UNIDAD 13 Calculo de Primitivas

UNIDAD 13 CÁLCULO

DE PRIMITIVAS

Página 352 Concepto de primitiva POTENCIAS

1. a) 1 = x

∫

b) 2 = 2 x

∫

∫

b) x = x

∫

b)

∫ 3 =

∫

b) x 2 = x

∫

b) x 5 = x

∫

–1 b) x –2 = x = –1

∫

2. a) 2x = x 2 2 3. a) 7x = 7 x 2

x

∫

4. a) 3x 2 = x 3

∫

5. a) 6x 5 = x 6

∫

6. a) (–1) x –2 = x –1 = 1

x

∫

2

2 c) 3x = 3 x

2

∫

6 3

3

6

6

–1

c)

x

∫ ∫

3 x ∫ 3 2

1/2

=

2 3/2 2 √ x 3 x = 3 3

∫

k + 1

∫

∫

∫

∫

3 √ x = 2

3

∫

6

∫ x 5

2

=

2

–5 x

3 1/2 x = x 3/2 = √ x 3 2

3

3 2 √3 √ x 3 = 2 √ 3 x 3 3 3

Unidad 13. Cálculo de primitivas

∫

b) 7 √ x = 7 √ x = 14 √ x 3

∫ ∫ ∫ √ 2x = √ 2 √ x = √ 2 √ x = √ 2 · 2 √ x = b) ∫ ∫ 5 5 5 ∫ 5 3

10. a) √ 3x = √ 3 √ x = √ 3 √ x =

2

6 6 c) 3x 5 = 3 x = x

b)

9. a) √ x = 2

—

3 c) 2x 2 = 2 x

∫

3 x 1/2 = x 3/2 = √ x 3 2

2

2 2 c) √ 2 x = √ x

x 2

k + 1 b) x k = x

7. a) (k + 1) x k = x k + 1

8 . a)

∫

c) √ 2 = √ 2 x

3 2 √2 √ x 3 = 2 √ 2 x 15 15

1

11. a)

∫ 12 x

12. a)

∫ 2 √3x = 3∫ 2 √1 x

= x 1/2 = √ x

–1/2

∫

∫

= 3 √ x 5/2

13. a) √ x 3 = x 3/2 = x

5/2

=

2 x 5 √ 5

b)

∫ 2 √1x = √ x

b)

∫ √35x = 65 ∫ 2 √55 x = 65 √5 x ∫

∫

b) √ 7x 3 = √ 7 √ x 3 = 2 √ 7 x 5 5

14. a)

∫ x 1 = ln | x |

b)

∫ 51x = 15 ∫ 5 x 5 = 15 ln |5 x |

15. a)

∫ x 1+ 5 = ln | x + 5|

b)

∫ 2x 3+ 6 = 32 ∫ 2 x 2+ 6 = 32 ln |2 x + 6|6|

16. a)

∫ x ∫

b)

∫ x 2 = 2∫ x 1

17. a)

∫

b)

18. a) b)

1 = x –3 = x –2 = –1 2 3

2 x

–2

3

3

=

–2 –1 = 2 x 2 x 2

√

27 x 7 25

∫

–1 x – – 3) –2 = 1 = ( x – 3) –3 = ( x x – x – –2 2 ( x – 3)2 (x – – 3)3

∫ (x – –53) √ x = √ x

∫

3

3

∫ ( x x – –1 3)

=5

3

∫

√ 3x = √ 5x

∫

3

=

–5 2 ( x – 3)2 x –

∫

7/6 6 6√ x 7 x 1/2 = x 1/6 = x = 7 7/6 x 1/3

∫ √ 6

27 x 3 = 25 x 2

√ ∫ 6

27 25

x 1/6 =

6 7

√ 6

27 6 7 √ x = 6 25 7

6

Página 353 TRIGONOMÉTRICAS

∫

∫

19. a) cos x = sen x

∫

( )

b) 2 cos x = 2 sen x

( )

π 20. a) cos x + π = sen x x + 2 2

∫

∫

b) cos 2x = 1 2 cos 2 x = 1 sen 2 x 2

2

∫

b) sen x = – cos cos x

∫

b) sen 2x = 1 2 sen 2 x = –1 cos 2 x

21. a) (– sen sen x ) = cos x

– π) 22. a) sen (x – – π) = – cos cos ( x x – Unidad 13. Cálculo de primitivas

∫ ∫

2

∫

2

2

∫

∫

23. a) 2 sen x cos x = sen 2 x = –1 cos 2 x

∫

2

∫

2

2

∫

4

∫

2

–1 b) sen x cos x = 1 2 sen sen x cos cos x = cos 2 x

24. a) (1 + tg 2 2x ) = 1 2(1 + tg 2 2 x ) = 1 tg 2 x

∫

∫

∫

∫

1 – 1) = (1 + tg 2 2 x ) – 1 = – x b) tg 2 2x = (1 + tg 2 2 x – tg 2 x – x

25. a)

∫ 1 +1x

26. a)

∫ 1 + (22 x )

b)

= arc tg x

2

2

∫ 1 +14x

=

27. a)

∫ √1 1– x

= arc sen x

2

∫ 1 +3x

= 3 arc tg x

2

= arc tg (2 x )

b)

2

2

1 2

∫ 1 + 2(2 x )

2

=

1 arc tg (2 x ) 2

b)

∫ √1 –1– x

= arc cos x

2

EXPONENCIALES

∫

∫

b) e x + 1 = e x + 1

28. a) e x = e x

∫

∫

∫

29. a) e 2x = 1 2e 2 x = 1 e 2 x

∫

2

2

∫

b) e 2x + 1 = 1 2e 2 x + 1 = 1 e 2 x + 1

2

2

∫

2

∫

ln a

∫

2

2 2 2 b) x e x = 1 2 xe x = 1 e x

2

30. a) 2x e x = e x

∫

∫

31. a) a x ln a = a x

b) a x =

1

2

a x ln a =

a x ln a

Página 355 1.

Calcula las siguientes integrales:

∫

a) 7x 4 d)

∫ 3

√ 5x 2


b)

∫ x 1

∫

c) √ x

2

— — x + √5x 3 √ e) 3

∫

3x

f)

√ 5x 3 √ 3x

∫

3

3

∫

5 7 5 a) 7 x 4 = 7 x + k = x + k 5 5

b)

∫ ∫

c)

∫

1 = x –2 = x –1 + k = –1 + k x –1 x 2

∫

3/2

√ x = x 1/2 = x

∫

3/2

∫

2 √ x 3 + k 3

+ k =

3 √ 5 x 5 + k = + k 5 5/3 3

5/3

d) √ 5 x 2 = √ 5 x 2/3 = √ 5 x 3

3

3

— — x + √ 5 x 3 √ e) = 3

∫

3 x

∫

= f)

2.

√ 5 x 3 = √ 3 x

∫

3

x 1/3 + 3 x

√ 5 x 3/2 = 1

∫

3 x

–2/3

+

√5 3

∫ x

1/2

=

√ 5 x 3/2 + k = 3√ x + 2 √ 5 x 3 + k 1 x 1/3 + 3 3/2 9 3 1/3

√ 5 · x 3/2 = √ 5 — — √ 3 · x 1/3 √3

∫

x 3 ∫

—

—

—

3

3

∫

√ 5 13/6 + k = 6 √ 5 √ x 13 + k = — x — 13 √ 3 √ 3 13/6 — 6 —

—

x 7/6

3

3

Calcula: a) c)

∫

b)

∫

∫

d)

∫

– 4 x 4 – 5x 2 + 3x – x

x 4 – 5x 2 + 3x – – 4 x 2 + 1

∫

∫ (

4 – 5 x 2 + 3 x – – 4 a) x =

b)

c)

)

∫ ( x x – x x – 4 x + 7 – x 11+ 1 ) =

∫

x 4 – 5 x 2 + 3 x – – 4 = x + 1

∫

x 3 – 2 x –

4 4 5 2 x x 3 – 5 x + 3 – = x – x + 3 x – – 4 ln | x | + k x 4 2

x

=

– 4 x 4 – 5x 2 + 3x – x + 1

3

x 4

– 4 x 4 – 5 x 2 + 3 x – = 2 x + 1

4

2

–

x 3

3

– 2 x 2 + 7 x – – 11 ln | x + 1| + k

∫ ( x x – 6 + x 3 x ++ 21 ) = ∫ ( x x 2

– 6 + 3 x x 2 + 1

2

2

∫ ∫

= x 2 – 6 +

∫

+ 2 x 2 + 1

)

=

∫

3 2 x + 2 1 = 2 2 2 x + 1 x + 1

3 3 = x – 6 x + 1) + 2 arc tg x + k ln ( x x 2 + 1) 2 3

d)

∫

x 3 = – 2 x –

∫ (

x x 2 + 2 x + 4 +


)

3 8 = x + x 2 + 4 x + 8 ln | x – – 2| + k – 2 x – 3

4

Página 358 1.

Calcula:

∫

∫

a) cos4 x sen x dx

b) 2sen x cos x dx

∫

∫

cos 5 x a) cos 4 x sen x dx = – cos 4 x (– + k sen x ) dx = – 5

∫

2.

∫

sen x 2 sen x cos x · ln 2 dx = 2 + k ln 2 ln 2

1

b) 2 sen x cos x dx =

Calcula:

∫

a) cotg x dx

∫

a) cotg x dx = b)

b)

∫ x 5x + 1 dx 4

cos x dx = ln | sen x | + k ∫ sen x

∫ x 5 x + 1 dx = 52 ∫ 1 +2 x ( x x ) 4

2 2

dx =

5 arc tg ( x x 2) + k 2

Página 359 3.

Calcula:

1 dx ∫ √ — x – √x 3

—

2

Hacemos el cambio x = t 6, dx = 6t 5 dt :

∫ √ x – √ x

1 — — dx = 2

3

4.

Calcula:

∫

1

6t 5 dt = — — 12 6 √t – √ t 3

=6

∫ (

=6

(

t + 1 +

)

∫

1 dt = 6 t – – 1

6t 5 dt = t 4 – t 3

∫ ( 2

t 2

∫

∫

6t 2 dt = 6 t 2 dt = t – t – – 1 – 1

)

+ t – – ln |t – – 1| + k =

)

√ x 2 + 6√ x – ln | 6√ x – 1| + k = 3 3√ x + 6 6√ x – 6 ln | 6√ x – 1| + k 6

2

x dx ∫ √ — 1 – x 2

x 2 = t → 1 – x x 2 = t 2 → x = √ 1 – t 2 Hacemos el cambio √ 1 – x dx =

– t t dt √ 1 – t 2


5

x √ 1 – t dx = ∫ √ — ∫ t x 1 – x

2

2

2

·

∫

– t x 2 + k dt = –1 dt = – t t + k = – √ 1 – x 2 √ 1 – t

Página 360 1.

∫ x sen x dx Llamamos I = x sen x dx . ∫ Calcula:

 x cos x + cos x dx = – x cos x + sen x + k  I = – dv = sen x dx , v = – cos cos x  u = x , du = dx

2.

∫

∫ x arc tg x dx Llamamos I = x arc tg x dx . ∫ Calcula:

  1 u = arc tg x , du = dx   1 + x 2   x 2 dv = x dx , v =  2 I =

x 2

2

– arc tg x –

1 2

∫ (

x 2 1 + x 2

)

dx =

x 2

2

– arc tg x –

1 2

∫ (1 – 1 +1 x ) dx = 2

2 2 1 1 1 = x arc tg x – – x – arc tg x ] + k = x arc tg x – – x + [x – arc tg x + k = 2 2 2 2 2 2 1 = x + 1 arc tg x – – x + k 2 2

Página 361 1.

