MARCOS EN 2D Cuando se tienen marcos (pórticos) que se pueden describir en 2 dimensiones (marcos planos) se puede usar elementos viga que tienen 3 grados de libertad por cada nodo: deformaciones en las direcciones (x,y) y rotaciones en el eje z. Los demás grados de libertad no influyen en este tipo de problemas, simplificando la complejidad de los marcos espaciales. El procedimiento de análisis asume un elemento viga en el espacio con los grados de libertad tal como se muestran en la figura #1:
y
x
Figura #1. Elemento viga en un plano ( x,y) Al observar la figura anterior, se puede intuir que las deformaciones en alguno de los grados de libertad pueden determinar fuerzas resultantes en otro de los grados de libertad. Por ejemplo, asumiendo que al elemento de la figura se le aplica fuerza P en el grado de libertad u1 mientras se mantienen fijos los demás grados de libertad, esta fuerza inducirá una fuerza cortante de sentido opuesto en el grado de libertad u2:
Figura #2. Cortante en los nodos debido a deformación u1 Así pues, la matriz de rigidez expresara la manera en que se distribuyen las fuerzas internas del elemento cuando una fuerza externa actúa en alguno de los grados de libertad:
En la anterior, k 11 11 simboliza las fuerzas internas del nodo 1 debido a deformaciones del nodo 1, k 12
simboliza las fuerzas internas en el nodo 1 debido a deformaciones del nodo 2, y
sucesivamente.
Asumiendo que el elemento posee una longitud L, área transversal A, momento de inercia respecto al eje local z’ I, y además está hecho de un material con módulo de elasticidad E, se tiene que la matriz de rigidez del elemento respecto a su sistema local de coordenadas ( x’, y’) se escribe como:
En la anterior expresión, se tiene que
La matriz de transformación de coordenadas que permite expresar la matriz de rigidez en términos de las coordenadas globales ( x,y) se define como
Finalmente, la matriz de rigidez del elemento se expresa en coordenadas globales ( x,y):
Ejemplo
Suponga que se tiene una estructura de dos niveles con los grados de libertad mostrados y para el cual se quiere obtener la matriz de rigidez: v2 u2
Nodo 2 θ2
L
v1 u1
Nodo 1 θ1
L
v0 θ0 Nodo 0
u0
Figura #3. Sistema estructural de 3 nodos
Puede observarse que el sistema tiene 3 grados de libertad por cada nodo, y se pueden usar 2 elementos viga para conectar los nodos 0-1-2. También puede verse que para hacer coincidir la dirección de los grados de libertad del elemento viga mostrado en la figura #1 con los grados de libertad del elemento entre los nodos 0 y 1 es necesario asumir un ángulo de rotación 90°.
= -
() () [ ]
Puesto que el elemento 2 posee los mismos parámetros A, E, I, L, que el primer elemento, y además tiene el mismo ángulo de rotación, se puede establecer que la matriz de rigidez del segundo elemento ubicado entre los nodos 1 y 2 es igual que la matriz de rigidez del elemento entre los nodos 0 y 1:
() [ ]
Puesto que la estructura de la figura #3 muestra que los elementos 1 y 2 se conectan a través del nodo #2, la matriz de rigidez de toda la estructura se obtiene al ensamblar las matrices del elemento 1 y 2 a través de su conectividad:
[ ]
La ley de Hooke para esta estructura relaciona las fuerzas internas con los desplazamientos de los grados de libertad:
En la figura #3 puede verse que el nodo 0 esta empotrado, por lo que todos sus grados de libertad poseen cero deformación:
Lo anterior indica que la matriz de rigidez puede considerar únicamente los grados de libertad activos (aquellos que no se multiplican por una deformación igual a cero). Por tanto, podemos eliminar las primeras 3 columnas y las primeras 3 filas para reducir la matriz de rigidez:
[ ]
La anterior es la matriz de rigidez para la estructura mostrada en la figura #3. La Ley de Hooke permite observar cuales son los grados de libertad asociados con cada componente de la matriz de rigidez:
Reducción de Guyan
Puede suceder que nos interese reducir aún más la matriz de rigidez. Por ejemplo, podemos decir que las deformaciones axiales de los elementos (v1, v2) y las rotaciones (θ1, θ2) se desean expresar en términos de las deformaciones laterales (u1, u2). Para hacer esto, se recurre a la reducción de Guyan, el cual es una metodología para la reducción de grados de libertad. Por ejemplo, considérese la ecuación de movimiento de un sistema dada como
̈̈
Puede notarse en la matriz de masa que uno de los grados de libertad no posee masa. Los subíndices 0 indican este grado de libertad, y se desean condensar. La ecuación de movimiento puede reescribirse en términos de las 2 ecuaciones que la conforman:
̈
(1) (2)
De la ecuación (2) puede deducirse que
La ecuación (3) puede reemplazarse en (1), obteniendo como resultado
̈ () ̈ ( ) ̈
(3)
En la anterior ecuación puede verse la matriz de rigidez condensada grados de libertad del sistema:
k c la
cual reduce los
Reducción de Guyan en el ejemplo anterior
Para reducir la matriz de rigidez del ejemplo anterior basta con reordenarla, asociando los grados de libertad a reducir con los subíndices 0 en la reducción de Guyan:
Al reordenar la matriz de rigidez, pueden observarse los elementos de la reducción de Guyan:
Y por tanto, la matriz de rigidez condensada es
Caso: rotaciones despreciables (EIpiso =
) y deformaciones axiales despreciables (EA axial =
)
Cuando se asume que la rigidez de entrepiso es muy alta al igual que la rigidez axial de los elementos, se presume que las deformaciones asociadas son aproximadamente cero. Para este caso, se puede asumir que dichos grados de libertad no son activos y se pueden despreciar tal y como se despreciaron los grados de libertad asociados con los apoyos, eliminando la fila y la columna de los grados de libertad aproximados a cero:
[ ]
Puede notarse las diferencias en los valores de la matriz de rigidez para los casos anteriores:
Caso: v 1, v 2, θ1, θ2 condensados
Caso: v 1, v 2, θ1, θ2 despreciados
