PRODUCTOS LACTEOS Una empresa dedicada a la fabricación de productos lácteos produce 2 tipos de yogurt a partir productos se puede emplear 2 calidades de leche. Los requerimientos por litro de producto pa en el siguiente cuadro:
Leche tipo 1 Leche tipo 2
Para la tecnología A Yogurt 1 Yogurt 2 1,5 lts. 1,8 lts. 1,9 lts. 1,6 lts.
Para la te Yogurt 1 1,6 lts. 1,45 lts.
Se cuenta con 5000 lts. de leche tipo 1 y 3000 lts. de leche tipo 2. Se debe producir por lo me Cada litro de leche tipo 1 cuesta S/, 0,45 y del tipo 2 cuesta S/. 0,25. Los precios de venta de respectivamente. SOLU SOLUCI CI N Sea
Xij
Número de litros de yogurt j (j = 1,2) hecho con la tecnología tipo
Para la tecnología A Para la te Yogurt 1 Yogurt 2 Yogurt 1 Cantidad producida (lts.) X 11 X 21 X 12 Cantidad de Leche tipo 1 1,5X11 1,8X21 1,6X12 leche (lts.) Leche tipo 2 1,9X11 1,6X21 1,45X12 Venta (S/,/lts.) 10.5 9.5 10.5 Venta Total 10,5X11 9,5X21 10,5X12 Lo que buscamos es maximizar los ingresos de la empresa. Max 10,5*(X11+X12) 10,5*(X11+X12)+9,5*(X2 +9,5*(X21+X22) 1+X22)-0,45*(1, -0,45*(1,5X11+1 5X11+1,8X21+ ,8X21+1,6X12+ 1,6X12+1,5X22 1,5X22)-0,25*(1 )-0,25*(1 ordenando Max (10,5 -0,45*1,5-0,25*1,9) -0,45*1,5-0,25*1,9)X11+( X11+(9,5-0,45 9,5-0,45*1,8-0,25*1, *1,8-0,25*1,6)X21+ 6)X21+(10,5-0 (10,5-0,45*1,6-0,2 ,45*1,6-0,25*1 5*1 reduciendo la expresión Max 9.35 X11 + 8.29 X21 + 9.4175 Max 9,35X11+8,29X21+9,4175X12+8,4X22 sujeto a 1,5X11+1,8X21+1,6X12+1,5X22 <= 5000 1,9X11+1,6X21+1,45X12+1,7X22 <= 3000 X11+X12 >= 200 X21+X22 >= 500 Xij >= 0
de 2 tecnologías A y B. Para cada uno de los ra cada insumo bajo cada tecnología se señalan nología B Yogurt 2 1,5 lts. 1,7 lts. os 200 lts. de yogurt 1 y 500 lts. de yogurt 2, ada litro de yogurt 1 y 2 son S/, 10,5 y S/, 9,5
i (i =1(A),2(B)) nología B Yogurt 2 X22 1,5X22 1,7X22
Cost Co sto o (S/ (S/,/ ,/lt lts. s.)) 0.4 .45 5 0.25 9.5
9,5X22
Proy 1 Tasa de ganancia (%) Inversión máxima (millones
8 16
Si usted trabaja en el departamento de 1.5 0.675 1.8 0.81 SOLUC SOLUCII N 1.6 0.72 1.5 0.675 Sea Xij = Cantidad 1.9 0.475 1.6 0.4 1.45 0.3625 Proy 1 1.7 0.425 Cantidad de dinero X11 Cost Co sto o Tot Total al Rentabilidad Futura 1,08X11 0,4 ,45 5*( *(1, 1,5 5X11+1,8 ,8X X21+1, 1,6 6X12+1,5 ,5X X22) 0,25*(1,9X11+1,6X21+1,45 Max 1,08X11+1,06X12+1,07 sujeto a X11+X12+X13 >= 8 X21+X22+X23 >= 10 X31+X32+X33 >= 15
,9X11+1,6X21+1,45X12+1,7X22) ,45)X12+(9,5-0,45*1,5-0,25*1,7)X22 X12 +
SUCURSALES HUARALINO La compañía HUARALINO dispone de compromisos de la estabilidad, del niv mínimo de fondos para cada sucursal. Cada sucursal tiene la oportunidad de de ganancia con un porcentaje de inve Por otra parte algunos proyectos permi
8.4 X22
X11 <= 16 X12 <= 5 X13 <= 9 X21 <= 7 X22 <= 10 X23 <= 4 X31 <= 6 X32 <= 12 X33 <= 6 Σxij = 35
Xij >= 0 a. ¿Cuántos millones de más invierte l b. ¿Cuánto se recomienda invertir en t c. Señale los proyectos que no utilizan d. ¿Cuánto es la ganancia que obtiene e. ¿Cuál es el valor mínimo en que deb invertir en él? f. Si tuviera que incrementar la inversió cantidad es admisible de tal forma que g. ¿Es correcto incrementar la inversió solución factible óptima actual? h. Si se destinan 2 millones del total di
i. ¿Qué le ocurre a la ganancia total si o no la solución factible?
35 millones de dólares para distribuirlos el próximo año entre sus tres sucursales. Debido a los l de empleados y por otras razones de índole económica, la compañía ha establecido un nivel Estos fondos mínimos son de 8, 10 y 15 millones de dólares respectivamente. irigir distintos proyectos con los fondos que recibe. Para cada proyecto se ha establecido una tasa rsión. ten sol una inversión limitada en millones de dólares como se observa en la siguiente tabla: Sucursal 1 Proy 2 Proy 3 6 7 5 9
Proy 1
Sucursal 2 Sucursal 3 Proy 2 Proy 3 Proy 1 Proy 2 Proy 3 5 8 9 10 6 15 7 10 4 6 12 6
operaciones, obtenga un modelo de PL
e dinero (en millones de dólares) que la sucursal i (i = 1,2,3) invierte en el proyecto j (j = 1,2,3). Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Proy 2 Proy 3 Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 1 Proy 2 Proy 3 X12 X13 X21 X22 X23 X31 X32 X33 1,06X12 1,07X13 1,05X21 1,08X22 1,09X23 1,1X31 1,06X32 1,15X33 13+1,05X21+1,08X22+1,09X23+1,1X31+1,06X32+1,15X33
sucursal 1? tal en el segundo proyecto para todas las sucursales? sus proyectos a un 100% la sucursal 2? e de aumentarse la tasa de ganancia del proyecto 1 en la sucursal 2 para que pueda n de alguno de los proyects de las sucursales, ¿Por cuál se decidiría?, ¿Hasta qué la solución factible no varíe? limitada de la sucursal 2 en el proyecto 3 en un 50% y seguir manteniendo la ponible para tras actividadades, ¿en cuánto disminuye la ganancia total?
l recurso máximo asignado por la sucursal 2 al proyecto 2 disminuye en $3? ¿Varía
COMERCIANTE DE MAIZ Un comerciante se dedica a la compra y venta de maiz. El 1 de enero tiene 50 tonelada maiz el primer día de cada mes y le llega en el transcurso de la primera quincena del m quincena del mes. En el siguiente cuadro se muestran los precios de compra y venta po Mes Enero Febrero Marzo Abril
Precio de Compra ($) Precio de Venta ($) 300 250 350 400 400 350 450 550
Las compras y las ventas se hacen al contado, el comerciante dispone de una bodega Se desea determinar ¿cómo este comerciante lograría la mayor cantidad de efectivo al SOLUCIÓN Definimos las variables Ci = Vi = Ii = Ki =
Cantidad de toneladas compradas en el mes i Cantidad de toneladas vendidas en el mes i Cantidad de toneladas en inventario en el mes i Cantidad de efectivo al final del mes i
donde i =
1 si Diciembre 2 si Enero 3 si Febrero 4 si Marzo 5 si Abril MAX X5 sa
Respecto al inventario I0=NN I1=I0+C1-V1 I2=I1+C2-V2 I3=I2+C3-V3 I4=I3+C4-V4
I0+C1-V1-I1=0 I1+C2-V2-I2=0 I2+C3-V3-I3=0 I3+C4-V4-I4=0
Respecto al efectivo K0=NN K1=K0-300C1+250V1 K2=K1-350C2+400V2 K3=K2-400C3+350V3 K4=K3-450C4-550V4
K0-300C1+250V1-K1=0 K1-350C2+400V2-K2=0 K2-400C3+350V3-K3=0 K3-450C4-550V4-K4=0
Respecto a la capacidad del almacen C1+I0<=100 C2+I1<=100 C3+I2<=100 C4+I3<=100 Como las compras son al contado, entonces el comerciante debe tener efectivo mayor Respecto al presupuesto 300C1<=K0 350C2<=K1 400C3<=K2
450C4<=K3
s de maiz y $1000 de capital. l compra el s. El maiz se vende durante la segunda r tonelada:
ROLLOS DE PAPEL ATLAS S.A. Atlas S.A. produce rollos de papel con un a los clientes con diferentes anchos, se produ variar día a día) se resume en la siguiente t Pedido 1 2 3
on capacidad máxima de 100 toneladas. inal del mes de abril?
Obtener las combinaciones de cortes que n (restricciones) con el área mínima de desp desperdicio de más de cinco pies de ancho. SOLUCIÓN 20 pies
5
5
5
5
5
7
5
5
5
7
7
9 9
Sea
Xi =
Ancho deseado 5 7 9 Desperdicios
Cantidad de r X1 4 0 0 0
X2 2 1 0 3
Área total: 20X1+20X2+20X3+20X4+20 Área utilizada: 150*5+200*7+300*9 = Área desperdiciada Min 20*(X1+X2+X3+X4+X5+X6) sujeto a 4X1+2X2+2X3+X4 >= 150 X2+2X4+X5 >= 200 X3+X5+2X6 >= 300 costo de compras
cho estándar de 20 pies para cada uno. Los pedidos especiales de cen recortando los rollos estándar. Los pedidos típicos (que pueden bla: Ancho deseado (pies) 5 7 9
Número deseado de rollos 150 200 300
EMBUTIDOS P La fábrica de e cuenta con 80 (en miles de kil Tipo de jamón INGL S AHUMADO
s de la solución óptima que satisfaga los pedidos requeridos erdicio en el corte, si la política de producción no permite un
Cada obrero ex cuales los obre hora para prod La semana del dos semanas a Se desea deter SOLUCI N
Forma de corte 1
5
2
3 9 7
1
3
1
4 5
4 9
2
6
llos estándar que se cortan de la forma i Forma de corte X3 X4 2 1 0 2 1 0 1 1 X5+20X6 4850 -4850
X5 0 1 1 4
X6 0 0 2 2
TOTAL (unidades) 150 200 300
ORCEL butidos PORCEL produce dos tipos de embutidos, jamón inglés y jamón ahumado. La empresa trabajadores experimentados y desea aumentar su personal para satisfacer la creciente demanda s) en las próximas semanas: 1 15 10
2 15 10
3 16 13
4 16 14
5 18 15
6 18 15
7 20 16
8 24 18
perimentado puede entrenar a tres nuevos obreros en un periodo de dos semanas, durante los ros involucrados nada producen. Se necesita una hora para producir 10 kilos de jamón inglés y una cir 6 kilos de jamón ahumado. trabajo es de 40 horas. La producción o parte de ella puede ser guardada sin alterar su calidad por lo más. Suponga que un obrero en entrenamiento recibe el 75% del salario de un obrero minar el plan óptimo de contratación de nuevos empleados de modo que se minimicen los costos.