Calcula:

∫ 2.

∫

3x 2 – 5x + 1 dx – 4 x –

3 x 2 – 5 x + 1 dx = – 4 x –

Calcula:

∫ (

3 x + 7 +

)

29 3 x 2 + 7 + 29 | – dx = x ln x – 4| + k x – – 4 2

∫

3x 2 – 5x + 1 dx 2x + 1

∫ (

)

∫

3 x 2 – 5 x + 1 dx = 2 x + 1

=

3 x 2 13 17 17 3 x 2 – 13 – · – x – – ln |2 x + 1| + k = x – ln |2 x + 1| + k 2 4 8 4 8 2 4


3 13 17/4 – + x – dx = 2 4 2 x + 1

6

Página 364 3.

Calcula: a)

∫

5x – – 3 dx 3 x – x

b)

∫

x 2 – 2x + 6 dx (x – – 1)3

a) Descom Descomponem ponemos os la fracción: fracción: 5 x – – 3 A B C 5 x – – 3 = = + + 3 – 1) 1) ( x + 1) x x – – 1 x – x + 1 x – x x x ( x – 1) 1) ( x + 1) + Bx ( x – 1) x – x + 1) + Cx ( x x – 5 x – – 3 = A ( x 3 – 1)( x + 1) x ( x x – x – x x x – x + 1) + Cx ( x x – 5 x – – 3 = A ( x – 1) 1) ( x + 1) + Bx ( x – 1)

Hallamos A, B y C dando a x los valores 0, 1 y –1: A ⇒ A = 3  ⇒ –3 = –  ⇒ 2 = 2 B ⇒ B = 1  x = 1  x = –1 ⇒ –8 = 2C ⇒ C = –4  x = 0

Así, tenemos que:

∫ x 5 x – – – x x 3 dx = ∫ ( x 3 + x – –1 1 – x +4 1 ) dx = 3 ln| x | + ln| x – – 1| – 4 ln| x + 1| + k 3

b) Descomponemos la fracción: x 2 – 2 x + 6 A – 1)2 + B ( x – 1) + C A ( x x – x – B C = + + = 3 3 2 3 – 1 x – x – ( x – 1) ( x – 1) x – x – x – ( x – 1) ( x – 1)

– 1)2 + B ( x – 1) + C x 2 – 2 x + 6 = A ( x x – x – Dando a x los valores 1, 0 y 2, queda:

⇒ 5 = C  A = 1  x = 0 ⇒ 6 = A – B B + C  B = 0  x = 2 ⇒ 6 = A + B + C  C = 5 x = 1

Por tanto:

∫

x 2 – 2 x + 6 dx = ( x – 1)3 x –

4.

∫ ( x – –1 1 + ( x x – –5 1) ) dx = ln| x 3

– 1| – 5 2( x – 1)2 x –

k +

Calcula: a)

∫

x 3 + 22x 2 – 12x + 8 dx x 4 – 4x 2


b)

∫

x 3 – 4x 2 + 4x dx x 4 – 2x 3 – 4x 2 + 8x

7

x 2 – 4) = x 2 ( x x – x + 2) a) x 4 – 4 x 2 = x 2 ( x – 2) 2) ( x

Descomponemos la fracción: x 3 + 22 x 2 – 12 x + 8 A C D = + B + + 2 2 x x x – – 2 x + 2 – 2) 2) ( x x ( x x – x + 2) x 3 + 22 x 2 – 12 x + 8 = – 2) 2) ( x x 2 ( x x – x + 2)

=

– 2) 2) ( x – 2) 2) ( x – 2) Ax ( x x – x + 2) + B ( x x – x + 2) + Cx 2 ( x x + 2) + Dx 2 ( x x – 2 x ( x x – x + 2) – 2) 2) ( x

– 2) 2) ( x + 2) + B ( x – 2) 2) ( x + 2) + Cx 2 ( x – 2) x 3 + 22 x 2 – 12 x + 8 = Ax ( x x – x – x + 2) + Dx 2 ( x x – Hallamos A, B , C y D dando a x los valores 0, 2, –2 y 1: x = x = x = x =

0 2 –2 1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

8 = –4 B ⇒ B = –2 80 = 16C ⇒ C = 5 112 = –16 D ⇒ D = –7 D ⇒ –3 A = –9 19 = –3 A – 3 B + 3C – – D

      ⇒ A = 3 

Por tanto:

∫

x 3 + 22 x 2 – 12 x + 8 dx = x 4 – 4 x 2

∫ (

3

x

2 –

x 2

= 3 ln| x | +

2 x

)

5 + – 2 x –

7 – dx = x + 2

+ 5 ln| x – – 2| – 7 ln| x + 2| + k

b) La fracción se puede simplificar: simplificar: – 2)2 x 3 – 4 x 2 + 4 x x ( x x – 1 = = 4 3 2 2 x + 2 – 2) ( x x – 2 x – 4 x + 8 x x ( x x – x + 2)

∫

x 3 – 4 x 2 + 4 x dx = x 4 – 2 x 3 – 4 x 2 + 8 x

∫ x +1 2 dx = ln| x + 2| + k

Página 373 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR 1

Calcula las siguientes integrales inmediatas:

∫

a) (4x 2 – 5x + 7) dx a)

∫

b)

∫ √ x = ∫

(4 x 2 – 5 x + 7) dx = dx

5

x –1/5

b)

∫ √x dx

c)

5

∫

1 dx 2x + 7

∫

d) (x – – sen x ) dx

4 x 3 5 x 2 – + 7 x + k 3 2

5 √ x 4 dx = + k = + k 4 4/5


x 4/5

5

8

c)

∫

1 1 dx = ln|2 x + 7| + k 2 x + 7 2

∫

2

x d) ( x – sen + cox x + k x – sen x ) dx = 2

2

Resuelve estas integrales:

∫ c) √ 3x dx ∫

∫ d) (sen x + e ) dx ∫

a) (x 2 + 4x ) (x 2 – 1) dx

a)

b) (x – – 1)3 dx

x

∫

x 2 + 4 x ) ( x x 2 – 1) dx = ( x

∫

3 x 5 x 4 + 4 x 3 – x x 2 – 4 x ) dx = ( x + x 4 x – 5 3

– x 22 + k

∫

x – 1)4 x x – b) ( x – 1)3 dx = ( – + k 4

c)

∫

∫

3/2

√ 3 x dx = √ 3 x 1/2 dx = √ 3 x

3/2

2 √ 3 x 3 + k 3

+ k =

∫

d) ( sen sen x + e x ) dx = – cos cos x + e x + k

3

Calcula las integrales siguientes:

S

a)

∫ √ 2

dx

a)

∫ √ 2

dx =

3

3

x

x

∫

b) sen (x – – 4) dx 1 √2 3

∫

x 1/3 dx =

c)

∫ cos

1 x 4/3 3 + k = 4 √ 2 4/3 3

7

dx

2 x

√2 3

x 4

∫

x d) (e x + 3e – x ) dx

+k

∫

x – cos ( x x – b) sen ( x – 4) dx = – cos – 4) + k

c)

∫ cos 7 x dx = 7 tg x + k 2

∫

d) (e x + 3e – x ) dx = e x – 3e – x + k

4

Halla estas integrales:

S

a)

∫ x 2 dx

a)

∫ x 2 dx = 2 ln| x | + k

b)


∫ x dx – 1 –

c)

x + √ x dx x 2

∫

d)

∫ 1 +3x dx 2

9

5

6

b)

∫

c)

∫

d)

∫ 1 +3 x dx = 3 arc tg x + k

dx = ln| x – – 1| + k x – – 1 x + √ x dx = x 2

∫ ( x 1 + x

–3/2

dx = ln| x | –

2

√ x

+ k

2

Resuelve las siguientes integrales: a)

∫ x dx – 4 –

a)

= ln| x – – 4| + k ∫ x dx – 4 –

b)

∫ ( x x – dx – 4)

c)

∫

d)

∫

b)

2

∫ (x – dx – 4)

∫

c) (x – – 4)2 dx

2

d)

∫ (x – dx – 4)

3

–1 + k x – ( x – 4)

=

x – – 4)3 + k ( x – 4)2 dx = ( x x – 3 dx = ( x – 4)3 x –

∫

(x – – 4) –2 –1 ( x – 4) –3 dx = x + k = + k x – –2 2 ( x – 4)2 x –

Halla las siguientes integrales del tipo exponencial:

∫

∫

– 4 dx a) e x –

a)

∫ e

x – – 4

c) e 5x dx

∫

d) (3x – x 3) dx

– 4 + k dx = e x –

∫

c)

∫

b) e –2x + 9 dx

b) e –2 x + 9 dx =

∫

e 5 x dx =

1 5

∫

–1 –1 –2 x + 9 –2e –2 x + 9 dx = + k e 2 2

∫

5e 5 x dx =

∫

x 3) dx = d) (3 x – x

7

)

1 5 x e +k 5

3 x x 4 – + k ln 3 4

Resuelve las siguientes integrales del tipo arco tangente: a)

∫

a)

∫

dx 4 + x 2

dx = 4 + x 2

b)

∫

∫

4 dx 3 + x 2

1 1/4 dx = 2 2 1 + ( x /2) x /2)


c)

∫

∫

5 dx 4x 2 + 1

d)

∫

2 dx 1 + 9x 2

()

1 x 1/2 dx = arc tg + k 2 2 2 1 + ( x /2) x /2)

10

8

4/3 4 √3 — 2 dx = 3 1 + ( x / √ 3 )

∫

—

∫

c)

∫ 4 x 5 dx + 1 = 52 ∫ (2 x 2)dx + 1 = 52 arc tg (2 x ) + k

d)

∫

2

( )

x 4 √3 1/ √ 3 + k arc tg — 2 dx = 3 1 + ( x / √ 3 ) √3

b)

4 dx = 3 + x 2

∫

2

∫

2 dx = 2 3 1 + 9 x 2

3 dx = 2 arc tg (3 x ) + k 3 1 + (3 x )2

Expresa las siguientes integrales de la forma: dividendo = cociente + resto divisor divisor y resuélvelas: a)

∫

a)

∫

∫ (

10 x 2 dx = – 6 x + 10 ln| x + 1| + k x + 1 2

b)

∫

∫ (

3 x 2 + x + 3 ln| x + 1| + k dx = x + 1 2

c)

∫

x 2 – 5x + 4 dx x + 1

b)

x 2 – 5 x + 4 dx = x + 1

x 2 + 2 x + 4 dx = x + 1

∫

x 2 + 2x + 4 dx x + 1

x – x – 6 +

x + 1 + x

– 1 x 3 – 3 x 2 + x – dx = – 2 x –

c)

∫

x 3 – 3x 2 + x – – 1 dx x – – 2

) )

∫ (

)

3

– 1 – x x 2 – x x – dx = – 2 x – 3

2

= x – x – x – 3 ln| x – – 2| + k x – 3 2

9

Halla estas integrales sabiendo que son del tipo arco seno: a)

∫ √1 – 4x

a)

∫ √1 – 4 x

b)

∫ √4 – x x ∫

c)

∫ √1 – e

d)

∫ x √1 – (ln x ) ∫

dx

b)

2

dx

=

2

dx

2

=

e x

2 x

1 2

∫ √4 – x dx

2

c)

∫ √1 – e e x

2x

dx

d)

