre los nodos A Y B. En un problema de programación lineal, las redes pueden representar un conjunto de estaciones, campos petrolíferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades, interconectadas entre sí a través de caminos, conductos, tuberías que permiten fluir productos para la comercialización o la distribución.
Arcos Dirigidos: Se dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en una dirección (como en una calle de un sentido). La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco. Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra Manera es A
B.
Arcos No Dirigidos: Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones (como una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que es un arco no dirigido. También se les llama ligadura. Aunque se permita que el flujo a través de un arco no dirigido ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas.
Trayectoria: Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan los nodos O y T en la figura 1 es la sucesión de arcos OB-BD-DT (O viceversa. 24
B
D
T), y
Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas.
Trayectoria Dirigida: Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria es factible.
Variables binarias: Las variables binarias son un artificio matemático que permite que modelos de programación no lineal se resuelvan como tal. El buen uso de las variables binarias se convierte en una poderosa herramienta matemática para plantear problemas más complejos que los que habitualmente se resuelven acudiendo a las variables continuas.
Trayectoria No Dirigida: Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) pueden ser hacia o desde el nodo j. Con frecuencia alguna trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i).
Ciclo: Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En la red no dirigida que se muestra en la figura 5 existen muchos ciclos, OA-AB-BC-CO.
Red Conexa: Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado. Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. La figura 1 represen ta una red conexa.
Árbol de Expansión: es una red conexa para los n nodos, que contiene ciclos no dirigidos. Todo árbol de expansión tiene justo n-1 arcos, ya que este es el número mínimo de arcos necesarios para tener una red conexa y el máximo número posible para que no haya ciclos no dirigidos. La figura 6 representa una red conexa, la figura 7 muestra los cinco nodos de la red conexa de la figura 6, ahora la figura 8 muestra el proceso para hacer crecer un árbol colocando una rama a la vez, hasta obtener un árbol de expansión. En cada
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etapa del proceso se tienen varias alternativas para el nuevo arco, por lo que la figura 8 muestra solo una de las muchas formas de construir un árbol de exp ansión.
Capacidad de Arco: Es la cantidad máxima de flujo (quizás infinito) que puede circular en un arco dirigido.
Nodo Fuente: (o nodo de origen) tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo excede al flujo que entra a él.
Nodo de Trasbordo: (o nodo intermedio) satisface la conservación del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale.
Flujo: Circulación de unidades homogéneas de un lugar a otro. Capacidad de flujo: es la capacidad de unidades que pueden entrar por el nodo fuente y salir por el nodo destino.
Origen o fuente de flujo: nodo por el cual el flujo ingresa. Destino o Sumidero de flujo: nodo por el cual el flujo sale.
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ANEXOS A n e x o 1 . EJERCICIO
DE LA RUTA MÁS CORTA
“Considere la siguiente red dirigida (para una red indirecta, haga que los arcos
estén dirigidos en ambas direcciones, luego aplique la misma formulación. Note que en este caso usted tiene Xij y Xji variables. El objetivo es encontrar el camino más corto desde el nodo 1 al nodo 7. La red sería:
Para encontrar la función objetivo para los costos se plantea: MinZ(x) = 15X12+10X13+8X32 +4X35+6X24+17X27+4X45+5X47+2X56+6X67 Para hacer las ecuaciones hay que tomar en cuenta: Entra al nodo es + Sale del nodo es S.A.: Nodo 1: X12+X13 = 1 Nodo 2: X12+X32-X24-X27 = 0 Nodo 3: X13-X32-X35 = 0 Nodo 4: X24-X47-X45 = 0 Nodo 5: X35+X45 – X56 = 0
27
Nodo 6: X56-X67 = 0 Nodo 7: X27+X47+X67 = 1
WinQSB 1. Cliquear la opción New Problem, del menú File
28
2. Activar la casilla Shortest Path Problem
29
3. Llenar las casillas con los datos del problema
4. Darle clic a Solve, y mostrará el resultado.
30
Anexo 2
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A n e x o 3 . EJEMPLO
DEL PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO
El nodo de origen como se puede observar es el numero 1 de color amarillo, y el nodo de destino es el numero 5 de color azul.