PRODUCCION CON TIEMPO EXTRA Una empresa tiene un programa estricto de producir. La producción se realiza en tie extra. Los costos en cada horario, los de inventario y demanda se muestran en la sig Capacidad a entregar (unidades) Costo en tiempo normal ($/unidad) Costo en tiempo extra ($/unidad) Costo de inventario ($/mes)
ENERO 95 30 35 2
FEBRERO 85 32 36 2
MARZO 110 34 37 3
El inventario al inicio de enero no existe. Las capacidades de producción son de 90 u de 15 en tiempo extra. Se requiere un inventario final de 2 unidades al terminar el per Formular un modelo en PL que ayude al gerente a planear su producción en forma óp restricciones esbozadas. SOLUCI N Consideremos Enero=1, Febrero=2, Marzo=3, Abril=4 Sea
Xi = Ei = Ii =
número de unidades producidas en tiempo normal en el número de unidades producidas en tiempo extra en el m número de unidades almacenadas al final del mes i (i = 1
Unidades producidas en tiempo normal Costo en tiempo normal ($/unidad) Costo Total Unidades producidas en tiempo extra Costo en tiempo extra ($/unidad) Costo Total Unidades almacenadas al final del mes Costo de inventario ($/mes) Costo Total Capacidad a entregar (unidades) Min sujeto a
ENERO X1 30 30X1 E1 35 35E1 I1 2 2I1 95
FEBRERO X2 32 32X2 E2 36 36E2 I2 2 2I2 85
MARZO X3 34 34X3 E3 37 37E3 I3 3 3I3 110
30X1+32X2+34X3+37X4+35E1+36E2+37E3+39E4+2I1+2I2+3I3+3I4 X1+E1+I1 = 95 X2+E2+I2 = 85 X3+E3+I3 = 110 X4+E4+I4 = 115 I0 = 0 I4 = 2 X1<=90 E1 <= 15 Xi, Ei Ii >= 0
X2 <= 90 E2 <= 15
X3 <= 90 E3 <= 15
X4 <= 90 E4 <= 15
po normal y en tiempo iente tabla:
CAMPA A PUBLICITARIA FRANCIS CO. Una agencia de publicidad ha sido encargada de diseñar empresa ha entregado a la agencia un monto de S/. 300 campañas, estas son:
ABRIL 115 37 39 3 nidades en tiempo normal y iodo. tima de acuerdo a las
* * * * Medios de publicidad TV diurna TV nocturna Diario Dominical Radio
Se debe emplear al menos 10 anuncios tel Se debe entregar al menos a 50000 famili No debe de invertirse más de 18000 en an La agencia tiene la siguiente información d Nº de familias que se alcanzan por anuncio 1000 2000 1500 2500 300
Costo por anuncio (S/.) 1500 3000 400 1000 100
El índice de exposición es una medida del valor relativo esbozar el modelo de PL que maximice el índice de expo es i (i = 1,2,3,4) s i (i = 1,2,3,4) ,2,3,4) ABRIL X4 37 37X4 E4 39 39E4 I4 3 3I4
SOLUCI N Definimos las variables X1 = Nº de anuncios por TV diurna X2 = Nº de anuncios por TV nocturna X3 = Nº de anuncios por Diario X4 = Nº de anuncios por Dominical X5 = Nº de anuncios por Radio Piden maximizar el índice de exposición por anuncio Max 65X1+90X2+40X3+60X4+20X5 Restricción presupuestaria 1500X1+3000X2+400X3+1000X4+100X5<=30000
115 Información disponible X1+X2>=10 1000X1+2000X2+1500X3+2500X4+300X5>=50000 1500X1+3000X2<=18000 Restricción recursos X1<=15 X2<=10 X3<=25 X4<=4 X5<=30
TELARES TEXOK La empresa TEXOK fabrica cin día y está programada para 30 como los precios de venta y los
la campaña publicitaria de FRANCIS CO. Para ello la 0 y ha indicado algunas especificaciones respecto a las levisivos. s potenciales compradoras. uncios televisivos. e los medios de publicidad disponibles: Nº de anuncios 15 10 25 4 30
Demanda (yardas) 16500 22000 62000 7500 62000
Tela 1 2 3 4 5
Indice de exposición por anuncio 65 90 40 60 20
(*) Las telas 1 y 2 se pueden fa
En la empresa existen dos tipo para cada tipo de máquina. Exi El tiempo que requieren hacer l necesario tomarlo en considera
e un anuncio en un medio de publicidad. Se pide sición total.
TEXOK satisface la demanda c se pueden tejer debido a limitac Formule el problema como un SOLUCI N Ri = Di = Zi =
Nº de yardas de t Nº de yardas de t Nº de yardas de t
Lo que buscamos es maximizar Max (1,10-0,49)*R3+ (1,24-0,51)*R4+ (0,70-0,50)*R5+ Simplificando Max 0,33D1+0,19Z1+ Restricción de tiempo 4.63 5.23 4.17
Respecto a los te 0.216 D1/4,63 + 0.191 0,216D1+0,216D 0.240 Respecto a los te R3/5,23 + 0,191R3+0,191R Restricción de demanda D1+Z1=16500 D2+Z2=22000 R3+D3+Z3=62000
R4+D4+Z4=7500 R5+D5+Z5=62000
o telares diferentes en máquinas industriales denominados telares. La fábrica opera 24 horas al días en el siguiente mes. En el siuiente cuadro se muestra la demanda para el siguiente mes, así costos por cada yarda de tela: Precio venta ($/yarda) 0.99 0.86 1.10 1.24 0.70
Costo producción Tasa Dobbie Tasa Regular Precio Compra ($/yarda) (yarda/hora) (yarda/hora) ($/yarda) 0.66 4.63 * 0.80 0.55 4.63 * 0.70 0.49 5.23 5.23 0.60 0.51 5.23 5.23 0.70 0.50 4.17 4.17 0.70
0.33 0.31 0.61 0.73 0.2
ricar solamente en el telar tipo Dobbie
de telares Dobbie y Regular, en la tabla anterior también se muestran las tasas de producción ten en total 38 telares; de los cuales ocho son Dobbie. s cambios necesarios para pasar de fabricar una tela a producir otra es despreciable, y no es ción. on la producción propia y con telas que adquiere de otros proveedores, es decir, las telas que no iones de capacidades de los telares se adquieren de otras fábricas. odelo de PL, adecuado a los requerimientos
ela tipo i producidas en telar regular ela tipo i producidas en telar dobbie ela tipo i adquiridas de otra fábrica los beneficios obtenidos por la venta de telas (0,99-0,66)*D1+ (0,86-0,55)*D2+ (1,10-0,49)*D3+ (1,24-0,51)*D4+ (0,70-0,50)*D5
(0,99-0,80)*Z1+ (0,99-0,70)*Z2+ (1,10-0,60)*Z3+ (1,24-0,70)*Z4+
,31D2+0,16Z2+0,61R3+0,61D3+0,50Z3+0,73R4+0,73D4+0,54Z4+0,20R5+0,20D5
lares Dobbie D2/4,63 + D3/5,23 + D4/5,23 + +0,191D3+0,191D4+0,240D5<=5760 lares Regular R4/5,23 + R5/4,17 <= +0,240R5<=21600
30*24*30
D5/4,17 <=
21600
8*24*30
5760
CORRIDAS DE PRODUCCI N BETA CO. Tres divisiones de Beta Co. fabrican un producto en el que cada unidad completa con A y tres unidades del cmponente B. Lo dos componentes (A y B) se fabrican a partir d 100 unidades de materia prima I y 200 unidade de la materia prima II disponibles. Cad método diferente para fabricar los componentes. dando como resultado distintos requ La tabla muestra los requerimientos de materia prima por corrida de producción en ca componente producida por esa corrida. 0.19 0.16 0.50 0.54 0.00
DIVISION 1 2 3
ENTRADA / CORRIDA (unidades) MATERIA PRIMA I II 8 6 5 9 3 8
SALIDA / CORRIDA (unidades) COMPONENTE A B 7 5 6 9 8 4
Por ejemplo, cada corrida de producción de la división 1 requiere 8 unidades de la ma prima II. El producto de esta corrida es 7 unidades de A y 5 unidades de B. Como ger PL para determinar el número de corridas de producción para cada división que maxi terminadas del producto final. SOLUCI N Variables X1 = X2 = X3 =
Número de corridas en la primera división Número de corridas en la segunda división Número de corridas en la tercera división
Restricción de materia prima 8X1+5X2+3X3<=100 TIPO I 6X1+9X2+8X3<=200 TIPO II Para determinar la función objetivo, debemos conocer la cantidad de componentes qu Componente A Componente B División Salida total Salida total 1 7X1 5X1 2 6X2 9X2 3 8X3 4X3 Además, para obtener el producto final: Componente A División Usadas No usadas 1 4X1 3X1 2 4X2 2X2 3 4X3 4X3 Componente total de A a usar Componente total de B a usar Entonces
Componente B Usadas No usadas 3X1 2X1 3X2 6X2 3X3 1X3
4X1+4X2+4X3 3X1+3X2+3X3
Max 7X1+7X2+7X3
Lo que no se usa quedará en una proporción de 4 a 3 3X1+2X2+4X3 = 2X1+6X2+X3
4 3
siste en cuatro unidades del componente e dos materias primas diferentes. Existen a una de las tres divisiones usa un rimientos de materia prima y productos. da división y el número de cada
RIESOS EN CARTERA DE INVERSI N Al gerente de cartera de ALFA Pension IN departamento de investigación de inversio riesgos asociados, como se resume a cont
Precio ($/acción) Devolución esperada (%) Categoría de riesgo
1 45 30 Alto
Una forma de controlar el riesgo es limitar administración de Alfa Pension ha especifi i) La cantidad total invertida e ii) La cantidad total invertida e iii) La cantidad total invertida e teria prima I y 6 unidades de la materia nte de producción, formule un modelo de ice el número total de unidades
Una segunda forma de controlar el riesgo alternativas diferentes. La gerencia de Alfa 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 respe 5 debe ser 1:2. Con estas pautas, ¿qué cartera debería us de retorno? SOLUCI N Xj = Nº de acciones del fondo j q donde j = 1 si fondo 1 2 si fondo 2 3 si fondo 3 4 si fondo 4 5 si fondo 5 6 si fondo 6
e se obtiene por el total de corridas
Nuestra función objetivo es maximizar el r Fondo Precio Tasa retorno
1 45 30% 45*0.3 13.5
Max 45*0,3*X1+76*0,2*X2+110* Max 13,5X1+15,2X2+16,5+X3+2 s,a, Restricción presupuestaria 45X1+76X2+110X3+17X4+23X5+22X6=1' De la primera forma de controlar el riesgo 45X1+76X2+110X3>=500,0 Alto 45X1+76X2+110X3<=750,0 17X4+23X5>=200,000.00 Mediano 17X4+23X5<=300,000.00 Bajo 22X6>=50,000.00
De la segunda forma de controlar el riesgo Alto 45X1/1 = 76X2/2 = 110X3/3 Obtenemos 90X1-76X2=0 135X1-110X3 228X2-220X3 Mediano 17X4/1=23X5/2 Obtenemos 34X4-23X5=0
LFA PENSION INC. . se le ha pedido invertir $ 1 millón de un gran fondo de pensiones. El nes variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y inuación en la siguiente tabla: FONDO 2 76 20 Alto
3 110 15 Alto
4 17 12 Mediano
5 23 10 Mediano
6 22 7 Bajo
la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para ese fin, la cado las siguientes pautas: fondos de alto riesgo debe estar entre 50% y 75% de la cartera. fondos de mediano riesgo debe estar entre 20% y 30% de la cartera. fondos de bajo riesgo debe ser al menos 5% de la cartera. s diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas , ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo tivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y
INVERSIONES A La Corporación A disponible 2 millon previas. En la sigu PERIODO: INGRESO: i) En la siguient (los números 100% PERIODO: INGRESO: ii) Un segundo p condición de proyecto, a ni PERIODO: INGRESO:
ted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la tasa esperada Debido a la polític meses todos los fo con un interés de que el 100%, en c opta por participar de la tabla de la p
ue comprar
El problema que a cuánto debe coloc efectivo que habrá torno de la inversión = la tasa de retorno j * la cantidad invertida en el fondo j 2 76 20% 76*0.2 15.2
3 110 15% 110*0.15 16.5
4 17 12% 17*0.12 2.04
5 23 10% 23*0.1 2.3
6 22 7% 22*0.07 1.54
SOLUCI N Variables β = partipación en α = partipación en α , β Є [0;1]
Xi = fondo excede donde i =
,15*X3+17*0,12*X4+23*0,1*X5+22*0,07*X6 04X4+2,3X5+1,54X6 Todo el dinero dis 000,000,00 0.00 0.00
Proyecto BETA Exc. BETA VIVIENDA Exc. VIV. Inv. Previas Excedente
Return Exc Respecto al e 0 0
X1 X2 X3 X4
(1-β)(-100,000 (1-β)(-700,000 (1-β)(1'800,00 (1-β)(400,000)
Respecto al b Periodo inicial Periodo 6 me Periodo 12 m Periodo 18 m Final 2 años Max
FA ENTRE PROYECTO BETA O PROYECTO DE VIVIENDA FA está tratando de integrar su plan de inversiones para los próximos dos años. Actualmente, AL es de dólares para invertir. ALFA espera recibir en 6, 12 y 18 meses un flujo de ingresos de las in iente tabla se presentan los datos: 6 MESES $ 500,000
12 MESES $ 400,000
18 MESES $ 380,000
e tabla se muestra el flujo de caja que tendría si ALFA participara a un nivel del 100% en el proye negativos son inversiones y los positivos son ingresos). Así, para participar en el proyecto BETA , ALFA tendría que desembolsar de inmediato $ 100,000. A los 6 meses erogaría otros $ 700,000 INICIAL $ -100,000
6 MESES $ -700,000
12 MESES $ 1'800,000
18 MESES $ 400,000
24 MESES $ 600,000
royecto consiste en hacerse cargo de la operación de una antiguo proyecto de vivienda media, co ue deben hacerse ciertas reparaciones iniciales. En la siguiente tabla se muestran el flujo de caja el del 100% de participación: INICIAL $ -800,000
6 MESES $ 500,000
12 MESES $ -200,000
18 MESES $ -700,000
24 MESES $ 2'000,000
de Cía., a ALFA no se le permite pedir prestado dinero. Sin embargo, al comienzo de cada perio ndos excedentes (esto es, los que no sean colocados en BETA o en los proyectos de Vivienda), % para este periodo de 6 meses. ALFA puede participar en cualquiera de los dos proyectos a niv yo caso todos los flujos de efectivo de ese proyecto se reducirán en forma proporcional. Por eje en el proyecto BETA, a un nivel del 30%, el flujo de caja asociado con esta decisión sería 0,3 vec rte i). ctualmente encara ALFA es decidir qué parte de los $ 2'000,000 en efectivo debe invertir en cada arse simplemente en el rédito del 7% semestral. La meta del gerente de ALFA consiste en maximi al final de los 24 meses. Formule este problema mediante un modelo de PL.