∫ x √1 – (ln x ) dx

2

∫

2 dx 1 = arc sen (2 x ) + k √ 1 – (2 x )2 2

()

1/2 dx x = arc sen + k 2 /2)2 x /2) √ 1 – ( x

dx =

dx

2

∫ √1 – (e ) e x

x 2

=


dx = arc sen (e x ) + k

1/x dx = arc sen (ln| x |) |) + k √ 1 – (ln x )2

11

siguientes, sabiendo que son de la forma 10 Resuelve las integrales siguientes,

∫ f (x ) · f ' (x ):): n

a) a)

∫ cos x sen x dx

∫

3

∫

cos x sen 3 x dx =

∫

2

b) 2x e x dx

sen 4 x

4

c)

∫ (x x +dx 3) 2

5

d)

∫ x 1 ln x dx 3

+ k

2

2

b) 2 x e x dx = e x + k c)

∫

d)

∫ x

x dx = 1 2 ( x x 2 + 3)5

1

ln 3 x dx =

∫

1 ( x x 2 + 3) –4 –1 2 x ( x + k = + k x 2 + 3) –5 dx = 2 – 4 8 ( x x 2 + 3)4

ln 4| x |

4

+ k

PARA RESOLVER 11 Resuelve las siguientes integrales:

∫

∫

5

a) x 4 e x dx

∫

5

a) x 4 e x dx =

b) x sen x 2 dx 1 5

∫ 5 x e

4 x 5

∫

b) x sen x 2 dx = 1 2

dx =

2

d)

∫ √x + 5 x dx 2

1 x 5 e + k 5

2

∫ √9 – x x = ∫ √1 – ( x x /3) /3)

d)

∫ √ x + 5 = √ x + 5 + k

1/3 dx

2

x dx

∫ √9 – x dx

∫ 2 x sesenn x dx = –12 cos x + k

c)

dx

c)

2

2

= arc sen

() x

3

+ k

2

2

Página 374 12 Resuelve las siguientes integrales:

∫

a) sen x cos x dx

∫

b)

∫ sencosx dx x 5

c)

∫ √(x + 3)

5 dx

d)

∫ 2 –3– 6x x dx 2

2

a) sen x cos x dx = sen x + k 2


12

b)

∫

∫

–4 x – cos cos 1 sen x dx = – (– + k = + k sen x ) · cos –5 x dx = 5 –4 4 cos 4 x cos x

2 √ ( x x + 3)7 ( x x + 3)7/2 √ ( x x + 3)5 dx = ( x + k = + k x + 3)5/2 dx =

c)

∫

∫

d)

∫

∫

–3 x dx = 1 4 2 – 6 x 2

7

7/2

–12 x dx = 1 ln|2 – 6 x 2| + k 4 2 – 6 x 2

13 Resuelve las siguientes integrales:

∫ √x – 2x (x – – 1) dx c) (1 + ln x ) dx ∫ x

∫ d) √ (1 + cos x ) ∫

2

a)

b) tg x sec 2 x dx

2

a)

3 sen x dx

∫ √ x – 2 x ( x x – – 1) dx = 12 ∫ √ x – 2 x (2 x – – 2) dx = 12 ∫ ( x x – 2 x ) 2

2

2

1 ( x x 2 – 2 x )3/2 + k = 2 3/2

=

1/2

(2 x – – 2) dx =

x 2 – 2 x )3 √ ( x + k

3

∫

2 b) tg x sec 2 x dx = tg x + k 2

c)

∫

d)

∫

(1 + ln x )2 dx = x

∫

(1 + ln x )2 ·

1 x

dx =

(1 + ln| x |) |)3 + k 3

∫

(1 + cos x )5/2 k √ (1 + cos x )3 sen x dx = – (1 + cos x )3/2 (– sen x ) dx = – + = =

5/2

–2 √ (1 + cos x )5 + k 5

14 Aplica la integración por partes para r esolver las siguientes integrales: S

∫ e) cos (ln x ) dx ∫

∫ f) x ln x dx ∫

b) e x cos x dx

a) x ln x dx

2

∫ g) arc tg x dx ∫

c) x 2 sen x dx

∫ h) (x + 1) e dx ∫ d) x 2 e 2x dx 2

x

∫

a) x ln x dx

 1  u = ln x → du = — dx x   x 2  dv = x dx → v = —  2 

∫

x ln x dx =

x 2

2

∫ 2

– ln x –


x

dx =

x 2

2

ln| x | –

x 2

4

+ k

13

∫

b) e x cos x dx

 u = e x → du = e x dx   dv = cos x dx → v = sen x – e sen x dx ∫ e cos x dx = e sen x – ∫ x

x

x

      

I 1

 u1 = e x → du1 = e x dx  dv = sen x dx → v = – cos cos x 1  1 I 1 = – e e x cos x +

∫ e cocoss x dx x

Por tanto: – e cos x dx ∫ e cos x dx = e sen x + e cos x – ∫ 2 e cos x dx = e sen x + e cos x ∫ e sen x + e cos x + k e cos x dx = ∫ 2 x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

∫

c) x 2 sen x dx

 u = x 2 → du = 2 x dx  cos x  dv = sen x dx → v = – cos

∫ x sen x dx = – x cos x + ∫ 2 x cos x dx = – x cos x + 2 ∫ x cos x dx 2

2

2

      

 u1 = x → du1 = dx  dv = cos x dx → v = sen x 1  1

I 1

∫

I 1 = x se sen n x – sen x dx = x sen x + cos x

Por tanto:

∫ x sen x dx = – x cos x + 2 x sen x + 2 cos x + k 2

2

∫

d) x 2 e 2 x dx

 u = x 2 → du = 2 x dx  1 2 x  dv = e 2 x dx → v = — e  2  Unidad 13. Cálculo de primitivas

14

∫

x 2

x 2 e 2 x dx =

2

∫

e 2 x – x e 2 x dx     

I 1

 u1 = x → du1 = dx  1 2 x  dv = e 2 x dx → v = — e  1 1 2  I 1 =

Por tanto: e)

∫

x 2 x e –

2

1 2 x x 2 x 1 2 x e dx = e – e 2 2 4

∫

(

)

1 2 x x 2 2 x x 2 x 1 2 x x 2 x x 2 e 2 x dx = e – e + e + k = e + k – + 2

2

4

2

2

4

∫ cos (ln x ) dx 1  u = cos (ln x ) → du = – sen (ln x ) · — dx  x   dv = dx → v = x 

∫ cos (ln x ) dx = x cos (ln x ) + ∫ sen (ln x ) dx       

I 1

1  u = sen (ln x ) → du = cos (ln x ) · — dx  1 1 x   dv 1 = dx → v 1 = x 

∫

I 1 = x sen (ln x ) – cos (ln x ) dx

Por tanto:

∫ cos (ln x ) dx = x cos (ln x ) + x sen (ln x ) – ∫ cos (ln x ) dx 2 cos (ln x ) dx = x cos (ln x ) + x sen (ln x ) ∫ ∫ cos (ln x ) dx = x cos (ln x ) +2 x sen (ln x ) + k ∫

f ) x 2 ln x dx

 1  u = ln x → du = — dx x   x 3  dv = x 2 dx → v = —  2 

∫

x 2 ln x dx =

x 3 ln x


3

∫

2 3 3 – x dx = x ln x – x + k 3 3 9

15

g)

∫ arc tg x dx  u = arc tg x → du = 1 dx  1 + x 2   dv = dx → v = x 

—

– ∫ arc tg x = x arc tg x – ∫ 1 +1 x

2

= x arc tg x – –

– dx = x arc tg x –

1 2

∫ 1 2+ x x

2

dx =

1 ln (1 + x 2 ) + k 2

∫

h) ( x x + 1)2 e x dx

 u = ( x + 1)2 → du = 2 ( x x + 1) dx  x x  dv = e dx → v = e

∫ ( x x + 1) e dx = ( x x + 1) e – 2 ∫ ( x x + 1) e dx 2 x

2 x

x

      

I 1

 u1 = ( x + 1) → du1 = dx  dv = e x dx → v = e x 1  1

∫

I 1 = ( x x + 1) e x – e x dx = ( x x + 1) e x – e x = ( x x + 1 – 1) e x = x e x

Por tanto:

∫ ( x x + 1) e dx = ( x x + 1) e – 2 x e + k = 2 x

2 x

x

= ( x x 2 + 2 x + 1 – 2 x ) e x + k = ( x x 2 + 1) e x + k

15 Calcula cos 4 x =

∫ cos

(

4 x dx utilizando

cos 2 x 1 + 2 2

(

)

2

=

la expresión: cos 2 x = 1 + cos 2x 2 2

cos 2 x 1 cos 2 2 x + + = 4 2 4

)

=

1 1 + 4 4

cos 4 x cos 2 x 1 + + = 2 2 2

=

1 1 3 cos 4 x cos 2 x cos 4 x cos 2 x + + + = + + 4 8 8 2 8 8 2

Por tanto:

∫ cos x dx = ∫ ( 38 + cos 84 x + cos 22 x ) dx = 38 x + sen324 x + sen22 x + k 4


16

16 Determina el valor de las integrales propuestas en los ejercicios siguientes utilizando la fórmula de integración por partes:

∫

a) x 2 e 3x dx

b)

∫ e x dx

∫

c) 3x cos x dx

x

∫

d) x 3 sen x dx

∫

a) x 2 e 3 x dx

 u = x 2 → du = 2 x dx  1 3 x  dv = e 3 x dx → v = — e  3 

∫

x 2 e 3 x dx =

x 2

e 3 x –

3

∫

2 x e 3 x dx 3     

I 1

 u1 = x → du1 = dx  1 3 x  dv = e 3 x dx → v = — e  1 1 3  I 1 =

x 3 x 1 e –

3

3

∫

e 3 x dx =

x 3 x 1 3 x e – e

3

9

Por tanto:

∫

(

2 3 x + = x 2 – 2 x + 2 x 2 3 x 2 x 3 x x 2 e 3 x dx = e – e + e k

b)

3

9

27

3

9

27

)

e 3 x + k

∫ x e dx = ∫ x e

–x dx

x

 u = x → du = dx  dv = e –x dx → v = – e e –x 

∫

x dx = – x e –x + x e

c)

∫

x – 1 + k = – x – – 1 + k e –x dx = – x e –x – e –x + k = – e x e x e x

∫ 3 x cos x dx  u = 3 x → du = 3 dx  dv = cos x dx → v = sen x 

∫ 3 x cos x dx = 3 x sen x – – 3 ∫ sen x dx = 3 x sesenn x + 3 cos x + k ∫

d) x 3 sen x dx

 u = x 3 → du = 3 x 2 dx   dv = sen x dx → v = –cos x Unidad 13. Cálculo de primitivas

17

∫ x sen x dx = – x cos x + 3 ∫ x cos x dx 3

3

2

      

I 1

 u1 = x 2 → du1 = 2 x dx  dv = cos x dx → v = sen x 1  1

∫

– 2 x sen x dx I 1 = x 2 sen x –       

I 2

 u2 = x → du2 = dx  dv = sen x dx → v = –cos x 2  2 I 2 = – x co coss x +

∫ cos x dx = – x cocoss x + sen x

Así: I 1 = x 2 sen x + 2 x cos x – – 2 sen x Por tanto:

