Unidad 3. Fuerzas Interns en Marcos

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA CIVIL

APUNTES DE MECÁNICA DE MATERIALES I ING. MAURICIO GAMBOA-MARRUFO, D.PHIL.

Mecánica de Materiales I Unidad 3. Fuerzas internas en marcos. Objetivo:

Obtener las fuerzas internas, sus ecuaciones y sus diagramas en marcos isostáticos.

Temario desglosado: 3.1. 3.2. 3.3.

Naturaleza de las fuerzas internas en marcos. Fuerzas internas en un marco. Diagramas de fuerzas internas en marcos: de fuerzas normales, de fuerzas cortantes y de momentos flexionantes. Diagramas de momentos torsionantes.

3.4. Bibliografía:

Singer, F., Resistencia de Materiales (4ª Edición), Editorial Harla. Beer, F. P.; Johnston, E. R., Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática, (5ª Edición), Editorial McGraw-Hill. Lizarraga, I. M., Estructuras Isostáticas. Editorial McGraw-Hill.

3.A. INTRODUCCIÓN. Marco Rígido o Pórtico Rígido. Estructura compuesta de un cierto número de elementos rectilíneos o barras unidas entre sí por medio de juntas, nudos o conexiones, de los que algunos o todos son rígidos, es decir, capaces de resistir a la vez fuerzas y momentos. En el análisis de pórticos rígidos, se supone que el eje longitudinal de cada barra coincide con el centro de las juntas en los extremos de esta barra. El llamado centro del nudo es entonces el punto de concurrencia de todos los ejes longitudinales de las barras que inciden en el nudo (Fig. 3.1)

Viga 2

Viga 3

Viga 2

C

Nodo

Nodo

Viga 1

Viga 1

Viga 2 Viga 3

Nodo Viga 1

Viga 2

Nodo Viga 1

Fig. 3.1. Juntas rígidas en marcos. UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. – Página 1 de 15



En toda junta rígida, los extremos de todas las barras que en ella concurren, no solamente deben trasladarse, sino también rotar idénticas cantidades (Fig. 3.2). Barra1→ ∆x, ∆y Nodo ∆x, ∆y Barra2 ∆x, ∆y

Barra 2

→ →

θ

= θ1 = θ2 = θ3

θ2

Nodo

θ3

θ

N o d o

Barra 3

∆x

Barra 2

∆y

θ1

Barra 1

Barra1

Fig. 3.2. Desplazamientos en juntas rígidas de marcos. La transmisión de fuerzas y momentos de una barra a otra se realiza a través de los nodos partiendo de que si el todo se encuentra en equilibrio, cada una de sus partes también lo está. Así, cada barra, elemento o miembro debe encontrarse en equilibrio y cada nodo que los une también (Fig. 3.3). Nodo 1

}

Barra 2 Nodo 2

CARGAS ACTIVAS

Barra 1

Apoyo REACCIONES

Fig. 3.3. Transmisión de fuerzas internas entre elementos de un marco. UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. – Página 2 de 15



3.1. NATURALEZA DE LAS FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. Como se puede observar en la figura 3.3, las fuerzas internas en marcos son de la misma naturaleza de las que se encuentran en las vigas (Fig. 3.4).

Barra 2

Barra 2

Barra 1

FUERZA AXIAL

Barra 1

FUERZA CORTANTE

Barra 2

Barra 1

MOMENTO FLEXIONANTE

Fig. 3.4. Elementos mecánicos (fuerza axial, cortante y momento flexionante) en los elementos de un marco plano Con respecto a la figura 3.4 debe hacerse notar que, en la transmisión de fuerzas de una barra a otra, los elementos mecánicos en una dirección de una barra pasan a la siguiente variando de acuerdo con la dirección del siguiente elemento. Por ejemplo, en la figura 3.4 se puede ver que la carga axial de la primera barra se transmite como cortante de la segunda barra y el cortante como carga axial. Obviamente, esto depende del ángulo que exista entre las dos barras, cabiendo la posibilidad de que parcialmente la carga axial y la carga cortante de la primera barra contribuyan a las cargas axiales y cortantes del segundo elemento (como sucedió en el caso de las reacciones y los elementos mecánicos de las vigas inclinadas vistas con anterioridad). Generalmente los marcos rígidos se construyen con un alto grado de indeterminación estática. El estudio de marcos rígidos isostáticos sirve como introducción para el cálculo de los estáticamente indeterminados. Los marcos rígidos determinados se clasifican, según el tipo de apoyos que tengan, en simples y triarticulados (Fig. 3.5).

UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. – Página 3 de 15



B

A

C

D

B

A

C

D

Fig. 3.5 Marcos rígidos isostáticos: simple y triarticulado. Los marcos simples son aquellos que tienen un apoyo simplemente apoyado y otro articulado. Los marcos triarticulados poseen sus dos apoyos articulados, lo que hace necesaria la existencia de otra articulación en el interior de la estructura, con objeto de que ésta sea isostática. 3.3 DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS EN MARCOS: DE FUERZAS NORMALES, DE FUERZAS CORTANTES Y DE MOMENTOS FLEXIONANTES. Al igual que en las vigas, en los marcos se realiza el análisis de la estructura para conocer los elementos mecánicos máximos (o mínimos) que se generan en ella. Por lo tanto, es importante la obtención de los diagramas de los elementos mecánicos y de las ecuaciones correspondientes. Para realizar el análisis de los marcos, seguiremos los mismos pasos que utilizamos en las vigas considerando los cambios de dirección debido a los ángulos correspondientes entre elementos. Recurriremos a la viga presentadas en las figuras 3.6 y 3.7 para ejemplificar estos pasos en un marco simple y un marco triarticulado con cabezal de dos aguas. El primer paso, como siempre, es la verificación de que la estructura sea isostática, para ello consideraremos como incógnitas a las fuerzas en los extremos de las barras (y por lo tanto en los nodos) y las ecuaciones serán las del equilibrio que se puedan considerar para las fuerzas implicadas.




Marco simple

w

B

C

w = 2 T/m p = 5 T AB = CD = 8 m BC = 4m p a C = p a D = 4m

GIT = 0 AB 6 incógnitas – 3 ecuaciones BC 6 incógnitas – 3 ecuaciones CD 6 incógnitas – 3 ecuaciones B 3 ecuaciones C 3 ecuaciones A 2 ecuaciones D 1 ecuaciones -----------------------------------------------------------------------------------

18 incógnitas 18 ecuaciones GIE = 0 A 2 incógnitas D 1 incógnitas ----------------------------------------------------------------------------------

3 incógnitas

3 ecuaciones

GII = GIT - GIE = 0 – 0 = 0 AB 5 incógnitas – 3 ecuaciones BC 6 incógnitas – 3 ecuaciones CD 4 incógnitas – 3 ecuaciones B 3 ecuaciones C 3 ecuaciones

p

A

D

GIT = 0 AB 5 incógnitas – 3 ecuaciones BC 6 incógnitas – 3 ecuaciones CD 4 incógnitas – 3 ecuaciones B 3 ecuaciones C 3 ecuaciones -----------------------------------------------------------------------------------

15 incógnitas 15 ecuaciones GIE = 0 A 2 incógnitas D 1 incógnitas ----------------------------------------------------------------------------------

3 incógnitas

3 ecuaciones

GII = GIT - GIE = 0 – 0 = 0

-----------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------

15 incógnitas 15 ecuaciones


Fig. 3.6 Marco rígido isostático simple: grado de indeterminación. UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. – Página 5 de 15



Marco triarticulado w = 6 T/m AB = DE = 8 m Dist. vertical BC = CD = 4m Dist. horizontal BC = CD = 6m GIT = 0 AB 6 incógnitas – 3 ecuaciones BC 6 incógnitas – 3 ecuaciones CD 6 incógnitas – 3 ecuaciones DE 6 incógnitas – 3 ecuaciones B 3 ecuaciones C 2 ecuaciones D 3 ecuaciones A 2 ecuaciones E 2 ecuaciones -----------------------------------------------------------------------------------

24 incógnitas 24 ecuaciones GIE = 0 A 2 incógnitas E 2 incógnitas ----------------------------------------------------------------------------------

4 incógnitas

4 ecuaciones

w C B

D

A

E

GIT = 0 AB 5 incógnitas – 3 ecuaciones BC 5 incógnitas – 3 ecuaciones CD 5 incógnitas – 3 ecuaciones DE 5 incógnitas – 3 ecuaciones B 3 ecuaciones C 2 ecuaciones D 3 ecuaciones -----------------------------------------------------------------------------------

GII = GIT - GIE = 0 – 0 = 0 AB 5 incógnitas – 3 ecuaciones BC 5 incógnitas – 3 ecuaciones CD 5 incógnitas – 3 ecuaciones DE 5 incógnitas – 3 ecuaciones B 3 ecuaciones C 2 ecuaciones D 3 ecuaciones -----------------------------------------------------------------------------------