el proyecto BETA. el proyecto VIVIENDA MEDIA te en el periodo i 1 si Inicial 2 si 6 meses 3 si 12 meses 4 si 18 meses Egreso Ingreso
onible será igual al dinero invertido. INICIAL
6 MESES
12 MESES
18 MESES
24 MESES
β(-100,000) (1-β)(-100,000) α(-800,000) (1-α)(-800,000)
β(-700,000) (1-β)(-700,000) α(500,000) (1-α)(500,000)
β(1'800,000) (1-β)(1'800,000) α(-200,000) (1-α)(-200,000)
β(400,000) (1-β)(400,000) α(-700,000) (1-α)(-700,000)
β(600,000) (1-β)(600,000) α(2'000,000) (1-α)(2'000,000)
(-X1)
500.000 (-X2)
400.000 (-X3)
380.000 (-X4)
1,07X1
1,07X2
1,07X3
1,07X4
xcedente )+(1-α)(-800,000)=X1 )+(1-α)(500,000)=X2 0)+(1-α)(-200,000)=X3 +(1-α)(-700,000)=X4
β*100,000+α*800,000-X1=900,000 β*700,000-α*500,000-X2=200,000 β*1'800,000+α*200,000-X3=-1'600,000 β*400,000+α*700,000-X4=300,00
alance, las inversiones se igualan a los ingresos 2'000,000 = β*100,000 + α*800,000 + X1 2'000,000 - β*100,000 - α*800,000 - X1 = 0
es α*500,000 + 500,000 + 1,07X1 = β*700,000 + X2 α*500,000 + 500,000 + 1,07X1 - β*700,000 - X2 = 0
ses β*1'800,000 + 400,000 + 1,07X2 = α*200,000 + X3 β*1'800,000 + 400,000 + 1,07X2 - α*200,000 - X3 = 0
ses β*400,000 + 380,000 + 1,07X3 = α*700,000 + X4 β*400,000 + 380,000 + 1,07X3 - α*700,000 - X4 = 0 β*600,000 + α*2'000,000 + 1,07X4
FA tiene versiones
cto de BETA a niveles del , etc.
n la del
TURBOSINA DE AERONAVES AEROCONTINENTE AEROCONTINENTE reabastece sus aeronaves regularmente en los turbosina puede comprarse a tres vendedores posibles en cada aero de entrega (compra más embarque) por mil galones de cada vended disponible de miles de galones que cada vendedor puede suministra turbosina (en miles de galones) en cada aeropuerto. Costo de Entrega Cantidad de Aeropuerto Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3 requ 1 900 800 900 1 2 900 1200 1300 2 3 800 1300 500 3 4 1000 1400 1000 4 Provisión Max. 300 600 700 Formule un modelo para determinar las cantiidades que se deben co vendedor a cada aeropuerto para minimizar el costo total, satisfacien demanda mensual a cada aeropuerto y no excediendo el suministro SOLUCI N
do de 6 e invierten el de menor plo, si ALFA es los datos
proyecto y izar el
Xij = Cantidad de turbosina en miles de galones comprada donde i, j = 1 2 3 4 Max 900X11+800X21+900X31+900X12+1200X22+1300X +1400X24+1000X34 sa X11+X12+X13+X14<=300 X21+X22+X23+X24<=600 X31+X32+X33+X34<=700 X11+X21+X31>=150 X12+X22+X32>=250 X13+X32+X33>=350 X14+X24+X34>=480
4 aeropuertos en donde da servicio. La puerto. La siguiente tabla indica el costo or a cada aeropuerto; el número r cada mes y el requerimiento mensual de Combustible rida 0 0 0 0 mprar y enviar por parte de cada do al mismo tiempo por lo menos la de cualquier vendedor.
CONFERENCIAS REGIONAL DE VENTAS La Cía Gamma dirige sus gastos de venta e actividad que es efectiva es la Conferencia cuales estas conferencias toman lugar sem puede ser un día completo de mediodía. Exi uno de estos tipos de conferencias. Los tipo listan a continuación: Conferencia de Ventas Mensual I Todo el día Semanal II Todo el día Semanal I Mediodía Semanal III Todo el día Mensual IV Todo el día Mensual IV Mediodía Semanal V Todo el día Semanal VI Todo el día Semanal VI Mediodía
Costo ($) 120 130 80 60 100 60 200 600 350
Además de estas actividades, un comercial anuncio en un grupo de periódicos locales c al vendedor i y enviada al aeropuerto j Finalmente, el tener abierta una oficina de c
32+800X13+1300X23+500X33+1000X14
A la Cía. le gustaría maximizar sus ventas restricciones. El plan fue cubrir un periodo d $52,500. Se decidió que al menos la mitad d ventas. Al menos una persona debía ser en El comercial de tv debe ser usado al menos conferencias Mensual IV como a la semanal SOLUCI N X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12
= = = = = = = = = = = =
Nº de personas enviadas a l Nº de personas enviadas a l Nº de personas enviadas a l Nº de personas enviadas a l Nº de personas enviadas a l Nº de personas enviadas a l Nº de personas enviadas a l Nº de personas enviadas a l Nº de personas enviadas a l Nº de comerciales de TV. Nº de anuncios en periódico Nº de oficinas de consultas
Piden maximizar las ventas Max 13000X1+21500X2+11500X3+75 59000X11+21800X12 sa 120X1+130X2+80X3+60X4+100X5+60X6+2 120X1+130X2+80X3+60X4+100X5+60X6+2
X8>=1 X1>=1 X10>=1 X2<=1 X5<=1
n diversos rubros con el objeto de producir ventas. Uno de los tps de egional de Ventas. Existen 6 regiones (designadas de I a VI) en las nalmente y en algunas mensualmente. Cada una de la conferencias ste un costo por persona y un resultado esperado de ventas para cada s de conferencias disponibles, sus costos y sus ventas resultantes se Ventas resultantes ($) 13,000 21,500 11,500 7,500 11,800 9,500 22,000 90,000 50,000 de tv que cuesta $1,350 debe producir $118,500 en ventas. Un ostará $330 y producirá $59,000 en ventas. onsultas durante un día costará $180 y producirá $21,800 en ventas. anejando sus gastos de venta, pero desea mantener algunas e 6 meses y para ese periodo el presupuesto de gastos de ventas es el presupuesto debía ir a las coferencias semanales y mensuales de iada a la semanal VI y mensual I (días completos). una vez, además no debe enviarse más de una persona a las II (días completos).
a conferencia Mensual I - Todo el día a conferencia Semanal II - Todo el día a conferencia Semanal I - Mediodía a conferencia Semanal III - Todo el día a conferencia Mensual IV - Todo el día a conferencia Mensual IV - Mediodía a conferencia Semanal V - Todo el día a conferencia Semanal VI - Todo el día a conferencia Semanal VI - Mediodía s locales biertas durante un día
00X4+11800X5+9500X6+22000X7+90000X8+50000X9+118500X10+
00X7+600X8+350X9+1350X10+330X11+180X12 = 52,500 00X7+600X8+350X9 = 26,250
MANTENIMIENTO EN MOTORES DE AVIONES En forma periódica se lleva a cabo un m antenimiento preventivo en motores de avión en los que se debe reemplazar una pieza importante. El número de aviones programados para el mantenimiento en los próximos 6 meses es de 200, 180, 300, 198, 230 y 290 respectivamente. Todo el trabajo de mantenmiento se hace durante los primeros días del mes. Una componente usada se puede reemplazar por otra nueva o repararla. La reparación de las piezas usadas se puede hacer en talleres locales, donde quedaran listas para usarse al principio del siguiente mes, o pueden enviarse a un taller de reparación central, donde se tendrá una demora de 4 meses (incluido el mes cuando tiene lugar el mantenimiento). El costo de reparación en el taller local es de $120 por componente. En el taller central, el costo es de solo $35. Una pieza reparada que no se use en el mism o mes en el que se recibe, origina un costo adicional de mantenimiento de $1,50 mensual. Las componentes nuevas se pueden comprar durante el primer mes del periodo de planeación a $200 cada una, con un incremento en el precio de 5% cada dos meses. Formule un problema como un modelo de transporte, Use el TORA para hallar la solución óptima e i nterprete los resultados. SOLUC SOLUCII N Como el número de aviones programados para los 6 meses son ai, entonces tambien lo sería la compra de aviones; por lo que tenemos: ai = b(i-1)
VUELOS LIMA - MIAMI Supóngase que AEROCON Salida: Lima 6:30 10:00 16:00 19:30 1:00
Vuelo 1 2 3 4 5
El problema que tiene AER tripulación que sale de Mia horas. EL tiempo transcurrid de reducir los tiempos muer descanzar al menos 8 hora El objetivo es dónde deben tiempos muertos totales se tripulaciones. Hallar la soluc SOLUCI SOLUCI N
a1= a2= a3= a4= a5= a6= a7=
1398 b1= b2= b3= b4= b5= b6=
200 180 300 198 230 290
Como Σai ≠ Σbi, → b7=1398 → X7 = 0
Los componentes nuevos se compran en el primer mes del periodo de planeación y cada 2 meses con un incremento del 5% en el precio. Entonces: X11= 200 X12= 200 X13= 200+5%(200)=
210
Lima>Miami 1 2 3 4 5
10 18:30 15:00 09:00 05:30 00:00
Lima>Miami 1 2 3 4
10 18.5 15 9 5.5
X14= 200+5%(200)= X15= 200+2*5%(200)= X16= 200+2*5%(200)=
210 220 220
El costo de reparacion en el taller es de $120 por componente, un csto adicional de $1,5 por mantenimiento y en el taller central el costo es de $35. 1 200 1 2 3 4 5 6 200
2 200 120
180
3 210 121.5 120
4 210 123 121.5 120
5 220 35 123 121.5 120
6 220 36.5 35 123 121.5 120
300
198
230
290
1398 200 180 300 198 230 290
5
0
Miami>Lima 10 20 30 40 50
1 17:30 16:00 12:00 04:30 23:00
Miami>Lima 1 2 3 4 5
10 17:30 21:00 03:00 06:30 12:00
Miami>Lima 1 2 3 4 5
10 17.5 21 3 6.5 12
Matriz de Costos 1 2 3 4 5 Condición 1
10 17.5 15 3 5.5 0 10 17.5
2 3 4 5
15 1000 1000 1000
1. Examinamos en cada CO 17.5 15 1000 1000 1000 15
Formamos una nueva matri 2.5 0 985 985 985 2. Determinamos para cada 2.5 0 985 985 985 y determinamos
c * ij 2.5 0
985 980.5 985 3. Encontramos el número 2 1 1 1 1
2.5 0 985 980.5 985 1
Vemos que n1=4 y n=5. NO 4. Si n1≠ n, haga Φ=mínimo por las rectas. Sume Φ a to
proceso. Φ= 4.5
2 1 1 1 2
2.5 0 985 976 980.5 1
Vemos que n1=n=5 5. Si n1=n se ha llegado a l columnas que tengan la me Marque con una cruz lo cer Proceda en las misma form asignación óptima.
2 1 1 1 2
2.5 0 985 976 980.5 1
2 1 1 1 2
2.5 0 985 976 980.5 1
2 1 1 1 2
2.5 0 985 976 980.5 1
2 1 1 1 2
2.5 0 985 976 980.5 1
Determinamos la asignació 1
10 17.5
2 3 4 5
15
Vuelo 1 2 3 4 5
Vuelo 20 10 30 40 50
INENTE tiene el siguiente horario de vuelos diarios Lima-Miami. Llegada: Miami 12:30 16:00 22:00 1:30 7:00
Salida: Miami 7:00 8:30 12:30 20:00 1:30
Vuelo 10 20 30 40 50
Llegada: Lima 13:00 14:30 18:30 2:00 7:30
CONTINENTE, es la calendarización de la tripulación en estos vuelos. Resulta que una i a las 8:30, llega a Lima a l as 14:30; sale de Lima a las 10:00 y llega a Miami a las 16 o desde las 14:30 del lunes a las 10:00 del martes siguiente es tiempo muerto. Se trata os de las tripulaciones en estos vuelos bajo la condición de que cada tripulación debe , pero no mas de 24 horas. ivir las tripulaciones y qué tripulaciones deben asignarse a qué vuelos, tal que los inimicen y al mismo tiempo se respeten las condiciones de descanso de las ión óptima mediante el problema de asignación.