∫ x sen x dx = – x cos x + 3 x sen x + 6 x cos x – – 6 sen x + k 3

3

2

17 Determina el valor de las integrales que se proponen a continuación:

∫

∫

x dx a) x · 2 – x

b) arc cos x dx

∫

∫

3

x dx d) x 5 e – x

c) x cos 3x dx

∫

a) x · 2 – x dx

 u = x → du = dx  –2 – x  dv = 2 – x dx → v = —  ln 2 

∫

x 2 – x dx =

x · 2 – x – + ln 2

∫

1 x · 2 – x 2 – x dx – = + ln 2 ln 2 ln 2

∫ 2

x dx = –

x – x · 2 – x = – – 2 + k ln 2 (ln 2)2

∫

b) arc cos x dx

 u = arc cos x → du = –1 dx  √1 – x 2   dv = dx → v = x 

— —

– ∫ arc cos x dx = x arc cos x – ∫ √1 – x – x

2


dx = x arc cos x – –

√ 1 – x 2 + k

18

∫

c) x cos 3 x dx

 u = x → du = dx  1  dv = cos 3 x dx → v = — sen 3 x sen  3  1 1 x – sen 3 x dx = sen 3 x + cos 3 x + k ∫ x cos 3 x dx = x 3 sen 3 x – 3 ∫ 3 9

∫

∫

3

3

d) x 5 e – x dx = x 3 · x 2 e – x dx }

u

    

dv

 u = x 3 → du = 3 x 2 dx  3  dv = x 2 e – x 3 dx → v = –1 — e – x  3 

∫

3

x 5 e – x dx =

∫

3 x 3 – x 3 x 3 – x 3 1 – x 3 – – e + x 2 e – x dx = e – e + k = 3 3 3

x 3 – 1) – x 3 = (– e + k 3

18 En el ejercicio resuelto 7 a), se ha calculado la integral do la igualdad: sen 2 x =

∫ sen x dx aplican2

1 – cos 2x 2 2

Vamos V amos a obtenerla, ahora, mediante la integración por partes, haciendo:

 u = sen x → du = cos x dx  dv = sen x dx → v = – cos x  sen x cos x + cos ∫ sen x dx = – sen ∫ 2

2 x dx

Si con esta nueva integral procedemos como con la anterior, llegaríamos a una identidad inútil (“se nos va todo”). Compruébalo. Sin embargo, si hacemos cos 2 x = 1 – sen 2 x , se resuelve con facilidad. Termina la integral. • Si aplicáramos el método de integración por partes a la integral dríamos que:

∫ cos x dx , ten2

sen s en x dx  u = cos x → du = –  dv = cos x dx → v = sen x 

Por tanto, quedaría:

∫ sen x dx = – sen x cos x + sen x cos x + ∫ sen x dx 2

2

En efecto, es una identidad inútil (“se nos va todo”). Unidad 13. Cálculo de primitivas

19

sen 2 x , tenemos que: • Sin embargo, embargo, si hacemos hacemos cos 2 x = 1 – sen sen x ) dx = ∫ sen x dx = – sen x cos x + ∫ (1 – sen = – – sen x dx sen x cos x + dx – ∫ – ∫ sen x dx = – sen x cos x + x – ∫ 2

2

2

2

Por tanto:

∫ 1 – sen 2 x + k ∫ sen x dx = – sen x cos2 x + x + k = 12 x – 4 2 sen 2 x dx = – sen x cos x + x 2

19 Determina el valor de las integrales racionales propuestas en los siguientes ejercicios:

∫ x x ++21 dx c) ∫ x 2x + x + 7 – x x – – – –11 dx a)

∫ (x –1 1) dx d) 2x + 5x – ∫ x + x – –2x 1 dx b)

2

2

3

∫ x x ++ 21

b)

∫ ( x x –1 1)

2

2

dx =

2

1 2

dx =

3

∫ x 2 x + 1 2

( x – x –

2

2

2

a)

2

dx +

∫ x 2+ 1 2

2

dx =

1 ln ( x x 2 + 1) + 2 arc tg x + k 2

1 dx ( x x + 1)2

1)2

Descomponemos en fracciones simples: ( x – x –

A C B D 1 = + + + 2 2 ( x – 1) ( x x – x + 1) ( x ( x – 1) ( x x + 1) x – x + 1)2

1)2

( x – – 1) 1) ( x 1) ( x x + 1)2 + B ( x x + 1)2 + C ( x x + 1) x – 1)2 + D ( x x – 1)2 1 = A x ( x – 1)2 ( x x – x + 1)2 x – x + 1)2 ( x – 1)2 ( x 1 = A( x – 1) 1) ( x x – x + 1)2 + B ( x x + 1)2 + C ( x x + 1)( x x – 1)2 + D ( x x – 1)2 Calculamos A, B , C y D , dando a x los valores 1, –1, 0 y 2: x = x = x = x =

1 –1 0 2

→ → → →

1 1 1 1

= = = =

 A = –1/4   B = 1/4  C = 1/4 A + C 1/2 = –  → –3/2 = 9A + 3C → –1/2 = 3 A + C  D = 1/4 

4 B → B = 1/4 4 D → C = 1/4 A + B + C + D → – 9 A + 9 B + 3C + D

∫

1 dx = 2 x – 1)2 ( x =

∫

–1/4 dx + ( x – 1) x –

–1 ln| x 4


∫

1/4 dx + x – ( x – 1)2

1 – 1| – 4

1 ( x x + 1) ·

∫

1/4 dx + ( x x + 1)

∫ ( x x 1/4+ 1)

2

dx =

1 1 1 + ln| x + 1| – · +k = 4 4 ( x x + 1)

20

[ [

= –1 ln| x 4 =

c)

– 1| + 1 – 1 x –





– | x + 1| + ln

]

1 + k = x + 1

]

–1 – 1 x – + 2 x + k ln 4 x + 1 x 2 – 1

∫

2 x 2 + 7 x – – 1 dx = 3 2 – 1 x + x – x x –

∫

2 x 2 + 7 x – – 1 dx ( x – 1) 1) ( x x – x + 1)2

Descomponemos en fracciones simples: 2 x 2 + 7 x – – 1 = A + B + C 2 – – 1 + 1 x x ( x – 1)( x + 1) x – x + 12 2 x 2 + 7 x – – 1 = A( x x + 1)2 + B ( x x – 1)( x x + 1 ) + C ( x x – 1) ( x – 1)( x + 1)2 ( x – 1)( x + 1)2 x – x – 2 x 2 + 7 x – 1 = A( x x + 1)2 + B ( x x – 1)( x x + 1 ) + C ( x x – 1) Hallamos A, B y C :

→ 8 = 4 A → A = 2 → C = 3 x = –1 → –6 = –2C – C → B = 0 x = 0 B – → –1 = A – B x = 1

    

Por tanto:

∫

∫

2 2 x 2 + 7 x – – 1 dx = dx + 3 2 x – – 1 x + x – x x – – 1

d)

∫

2 x 2 + 5 x – – 1 dx = 3 2 x + x – 2 x

∫

3 3 dx = 2 ln| x – 1| – 2 x + 1 ( x x + 1)

∫

2 x 2 + 5 x – – 1 dx x ( x x – x + 2) – 1) 1) ( x

Descomponemos en fracciones simples: 2 x 2 + 5 x – – 1 = A + B + C – 1 x + 2 x x – – 1) 1) ( x x ( x x – x + 2) – 1)( x + 2) + Bx ( x x – x + 2) + Cx ( x x – 1) 2 x 2 + 5 x – – 1 = A( x – 1) 1) ( x + 2) x ( x x – – 1) 1) ( x x ( x x – x + 2) 2 x 2 + 5 x – 1 = A( x – 1)( x + 2) + Bx ( x x – x + 2) + Cx ( x x – 1) Hallamos A, B y C :

→ –1 = –2 A → A = 1/2   x = 1 → 6 = 3 B → B = 2   x = –2 → –3 = 6C → C = –1/2  x = 0


21

k+ k

Por tanto:

∫

2 x 2 + 5 x – – 1 dx = 3 2 x + x – 2 x

∫ x

1/2

dx +

∫

∫

2 –1/2 dx + dx = – 1 x – x + 2

(

)

( x – 1)2 √ x x – 1 1 ln| x |+ = |+ 2 ln| x – – 1| – ln| x + 2| + k = ln + k 2 2 √ x + 2 —


∫ c) ∫ (x – – 1) 1(x + 3)

a)

∫ d) 3x – ∫ x – – 42 dx

2x – – 4 dx 2 (x – – 1) (x + 3)

a)

2

b)

dx

2x + 3 dx (x – – 2) (x + 5) 2

∫ ( x x – – 21) x – –( x x 4 + 3) dx 2

Descomponemos en fracciones simples: A C B 2 x – – 4 = + + 2 2 – 1 x – x + 3 x – x + 3) x – ( x – 1) ( x ( x – 1)

– 1) 1) ( x x – x + 3) + B ( x x + 3) + C ( x x – 1)2 2 x – – 4 = A( x ( x – 1)2 ( x x – x + 3) x – x + 3) ( x – 1)2 ( x 2 x – 4 = A( x – 1) 1) ( x x – x + 3) + B ( x x + 3) + C ( x x – 1)2 Hallamos A, B y C :

→ –2 = 4 B → B = –1/2   x = –3 → –10 = 16C → C = –5/8   x = 0 → –4 = –3 A + 3 B + C → A = 5/8  x = 1

Por tanto: 2 x – – 4 dx = 2 ( x – 1) ( x x – x + 3)

∫

∫

5 ln| x 8

·

=

b)

1 – 1| + 2

5/8 dx + – 1 x –

1 x – ( x – 1)

∫

∫

–1/2 dx + –5/8 dx = x + 3 ( x – 1)2 x –





x – 5 5 – 1 1 ln – ln| x + 3| + k = + + k x + 3 8 8 2 x – – 2

∫

2 x + 3 dx x – x + 5) ( x – 2) ( x

Descomponemos en fracciones simples: 2 x + 3 A B A( x x + 5) + B ( x x – 2) = + = ( x – 2) ( x – 2 x + 5 ( x – 2) ( x x – x + 5) x – x – x + 5) 2 x + 3 = A( x x + 5) + B ( x x – 2) Unidad 13. Cálculo de primitivas

22

Hallamos A y B :

→ 7 = 7 A → A = 1   x = –5 → –7 = –7 B → B = 1  x = 2

Por tanto:

∫

2 x + 3 dx = x – x + 5) ( x – 2) ( x

∫

∫

1 1 dx + dx = x – x + 5 – 2

= ln| x – – 2| + ln| x + 5| + k = ln|( x – 2)( x 5)| | + k x – x + 5) c)

∫ ( x x – – 1) 1( x x + 3)

dx

2

Descomponemos en fracciones simples: A B C 1 = + + 2 – 1 x + 3 x – x – x + 3) x + 3)2 ( x – 1) ( x ( x

( x + 3)2 + B ( x – 1) 1) ( x x – x + 3) + C ( x x – 1) 1 = A x 2 2 ( x – 1) ( x x – x + 3) x – x + 3) ( x – 1) ( x 1 = A( x – 1) 1) ( x x + 3)2 + B ( x x – x + 3) + C ( x x – 1) Hallamos A, B y C :

→ 1 = 16 A → A = 1/16   x = –3 → 1 = –4C → C = –1/4   x = 0 – C → B = –1/16  → 1 = 9 A – 3 B – x = 1

Por tanto:

∫

1 dx = x – x + 3)2 ( x – 1) ( x

d)

∫

3 x – – 2 dx = 2 x – 4

∫

1/16 dx + – 1 x –

∫

–1/16 dx + x + 3

∫ ( x x –1/4 + 3)

