UNIDAD 4: DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN ASIGNACIÓN 4.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE El modelo de transporte de la P. L. tiene que ver con situaciones como las antes descritas. El objetivo es encontrar el costo mínimo de envío de una cantidad determinada de productos desde ciertos puntos geográficos llamados orígenes, hasta los puntos de distribución llamados destinos. Históricamente el problema de transporte data de !", cuando #. L. Hitchcoo$ presentó un estudio titulado %&he distribution of a product from several source to numerous localities', que se considera el primer trabajo reali(ado que aborda el problema de transporte. La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturale(a o estructura )de * hacia)+ de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, futuro, de aquí hacia allá. En general, los problemas de transporte se ocupan en forma literal o imaginaría- de la distribución desde cualquier grupo de centros de suministro, llamados orígenes, a cualquier grupo de centros de recepción, llamados destinos de modo que se minimice el costo total de distribución. El problema del transporte o distribución es un problema de redes especial en programación programación lineal que se funda en la necesidad necesidad de llevar unidades unidades de un punto específico llamado fuente u rigen hacia otro punto específico llamado /estino. Los principales principales objetivos de un modelo modelo de transporte transporte son la satisfacción satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los destinos 0 claro está la minimi(ación de los costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas.
4.2 ALGORITMO DE TRANSPORTE 1nde 1ndepe pend ndie ient ntem ement ente e del del m2to m2todo do que que util utilic icem emos os para para resol resolver ver el model modelo o de transporte esquina noroeste, 3ogel o 4odi- la forma de trabajar con 2l es por medio de una tabla que contiene la información de orígenes, destinos, oferta, demanda 0 costos. 5 continuación damos el procedimiento para la construcción de esta tabla, la cual simplifica la solución del modelo de transporte+
. 3erificamos que la oferta total 6 demanda total. 7. 8onstruimos una tabla con s columnas 0 r renglones. El n9mero s es igual al n9mero de destinos más dos. : r es igual al n9mero de plantas más dos. ;. En la primera fila, a partir de la segunda columna, se colocan como etiquetas el nombre o n9mero de cada uno de los destinos. En la 9ltima columna se coloca la etiqueta oferta. ". En la primera columna a partir de la segunda fila, se colocan como etiquetas el nombre o n9mero de cada una de las plantas. En la 9ltima fila se coloca la etiqueta demanda. <. En las intersecciones de cada fila 0 columna se coloca el costo de transportar una unidad desde el origen asociado a esa fila, hasta el destino asociado con la columna. =. En la columna de oferta se coloca la oferta disponible en el origen asociado con cada una de las filas. >. En la fila fila de la dema demanda nda se escri escribe be la demand demanda a de cada cada dest destin ino, o, asociada con cada columna. 8on estos siete pasos se obtiene la tabla inicial del problema de transporte. /iferen /iferentes tes autore autores s utili( utili(an an diverso diversos s format formatos os de la tabla tabla inicia inicial? l? sin embargo embargo,, debido a la e@periencia e@periencia que se ha acumulado en la investigaci investigación ón de operaciones, operaciones, se propone utili(ar el formato de tabla inicial que se observará en los siguientes ejemplos 0 ejercicios. 5lgoritmo general . Ae constru0e la tabla inicial del modelo 0 se busca una solución inicial. 7. Ae verifica que la solución inicial sea óptima. Ai es así, se termina porque 0a se encontró la solución del modelo, si no, se continua. ;. Ae hacen los ajustes necesarios necesarios para hallar una mejor solución solución 0 se regresa al punto 7. E@isten diferentes m2todos que utili(an este algoritmo, entre ellos tenemos los siguientes+
42todo de la esquina noroeste.
42todo de 3ogel. 42todo 4odi.