PRODUCTOS: MAQUINAS La Cía. BETA tiene ciertos productos que pueden fabri velocidades de funciones, precios de venta y costos q
PRODUCTOS A B C D TIEMPO DISPONIBLE POR MES
MAQUINAS (Producción por hora) I II 9.0 7.5 10.0 8.0 7.5 10.0
III 7.2 8.0 6.4 8.0
320
320
400
Encuentre la asignación óptima de productos a las tres transportes. Use el TORA para hallar la solución óptim SOLUCION Calculamos la matríz de beneficios por producto depe
20 20:00 16:30 10:30 07:00 01:30
30 00:00 20:30 14:30 11:00 05:30
40 07:30 04:00 22:00 18:30 13:00
50 13:00 09:30 03:30 00:00 18:30
20 20 16.5 10.5 7
30 0 20.5 14.5 11
40 7.5 4 22 18.5
50 13 9.5 3.5 0
Prod/Maq A B C D
I 0.00 1.50 0.00 1.55 3.05
II 1.90 1.75 1.80 1.70 7.15
III 1.80 1.60 1.55 1.45 6.40
La máquina II es la que produce mayores beneficios, p la eficiencia de las máquinas. Eficiencia I / Eficiencia II = 7,5/10 = Eficiencia II / Eficiencia II = 9/9 = 10/10 = 8/8 = Eficiencia III / Eficiencia II = 7,2/9 = 8/10 = 6,4/8 =
1.5
5.5
13
18.5
2 21:00 19:30 15:30 08:00 02:30
3 03:00 01:30 21:30 14:00 08:30
4 06:30 05:00 01:00 17:30 12:00
5 12:00 10:30 06:30 23:00 17:30
20 16:00 19:30 01:30 05:00 10:30
30 12:00 15:30 21:30 01:00 06:30
40 04:30 08:00 14:00 17:30 23:00
50 23:00 02:30 08:30 12:00 17:30
20 16 19.5 1.5 5 10.5
30 12 15.5 21.5 1 6.5
40 4.5 8 14 17.5 23
50 23 2.5 8.5 12 17.5
20 16 16.5 1.5 5 1.5 20 16
30 0 15.5 14.5 1 5.5 30 1000
40 4.5 4 14 17.5 13 40 1000
50 13 2.5 3.5 0 17.5 50 13
A partir de estos datos, hallaremos el tiempo disponi I 320*0.75= 240 II 400*1= 400 III 320*0.8= 256 Producción referente a la eficiencia de cada máquina, máquinas para la fabricación de los productos. A B C D
1620/9= 2000/10= 1800/8= 1750/10=
180 200 225 175
Todo lo explicado lo plasmamos en esta matriz donde cada máquina. A I 0*9 II 1.9*9 III 1.8*9 I II III Horas
A 0 17.1 16.2 180
B 1.5*10 1.75*10 1.6*10 B 15 17.5 16 200
C 0*8 1.8*8 1.55*8 C 0 14.4 12.4 225
Como Σai ≠ Σbi (896-780=116). Añadimos una column
I II III
A 0 17.1 16.2
B 15 17.5 16
C 0 14.4 12.4
16.5 1000 1000 1000
15.5 14.5 1000 1000
1000 14 17.5 13
LUMNA el menor elemento.
1000 1000 14 17.5 13
13 1000 1000 1000 17.5
16
14.5
13
13
c ij
0 0.5 984 984 984
0 0.5 984 984 984
c ' ij
0 0.5
min
985.5 1 0 985.5 985.5
987 987 1 4.5 0
1 0 0
0 987 987 987 4.5
0 987 987 987 4.5
A 0 -17.1 -16.2 180
180 0
0 0 0 4.5 0
1 1 0 200 140 0
985.5 1
987 987
0 987
0 1 0 225 0
X11=MIN(180;240) X12=MIN(60;200) X22=MIN(400;140) X23=MIN(260;225) X24=MIN(35;175) X34=MIN(256;140) X35=MIN(116;116) 180
ui
B -15 -17.5 -16 200
C 0 -14.4 -12.4 225
1. Comenzar con alguna solución factible básica inicial esquina N-O; matriz mínima; Vogel; Russel)
c ' ij 987 987 1 4.5 0
225
M todo UV o M todo Modi
v j
985.5 1 0 985.5 985.5
ui
FILA los
200
Como buscamos maximizar las ganancias, multiplicam
min c j
1000 15.5 14.5 1000 1000
180
I II III
16 16.5 1000 1000 1000
c ' ij
v j
1000 1000 1000 17.5
60 140
0 1 1 175 140 0 X11= X12= X22= X23= X24= X34= X35= 225
2, Dibujar una matriz que corresponda a la presente m
984 979.5 984
0 981 985.5
1 0 0
costos de la variables báicas en lugar de las magnitud
987 982.5 4.5
ínimo de rectas n1 que cubren todos los ceros de la matriz c*. 0 0.5 984 979.5 984
985.5 1 0 981 985.5
987 987 1 0 0
0 987 987 982.5 4.5
1
1
2
1
-2.50 0.00
elemento de c* no cubierto por las rectas. Reste Φ a todos los elementos no cubiertos os los elementos en las intersecciones entre dos rectas. Vuelva al paso 3. Repita el
991.5 991.5 5.5 0 0
0 987 987 978 0
1
1
2
2
0
-17.1 -16.2
-17.5 -16
-14.4 -12.4
0.00
HEMOS llegado al óptimo.
985.5 1 0 976.5 981
-15
3. Se construye un conjunto de números llamados vj a conjunto de números llamados ui a lo largo del lado izq encerrados en el círculo y de sus intersecciones y por t con las sumas de los ui y vj de las correspondientes fil 0.00
0 0.5 984 975 979.5
0
0.00 -2.50 0.00
-11.90 -11.90 -14.40 -11.90
4. Calcular cij-zij . Si todos los cij-zij>=0 la solució solución mejor. 0.00 -14.60 -16.20
-15.00 -15.00 -17.50 -15.00
0.00 0.00 -1.00
11.90 0.00 -0.50
5. De esta variables que tienen un c osto de entrada ne (más negativo). Pasando a la matriz solución, se traza iguala 0 a la variable solución más pequeña de las que Mínimo -16.20
solución óptima, para buscar esta solución considere ante todo, una de las filas o or cantidad de ceros. Encierre dentro de un círculo uno de los ceros de esta hilera. s que se encuentran sobre la misma fila o columna que el c ero encerrado en el círculo. sucesivamente para todos las filas y columnas. Los ceros en los círculos constituyen la
180.00 +
60.00 140.00
225.00
40.00 0 0.5 984 975 979.5
985.5 1 0 976.5 981
991.5 991.5 5.5 0 0
0 987 987 978 0
1
1
2
2
0 0.5 984 975 979.5
985.5 1 0 976.5 981
991.5 991.5 5.5 0 0
0 987 987 978 0
1
1
2
2
0 0.5 984 975 979.5
985.5 1 0 976.5 981
991.5 991.5 5.5 0 0
0 987 987 978 0
1
1
2
2
0 0.5 984 975 979.5
985.5 1 0 976.5 981
991.5 991.5 5.5 0 0
0 987 987 978 0
1
1
2
2
200.00 0.00
6. Ahora se repiten los pasos 2 a 5 hasta que alguna it 0.00 -2.50 -16.20
0
-15.00 -15.00 -17.50 -31.20
-11.90 -11.90 -14.40 -28.10
0.00 -14.60 0.00
0.00 0.00 15.20
11.90 0.00 15.70
0 -2.50 -16.20
Mínimo -16.20 40.00
200.00 0.00
225.00
200.00 0.00
225.00
-16.20 -18.70 -16.20
1.20 -15.00 -17.50 -15.00
4.30 -11.90 -14.40 -11.90
16.20 1.60 0.00
0.00 0.00 -1.00
11.90 0.00 -0.50
140.00 0.00
1
óptima 20 16
30
40
50 13
225.00
140.00
180.00 0 -16.20 -18.70 -16.20
16.5
15.5 14.5
Mínimo -1.00 14 17.5 13
225.00
180.00
200.00 0.00 +
225.00
180.00
124.00 0.00 76.00
17.5
180.00
0 -15.20 -17.70 -16.20
-15.20 -17.70 -16.20
200.00
0.20 -15.00 -17.50 -16.00 0.00 0.00 0.00
15.20 0.60 0.00
225.00
3.30 -11.90 -14.40 -12.90 11.90 0.00 0.50
Mínimo -1.00 225.00
180.00
124.00 0.00 76.00
225.00
180.00
0.00 124.00 76.00 0.20 -16.00 -17.50 -16.00
3.30 -12.90 -14.40 -12.90
0 -16.20 -17.70 -16.20
-16.20 -17.70 -16.20
16.20 0.60 0.00
1.00 0.00 0.00
12.90 0.00 0.50
B 0.00 124.00 76.00
C 0.00 225.00 0.00
Tenemos la solución I II III
A 0.00 0.00 180.00
Matriz beneficios 0 0 2916 Maximo beneficio total
0 2170 1216 12331.00
0 3240 0
carse en varias máquinas. Sin embargo hay diferencias de e son los siguientes: PRECIO DE VENTAS ($) 3.05 3.00 2.85 2.90
Nº DE PRODUCTO 1620 2000 1800 1750 oferta
COSTO VARIABLE POR M I II 1.15 1.50 1.25 1.05 1.35 1.20
demanda máquinas para el siguiente mes, mediante el problema de a.
diendo del tipo de máquina en donde fue producida:
or eso la utilizaré como nivel de referencia para medir 0.75 1 0.8
QUINA III 1.25 1.40 1.30 1.45
VUELOS REDONDOS A - B Una línea aérea tiene vuelos redondos entre las ciudades A y B. La tri vuela a la ciudad B(A) debe regresar a la c iudad A(B) en un vuelo post tripulación con base en la ciudad A puede regresar en un vuelo con de minutos entre el tiempo de llegada en B y el tiempo de salida del vuelo emparejar los vuelos de manera que se minimic e el tiempo de escala t el problema como un modelo de asignación mediante el uso del itinera
VUELO 1 2 3 4 SOLUCI N
DESDE
A
A
B
6:00 8:15 13:30 15:00
8:30 10:45 16:00 17:30
VUELO 10 20 30 40
le estandar según la eficiencia de las máquinas.
para así poder hallar la asignación óptima de las
cada beneficio depende a la vez de su eficiencia de D 1.55*10 1.7*10 1.45*10 D 15.5 17 14.5 175
Capacidad 240 400 256
896
116
780 de ceros, cuya demanda será 116.
D 15.5 17 14.5
E 0 0 0
240 400 256
175
116
os por -1 los datos y empleamos el método UV D -15.5 -17 -14.5 175
E 0 0 0 116
240 400 256
, utilizando cualquiera de los métodos (método de la 0 0 1 116
240 400 256
60 260
0 35 116
180 60 140 225 35 140 116 35 140
116
atriz solución excepto en que los elementos son los
0
s de las variables. Esta matriz es la -15.5
0
-17 -14.5
0 0
z
ij
lo largo de la parte superior de la matriz zij y un uierdo; tales que su suma iguale a los valores anto satisfagan zij=ui+vj y completar las celdas vacías s y columnas. -14.50 -14.50 -17.00 -14.50
0.00 0.00 -2.50 0.00
MATRIZ Zij
es óptima. Si uno o más cij-zij<0 será posible una -1.00 0.00 0.00
0.00 2.50 0.00
gativo, se determina la que lo tenga más pequeño la trayectoria "+,-" que empieza en esta variable. Se se están en la celda que contiene signo menos.
35.00 140.00
116.00
175.00 0.00
116.00
eracción demuestre que la solución es óptima. -14.50 -14.50 -17.00 -30.70
16.20 16.20 13.70 0.00
-1.00 0.00 16.20
-16.20 -13.70 0.00
+ 175.00 0.00
116.00 40.00
175.00 76.00 1.70 -14.50 -17.00 -14.50
16.20 0.00 -2.50 0.00
-1.00 0.00 0.00
0.00 2.50 0.00
40.00 175.00 76.00 116.00 175.00 0.00 175.00
116.00
0.70 -14.50 -17.00 -15.50
15.20 0.00 -2.50 -1.00
-1.00 0.00 1.00
0.00 2.50 1.00
+ 175.00
116.00
124.00 51.00
116.00
0.70 -15.50 -17.00 -15.50
16.20 0.00 -1.50 0.00
0.00 0.00 1.00
0.00 1.50 0.00
D 124.00 51.00 0.00
E 116.00 0.00 0.00
1922 867 0
ulación con base en la ciudad A(B) y que erior el mismo día o al siguiente. Una stino a A sólo si hay cuando menos 90 con destino a A. El objetivo consiste en otal de todas las tripulaciones. Resuelva rio dado: DESDE
A
B
A
7:30 9:15 16:30 20:00
9:30 11:15 18:30 22:00
Tres refinerías con capacidades máximas de 6, 5 y 8 millones de galones de gasolina reparten a tres ár demandas diarias de 4, 8 y 7 millones de galones del combustible. La gasolina se transporta a las tres á una red de tubería. El costo de transporte se calcula con base en la longitud de la tubería aproximadamente a 1 centavo po La tabla de distancia que aquí se resume muestra que la refinería 1 no está conectada al área de distrib las variables, formule el problema como un problema de transporte, resuelva el problema e i nterprete la
500 800
MODELO M2 M3 700 600 400
M4 300 400
Totales 1000 1500 1200
700 600
500 500
600 100
2300 1400
Planta
M1
Los Angeles Detroit Nueva Orleans Centro de Distribución
Denver Miami
500 200
En el siguiente cuadro de kilometrajes por simplicidad asume que el costo de transporte es de 8/100 de kilómetro, para todos los m odelos. Suponga que es posible sustituir un porcentaje de la demanda de un acuerdo con la siguiente tabla: Centro de Distribución Porcentaje de demandModelos intercambiables Denver 10 M1,M2 20 M3,M4 Miami 10 M1,M3 5 M2,M4 Refinería 1 Refinería 2 Refinería 3
rea de distrbución 1 120 300 200
rea de distrbución 2 180 100 250
rea de distrbución 3 80 120
SOLUCI N
Los Ángeles
Detroit
Nueva Orleans
700
M3
300
M4
500
M1
600
M2
400
M4
800
M1
400
M2
M1
700
M2
500
M3
500
M4
600
M1
600
M2
500
M3
200
M4
100
Denv
Miami
Como es posible sustituir un porcentaje de la demanda de un modelo con la oferta de otro, agregamos correspondientes a las nuevas combinaciones ( M1,M2), (M3,M4),(M1,M3) y (M2,M4). Las demandas en determinan a partir de los porcentajes dados.