2

dx =

=

1 1 1 1 ln| x – ln| x + 3| + – 1| – · + k = x + 3) 16 16 4 ( x

=

x – 1 – 1 1 + + k ln x + 3 x + 3) 16 4 ( x





∫

3 x – – 2 dx ( x – 2) ( x x – x + 2)

Descomponemos en fracciones simples: 3 x – – 2 A B A( x x + 2) + B ( x x – 2) = + = ( x – 2) ( x – 2 x + 2 ( x – 2) ( x x – x + 2) x – x – x + 2) 3 x – 2 = A( x x + 2) + B ( x x – 2)


23

Hallamos A y B :

→ 4 = 4 A → A = 1   x = –2 → –8 = –4 B → B = 2  x = 2

Por tanto:

∫

3 x – – 2 dx = 2 x – 4

∫

∫

1 2 dx + dx = x – x + 2 – 2

= ln| x – – 2| + 2 ln| x + 2| + k = ln [| x – – 2|( x x + 2)2] + k

Página 375 21 Calcula: S

∫ 5x c) ∫ x – 3x + 3x – – 1 dx a)

∫ 2x – – 3 d) ∫ x – 2x – 9x + 18 dx

dx 2 – 2 x – x –

b)

2

3

a)

2

– 6 dx x 4 + 2x – 3 2 x + x – 2x 3

2

∫ x – dx x x – – 2 = ∫ ( x x + 1)dx ( x x – – 2) 2

Descomponemos en fracciones simples: A B A( x x – x + 1) 1 – 2) + B ( x = + = x + 1) ( x x – x + 1) ( x x – ( x – 2) x + 1 x – – 2 ( x – 2)

1 = A( x – 2) + B ( x x – x + 1) Hallamos A y B : x = –1 x = 2

→ 1 = –3 A → A = –1/3   → 1 = 3 B → B = 1/3 

Por tanto:

∫

dx dx = 2 – 2 x – x x –

∫

–1/3 dx + x + 1

∫

1/3 dx = – 2 x –





x – 2 = –1 ln| x + 1| + 1 ln| x – – 2| + k = 1 ln – + k 3 3 3 x + 1

b)

∫

– 6 x 4 + 2 x – dx = 3 2 x + x – 2 x

∫ (

– 1 + x – x

)

3 x 2 – 6 dx – 1)( x + 2) x ( x x –

Descomponemos en fracciones simples: A B C 3 x 2 – 6 = + + – – 1 x + 2 – 1)( x + 2) x x x ( x x – Unidad 13. Cálculo de primitivas

24

A( x x – x + 2) + C x ( x x – 1) – 1) 1) ( x + 2) + Bx ( x 3 x 2 – 6 = x ( x x – – 1) 1) ( x + 2) – 1) 1) ( x x ( x x – x + 2)

3 x 2 – 6 = A( x – 1) 1) ( x x – x + 2) + Bx ( x x + 2) + C x ( x x – 1) Hallamos A, B y C :

→ –6 = –2 A → A = 3   → –3 = 3 B → B = –1  x = 1  x = –2 → 6 = 6 C → C = 1  x = 0

Por tanto:

∫

x 4 + 2 x – – 6 dx = 3 2 x + x – 2 x

∫ ( x x

– 1 +3

x

)

–1 x – – 1

+1 dx = x + 2

2

= x – x – 1| + ln| x + 2| + k = x + 3 ln| x | – ln| x – 2 2 x 3 ( x x + 2) = x – x x + ln 2 –1 x –



c)

∫

5 x 2 dx = – 1 x 3 – 3 x 2 + 3 x –

∫

 + k

5 x 2 dx ( x – 1)3 x –

Descomponemos en fracciones simples: A 5 x 2 B C – 1)2 + B ( x – 1) + C x – x – = + + = A( x 3 2 3 – 1 3 x – ( x – 1) x – ( x – 1) ( x – 1) x – x – ( x – 1) x – x – x – 5 x 2 = A( x – 1)2 + B ( x – 1) + C

Hallamos A, B y C :

→ 5 = C  A = 5  x = 2 → 20 = A + B + C  B = 10  x = 0 → 0 = A – B B + C  C = 5 x = 1

Por tanto:

∫

5 x 2 dx = – 1 x 3 – 3 x 2 + 3 x –

∫ ( x – 5– 1 + ( x x – 10– 1)

= 5 ln| x

d)

∫ x – 2 x 2 x – – – 93 x + 18 3

2

dx =

2

+

10 – 1| – x – – 1

5 x – ( x – 1)3 –5 2 ( x – 1)2 x –

)

dx = k +

∫ ( x x – – 2) ( x 2 x – – ––3)3 ( x + 3) dx

Descomponemos en fracciones simples: A B C 2 x – – 3 = + + – 2 x – – 3 x + 3 ( x – 2) ( x – – 3) 3) ( x + 3) x – x – Unidad 13. Cálculo de primitivas

25

A( x x – x + 3) + B ( x x – x – 2)( x x – – 3) 3) ( x – 2) 2) ( x + 3) + C ( x – 3) 2 x – – 3 = x – ( x – 2)( x – – 3) 3) ( x + 3) x – ( x – 2) ( x – – 3) 3) ( x + 3)

2 x – 3 = A( x – 3) 3) ( x – 2) 2) ( x – 3) x – x + 3) + B ( x x – x + 3) + C ( x x – 2)( x x – Hallamos A, B y C :

→ 1 = –5 A → A = –1/5   x = 3 → 3 = 6 B → B = 1/2   x = –3 → –9 = 30C → C = –3/10  x = 2

Por tanto:

∫ x – 2 x 2 x – – – 93 x + 18 3

=

2

dx =

1/2 –3/10 + + dx = ∫ ( x –1/5 – 2 x – – – 3 x + 3 )

–1 1 3 ln| x – ln| x – ln| x + 3| + k – 2| + – 3| – 5 2 10

22 Resuelve las integrales:

∫ lnx x dx d) 1 + e dx ∫ e + x arc tg x g) ∫ 1 + x dx

x dx ∫ x 1 – + sen cos x e) sen (1/x ) dx ∫ x h) sen x dx ∫ cos x

a)

b)

x

2

x

4

2

a)

∫

b)

∫

c)

∫ x ln x

d)

∫

ln x dx = x

∫ x 1

∫ x ln1 x dx – 3 f) 2x – ∫ x + 2 dx c)

ln x dx =

ln 2| x |

2

+ k

sen x 1 – sen dx = ln| x + cos x | + k x + cos x

1

∫

dx =

∫ ln x dx = ln|ln| x || + k 1/ x

1 + e x dx = ln|e x + x | + k x e + x

∫ x

( ) )

( )

1 1 dx = cos e) sen (1/ x ) dx = – –1 sen + k

f)

∫

x 2

2 x – – 3 dx = x + 2

2

∫ (

x

7 dx = 2 x – – 7 ln| x + 2| + k x + 2

2 –


x

26

g)

∫ 1 + x

h)

∫

arc tg x 2

dx =

∫

arc tg 2 x 1 + k arc tg x dx = 2 1 + x 2

∫

–3 sen x 1 –4 dx = – (cos x ) = – (– ) ( ) + k = + k dx sen x cos x 4 –3 cos x 3 cos 3 x

23 Calcula las integrales indefinidas: a)

sen √ x

∫

√ x

∫

b) ln (x – – 3) dx

dx

∫

e) (ln x )2 dx

g)

∫

h)

a)

∫

∫

d) ln (x 2 + 1) dx 1 dx 1 – x 2

sen √ x

√ x

dx = –2

c)

ln √ x

∫ √x dx ∫

f) e x cos e x dx

∫

(1 – x )2 dx 1 + x

∫ 2 √ x (– sen √ x ) dx = –2 cos (√ x ) + k 1

∫

x – b) ln ( x – 3) dx

1  u = ln ( x x – – 3) → du = — dx  x – – 3   dv = dx → v = x 

∫

– 3) dx = x ln | x – – 3| – ln ( x x –

∫

∫

x 3 – 3| – 1 + dx = x ln| x – dx = x – x – – 3 – 3

= x ln| x – – 3| – x – 3 ln| x – – 3| + k = ( x – 3) ln| x – – 3| – x x – x – x + k

c)

ln √ x

∫ √ x dx 1 1 1  u = ln √ — x → du = — — · — — = — dx  √ x 2 √ x 2 x   — 1  v = — = 2 → dx dv x √ —  √ x  ln √ x —

∫ √ x —

—

—

— — 2 √ x dx = 2 √ x ln √ x – – 2 x

∫

dx = 2 √ x ln √ x – –

∫ √ x dx = 1

= 2 √ x ln √ x – – 2 √ x + k = 2 √ x (ln √ x – – 1) + k —


—

—

—

—

27

∫

x 2 + 1) dx d) ln ( x

2 x  u = ln ( x x 2 + 1) → du = 2 dx  x + 1   dv = dx → v = x 

—

∫

∫

ln ( x x 2 + 1) dx = x ln ( x x 2 + 1) –

2 x 2 dx = x 2 + 1

∫ (2 – x 2+ 1 ) dx = x ln ( x x + 1) – 2 x + 2 arc tg x + k

= x ln ( x x 2 + 1) –

e)

2

2

∫ (ln x ) dx 2

1  u = ( ln x )2 → du = 2 ( ln x ) · — dx  x   dv = dx → v = x 

∫ (ln x ) dx = x (ln x ) – 2 ∫ ln x dx = x ln | x | – 2 x ln| x | + 2 x + k 2

2

f)

∫ e cos e dx = sen e + k

g)

∫ 1 – 1 x x

x

x

2

2

x

dx =

∫ ( x x + 1 –1) ( x x – – 1) dx

Descomponemos en fracciones simples: A B A x x – 1) + B ( x x + 1) –1 = + = ( – x + 1 ) ( x x – x + 1 ) ( x x – ( x – 1) x + 1 x – – 1 ( x – 1)

Hallamos A y B :

→ –1 = –2 A → A = 1/2   → –1 = 2 B → B = –1/2 

x = –1 x = 1

Por tanto:

∫ 1 – 1 x x

2

dx =

=

h)

∫

(1 – x x )2 dx = 1 + x

∫

dx = ∫ ( x 1/2+ 1 + x –1/2 – 1 ) –

1 1 ln| x + 1| + ln| x – – 1| + k = ln 2 2

x 2 – 2 x + 1 dx = x + 1

√

x + 1 + k x – – 1

∫ ( x x – – 3 + x +4 1 ) dx =

2

= x – 3 x + 4 ln| x + 1| + k 2 Unidad 13. Cálculo de primitivas

28

24 Resuelve: S

a)

∫ 1 +1e

En el numerador, suma y resta resta e x .

☛

b)

dx

x

∫ √9 – x dx x + 3

2

Descomponla en suma de otras dos.