4.3 MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE El m2todo de la esquina noroeste consta, de manera resumida, de los siguientes pasos+ . btener la tabla inicial del problema de transporte. 7. 5signar en la celda de la esquina noroeste de la tabla, celda ,-, tantas unidades de producto como sea posible. Ejemplo 7 >B Cnidad < D 4odelo de transporte ;. 5justar la oferta 0 demanda seg9n corresponda 0 cancelar las celdas restantes delalaocolumnaque0aestásatisfecha. ". &rasladarse &rasladarse hacia la celda de la derecha si se canceló la columnacolumna- o hacia la celda
deabajosis deabajosisecance ecancelóla lólafila- fila-0asig 0asignarta nartantasun ntasunidades idadescomose comosea a
posible.Aiesla 9ltima celda disponible termina, en otro caso, continuar en el paso tres. <. 1nterpretar la solución factible del modelo con el valor de las variables @ ij . =. 8alc 8alcul ular ar los los cost costos os marg margin inal ales es de las las celd celdas as no bási básica cas. s. Ai los los cost costos os marginales son cantidades positivas, la solución es óptima 0 el proceso termina. Ai los costos marginales son cantidades negativas, se requiere formar otra tabla. Ejemplo+ Ejemplo+ Cna empresa empresa dedicada dedicada a la importación 0 distribución distribución de computadoras computadoras cuenta con socios en 1nglaterra 0 5lemania como países proveedores, 0 tres puntos de distribución,identicados comoFegión ,Fegión 7 0Fegión ;.Por su parte, 1nglaterra tiene disponibles >7BB computadoras, mientras que en 5lemania 5lemania la e@istencia e@istencia alcan(a las <;BB. Ae sabe que la Fegión requiere de <
. btener la tabla inicial del problema de transporte.
7. 8olocar en la celda de la esquina noroeste de la tabla, celda ,-, tantas unidades de producto como sea posible.
Para reali(ar la asignación se compara el valor de la demanda 0 la oferta que corresponde a la celda 0 se coloca en má@imo valor posible entre la oferta 0 la demanda, es decir, el menor valor de los dos comparados. ;. 5just 5justar ar
la
ofert oferta a
0
dema demand ndas aseg eg9n 9nco corre rresp spon onda da0 0can cance cela lar rla la
lao
columna que 0a está satisfecha.
En este caso, se canceló la primera columna, 0 la nueva oferta ajustada de 1nglaterra es de >BB, lo cual se indica en la celda correspondiente.
". &rasladarse hacia la celda de la derecha si se canceló la columna- o hacia la celdadeabajosisecancelólala-0asignartantasunidadescomosea posible. Ai es la 9ltima celda disponible termina, en otro caso, continuar en el paso tres.
8omo se canceló la primera columna, se avan(a hacia la derecha en la primera fila0seasignan>BBunidades.Aeajustalaoferta0lademanda. /ebido a que 2sta no es la 9ltima celda disponible, continuamos.
bservamos que es necesario continuar con el algoritmo, entonces+
En la 9ltima tabla obtenida, 0a no ha0 celdas disponibles, 0a que cada celda o bien tiene cierta cantidad de unidades asignadas o fue cancelada. Las celdas con unidades asignadas se conocen como celdas básicas 0 a las celdas canceladas se les llama celdas no básicas. <. 1nterpretar la solución factible del modelo con el valor de las variables @ ij. Para interpretar la solución del modelo se recupera el valor de cada variable @ ij, las cuales corresponden a las celdas básicas 8i, j-.
Para este problema problema las celdas básicas con sus respectivas respectivas variables de decisión, decisión, son+ 8,- con @ 6 <BB 87,7- con @77 6 GBB 87,;- con @7; 6 ;BB >-I GBB -I ;BB computadoras desde 1nglaterra a la Fegión 0 Fegión 7, respectivamente. /esde 5lemania, GBB 0 ;
4.4 MÉTODO DE COSTO MÁXIMO 4.5 MÉTODO DE COSTO MNIMO El m2todo del costo mínimo o de los mínimos costos es un algoritmo desarrollado con el objeti objetivo vo de resolve resolverr proble problemas mas de transpo transporte rte o distri distribuc bución ión,, arroja arrojando ndo mejores resultados que m2todos como el de la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores dado que se trata simplemente de la asignación de la ma0or cantidad de unidades posibles sujeta a las restricciones de oferta 0Ko demanda- a la celda menos costosa de toda la matri( hasta finali(ar el m2todo. 5lgoritmo del costo mínimo+
P5A + /e la matri( se elige la ruta celda- menos costosa en caso de un empate, este se rompe arbitrariamente- 0 se le asigna la ma0or cantidad de unidades posible, cantidad que se ve restringida 0a sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta 0 demanda de la fila 0 columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda. P5A 7+ En este paso se procede a eliminar la fila o destino cu0a oferta o dema demand nda a sea B despu espu2s 2s del )Pas )Paso o ), ), si dado dado el caso aso amba ambas s son son cero cero arbitrariamente se elige cual eliminar 0 la restante se deja con demanda u oferta cero B- seg9n sea el caso. P5A ;+ Cna ve( en este paso e@isten dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el m2todo, )detenerse). La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar iniciar nuevamente el )Paso ).