Los Ángeles
Detroit
M1
700
M2
270
700
M3
M2 230
300
M4
M3
500
500
M1
M4
140
600
M2
M4
460
Den
400
M4
M1
600
800
M1
M2
500
400
M2
M3
60
M3
140
M4
30
M4
70
Nueva Orleans
Mia
Como el costo de transporte es de 8/100 u.m. por auto / kilómetro, para todos los modelos, elaboramos
LOS ANGELES DETROIT NUEVA ORLEANS
M3 M4 M1 M2 M4 M1 M2
M1 1000 1000 8 1000 1000 8 1000 700
1 -
1 1 1 -
DENVER M2 M3 1000 8 1000 1000 8 1000 8 1000 1000 1000 8 1000 8 1000 500 500
1 1 -
1 1 -
MIAMI M4 8 8 1000 1000 8 1000 1000 600
M1 1000 1000 8 1000 1000 8 1000 600
M2 1000 1000 1000 8 1000 1000 8 500
M3 8 1000 8 1000 1000 8 1000 200
1 1
1
-
-
700 0
500 200
500 200
600 200
600 400
1 500 100
0
0
0
0
0
1000 1000
X22= X32= X33= X43= X44= X54= X55= X65= X66= X76= X77= X78=
0 300 200 0
1000 1000
300 200 0
1000 1000
1 100 0
X11= 700
X11=MIN(700;700) X12=0 X22=MIN(500;300) X32=MIN(500;200) X33=MIN(300;500) X43=MIN(600;200) X44=MIN(400;600) X54=MIN(400;200) X55=MIN(200;600) X65=MIN(800;400) X66=MIN(400;500) X76=MIN(400;100) X77=MIN(300;200) X78=MIN(100;100) 700 -
1 200
992 1992 1992
300 200 300 200 400 200 200 400 400 100 200 100 400 200 992 1992 1992
200 400 -
400 100
200
100
1984 2984 2984
2976 3976 3976
3968 4968 4968
2976 3976 3976
8 8 -984 -1976 -2968
8 8 -984 -1976 -2968
8 8 -984 -1976 -2968
1000 1000 8 -984 -1976
1000 1000 8 -984 -1976
1992 1992 1000 8 -984
2984 2984 1992 1000 8
3976 3976 2984 1992 1000
2984 2984 1992 1000 8
0 0 0 992 1984 1984 3968
0 0 0 0 1984 1984 2976
-1984 -992 0 0 992 1984 2976
-1984 -1984 0 0 0 1984 2976
-1984 -1984 -1984 -992 0 0 1984
-2976 -2976 -1984 -2976 -992 0 0
-4960 -3968 -3968 -2976 -1984 -1984 0
-2976 -3968 -1984 -2976 -1984 0 0
Minimo
-4960
negativos
24
700 -
0 300 200 -
300 200 -
400 200 -
200 400 -
400 100
+ 200
100
700 -
0 300 200 -
300 200 -
400 200 -
200 400 -
400 100
0 200
100
0 1000 5960 4968 4968 3976 2984 1992
1000 5960 4968 4968 3976 2984 1992
-4960 -3960 1000 8 8 -984 -1976 -2968
-3968 -2968 1992 1000 1000 8 -984 -1976
-3968 -2968 1992 1000 1000 8 -984 -1976
-2976 -1976 2984 1992 1992 1000 8 -984
-1984 -984 3976 2984 2984 1992 1000 8
-992 8 4968 3976 3976 2984 1992 1000
-1984 -984 3976 2984 2984 1992 1000 8
0 -4960 -4960 -3968 -2976 -2976 -992
4960 0 0 0 1984 1984 2976
2976 -992 0 0 992 1984 2976
2976 -1984 0 0 0 1984 2976
2976 -1984 -1984 -992 0 0 1984
1984 -2976 -1984 -2976 -992 0 0
0 -3968 -3968 -2976 -1984 -1984 0
1984 -3968 -1984 -2976 -1984 0 0
minimo
-4960
Negativos
24
700 + -
0 300 200 -
300 200 -
400 200 -
200 400 -
400 100
0 200
100
700 + -
0 300 200 -
300 200 -
400 200 -
200 400
400
0 -
-
-
-
-
-
-
100
200
100
as de distribución con reas de distribución a través de
r 100 galones por milla recorrida. ución 3. Identifique claramente solución.
VUELOS A - B - C Y EL COSTO POR TIEMPO DE ESPERA Una pequeña compañía aérea, que opera 7 días por semana sirve tres ciudades (A,B y C) de acuerdo con el itinerario dado en el cuadro adjunto. El costo de detención por parada (que significa tener los aviones inactivos), es proporcional al cuadrado del tiempo de detención. Pero tiene que tener al menos tres horas de descanso ¿cómo debería la compañía asignar sus aviones a los diferentes vuelos de modo de mi nimizar los costos de detención? Vuelo Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Desde A A A A A B B B C C
Hora Partida 9:00 AM 10:00 AM 3:00 PM 6:00 PM 10:00 PM 4:00 PM 11:00 PM 3:00 PM 7:00 AM 3:00 PM
A B B B C C A A A A A
Hora llegada Mediodía 1:00 PM 6:00 PM Medianoche 2:00 AM 7:00 AM 2:00 PM 6:00 PM 11:00 AM 7:00 PM
SOLUC SOLUCII N unidad monetaria por auto y por modelo, con la oferta de otro, de
Calculamos los tiempos donde los aviones no realizan vuelo Vuelo 1 2 3
De A 9:00 10:00 15:00
Hacia B 12:00 13:00 18:00
Vuelo 6 7 8
A >>> B 1 2 3 A >>> B 1 2
6 4:00 3:00 22:00 6 4 3
7 11:00 10:00 5:00 7 11 10
8 3:00 2:00 21:00 8 3 2
De B 16:00 23:00 15:00
Hacia A 7:00 14:00 18:00 B >>> A 6 7 8 B >>> A 6 7
1 02:00 19:00 15:00 1 2 19
2 03:00 20:00 16:00 2 3 20
3
22
Matriz de Costo de detención A >>> B 6 1 16 2 9 3 484
r
5
21
8
15
16
7 121 100 25
8 9 4 441
B >>> A 6 7 8
1 4 361 225
2 9 400 256
B >>> A 1 2 3
6 4 9 64
7 361 400 1
Seleccionando los menores costos 6 7 1 4 121 2 9 100 3 64 1
8 9 4 441
uatro nuevos destinos los nuevos detinos se
270 230 er
140 460
Vuelo 4 5
De A 18:00 22:00
Hacia C 0:00 2:00
A >>> C 4 5 A >>> C 4 5
9 7:00 14:00 9 7 14
Matriz de Costo A >>> C 9 4 49 5 196
Vuelo 9 10
De C 7:00 15:00
Hacia A 11:00 19:00
10 15:00 13:00 10 15 13
C >>> A 9 10 C >>> A 9 10
4 7:00 23:00 4 7 23
5 11:00 3:00 5 11 3
10 225 169
C >>> A 9 10
4 49 529
5 121 9
C >>> A 4 5 i
70 30
Uniendo ambas tablas, obtenemos la matriz de Costos de detención 1 2 3 4 5
el cuadro de costos.
700 300 500 600 400 800
10 529 9
Seleccionando los menores costos 9 10 4 49 225 5 121 9
140 60
M4 1000 8 1000 8 8 1000 8 100
9 49 121
700 300 500 600 400 800 400
0 0 300 400 200 400
6 4 9 64
7 121 100 1
8 9 4 441
9
10
49 121
225 9
Como los aviones deben descansar al menos 3 horas, debemos considerar los costos mayores o iguales a 9 (3 horas). Siendo una ruta prohibida los costos menores que 9. Empleamos M=1000 1 2 3 4 5
6 1000 9 64 1000 1000
7 121 100 1000 1000 1000
8 9 1000 441 1000 1000
Método Húngaro 1. Examinamos en cada COLUMNA el menor elemento. 0 0 0 0
1000 9 64
121 100 1000
9 1000 441
9 1000 1000 1000 49 121
v j
1000 1000 1000
10 1000 1000 1000 225 9
min c j 1000 1000 1000
400
300
100
1000 1000
1000 1000
1000 1000
49 121
225 9
9
100
9
49
9
951 951 951 0 72
991 991 991 216 0
Formamos una nueva matrizc ' ij 991 0 55 991 991
21 0 900 900 900
2. Determinamos para cada FILA los 991 0 55 991 991
c ij
21 0 900 900 900
v j
0 991 432 991 991
ui
min c ' ij
0 991 432 991 991
951 951 951 0 72
991 991 991 216 0
0 0 55 0 0
3. Encontramos el número mínimo de rectas n1 que cubren todos los ceros de la matriz c*. 1 2 0 1 1
991 0 55 991 991
21 0 900 900 900
0 991 432 991 991
951 951 951 0 72
991 991 991 216 0
1
1
1
1
1
Vemos que n1=4 y n=5. NO HEMOS llegado al óptimo. 4. Si n1≠ n, haga Φ=m ínimo elemento de c* no cubierto por las rectas. Reste Φ a todos los elementos no cubiertos por las rectas. Sume Φ a todos los elementos en las intersecciones entre dos rectas. Vuelva al paso 3.
Repita el proceso. Φ= 55
1 2 1 1 1
991 0 0 991 991
21 0 845 900 900
0 991 377 991 991
951 951 896 0 72
991 991 936 216 0
2
1
1
1
1
Vemos que n1=n=5 5. Si n1=n se ha llegado a la solución óptima, para buscar esta solución considere ante todo, una de las filas o columnas que tengan la menor cantidad de ceros. Encierre dentro de un círculo uno de los ceros de esta hilera. Marque con una cruz lo ceros que se encuentran sobre la misma fila o columna que el cero encerrado en el círculo. Proceda en las misma forma sucesivamente para todos las filas y columnas. Los ceros en los círculos constituyen la asignación óptima. 1 2 1 1 1
1 2 1 1 1
1 2 1
991 0 0 991 991
21 0 845 900 900
0 991 377 991 991
951 951 896 0 72
991 991 936 216 0
2
1
1
1
1
991 0 0 991 991
21 0 845 900 900
0 991 377 991 991
951 951 896 0 72
991 991 936 216 0
2
1
1
1
991 0 0
21 0 845
0 991 377
951 951 896
1
991 991 936
1 1
1 2 3 4 5 Vuelo >>> 1 2 3 4 5
991 991
900 900
991 991
0 72
216 0
2
1
1
1
1
6 4 9 64
7 121 100 1
8 9 4 441
9
10
49 121
225 9
Vuelo 8 7 6 9 10
El costo total
231 u.m.
Dos compañías farmaceúticas tiene inventario de dosis de 1,1 y 0,9 millones de cierta vacuna contra la gripe y se considera inminente una epidemia de gripe en tres ciudades. Ya que la gripe podría ser fatal para los ciudadanos de edad avanzada, a ellos se les debe vacunar primero; a los demás se l os vacunará según se presenten, mientras duren los suministros de vacuna. Las cantidades de vacuna (en millones de dosis) que cada ciudad estima poder adminstrar son las siguientes: Ancianos Otros
Ciudad 1 0.325 0.750
Ciudad 2 0.260 0.800
Ciudad 3 0.195 0.650
Los costos de embarque (en centavos por dosis) entre las compañías y las ciudades son: Ciudad 1 Compañía 1 Compañía 2
Ciudad 2 3 1
Ciudad 3 3 4
6 7
Se desea determinar un programa de embarque de costos mínimos que provea a cada ciudad de vacuna suficiente para atender al menos a los ancianos. SOLUCI N
3 08:00 01:00 21:00 3 8 1
21 3 64 1 441 8 225 256 441
En el siguiente problema de transporte la demanda total de cuatro empresas c onstructoras excede las posibilidades de suministro de tres fábricas de materiales de construcción. Los costos de penalización por unidad de demanda insatisfecha son 5, 3 y 2 para las empresas 1, 2 y 3 respectivamente. Considerar que la cuarta empresa exige el envio de su pedido completo y además la primera empresa sólo compra su mercadería a las fábricas 1 y 2. El siguiente cuadro muestra los costos de transporte de unidad entre cada fábrica y empresa: Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3
Empresa 1 5 6
Empresa 2 1 4 2
Empresa 3 7 5 5
Empresa 4 1 6 3
Las fábricas tienen disponible 10, 80 y 45 unidades respectivamente y las empresas 75, 20, 50 y 50 unidades respectivamente. Obtener una solución óptima e interpretar los resultados. Explique claramente cómo se obtiene y qué significa la solución óptima. SOLUCI N
ASIGNACI N DE OPERAD Considere el problema de a EL operador A no puede ser 4. A B C D
I 5 7 9 7
a) Obtenga la solución ópti b) Suponga que se pone a d cuatro operadores son 2, 1, justificar en el sentido econ solución óptima. En particul de ellas?. SOLUCI N PARTE A Como el operador A no pue introducir los datos al TORA A B C D
I 5 7 9 7
Método Húngaro 1. Examinamos en cada CO 5 7
5 4
9 7
3 2
Formamos una nueva matri 0 2 4 2
3 2 1 0
2. Determinamos para cada 0 2 4 2 y determinamos 0 2 3 2
3 2 1 0
c * ij 3 2 0 0
3. Encontramos el número 2 1 1 1
0 2 3 2 1
Vemos que n1=3 y n=4. NO 4. Si n1≠ n, haga Φ=mínimo
cubiertos por las rectas. Su
3. Repita el proceso. 2 1 2 2
0 2 1 0 2
Vemos que n1=n=4 5. Si n1=n se ha llegado a la columnas que tengan la me Marque con una cruz lo cer círculo. Proceda en las mis constituyen la asignación óp 2 1 2 2
0 2 1 0 2
2 1
1 2 2
0 2 1 0 2
2 1 1 2
0 2 1 0 2 1
Determinamos la asignació
A B C D
I 5 7 9 7
El costo mínimo será $ 14 PARTE B Como existe una nueva má A B C D E
I 5 7 9 7 0 5 7 9 7 0 5 7 9 7 0
3 6 7 5 0 2 1 1 1 5
3 6 7 5 0 1
1 2 2 1 4
3 5 6 5 0 1
1 2 2 1 4
3 5 6 5 0 1
1 2 2 1 4
3 5 6 5 0 1
1 2 2 1 4
3 5 6 5 0 1
1 2 2 1 4
3 5 6 5 0 1
A B C D E
I 5 7 9 7 0
La asignación óptima será Oper Operad ador or Máqu Máquin inaa A IV B III C V D II
ORES A M QUINAS ignar cuatro operadores a cuatro máquinas. Se dan los costos de asignación en $. asignado a la máquina 3. Así mismo, el operador C no puede asignar a la máquina II 5 4 3 2
III 2 5 6
IV 2 3
HORNOS Y LAMINADORES Una Cía. Siderúrgica tiene 3 hornos y 5 laminadores. Lo transporte a los laminadores por unidad producida, se in H1 H2 H3 Rendimiento
e ser asignado a la máquina 3 ni el operador C a la máquina 4, a la hora de colocamos números muy grandes (M).