☛

a)

∫

b)

∫ √9 – x x x + 3

2

1 + e x – e x dx = 1 + e x

∫ (

∫

∫

∫

1 dx = 1 + e x

dx = –

x – dx + x 2 √ 9 – x

x 2 + 3 = – √ 9 – x

1 –

)

e x = x – – ln (1 + e x ) + k x 1 + e

3 dx = x 2 √ 9 – x

( )

∫

1/3 x x 2 + 3arc sen + k dx = – √ 9 – x 3 /3)2 x /3) √ 1 – ( x

25 Resuelve por sustitución: a) x √ x + 1 dx

b)

∫

∫ x – – √x

∫ x √x + 1

e)

∫

d)

1

dx

dx

1 dx x + √ x

☛

a) Haz x + 1 = t 2 . b) Haz x = t 4 .

a)

∫ x √ x + 1 dx

∫ √x + 1 dx

f)

x

√ x

∫ 1 + x dx

→ dx = 2t dt

Cambio: x + 2 = t 2

∫

∫

x √ x + 1 dx = (t 2 – 1) t · 2t dt =

= b)

c)

4

∫

5 3 (2t 4 – 2t 2 ) dt = 2t – 2t + k = 5 3

2 √ ( x 2 √ ( x x + 1)5 x + 1)3 – + k 5 3

∫ x – – √ x dx 4

→ dx = 4t 3 dt

Cambio: x = t 4

∫ x – – √ x ∫ dx 4

=

=


4t 3 dt = t 4 – t

∫

4t 2 dt = 4 3 t 3 – 1

∫

3t 2 dt = 4 | 3 – 1| + = ln t k 3 t 3 – 1

4 | 4√ x 3 ln – 1| + k 3

29

c)

∫ √ x + 1 dx x

Cambio: x + 1 = t 2

∫ √ x + 1 x

dx =

= d)

∫ x √ x + 1 1

→ dx = 2t dt

∫

∫

(t 2 – 1) · 2 t dt =

3 (2t 2 – 2) dt = 2t – 2t + k = 3

t

2 √ ( x x + 1)3 – 2 √ x + 1 + k 3

dx

Cambio: x + 1 = t 2

∫ x √ x 1 + 1

→ dx = 2t dt

dx =

∫ (t 2 –t dt 1) t = ∫ (t + 12)dt (t – 1) 2

Descomponemos en fracciones simples: A B A(t – 2 – 1) + B (t + 1) = + = t + 1 t – (t + 1 ) (t – 1) – 1 (t + 1 ) (t – – 1)

2 = A(t – – 1) + B (t + 1) Hallamos A y B :

→ 2 = –2 A → A = –1   → 2 = 2 B → B = 1 

t = –1 t = 1

Por tanto:

∫

2 dt = (t + 1 ) (t – 1)

∫ (

= ln

)

–1 1 + – 1| + k = dt = – ln ln|t + 1| + ln|t – – 1 t + 1 t –





– 1 t – + k t + 1

Así:

∫ x √ x + 1 1

e)

dx = ln





√ x + 1 – 1 + k √ x + 1 + 1

∫ x + √ x dx 1

Cambio: x = t 2

→ dx = 2t dt

∫

1 dx = x + √ x

∫

2t dt = t 2 + t

∫

2 dt = 2 ln|t + 1 | + k = t + 1

= 2 ln ( √ x + 1) + k


30

f)

√ x

∫ 1 + x dx → dx = 2t dt

Cambio: x = t 2

√ x

∫ 1 + x

dx =

∫

∫

2t 2 dt = 1 + t 2

t · 2t dt = 1 + t 2

∫ (2 – 1 +2 t ) dt = 2

= 2t – – 2 arc tg t + k = 2 √ x – 2 arc tg √ x + k

26 Resuelve, utilizando un cambio de variable, estas integrales: a)

∫

☛

a) Haz sen t = 2x/3.

a)

∫ √9 – 4 x

√ 9 – 4x 2 dx

2

b)

e x

3

∫

e 3x – e x dx e 2x + 1

d)

∫

1 dx 1 + √ x

2 x → x = 3 sen t → dx = 3 cos t dt 3 2 2

∫

√ 9 – 4 x 2 dx = 9 2

e 2x –

c)

dx

Cam Ca mbi bio: o: se sen n t =

=

∫

dx

∫

cos 2 t dt =

∫ √ 9 2

9 sen 2 t · 3 cos t dt = 9 – 4 · — sen 2 4

∫ (

∫

3 cos t ·

) ( ( )

3 cos t dt = 2

)

cos 2t 1 9 1 1 – dt = t + sen 2t + k = 2 2 2 2 4

x = 9 t + 9 sen 2t + k = 9 arc sen 2 + 9 · 2 sen t cos t + k = 4 8 4 3 8

b)

( ) ( )

√

4 x 2 1 – — — + k = 9

=

9 2 x 9 2 x + · arc sen 4 3 4 3

=

9 2 x x + · √ 9 – 4 x 2 + k arc sen 4 3 2

∫ e – 3e dx

2 x

x

Cambio: e x = t

∫

→ x = ln t → dx = 1 dt

dx e 2 x –

3e x

t

=

∫

1/t dt = 3t

t 2 –

∫

1 t 3 –

3t 2

dt =

∫

1

– t 2 (t –

3)

dt

Descomponemos en fracciones simples: A C 1 – 3) + B (t – – 3) + C t 2 = + B + = At (t – – 3 t t – – 3) t 2 (t – t 2 t 2 (t – – 3)

1 = At (t – – 3) + B (t – – 3) + C t 2 Unidad 13. Cálculo de primitivas

31

Hallamos A, B y C :

→ 1 = –3 B → B = –1/3   → 1 = 9 C → C = 1/9   → 1 = –2 A – 2 B + C → A = –1/9 

t = 0 t = 3 t = 1

Así, tenemos que:

∫

1

– t 2 (t –

3)

dt =

∫ (

–1/9

+ –1/3 t 2

t

+

1/9 t – – 3

)

dt =

=

–1 1 1 ln|t | + ln|t – + – 3| + k 9 3t 9

=

–1 1 ln e x + 1 + ln|e x – 3| + k = x 9 9 3e

Por tanto:

∫

dx e 2 x –

3e x

1 1 = – x + 1 + 3| + k ln|e x – 3| x 9 9 3e c)

∫

e 3 x – e x dx e 2 x + 1

x = t Cambio: e

∫

→ x = ln t → dx = 1 dt t

e 3 x – e x dx = e 2 x + 1

∫

t 3 – t 1 dt = · t t 2 + 1

∫

t 2 – 1 dt = t 2 + 1

∫ (1 – t 2+ 1 ) dt = 2

= t – – 2 arc tg t + k = e x – 2 arc tg (e x ) + k d)

∫

1 dx 1 + √ x

Cambio: x = t 2

∫

→ dx = 2t dt

1 dx = 1 + √ x

∫

2t dt = 1 + t

∫ (

2 –

)

2 – 2 ln|1 + t | + k = dt = 2t – 1 + t

= 2 √ x – 2 ln (1 + √ x ) + k

27 Encuentra la primitiva de f (x ) = S

F ( x x ) =

∫

1 1 dx = 1 + 3 x 3

1 que se anula para x = 0. 1 + 3x

∫

3 1 dx = ln|1 + 3 x | + k 1 + 3 x 3

F (0) = k = 0

–1 |1 + 3 | Por tanto: F ( x x ) = ln x 3 Unidad 13. Cálculo de primitivas

32

F para la que F ' (x ) = 1 y F (1) = 2. x 2

28 Halla la función F ( x x ) =

∫ x 1

dx =

2

–1 x

F (1) = –1 + k = 2

Por tanto: F ( x x ) =

–1 x

+ k

⇒ k = 3

+3

– 6, ¿cuál de ellas toma el valor valor 29 De todas las primitivas de la función y = 4x – 4 para x = 1? F ( x x ) =

∫ (4 x – – 6) dx = 2 x – 6 x + k 2

⇒ k = 8

F (1) = 2 – 6 + k = 4

Por tanto: F ( x x ) = 2 x 2 – 6 x + 8

30 Halla f (x ) sabiendo que f'' (x ) = 6x , f ' (0) = 1 y f (2) = 5. f ' ( x x ) =

∫ 6 x dx = 3 x + c    f ' ( x x ) = 3 x + 1 2

2

 

f ' (0) = c = 1

f ( x x ) =

∫ (3 x + 1) dx = x + x + k    2

3

f (2) = 10 + k = 5

 

⇒ k = –5

x ) = x 3 + x – Por tanto: f ( x – 5

31 Resuelve las siguientes integrales por sustitución: a)

∫ 1 – √e

☛

a) Haz

a)

∫ 1 – √e

e x

x

√ e x = t.

e x

x

Cambio:

b)

dx b) Haz

√ e x – 1

∫ √e – 1 dx x

= t.

dx

/2 = t → x = ln t → dx = 2 dt √ e x = t → e x /2

2

∫ 1 – √e ∫ e x

x

=

t 2 · (2/t ) dt = 1 – t

t

2 dt = –2 + ∫ 21t – dt t = ∫ ( –2 1 – t )

= –2t – – 2 ln|1 – t | + k = –2 √ e x – 2 ln|1 – √ e x | + k Unidad 13. Cálculo de primitivas

33

34 Determina la función f (x ) sabiendo que: S

f'' (x ) = x ln x , f ' (1) = 0 y f (e ) =

e

4

∫

f ' ( x x ) = x ln x dx

Integramos por partes:

 1  u = ln x → du = — dx x   x 2  dv = x dx → v = —  2 

(

)

2  + k = x ln x – – 1 + k  2 2 2 4 2 2    1 1 1 1 f ' (1) = – – + k = – + k = 0 ⇒ k =  2 2 4 4 

x 2

f ' ( x x ) =

f ' ( x x ) =

– ln x –

( ) ( ) ∫ [ (

x 2

ln x – –

2

dx =

x 2

– ln x –

x 2

1 1 + 2 4

x 2

f ( x x ) =

∫

x

– ln x –

2

) ] ∫ ( x 2

1 1 + dx = 2 4

2

– ln x –

)

1 1 dx + x 2 4

          

I

(

)

 1 1  u = ln x – – — → du = — dx x 2   2 3 x x  dv = — dx → v = —  2 6  x 3

I =

6

(

– ln x –

) ∫

(

)

2 3 3 1 1 – x dx = x ln x – – – x + k 2 2 6 6 18

Por tanto: x 3

(

)

1 1 x 3 – + x + k 2 4 18

    3 3 3 3 e e e e e e e  f (e ) = – + + k = + + k = ⇒ k = –  4 4 4 12 18 36 36  f ( x x ) =

f ( x x ) =

x 3

6

(

6

– ln x –

ln x – –

)

1 – x 3 + 1 – e 3 x – 2 4 18 36


35

x y que f (0) (0) = 1 . 35 Calcula la expresión de una función f (x ) tal que f ' (x ) = x e – x 2

2

S

∫

2

f ( x x ) = x e – x dx = – f (0) = –

1 + = 1 k 2 2

Por tanto: f ( x x ) = –

∫

2 2 1 1 –2 x e – x dx = – e – x + k 2 2

⇒ k = 1

1 – x 2 e + 1 2

36 Encuentra la función derivable f : [–1, 1] → S

f ' (x ) =

Á

que cumple f (1) = –1 y

 x 2 – 2x si –1 ≤ x < 0  x  e – 1 si 0 ≤ x ≤ 1

• Si x ≠ 0: x 3  — – x – x 2 + k si –1 ≤ x < 0  3 f ( x x ) =   e x – x x + c si 0 < x ≤ 1 

• Hal Hallam lamos os k y c teniendo en cuenta que f (1) = –1 y que f ( x x ) ha de ser continua en x = 0. f (1) = –1

– 1 + c = –1 ⇒ c = – e ⇒ e – e

  x → 0   k = 1 – e x ) = 1 – e  lím + f ( x x ) = k lím – f ( x

x → 0

x 3  — – x x 2 + 1 – e si –1 ≤ x < 0  – x ) =  3 Por tanto: f ( x  e x – x – e si 0 ≤ x ≤ 1 x – 