20 incógnitas 20 ecuaciones GIE = 0 A 2 incógnitas E 2 incógnitas ----------------------------------------------------------------------------------

4 incógnitas

4 ecuaciones

GII = GIT - GIE = 0 – 0 = 0 -----------------------------------------------------------------------------------


Fig. 3.7 Marco rígido isostático triarticulado: grado de indeterminación. UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. – Página 6 de 15



El segundo paso consiste en obtener las reacciones de la estructura, en el caso de la viga simplemente apoyada utilizando las tres ecuaciones de la estática disponibles (Fig. 3.8) y en el de la viga triarticulada, estás mismas ecuaciones mas la de condición implícita en la junta articulada que se encuentra en el interior de la estructura (Fig. 3.9). w Marco simple w = 2 T/m p = 5 T AB = CD = 8 m BC = 4m p a C = p a D = 4m

F =0

→

R Ax – 5 = 0

MzA = 0

→

4·R Dy + 4·p – 4/2 · (w·4) = 0

→

4·R Dy + 4·5 – 2·(2·4) = 0

→

R Dy = –1 T

→

R Ay + R Dy – w·4 = 0

→

R Ay + (–1) – 2·4 = 0

→

R Ay = 9 T

Σ x

C

B

Σ

p

y

x

F =0

Σ y

z A

R Ax

D

R Ay

→

R Ax = 5 T

R Dy

Fig. 3.8 Marco rígido isostático simple: reacciones. w Marco t riarticulado w = 6 T/m AB = DE = 8 m Dist. vertical BC = CD = 4m Dist. horizontal BC = CD = 6m

MzA = 0

Σ

C

B

D

MzC CDE = 0

y

Σ

→

12·R Ey – 6 (w·12) = 0

→

12·R Ey – 6 (6·12) = 0

→

R Ey = 36 T

→

6·R Ey+12·R Ex –6/2·w·6 = 0

→

6·36+12·R Ex –3·6·6 = 0

→

R Ex = –9 T

x z

A

E

R Ax

R Ex

Por simetría de geometría y de cargas: R Ay

R Ey →

R Ay = 36 T

→

R Ax = 9 T (ΣFx=0, ΣFy=0)

Fig. 3.8 Marco rígido isostático triarticulado: reacciones.




Antes de continuar con el siguiente paso en la resolución de los marcos es conveniente definir la dirección en que se recorrerán los elementos con el fin de obtener los diagramas y ecuaciones de los elementos mecánicos de cada uno de ellos. Utilizar un sistema de ejes coordenados locales para cada elemento que constituye el marco permitirá obtener los diagramas y ecuaciones de los elementos mecánicos de un marco de manera inequívoca (Fig. 3.9). w Marco simple

y

B

w = 2 T/m p = 5 T AB = CD = 8 m BC = 4m p a C = p a D = 4m

C

x

Ej. Loc. Elem. 3 y z

z

x

Ej. Loc. Elem. 2

x

p

y y z

x

Ej. Loc. Elem. 1

z Ej. Glob.

A

R Ax = 5 T

D

R Ay = 9 T

R D y = 1 T

w Marco triarticulado w = 6 T/m AB = DE = 8 m Dist. vertical BC = CD = 4m Dist. horizontal BC = CD = 6m

x

y z Ej. Loc. Elem. 2 B x

C

Ej. Loc. Elem. 3 z y

D

Ej. Loc. Elem. 4 y

y y x z Ej. Glob.

z Ej. Loc. Elem. 1

x

z x A

R Ax = 9 T R Ay = 36 T

E R E x = 9 T R ey = 36 T

Fig. 3.9 Ejes locales en los elementos de marcos simples. UNIDAD 3. FUERZAS INTERNAS EN MARCOS. – Página 8 de 15



Una vez definidos la dirección en que se recorrerán cada uno de los elementos del marco por medio de un sistema de ejes coordenados locales, se prosigue con el método de las secciones tal como se utilizó en las vigas. Cabe recordar que la variación de los diagramas, así como la validez de las ecuaciones está determinada por los rangos de aplicación de las cargas activas y los cambios de dirección de los elementos que constituyen al marco. Así, para el marco simple se tiene: y x

z

B

C

B

C

(-)

1T

0
-5T

x (-)

0
0 < x < 8 (+) N(x)=1

N(x)

y z

y

x

z

D

A -9T

0
9T

(+)