LUMNA el menor elemento. 1000 2
2 3
L3 3 5 7 6
Para la capacidad de producción y requerimiento en los a) El programa óptimo de trabajo. Use el método Russel b) Suponga que ls hornos H1, H2 y H3 tiene una capaci unidades respectivamente, lo cual aumenta los costos d requerimientos en los laminadores se ven aumentados en este caso? SOLUCI N
III M 2 5 6
L2 2 4 3 4
7
a isposición una quinta máquina. Sus costos de asignación respectivos para los 2 y 8. La nueva máquina reemplaza a una existente si el reemplazo se puede mico. Vuelva a formular el problema como un problema de asignación y obtenga la r, ¿resulta económico reemplazar una de las máquinas existentes? Si es así, ¿cuál
II 5 4 3 2
L1 4 5 6 4
IV 2 3 M 7
v j
min c j
Supongamos M=1000
5 6
c ' ij
1000 7
c ij
998 0 3 4 FILA los
c ' ij 998 0 2 4
v j
0 1 998 5
ui
998 0 3 4
min c ' ij 0 1 998 5
ui 0 1 997 5
ínimo de rectas n1 que cubren todos los ceros de la matriz c*. 3 2 0 0
998 0 2 4
0 1 997 5
2
1
1
HEMOS llegado al óptimo. elemento de c* no cubierto por las rectas. Reste Φ a todos los elementos no
e Φ a todos los elementos en las intersecciones entre dos rectas. Vuelva al paso
5 4 0 0
998 0 0 2
0 1 995 3
2
2
1
solución óptima, para buscar esta solución considere ante todo, una de las filas o or cantidad de ceros. Encierre dentro de un círculo uno de los ceros de esta hilera. s que se encuentran sobre la misma fil a o columna que el cero encerrado en el a forma sucesivamente para todos las filas y columnas. Los ceros en los círculos tima. 5 4 0 0
998 0 0 2
0 1 995 3
2
2
1
5 4 0 0
998 0 0 2
0 1 995 3
2
2
1
5 4 0 0
998 0 0 2
0 1 995 3
2
2
1
óptima Asignación II 5 4 3 2
III 2 5 6
Operador A B C D
IV 2 3 7
Máquina IV III II I
(7+3+2+2) uina, asignaremos un operador ficticio. Repetimos el procedimiento en PARTE A. II 5 4 3 2 0
III 1000 2 5 6 0
IV 2 3 1000 7 0
V 2 1 2 8 0
5 4 3 2 0
1000 2 5 6 0
2 3 1000 7 0
2 1 2 8 0
5 4 3 2 0
1000 2 5 6 0
2 3 1000 7 0
2 1 2 8 0
3 3 1 0 0
998 1 3 4 0
0 2 998 5 0
0 0 0 6 0
3 3 1 0 0
998 1 3 4 0
0 2 998 5 0
0 0 0 6 0
2
1
2
4
3 2 0 0 0
998 0 2 4 0
0 1 997 5 0
1 0 0 7 1
3
2
2
2
3 2 0 0 0
998 0 2 4 0
0 1 997 5 0
1 0 0 7 1
3
2
2
2
3 2 0 0 0
998 0 2 4 0
0 1 997 5 0
1 0 0 7 1
3
2
2
2
2
1
1
n1=4 n=5
n1=5=n
3 2 0 0 0
998 0 2 4 0
0 1 997 5 0
1 0 0 7 1
3
2
2
2
2
1
1
3 2 0 0 0
998 0 2 4 0
0 1 997 5 0
1 0 0 7 1
3
2
2
2
2
1
1
II 5 4 3 2 0
III
IV 2 3
2 5 6 0
7 0
V 2 1 2 8 0
s costos de producción en los hornos más los costos de dican a continuación: L4 2 2 4 8
L5 6 1 5 8
Capacidades 8 12 14
laminadores en el cuadro anterior, establezca: para hallar solución inicial. ad adicional de producción a sobre tiempo de 2, 2 y 3 e producción en 1, 4y 4 unidades respectivamente los n una unidad cada uno, ¿cuál es el programa óptimo
ASIGNAR VENDEDORES A DISTRITOS PARA MAXIMIZAR BENEFICIOS La Cía. BETA va decidir cuál de cuatro vendedores debe asignar a c ada uno de sus Lima Metropolitana. Cada vendedor está en condiciones de lograr ventas diferentes En la siguiente tabla es muestran los estimados: Distrito Vendedor A B C D
1 65 90 106 84
2 73 67 86 69
3 55 87 96 79
4 58 75 89 77
A BETA le gustaría maximizar el volumen de ventas total. Sin embargo, es imposible el distrito 1 o al vendedor A para el distrito 2, ya que estas designaciones violarían la personal. Determine la asignación óptima. SOLUCI N Como buscamos maximizar, para resolver este problema por el m étodo Húngaro sól matriz c en la matriz c0 mediante la siguiente transformación c ij ( 0 )
(max
106 41 16 0 22
c ij )
c ij
33 39 20 37
51 19 10 27
48 31 17 29
La matriz c0 tendrá al menos un elemento nulo. Seguimos después el mismo proced problemas de minimización. Como el vendedor A no puede ser asignado al distrito 2 ni el vendedor B al distrito 1,
datos al TORA colocamos números muy grandes (M). Ejm: M=1000 A B C D
1 41 1000 0 22
2 1000 39 20 37
3 51 19 10 27
4 48 31 17 29
Método Húngaro 1. Examinamos en cada COLUMNA el menor elemento.
41 1000 0 22
1000 39 20 37
51 19 10 27
48 31 17 29
0
20
10
17
Formamos una nueva matriz 41 1000 0 22
c ' ij
10 991
c ij
c ' ij 949 10
ui
min c j
v j
41 9 0 17
980 19 0 17
41 1000 0 22
c * ij
980 19 0 17
2. Determinamos para cada FILA los
y determinamos
v j
min
31 14 0 12
c ' ij
41 9 0 17
31 14 0 12
10 0
0 5
ui
31 9 0 12
0 10
0 5
0 5
0 0
3. Encontramos el número mínimo de rectas n1 que cubren todos los ceros de la ma 1 1 4 1
10 991 0 10
949 10 0 5
10 0 0 5
0 5 0 0
1
1
2
3
Vemos que n1=3 y n=4. NO HEMOS llegado al óptimo. 4. Si n1≠ n, haga Φ=mínimo elemento de c* no cubierto por las rectas. Reste Φ a tod cubiertos por las rectas. Sume Φ a todos los elementos en las intersecciones entre d
3. Repita el proceso. Φ= 5
1 1 2 2
5 986 0 5
944 5 0 0
10 0 5 5
0 5 5 0
1
2
1
2
Vemos que n1=n=4 5. Si n1=n se ha llegado a la solución óptima, para buscar esta solución considere a columnas que tengan la menor cantidad de ceros. Encierre dentro de un círculo uno Marque con una cruz lo ceros que se encuentran sobre la misma fila o columna que círculo. Proceda en las misma forma sucesivamente para todos las filas y columnas. constituyen la asignación óptima. 1 1 2
5 986 0
944 5 0
10 0 5
0 5 5
2
1 1 2 2
1 1 2 1
2
5
0
5
0
1
2
1
2
5 986 0 5
944 5 0 0
10 0 5 5
0 5 5 0
1
2
1
2
5 986 0 5
944 5 0 0
10 0 5 5
0 5 5 0
1
2
1
2
3 55 87 96 79
4 58 75 89 77
Determinamos la asignación óptima A B C D
1 65 90 106 84
Vendedor A B C D
Distrito 4 3 1 2
Maximo beneficio
2 73 67 86 69
320 ventas
cuatro distritos de venta en en cada distrito.
asignar al vendedor B para s políticas de rotación de
PRODUCCI N DE MOTORES CON TIEMPO EXTRA La demanda de un motor especial pequeño en los proximos 5 periodos es de 200, 150, 300, 250 y 400. El fabricante que surte los motores tiene capacidades diferentes de producción que se estiman en 180, 230, 430, 300 y 300 unidades para los cinco periodos. No se puede surtir los pedidos con retraso, en unidades para los cinco periodos. Pero en el tercer periodo por políticas populistas debe satisfacer la demanda para el mercado tres y cinco necesariamente. No se puede surtir los pedidos con retraso, en caso necesario, el fabricante puede ocupar tempo extra para cubrir la demanda. La capacidad por tiempo extra, en cada periodo, se estima igual a la mitad de la capacidad de la producción regular. Los costos de producción por unidad en lo cinco periodos son de 100, 96, 115, 102 y 105 u.m. respectivamente. El costo del tiempo extra por motor es 25% mayor que el costo de producción regular. Si se produce un motor ahora, para usarse en periodos posteriores, se tendrá un costo adicional de almacenamiento de 4 u.m. por motor y periodo. Formule el problema como un modelo de tranporte. SOLUCION Elaboramos la matriz de costos de producción
o tenemos que convertir la
imiento que para los a la hora de introducir los
1 TE1 2 TE2 3 TE3 4 TE4 5 TE5
1 100.00 125.00
2 104.00 130.00 96.00 120.00
2 00
150
Periodo 3 108.00 135.00 100.00 125.00 115.00 143.75
300
4 112.00 140.00 104.00 130.00 119.00 148.75 102.00 127.50 250
5 116.00 145.00 108.00 135.00 123.00 153.75 106.00 132.50 105.00 131.25 4 00
180 90 230 115 430 215 300 150 300 150
Como no tenemos valores en los demás cuadros consideramos M=1000 Pero en el tercer periodo por políticas populistas debe satisfacer la demanda para el mercado tres y cinco.
Además Σai≠Σbi (2160-13 00=860). Añadimos una columna de ceros, cuya demand a será 860.
1 TE1 2 TE2 3 TE3 4 TE4 5 TE5 1300
1 100.00 125.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 200
2 104.00 130.00 96.00 120.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 150
Periodo 3 4 108.00 112.00 135.00 140.00 100.00 104.00 125.00 130.00 115.00 119.00 143.75 148.75 1000.00 102.00 1000.00 127.50 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 700 250
5 116.00 145.00 108.00 135.00 123.00 153.75 106.00 132.50 105.00 131.25 0
6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 860
2160 180 90 230 115 430 215 300 150 300 150 860
Método UV o Método Modi 1. Comenzar con alguna solución factible básica inicial, utilizando cualquiera de los métodos ( método de la esquina N-O; matriz mínima; Vogel; Russel) 2, Dibujar una matriz que corresponda a la presente matriz solución excepto en que los elementos son los z ij costos de la variables báicas en lugar de las m agnitudes de las variables. Esta matriz es la 100 125
130 96
100 125 115 143.75
148.75 102
106
0 0 0 0
riz c*.