37 De una función derivable se sabe que pasa por el punto S

A (–1, – 4) y que su

derivada es: f ' (x ) =

 2 – x si x ≤ 1  1/x si x > 1 

a) Halla la expresión de f (x ). ). b) Obtén la ecuación de la recta tangente a f (x ) en x = 2. a) Si x ≠ 1: x 2  2 x – – — + k si x < 1  2 f ( x x ) =   ln x + c si x > 1  Unidad 13. Cálculo de primitivas

36

Hallamos k y c teniendo en cuenta que f (–1) = –4 y que que f ( x x ) ha de ser continua en x = 1. 5 3 + k = –4 – 4 ⇒ k = – 2 2  3 3 x ) = – = 0  lím – f ( x 2 2 x → 1   c = 0  lím f ( x x ) = c +

f (–1) = –

x → 1

x 2 3  2 x – – – — si x < 1 – —  2 2 Por tanto: f ( x x ) =   ln x si x ≥ 1 

b) f (2) = ln 2; f ' (2) =

1 2

La ecuación de la recta tangente será: y = ln 2 +

1 ( x – 2) x – 2

38 Calcula: S

∫

a) 1 – x  dx a)

∫

b) (3 + x  ) dx

∫

c) 2x – – 1 dx

d)

∫  x 2 – 2dx

∫ 1 – x x dx  1 – x si x < 1 x  =  1 – x  –1 + x si x ≥ 1  x 2  x – – — + k si x < 1 2  f ( x x ) = 1 – x x  dx =  2 x  – + + c si x ≥ 1 x —  2 

∫

En x = 1, la función función ha de ser continua:  1 + lím f ( x x ) = k  2 x → 1 –  1 1  2 + k = – 2 + c ⇒ c = 1 + k 1 + c  lím f ( x x ) = – + 2 x → 1 Por tanto:

 x 2  x – – — + k si x < 1 2  1 – = x x dx    x 2  – x + + 1 + k si x ≥ 1 —  2 

∫


37

∫

b) (3 +  x  ) dx

 3 – x si x < 0  3 + x si x ≥ 0

3 +  x  = 

 x 2  3 x – – — + k si x < 0 2  f ( x x ) = (3 +  x  ) dx =  x 2  3 x + — + c si x ≥ 0  2 

∫

En x = 0, f ( x x ) ha de ser continua:  lím – f ( x x ) = k  x → 0   c = k x ) = c  lím + f ( x x → 0

Por tanto:

 x 2  3 x – – — + k si x < 0 2  (3 +  x  ) dx =  x 2  3 x + — + k si x ≥ 0  2 

∫ c)

∫ 2 x – – 1dx  –2 x + 1 si x < 1/2 2 – – 1 = x    2 x – 1 si x ≥ 1/2   2 1 x + x + k si x < —  – 2 f ( x x ) = 2 x – – 1 dx =  1  x 2 – x + si ≥ x c x —  2 

∫

f ( x x ) ha de ser continua continua en x =

1 : 2

 1 + k  4  1 x → (1/2) – 1 1  4 + k = – 4 + c ⇒ c = 2 + k 1 +  lím f ( x x ) = – c + 4 x → (1/2) lím

f ( x x ) =

Por tanto:

 2 1 si x < — x + x + k  – 2 – 1 dx =  2 x – 1 1  x 2 – x x + — + k si x ≥ —  2 2 

∫


38

d)

∫  2 – 2dx x

 x — + 2 si x < 4  – — 2 x  – 2 =  x 2  — si x ≥ 4  2– 2 





f ( x x ) =

 x 2  – — — + 2 x + k si x < 4 4 x  – 2 dx =  2 2 x  — – 2 x + c si x ≥ 4  4 – 

∫ 



f ( x x ) ha de ser continua continua en x = 4:



x ) = 4 + k  lím – f ( x

x → 4

  4 + k = –4 + c ⇒ c = 8 + k x ) = –4 + c  lím + f ( x

x → 4

Por tanto:

 x 2  – — — + 2 x + k si x < 4 x – 2 dx =  24 2 x  — – 2 x + 8 + k si x ≥ 4  4 – 

∫  39 Calcula



∫ sen x1cos 2

2 x

∫ sen x cos x 1

2

2

dx .

dx =

∫

=

∫

=

∫ cos x

sen 2 x + cos 2 x dx = sen 2 x cos 2 x sen 2 x dx + sen 2 x cos 2 x

1

2

dx +

∫

cos 2 x dx = sen 2 x cos 2 x

– cotg x + k ∫ sen x dx = tg x – 1

2

CUESTIONES TEÓRICAS 40 Prueba que, si F (x ) es una primitiva de f (x ) y S

C un número real cualquiera, la función F (x ) + C es también una primitiva de f (x ). ).

F ( x x ) primitiva de f ( x x )

⇔ F ' ( x x ) = f ( x x )

). x ) + C )' = F ' ( x x ) = f ( x x ) ⇒ F ( x x ) + C es primitiva de f ( x x ). ( F ( x


39

41 Representa tres primitivas de la función f cuya gráfica es

f

2

esta: f ( x x ) = 2

⇒ F ( x x ) = 2 x + k

Por ejemplo:

F 2

F 1 ( x x ) = 2 x

2

F 2 ( x x ) = 2 x + 1

1

F 1 F 3

F 3 ( x x ) = 2 x – – 1 1

cuyas gráficas son:

2

3

– 1

42 Representa tres primitivas de la función f : f ( x x ) = 2 x

x ) ⇒ F ( x

= x 2

f 2

+ k

1

Por ejemplo:

1

F 1 ( x x ) = x 2 F 2 ( x x ) = x 2 + 1

8 7 6 5 4 3 2

F 3 ( x x ) = x 2 – 1

cuyas gráficas son:

1 – 4

– 3

– 2

– 1

1

2

3

4

– 1

43 Sabes que una primitiva de la función f (x ) = 1 es x

se toma el valor absoluto de x ? f ( x x ) =

1 x

F (x ) = ln x . ¿Por qué

está definida para todo x ≠ 0; y es la derivada de la función: función:

F ( x x ) =

 ln x si x > 0  x ) si x < 0  ln (–

es decir, de F ( x |. x ) = ln| x |.

44 En una integral hacemos el cambio de variable

e x = t . ¿Cuál es la expresión

de dx en función de t ? e x = t

→ x = ln t → dx = 1 dt


t

40

45 Comprueba que:

∫ cos x dx = ln sec x + tg x  + k 1

Tenemos que probar que la derivada de f f (( x x ) = ln ln| | sec x + x + tg x | + k es f f' ' (( x x ) = Derivamos f f (( x x ) = ln



1 . cos x

1+ + sen sen x + k : cos x



cos 2 x x + + sen x (1 x (1 + sen x ) cos 2 x x + + sen x + x + sen 2 x cos 2 x cos x f ' ' (( x x ) = = = 1 + sen x 1 + sen x cos x =

1 + sen x 1 = (1 + sen x ) cos x cos x

46 Comprueba que:

∫ sen x1cos x dx = ln tg x  + k

Tenemos que comprobar que la derivada de la funci ón f f (( x x ) = ln ln| |tg x | + k es 1 f ' ' (( x x ) = . sen x cos x Derivamos f f (( x x ): ): f ' ' (( x x ) =

1 1/cos 1/ cos 2 x 1/cos 1/ cos 2 x = = tg x sen x /cos x sen x cos x

47 Sin utilizar cálculo de derivadas, prueba que: F (x ) =

x 4 1 y G (x ) = – x 1 + x 4 1 + x 4

son dos primitivas de una misma función. Si F F (( x x ) y G ( x x ) son dos primitivas de una misma funci funció ón, su diferencia es una constante. Veá Veámoslo: F (( x F x ) – – G G (( x x ) =

(

)

x 4 = 1 + + x x 4 = 1 1 – – 1 + x + x 4 1 + x + x 4 1 + x + x 4

Por tanto, hemos obtenido que: F F (( x x ) = G ( x x ) + 1 Luego las dos son primitivas de una misma funció funci ón.

difer encian en una 48 Sean f y g dos funciones continuas y derivables que se diferencian constante. ¿Podemos asegurar que f y g tienen una misma primitiva? No. Por ejemplo: f ( x f ( x ) = 2 x x + +1 g ( x x ) = 2 x x + +2 Unidad 13. Cálculo de primitivas

F ( x x ) = x 2 + x x + + k  → F (  G (( x x ) = x 2 + 2 x x + + c  → G

41

f ( x f ( x ) y g ( x x ) son continuas, derivables y se diferencian en una constante (pues f (( x f x ) = g ( x x ) – – 1). 1). Sin embargo, sus primitivas, F F (( x x ) y G G (( x x ) respectivamente, son distintas, distintas, cualesquiera que sean los valores de k k y y c.

Página 377 PARA PROFUNDIZAR 49 Para integrar una función cuyo denominador es un polinomio de segundo grado sin raíces reales, distinguiremos dos casos: a) Si el numerador es constante, transformamos el denominador para obtener un binomio al cuadrado. La solución será un arco tangente: dx = ∫ x +dx ∫ 4x + 5 (x + 2) + 1 2

2

(Completa la resolución). b) Si el numerador es de primer grado, se descompone en un logaritmo neperiano y un arco tangente:

∫

(x + 5) dx = 1 2 x 2 + 2x + 3

∫

2x + 10 dx = 1 2 x 2 + 2x + 3

∫

2x + 2 dx + 1 2 x 2 + 2x + 3

∫

8 dx x 2 + 2x + 3

(Completa su resolución). a)

dx = arc tg ( x + x + 2) + k ∫ x +dx 4 x x ++ 5 = ∫ ( x + x + 2) + 1

b)

∫

2

2

( x + x + 5)dx 5) dx = 1 2 x 2 + 2 x x + +3

∫

2 x x + + 10 dx dx = = 1 2 x 2 + 2 x x + +3

=

1 ln ( x x 2 + 2 x x + + 3) 3) + 4 2

=

1 ln ( x x 2 + 2 x x + + 3) 3) + 2 2

∫

2 x x + +2 dx + dx + 1 2 x 2 + 2 x x + +3

dx ∫ ( x + x + 1) + 2 2

dx ∫ — x + x +1 (— ) + 1 2

∫

8 dx = x 2 + 2 x x + +3

=

=

√2

—

1 = ln ( x x 2 + 2 x x + + 3) 3) + 2 √ 2 2

(1/√ 2 ) dx = 2 —

∫ — x + +1 +1 ( x — ) √2

—

( )

x + 1 x + = 1 ln ( x x 2 + 2 x x + + 3) 3) + 2 √ 2 arc tg + k 2 √2 Unidad 13. Cálculo de primitivas

42

50 Observa cómo se resuelve esta integral: I =

∫ x +x 2x + 1+ 3x dx 3

2

x 3 + 2x 2 + 3x = x (x 2 + 2x + 3)

La fracción se descompone así:

x 3

x + 1 = A + Bx + C 2 + 2x + 3x x x 2 + 2x + 3

Obtenemos: A = 1 , B = – 1 , C = 1 3 3 3 Sustituimos: I = 1 3

∫

∫

1 dx – – 1 3 x

x 2

– 1 x – dx + 2x + 3

(Completa su resolución). Completamos la resolució resoluci ón: I = I =

(*)

1 3

1 x – 1 – 1 – dx = dx = ∫ x 1 dx – ∫ 3 x + 2 x x + +3 2

=

1 1 ln| ln | x | – 3 6

1 1 – 2 2 x x + + 2 – 2 – 44 dx dx = dx = ln ln| | x | – dx = = ∫ x 2+ x – 2 ∫ 3 6 x + 2 x 2 x x + +3 x + +3