Se escoge desde el nodo de origen aquel flujo que sea el mayor, en este caso es 30, y va dirigido al nodo numero 3.
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Se identifica el nodo de transbordo como [30,1], 30 es la capacidad, y 1 es el nodo del cual proviene la capacidad y luego repetimos todo el proceso, como si el nodo intermediario fuese el nodo de origen. Se tiene como flujo mayor 20 del nodo numero 3 al nodo numero 5, con el nodo de transbordo como [20,5].
Ahora que hemos llegado al nodo de destino, procedemos a calcular "k" y las capacidades nuevas.
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K=min(∞,30,20)
K=20
C13,31 =(30-20, 0+20) C13,31 =(10, 20)
C35,53 =(20-20, 0+20) C35,53 =(0, 20) Luego de haber calculado las nuevas capacidades, es necesario reemplazarlas.
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Se realiza el proceso otra vez, haciendo la ruta con los mayores flujos.
K=min(∞,20,40,10,20)
K=10
C12,21 =(20-10, 0+10) C12,21 =(10, 10)
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C23,32 =(40-10, 0+10) C23,32 =(30, 10) C34,43 =(10-10, 5+10) C34,43 =(0, 15)
C45,54 =(20-10, 0+10) C45,54 =(10, 10)
Volvemos a hacer el proceso y escogemos el camino 1,2. Como se puede observar si se tomara rumbo del nodo 2 al nodo 3 terminaría trancado, obligándose a v olver al nodo origen, por lo que se toma el camino 2,5.
K=min(∞,10,20)
K=10
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C12,21 =(10-10, 10+10) C12,21 =(0, 20)
C25,52 =(20-10, 0+10) C25,52 =(10, 10)
Se actualizan las capacidades y procedemos a resolver de nuevo. Esta vez agarraremos el camino de 1,3.
K=min(∞,10,10,10) K=10
C13,31 =(10-10, 20+10) C13,31 =(0, 30)
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C32,23 =(10-10, 30+10) C32,23 =(0, 40) C25,52 =(10-10, 10+10) C25,52 =(0, 20) Y por ultimo escogemos el camino 1,4.
K=min(∞,10,10)
K=10
C14,41 =(10-10, 0+10) C14,41 =(0, 10)
C45,54 =(10-10, 10+10) C45,54 =(0, 40)
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Reemplazando las nuevas capacidades, nos queda de la siguiente forma, las capacidades del nodo de origen quedan como 0, por lo cual seguimos a sumar a todas las K y ahi conseguimos el flujo máximo.
Flujo Máximo = Σ K Flujo Máximo = 20+10+10+10+10 Flujo Máximo = 60 El flujo máximo que puede pasar del nodo origen 1 hasta el nodo destino es de 60.
A n e x o 4 . EJEMPLO
DE MODELO DEL ARBOL DE EXPANSION.
EJEMPLO N= {1, 2, 3, 4, 5} A= {(1,2),(1,3),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,2),(4,5)}
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Un árbol es una red conectada que puede consistir solo en un subconjunto de todos los nodos en ella, donde no se permiten ciclos.
Un árbol de expansión es un árbol que enlaza todos los nodos de la red, también sin permitir ciclos.
40
BIBLIOGRAFÍA
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corta/ www.ptolomeo.unam.mx
http://www.slideshare.net/luenfajardo/el-problema-de-la-ruta-mas-corta
Revenga, Juana M.Alonso. (2008). Flujo en Redes y Gestión de Proyectos, Teoría y ejercicios resueltos (1era ed.). España.Editorial Netbiblo. Páginas 87-89.
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Ruiz
(2012).Problema
de
flujo
http://www.youtube.com/watch?v=a697qlRsLIk,
el día 31/03/2013
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máximo recuperado