4.! MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE "OGEL El m2todo de apro@imación de 3ogel o simplemete 42todo de 3ogel, tiene la siguiente estructura+ . btener la tabla inicial del problema de transporte. 7.5ne@aralatablainicialunafila0unacolumnaconlaetiquetaPenalidad en i en
ambas.
;. 8alcularlap 8alcularlapenalid enalidadpara adpara todafila0 todafila0colum columnacol nacolocando ocandoestev estevaloren aloren la columna0filaane@adas. a- La penalidad es el valor absoluto de la diferencia de los dos costos menores porcadala0cadacolumna. ". Aeleccionar la penalidad ma0or de todas las calculadas 0 ubicar la celda con el menorcostod menorcostodelaf elafilao ilaocolumn columnadel adelapena apenalidad lidadselecci seleccionada onadalos los
empates empates
entre penalidades de ma0or valor se rompen arbitrariamente-. En la celda de menor costo ubicada, asignar tantas unidades como sea posible 0 ajustar la oferta 0 demanda correspondientes.
<.
8ancelarlaf 8ancelarlafilaoc ilaocolumna olumnaquese queseha0as ha0asatisf atisfecho. echo.Aisól Aisóloqueda oquedauna una
filao columna sin asignación, distribuir las cantidades restantes de la oferta en las celdas disponibles. En caso contrario, volver al paso ;. =. &oda ve( concluida la asignación de todas las unidades disponibles, calcular el costo del modelo de transporte e interpretar la solución. >. 8alcular los costos marginales de las celdas no básicas. Ai se tienen costos marginales ma0ores o iguales a cero, la solución es óptima. En otro caso, se requiere ajustar la asignación con otra tabla.
4.# EL MÉTODO $%NGARO Los problemas de asignación inclu0en aplicaciones tales como asignar personas a tareas. 5unque sus aplicaciones parecen diferir de las del problema del transporte, constitu0e un caso particular. p articular. Los problemas de transporte 0 asignación son casos particulares de un grupo más grande de problemas, llamados problemas de flujo en redes. Auposiciones de un problema de asignación+ . El n9mero de asignados es igual al n9mero de tareas se denota por n-. esto puede variar-. 7. 8ada asignado se asigna e@actamente a una tarea. ;. 8ada tarea debe reali(arla e@actamente un asignado. ". E@iste un costo cij asociado con el asignado i i6,7,,n-. <. El objetivo es determinar cómo deben hacerse las asignaciones para minimi(ar los costos totales. Pasos para resolver un problema de 5signación por el m2todo H9ngaro. . 5 todo todos s los los elem elemen ento tos s de cada cada colum columna na resta restarr el meno menorr elem element ento o de la columna. En la matri( resultante, restar a todos los elementos de cada fila el menor elemento de la fila. 5sí se garanti(a la obtención de por lo menos un cero en cada fila 0 columna. 7. 8on la matri( resultante, verificar la e@istencia de una solución óptima. Para encontrarla se debe asignar un cero a cada fila comen(ando por las que tengan menor MN de ceros-, 0 cancelar los demás ceros de esa fila 0 los ceros de la
columna en la que se encuentra ese cero. Fepetir esta operación hasta que no queden ceros sin asignar o cancelar. Ai no e@iste solución óptima ir al paso ;. ;. Feali(ar lo siguiente+ a- 4arcar con un O todas la filas que no contengan ceros asignados. b- 4arcar todas las columnas que contengan uno o más ceros cancelados en alguna fila marcada. c- 4arcar toda fila que tenga un cero asignado en una columna marcada. d- Fepetir b- 0 c- hasta que no sea posible marcar más filas o columnas. e- Poner un tra(o línea- sobre toda fila no marcada 0 sobre toda columna marcada. ". &omar &omar el menor n9mero no atravesado por un tra(o línea- 0+ Festarlo a todos los elementos de las filas no atravesadas. Aumarlo a todos los elementos de columnas atravesadas. 3olver al paso 7. P
4.& USO DE SOFT'ARE SOFT'ARE ('IN) QSB) TORA)DS FOR 'INDO'S) LINGO*