=

1 1 ln| ln | x | – 3 6

∫

=

x + 1 √ 2 arc tg x + 1 1 ln| ln | x | – ln ( x 2 + 2 x x + + 3) + + k 3 3 6 √2

2

2

2 2 x – 2 – 2 dx + dx + 2 3 x + 2 x x + +3

∫

(*) dx = x 2 + 2 x x + +3

( )

(

Ver en el ejercicio 49 apartado b) el c álculo de Ver

∫ x +dx 2 x x ++ 3 ). 2


∫ d) ∫ x 2x + +x 10+ 1 dx a)

∫ e) ∫ x + 32x + 4 dx

2x – – 1 dx 3 x + x

b)

2

1 dx 3 x + 1 2

☛

e) Multiplica numerador y denominador por 4.

a)

– 1 dx 2 x – 1 – 1 dx dx = = ∫ x 2 x – 1 ∫ + x x (( x x x + 1) 3

∫ f) ∫ (x + 1)dx (x + 1)

c)

x 2 + 3x + 8 dx x 2 + 9 2

2

2

Descomponemos la fracció fracción: 2 x – 1 – 1 = A + Bx Bx + + C = A A(( x x 2 + 1) + Bx + Bx 2 + C x x (( x x x 2 + 1) x x 2 + 1 x (( x x x 2 + 1) 2 x – 1 – 1 = A A(( x x 2 + 1) + + Bx Bx 2 + C x Unidad 13. Cálculo de primitivas

43

Hallamos A A,, B B y y C C :: x = 0 → – 1 = A x =  A = – 1  x = x = 1 → 1 = 2 A + B B + + C → 3 = B = B + + C  B B = =1  x = x = – 1 → – 3 = 2 A + B – C – C → – 1 = B = B – C – C  C C = =2 Por tanto:

∫

2 x – 1 – 1 dx dx = = 3 x + x =

∫ (

– 1 x + +2 + x 2 x x + 1

∫

– 1 1 dx + dx + x 2

= – ln| ln| x | + b)

∫

x 3

1 dx = dx = +1

∫

∫

)

dx = dx =

∫

2 x dx dx = dx + +2 2 +1 x + 1

x 2

1 ln(( x ln x 2 + 1) 1) + 2 arc tg x + x + k 2

dx ( x + x + 1)( x x 2 – x + x + 1)

Descomponemos la fracció fracción: A 1 Bx + + C = = + Bx 2 2 x x + + 1 ( x + x + 1)( x x – x + x + 1) x – x + x + 1 A(( x x 2 – x + x + 1) + Bx + Bx (( x + x + 1) + C C (( x + x + 1) = A ( x + x + 1)( x x 2 – x + x + 1) 1 = A A(( x x 2 – x + x + 1) + Bx + Bx (( x + x + 1) + C C (( x + x + 1) Hallamos A A,, B B y y C C :: x = – 1 → x = x = x =0 → x = x =1 →

1 = 3 A → 1 = A + C → 1 = A + 2 B B + + 2C 2C →

A = 1/3   C = C = 2/3   B = B = – 1/3 1/3 

Por tanto: 1 x 2 – — x + + — 3 3 dx = dx = 2 x – x + x + 1

– 1/3 1/3 dx = = dx + dx + ∫ x 1+ 1 dx ∫ x x + ∫ +1 3

∫

x – 2 – 2 = 1 ln| ln| x x + + 1| 1| – – 1 dx = dx = 2 3 3 x – x + x + 1


∫

=

1 1 2 x – 4 – 4 dx ln| ln | x x + + 1| 1| – – dx = = 3 6 x 2 – x + x + 1

=

1 1 2 x – 1 – 1 – – 33 dx ln| ln | x x + + 1| 1| – – dx = = 3 6 x 2 – x + x + 1

=

1 1 1 2 x – 1 – 1 dx dx ln| ln | x x + + 1| 1| – – dx + + = 2 3 6 x 2 – x + 2 x + 1 x – x + x + 1

∫ ∫

∫

44

=

1 1 1 ln| ln | x x + + 1| 1| – – ln ln(( x x 2 – x + x + 1) + 3 6 2

∫ (

=

1 1 1 ln| ln | x x + + 1| 1| – – ln ln(( x x 2 – x + x + 1) + 3 6 2

4/3 dx = ∫ — 2 x x + +1 (— ) + 1

dx = 2 1 3 x – x – — + — 2 4

)

2

√3

—

√3 1 1 = ln| ln| x x + + 1| 1| – – ln ln(( x x 2 – x + x + 1) + 3 3 6 =

c)

∫

x 2 + 3 x x + +8 dx = dx = 2 x + 9

2

∫ (

)

– 1 dx 1 + 3 x – 1 dx = = x x + + 2 x + 9

∫

∫

()

3 1 x ln ( x x 2 + 9) 9) – – arc tg + k 2 3 3 +1 ∫ x 2 x x + + x x + +1

dx =

2

2

dx ∫ x + x + 1 + 3

( ) —

2

2

ln ( x x 2

+ x x + + 1) + 6 √ 3

dx + 9

=

4

—

∫ — (— )

(

)

2 x x + +1 + k √3


2

8 √7 8/7 dx = dx = · 2 2 7 2 x x + +3 +1 — √7

∫ — (— )

(

dx =

—

2

=

2

=

dx = = dx = = ∫ x + 32 x x ++ 4 dx ∫ 4 x + 128 x x ++ 16 dx ∫ (2 x x ++ 83) 2

1 ∫ x + x x + +1

2/√ 3 dx = dx = 2 x x + +1 2+1 — √3

= ln ( x x 2 + x x + + 1) + 6 √ 3 arc tg

e)

∫

3 x dx – dx = – 2 +9 x + 9

x 2

∫

= ln ( x x 2 + x x + + 1) + 9

=

)

2 x dx – 1/9 – dx = dx = +9 ( x x /3) /3)2 + 1

x 2

1+9 ∫ x 2 x x +++ x x + +1

dx =

∫ — (— )

(

= x x + +

+ 10 ∫ x 2 x x + + x x + +1

—

– 1 √ 3 arc tg 2 x – 1 1 1 ln| ln | x x + + 1| 1| – – ln ln(( x x 2 – x + x + 1) + + k 3 3 6 √3

= x x + + 3 2

d)

2/√ 3 dx = 2 x – 1 – 1 2 + 1 — √3

+7

dx = dx =

2/√ 7 dx = dx = 2 x x + +3 2+1 — √7 —

∫ — (— )

)

4 √7 2 x x + +3 arc tg + k 7 √7

45

f)

∫

dx ( x + x + 1)2 ( x x 2 + 1)

Descomponemos la fracció fracción: 1 B Cx + + D = A + + Cx 2 2 2 2 x x + + 1 ( x + x + 1) ( x x + 1) ( x + x + 1) x + 1 1 = A A(( x + x + 1)( x x 2 + 1) + B + B ( x x 2 + 1) + C x x (( x + x + 1) 2 + D D (( x + x + 1) 2 Hallamos A A,, B , C C y y D D : x = – 1 x = x = x =0 x = x =1 x = x = – 2

→ → → →

= 2 B → B B = = 1/2  A = 1/2  = A + B = A B + + D B = = 1/2  B  = 4 A + 2 B B + + 4C C + + 4 D  C C = = – 1/2 1/2  = – 5 A + 5 B – D = =0 – 2C + D  D

1 1 1 1

Por tanto: 1/2 dx 1/2 = ( + ∫ ( x + ∫ x + x +1 x + 1) ( x x + 1) ( x + x + 1) 2

2

2

=

–

1 · x 2 x 2 + 1

)

dx = dx =

1 1 1 ln| ln | x x + + 1| 1| – – – ln ( x x 2 + 1) + k 2 2 ( x + x + 1) 4

PARA PENSAR UN POCO MÁS 52 Se llama ecuación diferencial de primer orden a una ecuación en la que, además de las variables x e y , figura también y' . Resolver una ecuación diferencial es buscar una función y = f (x ) que verifique la ecuación propuesta. Por ejemplo, la ecuación x y 2 + y' = 0 se resuelve así: y' = – x y 2

→

dy = – x y 2 dx

→ dy = – x y 2 dx

Separamos las variables: dy = – x dx → y 2

–

1= –

x 2

k → y =

+ 2

y

∫

dy = y 2

∫ (– x x) dx

2 x 2 – 2k

Hay infinitas soluciones. Busca la solución que pasa por el punto (0, 2) y comprueba que la curva que obtienes verifica la ecuación propuesta. • Buscamos la solució soluci ón que pasa por el punto (0, 2): y = y =

2

→ 2=

x 2 – – 22k

Por tanto: y y = =

x 2

2 – 2k

– 1 k = = 2 ⇒ k k = = ⇒ – 4k 2

2 +1


46

• Comprobamos que verifica la ecuació ecuaci ón xy 2 + y ' ' = = 0:

(

xy 2 + y ' ' = = x

2 2 x + 1

)

2

–

4 x 4 4 x = x x ·· – = 2 2 2 2 + 1) ( x x + 1) ( x x + 1)2

( x x 2

4 x – 4 x =0 2 2 + 1) ( x x + 1)2

=

( x x 2

53 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) yy' – – x = 0

b) y 2 y' – – x 2 = 1

c) y' – – x y = 0

d) y' √ x – y y = 0

e) y' e y + 1 = e x

f ) x 2 y' + y 2 + 1 = 0

a) y y' – – x = x = 0 y ' ' = = x ⇒ y

dy x = dy = x dx ⇒ ⇒ y dy = dx y

dy = x dx ∫ y dy = ∫

y 2 x 2 = + k ⇒ y 2 = x 2 + 2k 2 2 b) y 2 y' – – x x 2 = 1 y' =

1 + x 2 y 2

∫

y 2 dy dy = =

⇒

dy 1 + x 2 = dx y 2

∫

(1 + x 2) dx ⇒

dy = = (1 + x 2) dx ⇒ y 2 dy

3 y 3 = x x + + x + k ⇒ 3 3 3

x + + x 3 + 3k 3k x + + x 3 + 3k 3k ⇒ y y = = √ 3 x ⇒ y 3 = 3 x c) y' – – x x y = y = 0 y ' = x = x y ⇒ ln|y | =

dy = x y ⇒ dx

dy = x dx ⇒ y

∫ y = ∫ x dx dy

x 2 x 2/2) + k + k ⇒ | y | = e ( x 2

d) y' √ x – y = y = 0 y ' =

y

√ x

⇒

dy y = ⇒ dx √ x

dy dx = ⇒ y √ x

∫

dy = y

∫

dx √ x

ln|y | = 2 √ x + k ⇒ | y | = e 2 √ x + k e) y' e y + 1 = e x y ' =

e x – – 11 e y

⇒

dy e x – – 11 = dx e y

e y dy dy = = ((e e x – – 1) 1) dx ⇒

dy = = (e – ∫ e dy ∫ – 1)1) dx y

x

e y = e x – x + x + k ⇒ y y = = ln (e x – x + x + k ) Unidad 13. Cálculo de primitivas

47

f ) x 2 y' y' + + y 2 + 1 = 0 y ' =

– 1 – – y y 2 x 2

∫

⇒

dy – (1 (1 + y 2) = dx x 2

⇒

dy – 1 = dx 1 + y 2 x 2

∫

dy – 1 1 = dx ⇒ arc tg y = y = + k 2 2 x 1 + y x

y = y = tg

( ) 1 + k x


48

UNIDAD 13 Calculo de Primitivas

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