Jjgp_19ene2012
ESTÁTICA D DEL S SÓLIDO R RÍ GIDO Fuente del documento: Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática. México, D.F. McGraw-Hill. Autor: BEER, Ferdinand P.
1.
ELEMENTOS RECTOS SOMETIDOS SOMETIDO S A LA ACCIÓN DE DOS FUERZAS Se tiene un cuerpo sometido a la acción de 2 fuerzas que actúan en A y B respectivamente, para que esté en equilibrio se debe cumplir que las dos fuerzas que actúan sobre éste deben tener la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos. Por ejemplo: si tenemos una placa en ángulo sujeta a 2 fuerzas F1 y F2 que actúan en A y B respectivamente (figura a). Si la placa está en equilibrio, la sumatoria de los momentos de F1 y F2 con respecto a cualquier eje debe ser cero. Primero se suman momentos con respecto al punto A, como el momento de F1 es igual a cero, el momento de F2 también debe serlo, por ello la línea de acción de F2 debe pasar a través de A (figura b). De igual modo, sumando momentos con respecto a B se demuestra que la línea de acción de F1 debe pasar a través de B (figura c).
Figura 1
Ambas fuerzas tendrán la misma línea de acción (línea AB). A partir de las ecuaciones ΣFx = 0 y ΣFy = 0 se observa que las fuerzas también deben tener la misma magnitud pero sentidos opuestos. Ahora, si tenemos un elemento recto sometido a la acción de 2 fuerzas que actúan en A y B, deduciremos que dichas fuerzas son F y –F, dirigidas a lo largo de AB.
1
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B
-F
-
B
F C -
C
A
A
tracción
A
F
F
a)
F
b
Figura 2
Cortando el elemento AB en C y dibujando el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) correspondiente a la porción AC, se concluye que las fuerzas internas que existían en C del elemento AB son equivalentes a una fuerza axial ( – F ) igual y opuesta a F. En el caso considerado el elemento está en tensión y se alongará bajo la acción de las fuerzas internas. Si las fuerzas tuvieran sentido contrario, el elemento se encontraría en compresión y disminuiría su longitud bajo la acción de las fuerzas internas. 2.
ELEMENTO QUE NO ES RECTO SOMETIDO A LA ACCIÓN DE DOS FUERZAS Se observa que un elemento que no es recto y está sometido a la acción de 2 fuerzas, tendrá que sus fuerzas internas se reducen a un sistema fuerza-par y no a una sola fuerza.
Figura 3 3.
FUERZAS EN ELEMENTOS SOMETIDOS A LA ACCIÓN DE VARIAS FUERZAS Considerando el elemento AD de la grúa, le hacemos un corte en J. Luego realizamos el D.C.L. correspondiente a la porción JD y se encuentra que se mantendrá en equilibrio si se aplica en J una fuerza F para balancear la componente vertical de T, una fuerza V para balancear la componente horizontal de T y un par M para balancear el momento de T con respecto a J.
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Nuevamente, se concluye que debieron haber existido fuerzas internas en J antes de que se cortara el elemento
a
b
c
d)
Figura 4
Las fuerzas internas que actúan en la porción JD del elemento AD son equivalentes al sistema fuerza-par de la figura b. De acuerdo con la 3°ley de Newton, las fuerzas internas que actúan sobre AJ deben ser equivalentes a un sistema fuerza-par igual y opuesto, tal y como se muestra en la figura c. Se observa que la acción de las fuerzas internas en el elemento AD no están limitadas a producir tensión o compresión como en el caso de los elementos rectos sometidos a la acción de dos fuerzas; ahora, las fuerzas internas también producen corte y flexión. La fuerza F es una fuerza axial, la fuerza V recibe el nombre de fuerza cortante y el momento M del par se conoce como momento flector en J. Cuando se determinan las fuerzas internas en un elemento, se debe indicar claramente sobre qué porción del elemento se supone que actúan dichas fuerzas. Las deformaciones que ocurrirán en el elemento AD se observan en la figura d.