3. Se construye un conjunto de números llamados vj a lo largo de la parte superior de la matriz zij y un conjunto de números llamados ui a lo largo del lado izquierdo; tales que su suma iguale a los valores encerrados en el círculo y de sus intersecciones y por tanto satisfagan zij=ui+vj y completar las celdas vacías con las sumas de los ui y vj de las correspondientes filas y columnas. u1 u2 u2 u3 u3 u4 u5 u6 u6 u7 u7 u7 u8 u9 u10
os los elementos no os rectas. Vuelva al paso
+ + + + + + + + + + + + + + +
v1 v1 v2 v2 v3 v3 v3 v3 v4 v4 v5 v6 v6 v6 v6
100.00 125 130 96 100 125 115 143.75 148.75 102 106 0 0 0 0
Haciendo v1=0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10
MATRIZ Zij
vj ui 10 0 12 5 91
te todo, una de las filas o de los ceros de esta hilera. el cero encerrado en el Los ceros en los círculos
11 6 10 6 134.75 88 88 88 88
0
5
9
14
18
100.00 125.00 91.00 116.00 106.00 134.75 88.00 88.00 88.00 88.00
105.00 130.00 96.00 121.00 111.00 139.75 93.00 93.00 93.00 93.00
109.00 134.00 100.00 125.00 115.00 143.75 97.00 97.00 97.00 97.00
114.00 139.00 105.00 130.00 120.00 148.75 102.00 102.00 102.00 102.00
118.00 143.00 109.00 134.00 124.00 152.75 106.00 106.00 106.00 106.00
-88
12.00 37.00 3.00 28.00 18.00 46.75 0.00 0.00 0.00 0.00
100 125 91 116 106 134.75 88 88 88 88
4. Calcular cij-zij . Si todos los cij-zij>=0 la solución es óptima. Si uno o más cij-zij<0 será posible una solución mejor.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
0.00 0.00 909.00 884.00 894.00 865.25 912.00 912.00 912.00 912.00
-1.00 0.00 0.00 -1.00 889.00 860.25 907.00 907.00 907.00 907.00
-1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 903.00 903.00 903.00 903.00
-2.00 1.00 -1.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 25.50 898.00 898.00
-2.00 2.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 0.00 26.50 -1.00 25.25
-12.00 -37.00 -3.00 -28.00 -18.00 -46.75 0.00 0.00 0.00 0.00
5. De esta variables que tienen un costo de entrada negativo, se determina la que lo tenga más pequeño (más negativo). Pasando a la matriz solución, se traza la trayectoria "+,-" que empieza en esta variable. Se iguala 0 a la variable solución más pequeña de las que se están en la celda que contiene signo menos. Valor mínimo
-46.75
Esta celda tiene el costo de entrada más pequeño. Trazamos la trayectoria "+;-" en la matriz de variables básicas 180.00 20.00
70.00 80.00
150.00 115.00 430.00 5.00
210.00 40.00
0.00
+ 260.00 150.00 300.00
150.00 180.00 20.00
200
70.00 80.00
150
150.00 115.00 430.00 5.00
700
0.00 250.00
0.00
250
0
180 90 230 115 430 215 300 150 300 150
210.00 50.00 150.00 300.00 150.00 860
6. Ahora se repiten los pasos 2 a 5 hasta que alguna iteracción demuestre que la solución es óptima.
10 0 12 5 91 11 6 10 6 134.75 134.75 134.75 134.75 134.75
0
5
-22.75
-18.75
-134.75
100.00 125.00 91.00 116.00 106.00 134.75 134.75 134.75 134.75 134.75
105.00 130.00 96.00 121.00 111.00 139.75 139.75 139.75 139.75 139.75
109.00 134.00 100.00 125.00 115.00 143.75 143.75 143.75 143.75 143.75
9
77.25 102.25 68.25 93.25 83.25 112.00 102.00 112.00 112.00 112.00
81.25 106.25 72.25 97.25 87.25 116.00 106.00 116.00 116.00 116.00
-34.75 -9.75 -43.75 -18.75 -28.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 909.00 884.00 894.00 865.25
-1.00 0.00 0.00 -1.00 889.00 860.25
-1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
34.75 37.75 35.75 36.75 35.75 36.75
34.75 38.75 35.75 37.75 35.75 37.75
34.75 9.75 43.75 18.75 28.75 0.00
865.25 865.25 865.25 865.25
860.25 860.25 860.25 860.25
Valor mínimo
-11.00
180.00 20.00
70.00 80.00
856.25 856.25 856.25 856.25
0.00 15.50 888.00 888.00
0.00 16.50 -11.00 15.25
250.00
0.00
150.00 115.00 430.00 5.00 +
180.00 20.00
70.00 80.00
150.00 115.00 430.00 5.00 250.00
0.00 0.00
200
100.00 125.00 91.00
150
0
5.00
100.00 125.00 91.00
105.00 130.00 96.00
700 9.00
109.00 134.00 100.00
0.00 0.00 0.00 0.00
210.00 50.00 150.00 300.00 150.00 180 90 230 115 430 215 300 150 300 150
210.00 50.00 150.00 300.00 150.00
250
0
860
-22.75
-29.75
-134.75
77.25 102.25 68.25
70.25 95.25 61.25
-34.75 -9.75 -43.75
116.00 106.00 134.75 -134.75 134.75 134.75 134.75
116.00 106.00 134.75 -134.75 134.75 134.75 134.75
121.00 111.00 139.75 -129.75 139.75 139.75 139.75
125.00 115.00 143.75 -125.75 143.75 143.75 143.75
93.25 83.25 112.00 102.00 112.00 112.00 112.00
86.25 76.25 105.00 -164.50 105.00 105.00 105.00
-18.75 -28.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 909.00 884.00 894.00 865.25 1134.75 865.25 865.25 865.25
-1.00 0.00 0.00 -1.00 889.00 860.25 1129.75 860.25 860.25 860.25
-1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1125.75 856.25 856.25 856.25
34.75 37.75 35.75 36.75 35.75 36.75 0.00 15.50 888.00 888.00
45.75 49.75 46.75 48.75 46.75 48.75 270.50 27.50 0.00 26.25
34.75 9.75 43.75 18.75 28.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Valor minimo
-1.00
180.00 20.00
70.00 80.00 +
150.00 115.00 430.00 5.00 250.00 0.00
180.00 20.00
70.00 0.00
230.00
210.00 50.00 150.00 300.00 150.00 180 90 230
80.00
35.00 430.00 5.00 250.00 0.00
200
100.00 125.00 90.00 115.00 105.00 133.75 133.75 133.75 133.75 133.75
150
700 10.00
250
0
210.00 50.00 150.00 300.00 150.00 860
0
5.00
-21.75
-28.75
-133.75
100.00 125.00 90.00 115.00 105.00 133.75 133.75 133.75 133.75 133.75
105.00 130.00 95.00 120.00 110.00 138.75 138.75 138.75 138.75 138.75
110.00 135.00 100.00 125.00 115.00 143.75 143.75 143.75 143.75 143.75
78.25 103.25 68.25 93.25 83.25 112.00 102.00 112.00 112.00 112.00
71.25 96.25 61.25 86.25 76.25 105.00 105.00 105.00 105.00 105.00
-33.75 -8.75 -43.75 -18.75 -28.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 910.00 885.00 895.00 866.25 866.25 866.25 866.25 866.25
-1.00 0.00 1.00 0.00 890.00 861.25 861.25 861.25 861.25 861.25
-2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 856.25 856.25 856.25 856.25
33.75 36.75 35.75 36.75 35.75 36.75 0.00 15.50 888.00 888.00
44.75 48.75 46.75 48.75 46.75 48.75 1.00 27.50 0.00 26.25
33.75 8.75 43.75 18.75 28.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Valor mínimo
-2.00
180.00 20.00
70.00
+
115 430 215 300 150 300 150
80.00
230.00 35.00 430.00 5.00 250.00 0.00
145.00 55.00
35.00 230.00 0.00 430.00 5.00 250.00 0.00
100.00 125.00 92.00 115.00 107.00 135.75 135.75 135.75 135.75 135.75
180 90 230 115 430 215 300 150 300 150
35.00 115.00
200
210.00 50.00 150.00 300.00 150.00
150
700
250
0
210.00 50.00 150.00 300.00 150.00 860
0.00
5.00
8.00
-23.75
-30.75
-135.75
100.00 125.00 92.00 115.00 107.00 135.75 135.75 135.75 135.75 135.75
105.00 130.00 97.00 120.00 112.00 140.75 140.75 140.75 140.75 140.75
108.00 133.00 100.00 123.00 115.00 143.75 143.75 143.75 143.75 143.75
76.25 101.25 68.25 91.25 83.25 112.00 102.00 112.00 112.00 112.00
69.25 94.25 61.25 84.25 76.25 105.00 105.00 105.00 105.00 105.00
-35.75 -10.75 -43.75 -20.75 -28.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 908.00
-1.00 0.00 -1.00
0.00 2.00 0.00
35.75 38.75 35.75
46.75 50.75 46.75
35.75 10.75 43.75
885.00 893.00 864.25 864.25 864.25 864.25 864.25 Valor mínimo 145.00 55.00
0.00 888.00 859.25 859.25 859.25 859.25 859.25
2.00 0.00 0.00 856.25 856.25 856.25 856.25
38.75 35.75 36.75 0.00 15.50 888.00 888.00
50.75 46.75 48.75 1.00 27.50 0.00 26.25
20.75 28.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
-1.00 + 35.00
35.00 230.00
115.00 430.00 5.00 250.00 0.00 110.00 90.00
35.00 0.00 115.00
35.00 230.00 0.00 430.00 5.00
250
0
210.00 50.00 150.00 300.00 150.00 860
8.00
-23.75
-30.75
-135.75
108.00 133.00
76.25 101.25
69.25 94.25
-35.75 -10.75
250.00 0.00 200
100.00 125.00
150
0.00
4.00
100.00 125.00
104.00 129.00
210.00 50.00 150.00 300.00 150.00
700
180 90 230 115 430 215 300 150 300 150
92.00 116.00 107.00 135.75 135.75 135.75 135.75 135.75
92.00 116.00 107.00 135.75 135.75 135.75 135.75 135.75
96.00 120.00 111.00 139.75 139.75 139.75 139.75 139.75
100.00 124.00 115.00 143.75 143.75 143.75 143.75 143.75
68.25 92.25 83.25 112.00 102.00 112.00 112.00 112.00
61.25 85.25 76.25 105.00 105.00 105.00 105.00 105.00
-43.75 -19.75 -28.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 908.00 884.00 893.00 864.25 864.25 864.25 864.25 864.25
0.00 1.00 0.00 0.00 889.00 860.25 860.25 860.25 860.25 860.25
0.00 2.00 0.00 1.00 0.00 0.00 856.25 856.25 856.25 856.25
35.75 38.75 35.75 37.75 35.75 36.75 0.00 15.50 888.00 888.00
46.75 50.75 46.75 49.75 46.75 48.75 1.00 27.50 0.00 26.25
35.75 10.75 43.75 19.75 28.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Como en la tabla no encontramos valores negativos, hemos llegado a la solución óptima. Periodo
n ó i c c u d o r P
1 TE1 2 TE2 3 TE3 4 TE4 5 TE5
1 110.00 90.00
2 35.00
3 35.00
4
5
6
230.00 115.00 430.00 5.00 250.00 0.00
210.00 50.00 150.00 300.00 150.00
El plan de adquisiciones más ventajoso es P1>>>D1=110 P1>>>D2=35 P1>>>D3=35 PTE1>>>D1=90
P2>>>D3=230 PTE2>>>D2=115 P3>>>D3=430 PTE3>>>D3=5 100.00 125.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00
104.00 130.00 96.00 120.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00
P4>>>D4=250
108.00 135.00 100.00 125.00 115.00 143.75 1000.00 1000.00 1000.00 1000.00
Matriz producto Variables solucion*costo 11000.00 3640.00 3780.00 11250.00 0.00 0.00 23000.00 0.00 0.00 13800.00 0.00 0.00 49450.00 0.00 0.00 718.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 El costo mínimo total será
142138.75 u.m.
112.00 140.00 104.00 130.00 119.00 148.75 102.00 127.50 1000.00 1000.00
116.00 145.00 108.00 135.00 123.00 153.75 106.00 132.50 105.00 131.25
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 25500.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
1, Encontramos la solución básica inicial mediante el método de la esquina N-O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 200 20 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 150 80 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 700 550 435 5 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 250 40 0
0 0 0 135 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
Tenemos Matriz de las variables básicas 180 20 70 80 150 115 430 5 210 40
86 0
600 450 150
0
260 150 300 150
MATRIZ Cij 100 125
Matriz de Costos de las variables solución 104 108 112 116 130 135 140 145
0 0
180 90 230 115 430 215 300 150 300 150
0 70 150 0 0 210 260 0 0
0 0 0 0
X11=MIN(180;200) X21=MIN(90;20) X22=MIN(70;150) X32=MIN(230;80) X33=MIN(150;700) X43=MIN(115;550) X53=MIN(430;435) X63=MIN(215;5) X64=MIN(210;250) X74=MIN(300;40) X75=MIN(260;0) X76=MIN(260;860) X86=MIN(150;600) X96=MIN(300;450) X10,6=MIN(150;150)
X11= 180 X21= 20 X22= 70 X32= 80 X33= 150 X43= 115 X53= 430 X63= 5 X64= 210 X74= 40 X75= 0 X76= 260 X86= 150 X96= 300 X10,6= 150
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000
96 120 1000 1000 1000 1000 1000 1000
100 125 115 143.75 1000 1000 1000 1000
104 130 119 148.75 102 127.5 1000 1000
108 135 123 153.75 106 132.5 105 131.25
0 0 0 0 0 0 0 0
v1 v2 v3 v4 v5 v6
0 5 9.00 14.00 18.00 -88.00
PRODUCTO PERECEDERO La demanda de un artículo perecedero en l os proximos cuatro meses de 700, 830, 400 y 430 toneladas, respectivamente. La capacidad de almacenamiento por los meses sucesivos del periodo de planeación es de 600, 500, 620 y 580 toneladas y los precios correspondientes por toneladas son 120, 160, 140 y 170 dólares, respectivamente. Como el artículo es perecedero, la compra corriente de un mes se debe consumir totalmente dentro de los 3 meses siguientes a la compra (incluida el m es corriente). Se estima que el costo de almacenamiento por toneladas y meses es de $3. De nuevo, la naturaleza del artículo no permite tener pedidos pendientes de sufrir. Formule el problema como un m odelo de transporte.