B

B

1T

z

C

C

y x

5T

0 < x < 4 (+) V(x)=5

x (-) 0
y

V(x)

z

y 4
z

D

A -5T


x



y x

z

B

- 40 Tm

B -40 Tm

0
(-)

C

-20 Tm

(-)

(-)

0
x

-20 Tm

C

0
y

Mz(x)

z

y 4
z

x

D

A 0 Tm

Para el marco triarticulado se sigue el mismo procedimiento, después de definir los parámetros geométricos y rotación de fuerza necesarias debido a las direcciones de los ejes locales. Así, tomando en cuenta la simetría del marco, analizamos la mitad izquierda del marco:

REACCIONES

C

36 x 0.555 = 19.98 T

x

9 x 0.832 = 7.488 T

y

9 x 0.832 = 7.488 T

z

4m

θ

B

θ

36 T

θ

6m

9T

BC = SQRT (4^2 + 6^2) = 7.211 m Sin θ = 4 / 7.211 = 0.555

36 x 0.832 = 29.952 T

CARGA REPARTIDA 36 x 0.555 = 19.98 T

19.98 T / 7.211m = 2.771 Tm

Cos θ = 6 / 7.211 = 0.832

θ

6 Tm* 6 m = 36 T

36 x 0.832 = 29.952 T


29.952 T / 7.211m =4.154 Tm



C x

-7.488 T

y z (-)

B

0 < x < 7.211 N(x)=-27.468 + 2.771x

-19.98 -7.488 -27.468 T

B

x

N(x)

0
(-)

y z A -36 T

0 < x < 7.211 V(x) = 24.957 - 4.154x

C ( - ) -4.995 T x

29.952 -4.995 -24.957 T

y

(+)

z B

V(x) = 0 x=6m

B

x (-) 0
y

V(x)

z A -9 T




2.97 Tm x

(+)

0 Tm

C

y z B

(-)

-72 Tm

B

0 < x < 7.211 Mz(x) = -72 + 24.957x - 2.077x2 Mz(6) = 2.97 Tm

-72 Tm

x (-) 0
y

Mz(x)

z A 0 Tm

Otra manera de obtener los diagramas y ecuaciones de momentos de las vigas y columnas de un marco es por medio de la sumatoria de los momentos que se transmiten de los nodos al elemento en estudio con los momentos generados por las cargas aplicadas a la misma viga o columna como si estuviera simplemente apoyada. Este tipo de ejercicio se realiza como práctica introductoria al tipo de diagramas y ecuaciones de momentos que se obtienen en vigas y columnas de marcos hiperestáticos. Así, para el marco simple, en las vigas y columnas que tienen aplicadas fuerzas activas cortantes (y por lo tanto generación de momento flexionante) fuera de los nodos, se tiene que los diagramas correspondientes pueden obtenerse en estos elementos de la siguiente manera (elementos B-C y C-D que tienen aplicadas las cargas de 2 Tm uniformemente repartida y puntual de 5 T en el punto medio de su longitud respectivamente):




y x

z

C

B

Mz(x)

-40 Tm

+

-20 Tm

2T/m

B

C

4T

4T

=

z

C

B

y

(-)

x

-20 Tm

0
-40 Tm

+ 4 Tm

Mz(x)

(+) 0 Tm

0 Tm

B B

0
=

C C

(-) -40 Tm

0

-20 Tm



y -20 Tm

z

2.5 T

C

x

Mz(x)

C

+

D

5T

=

D

2.5 T

0 Tm

y

Mz(x)

z -20 Tm

x

0 Tm

C

-20 Tm

C

C 0
(-) 0
(+)

+

(-) 0
= 4
D

D


4
D



Para el marco triarticulado, únicamente las barras B-C y C-D tienen carga cortante aplicada fuera de los nodos, por lo tanto, considerando la simetría, los momentos de la barra B-C pueden calcularse de la siguiente manera:

x

y z

0 Tm

C

C

14.976 T

M(x)

4.154 T/m

+

=

B B -72 Tm

14.976 T

Mz(x) C

0 Tm 0 Tm

x

y

C

z

3 Tm

0 Tm

(+)

27 Tm

(-)

(+)

+

=

B 0 Tm

B

(-)

-72 Tm -72 Tm 0 < x < 7.211 Mz(x )= -72 + 9.985x

0 < x < 7.211 Mz(x) = 14.976x – 2.077x2 Mz(3.606) = 27.0 Tm

0 < x < 7.211 Mz(x) = -72 + 24.961x – 2.077x2 Mz(6) = 3.0 Tm


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