Ejemplo Para el marco mostrado en la figura, determine las fuerzas internas en: • •
El punto J del elemento ACF En el punto K del elemento BCD.
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Figura 5
Solución Hacemos el D.C.L. del marco completo. Reemplazamos los soportes por las reacciones respectivas, asumiendo su sentido.
•
Calculamos las fuerzas externas del marco completo. Considerar momentos de sentido horario como positivos. •
ME = 0
Σ
(2400 N) (3,6 m) - F (4,8 m) = 0 ⇒
Considere positivas.
F
Σ y =
fuerzas
F = 1800 N verticales
hacia
arriba
0 – 2400 N + 1800 N + Ey= 0
F
Σ x =
⇒
Ey = 600 N
⇒
Ex = 0
como
Figura 6
0
Hacemos el DCL de cada elemento. Se desensambla el marco y como solo dos elementos están conectados en cada unión, se colocan componentes iguales y opuestas sobre cada elemento que converge en cada unión. •
Calculamos las fuerzas en el elemento BCD.
•
MB = 0
Σ
(2400 N) (3,6 m) - C y (2,4 m) = 0
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⇒
Cy = 3600 N
MC = 0
Σ
(2400 N) (1,2 m) - B y (2,4 m) = 0 ⇒
By = 1200 N
F
Σ x =
0 – Bx + Cx = 0
Figura 7
Se observa que Bx y Cx no se pueden obtener considerando únicamente el elemento BCD. Calculamos las fuerzas en el elemento ABE.
•
MA = 0
Σ
Bx (2,7 m) = 0 ⇒
F
Σ x =
Bx = 0
0 Bx – Ax = 0 ⇒ Ax = 0
F
Σ y =
0 – Ay + By + 600 N = 0 ⇒ Ay = 1800 N
Figura 8
5
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Volviendo al elemento BCD.
•
F
Σ x =
0 – Bx + Cx = 0 ⇒ Cx = 0
Comprobación: D.C.L. y cálculo en el elemento ACF.
•
Reemplazamos los valores ya calculados y este elemento debe estar en equilibrio.
MC = 0
Σ
(1800 N) (2,4 m) – Ay (2,4 m) – Ax (2,7 m) = 0 (1800 N) (2,4 m) – (1800 N) (2,4 m) = 0 El equilibrio queda comprobado. ⇒
Figura 9
Hallamos las fuerzas internas en J.
•
Se corta el elemento ACF en el punto J y se obtienen las dos partes que se muestran en la figura. Las fuerzas internas en J están representadas por un sistema fuerza-par y pueden determinarse considerando el equilibrio de cualquiera de las partes en que se ha dividido el elemento. Considerando el cuerpo libre AJ, se tiene:
MJ = 0
Σ
– (1800 N) (1,2 m) + M = 0 M = 2160 N.m ⇒
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F
Σ x =
0 F – (1800 N) cos 41,7°= 0 ⇒
F
Σ y =
F = 1344 N
0 V – (1800 N) sen 41,7°= 0 ⇒ V = 1197 N
Figura 10
Observamos que las fuerzas internas en J son equivalentes a un par M, a una fuerza axial F y a una fuerza cortante V. El sistema fuerza-par interno que actúa sobre la parte JCF es igual y opuesto. •
Hallamos las fuerzas internas en K.
Se corta el elemento BCD en el punto K y se obtienen las 2 partes mostradas en la figura.
Figura 11
Las fuerzas internas en J están representadas por un sistema fuerza-par y pueden determinarse considerando el equilibrio de cualquiera de las partes en que se ha dividido el elemento.
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Considerando el cuerpo libre BK, se tiene:
MK = 0
Σ
- (1200 N) (1,5 m) - M = 0
F
Σ x =
F
Σ y =
⇒
M = – 1800 N.m
⇒
F=0
0
0 – V – 1200 N = 0 ⇒ V = – 1200 N
Por lo anterior es importante indicar qué porción del elemento se ha utilizado para registrar las respuestas (magnitudes y sentidos, de las fuerzas y de los momentos).
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