CONSULTORE Mobil Oil tiene s Estado Unidos, una tarifa de $ 4 Indonesia ha soli semanales por c tabla muestra la
SOLUCI N
Desde Estados Unidos Rusia Nigeria
meses 1 2 3 4
1
2
3
120
123 160
126 163 140
700
830
4
400
166 143 170 430
600 500 620 580
a) Formule un b) Arabia Saudit consultor reside $900 y uno de lo
Completamos los espacios en blanco con M=1000 SOLUCI N 1 2 3 4
2360
1
2
3
4
120 1000 1000 1000 700
123 160 1000 1000 830
126 163 140 1000 400
1000 166 143 170 430
2300
600 500 620 580
a) Calculamos la Estados Unidos
Además Σai≠Σbi (2360-2 300=60). Añadimos una fila de ceros, cuya oferta será 60.
Rusia 1 2 3 4 5
1
2
3
4
120 1000 1000 1000 0
123 160 1000 1000 0
126 163 140 1000 0
1000 166 143 170 0
2360
600 500 620 580 60
Nigeria
2360
700
830
400
430
Método UV o Método Modi
El siguiente cua
1. Comenzar con alguna solución factible básica inici al, utilizando cualquiera de los métodos (método de la esquina N-O; matriz mínima; Vogel; Russel) 1 1 0 0 0 700 100 0
0 1 1 0 0 830 430 0
0 0 0 1 1 430 60
X11= 600 X21= 100 X22= 400 X32= 430 X33= 190 X43= 210 X44= 370 X54= 60
X11=MIN(600;700) X21=MIN(500;100) X22=MIN(400;830) X32=MIN(620;430) X33=MIN(190;400) X43=MIN(580;210) X44=MIN(370;430) X54=MIN(60;60) 600 100
0 0 1 1 0 400 210 0
400 430
190 210
123 160 1000
126 163 140
0 400 190 370
0 0 0
Como buscamo Estados Unidos Rusia Nigeria 1. Comenzar co N-O; matriz míni 1 0 0 2 0
370 60
MATRIZ Cij 120 1000 1000
600 500 620 580 60
Estados Unidos Rusia Nigeria
1000 166 143
X11=MIN(3;2) X12=MIN(1;1) X13=0 X23=MIN(2;3) X33=MIN(1;1)
1000 0
1000 0
1000 0
170 0
2, Dibujar una matriz que corresponda a la presente matriz solución excepto en que los elementos son los z ij costos de la variables báicas en lugar de las magnitudes de las variables. Esta matriz es la
120 1000
160 1000
140 1000
170 0
3. Se construye un conjunto de números llamados vj a lo largo de la parte superior de la matriz zij y un conjunto de números llamados ui a lo largo del lado izquierdo; tales que su suma iguale a los valores encerrados en el círculo y de sus intersecciones y por tanto satisfagan zij=ui+vj y completar las celdas vacías con las sumas de los ui y vj de las correspondientes filas y columnas.
2, Dibujar una m la variables báic
3. Se construye números llamad de sus intersecci las correspondie
-900
MATRIZ Zij
Vj Ui
0
-840
-1700
-2530
12 0 1000 1840 2700
120 1000 1840 2700 2530
-720 160 1000 1860 1690
-1580 -700 140 1000 830
-2410 -1530 -690 170 0
2530
4. Calcular cij-zij . Si todos los cij-zij>=0 la solución es óptima. Si uno o más cij-zij<0 será posible una solución mejor.
0 0 -840 -1700 -2530
843 0 0 -860 -1690
1706 863 0 0 -830
3410 1696 833 0 0
5. De esta variables que tienen un costo de entrada negativo, se determina la que lo tenga más pequeño
-1200 -1400
4. Calcular c i j - solución mejor.
(más negativo). Pasando a la matriz solución, se traza la trayectoria "+,-" que empieza en esta variable. Se iguala 0 a la variable solución más pequeña de las que se están en la celda que contiene signo menos. Valor mínimo 600 100
-2530 400 430
Estados Unidos Rusia Nigeria 190 210
+ 600 40
460 370
250 150
60 700
La solución ópti
830
400
370 60
De la Matriz Ben 600 500 620 580 60
430 0 430
Obtenemos ben b) Como Arabia Además Σai ≠ Σ
6. Ahora se repiten los pasos 2 a 5 hasta que alguna iteracción demuestre que la solución es óptima.
12 0 1000 1840 2700 0
0
-840
-1700
-2530
120 1000 1840 2700 0
-720 160 1000 1860 -840
-1580 -700 140 1000 -1700
-2410 -1530 -690 170 -2530
0 0 -840 -1700 0
843 0 0 -860 840
1706 863 0 0 1700
3410 1696 833 0 2530
Estados Unidos Rusia Nigeria Empleamos el m
Valor mínimo 600 40
-1700 460 370
+ 60 600 0
500 330
40 60
12 0 -700 14 0 1000 0
250 150
430
290 110
430
0
860
0
120 -700 140 1000 0
980 160 1000 1860 860
120 -700 140 1000 0
-710 -1530 -690 170 -830
0 1700 860 0 0
-857 0 0 -860 -860
6 863 0 0 0
1710 1696 833 0 830
290 110
430
Valor mínimo
-830
-860
600 40 60
500 330 +
0 -300 -300
600 40 60
12 0 16 0 1000 1000 0
500 220 110
400 0
430
0
0
-860
-830
120 160 1000 1000 0
120 160 1000 1000 0
-740 -700 140 140 -860
-710 -670 170 170 -830
0 840 0 0 0
3 0 0 0 0
866 863 0 860 860
1710 836 -27 0 830
Valor mínimo
-27 -800 -1100 -800
600 40 60
500 220 110
400
+ 430
500 0 330
400
220 210
600 40 60
-800 -1100 -1100
12 0 16 0 97 3 1000 0
0
0
-833
-830
120 160 973 1000 0
120 160 973 1000 0
-713 -673 140 167 -833
-710 -670 143 170 -830
0 840 27 0 0
3 0 27 0 0
839 836 0 833 833
1710 836 0 0 830
-800 -1100 -1300
Como en la tabla no encontramos valores negativos, hemos llegado a la solución óptima. Tenemos la solu 1 2 3 4 5
1
2
3
4
600 0 0 40 60
0 500 0 330 0
0 0 400 0 0
0 0 220 210 0
Estados Unidos Rusia Nigeria Calculamos la m
Matriz Costos = Matriz Cij * Matriz Variables Solución 72000 0 0 40000 Costo mínimo
0 80000 0 330000 645160
0 0 56000 0
0 0 31460 35700
El maximo bene
INTERNACIONALES DE PETR LEO is consultores internacionales de petróleo, tres de los cuales están actualmente ubicados en los os en Rusia y uno en Nigeria. Arabia Saudita ha solicitado dos consultores durante una semana a 200 cada uno. Venezuela ha solicitado un c onsultor durante una semana a una tarifa de $ 4000. icitado tres consultores durante una semana a una tarifa semanal de $ 4000 cada uno. Los gastos onsultor son de $ 1400 en Arabia Saudita, $1000 en Venezuela y $700 en Indonesia. La siguiente tarifas de viaje redondo (en $) para enviar por avion a los consultores. Hacia Arabia Saudita Venezuela 1900 900 1700 1700 1400 1300
Indonesia 2100 1800 1600
odelo matemático para determinar un plan de distribución para maximizar la ganancia neta. acaba de cancelar la solicitud de uno de los consultores, la gerencia de Mobil Oil sabe que un te de Rusia durante una semana tiene una ganancia neta de $1100, un consultor de Nigeria gana s EEUU no gana nada. ¿Cómo cambia esta información la solución óptima en a)?
ganancia neta de cada consultor Arabia Saudita Venezuela 4200 4000 -1400 -1000 -1900 -900 900 2100 4200 4000 -1400 -1000 -1700 -1700 1100 1300 4200 4000 -1400 -1000 -1400 -1300
Indonesia 4000 Tarifa -700 Gastos semanales -2100 Gastos viajes 1200 Ganancia 4000 -700 -1800 1500 4000 -700 -1600
1400
1700
1700
ro muestra las ganancias netas por consultor. Arabia Saudita Venezuela 900 2100 1100 1300 1400 1700 2
1
Nota Σai = Σbi.
Indonesia 1200 1500 1700
3 2 1
3
maximizar las ganancias, multiplicamos por -1 los datos y empleamos el método UV Arabia Saudita Venezuela -900 -2100 -1100 -1300 -1400 -1700 2 1
Indonesia -1200 -1500 -1700 3
3 2 1
alguna solución factible básica inicial, utilizando cualquiera de los métodos (método de la esquina ma; Vogel; Russel) 1 0 0 1 0
1 1 1 3 1
X11= X12= X13= X23= X33= 2
2 1 0 2 1
3 1 0 2 0 1 Al aplicar el método de la esquina N-O, existe un h y un k donde
a1 a2 ... ah
b1 b2 ... bk
procediendo con el método habitual, llegaríamos a una solución con menos de m+n-1 variables solución mayores que cero, es decir, no tendríamos una solución básica inicial. Para evitar ello hacemos
x h ; k 1
0
1
0
2 1 atriz que corresponda a la presente matriz solución excepto en que los elementos son los costos de z ij as en lugar de las magnitudes de las variables. Esta matriz es la
-900 -1100 -1400
-2100 -1300 -1700
-1200 -1500 -1700
MATRIZ Cij
un conjunto de números llamados vj a lo largo de la parte superior de la matriz zij y un conjunto de s ui a lo largo del lado izquierdo; tales que su suma iguale a los valores encerrados en el círculo y iones y por tanto satisfagan zij=ui+vj y completar las celdas vacías con las sumas de los ui y vj de ntes filas y columnas. 0
-1200
-300
-900 -1200 -1400
-2100 -2400 -2600
-1200 -1500 -1700
MATRIZ Zij
i j . Si todos los cij-zij>=0 la solución es óptima. Si uno o más cij-zij<0 será posible una
0 100 0
0 1100 900
0 0 0
2 0 +
1 0 0
0 2 1
2 0 0
1 0 0
0 2 1
Si en la matriz Cij-Zij existen ceros en las celdas correspondientes a variables no básicas, esto indica la existencia de soluciones óptimas alternativas
a será Arabia Saudita Venezuela 2 0 0
Indonesia
1 0 0
0 2 1
1800 0 0
2100 0 0
0 3000 1700
ficio maximo
8600
eficio total
Saudita ha cancelado la solicitud de un consultor, debemos hacer un destino ficticio a otro país. i (6-5=1). Añadimos una columna de ceros, cuya demanda será de 1 consultor.
Arabia Saudita Venezuela 0 2100 1100 1300 900 1700
Indonesia 1200 1500 1700
Perú 0 0 0
1
3
1
0 -1100 -900
-2100 -1300 -1700
-1200 -1500 -1700
0 0 0
1
1
3
1
1
1
1
0
1
3 2 1
étodo UV 3 2 1
3
2
1
0 0
0 0
1 0
1 1
1 0
1 0
3 2
1
X11= X12= X13= X23= X24= X34=
X11=MIN(3;1) X12=MIN(2;1) X13=MIN(1;3) X23=MIN(2;2) X24=0 X34=MIN(1;1) 1
1
0
0
1 1 1 2 0 1 1 2
0 1
0 -300 -300
-2100 -2100 -2400 -2400
-1200 -1200 -1500 -1500
300 0 0
0 -800 -600
0 1100 700
0 0 -200
-300 0 0
300
Minimo -800 1 +
1
0 1 0
1 0 0
2 1
1 2 2 1 0
0 1 0 0 1
0 -800 -1100 -1100 800 0 200
-1300 -2100 -2400 -2400
-400 -1200 -1500 -1500
1100 300 0 0
0 1100 700
0 0 -200
-300 0 0
1
2 1
+ 0 1
1
2 1
0 0 1
Minimo -300 1
1
-800 -1100 -800
0
-1300 -2100 -2400 -2100
-400 -1200 -1500 -1200
0 -300 0
800
800 0 -100
0 1100 400
0 0 -500
0 300 0
2 1 +
0
Minimo -500 1 1
1
1 1 0
-1300 -2100 -2400 -2600
-800 -1100 -1300
0 1100 900
800 0 400
1 1 1 -400 -1200 -1500 -1700
1 0 800 0 -300 -500
0 0 0
0 300 500
Indonesia 1 1 1
Perú 1
1200 1500 1700
0 0 0
ción Arabia Saudita Venezuela 1 1 atriz beneficio total 0 1100 0 icio
2100 0 0 7600
