TUGAS BESAR STATISTIK DAN PROBABILITAS “Frekuensi Angkutan Perkotaan (Angkot) yang Melewati Margo City dari Arah Depok-Jakarta Setiap 5 Menit”
Disusun Oleh: Kelompok 1 Ahmad Syihan Hendra Radiansyah Ivan Fauzan Ledi Khalidannisa Pratiwie Azsmi Prilly Octavia Puspa Suparno Rezhi Dika Indra Baharudin Taufiq R. Okky Septi D. Zahir
1006659621 1006659703 1006659716 1006659722 1006660932 1006659754 1006660945 1006660951 0906640740 0606076665
Fakultas Teknik Universitas Indonesia Depok 2011
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat rahmat dan hidayah-Nya tugas besar Statistik dan Probabilitas ini dapat diselesaikan tepat waktu. Adapun tujuan penulis membuat tugas besar ini adalah mengkaji perihal pada statistik deskriptif tentang tema yang kami ajukan yaitu “Frekuensi
Angkutan Perkotaan (Angkot) yang Melewati Margo City dari Arah
Depok-Jakarta Setiap 5 Menit”. Secara garis besar, tugas besar ini berisi mengenai perhitungan statistik deskriptif
yaitu
menyangkut
ukuran
pemusatan
dan
penyebaran,
grafik
(histogram, polygon, dan ogive), serta membandingkan grafik tersebut dengan kurva distribusi normal. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Ardiyansyah, ST., M.Eng, dan Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng selaku dosen mata kuliah Statistik dan Probabilitas yang telah membimbing penulis, dan semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian tugas besar ini. Akhirnya, tiada gading yang tak retak, penulis pun menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan demi kemajuan penulis dalam pembuatan tugas besar selanjutnya.
Depok, Juli 2011
Penulis
i
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................... ................................................................. ............................... .........
i
DAFTAR ISI ........................................... ................................................................. ............................................ ........................ ..
ii
DAFTAR TABEL ......................................... ............................................................... ....................................... .................
v
DAFTAR GAMBAR ............................................ ................................................................... ................................ .........
vi
BAB I
PENDAHULUAN ............................................ ................................................................ ....................
1
1.1 Latar Belakang ........................................... ................................................................. ............................ ......
1
1.2 Tujuan Penelitian ........................................... ................................................................. ........................ ..
2
1.3 Metodologi Penelitian .......................................... ........................................................... .................
2
BAB II
LANDASAN TEORI .......................................... ........................................................... .................
3
2.1 Ukuran Pemusatan .......................................... ................................................................ ........................ ..
3
2.1.1
Rata-rata/Average (Mean) .......................................... ..........................................
3
2.1.2
Median ............................................ .................................................................. ............................ ......
3
2.1.3
Modus .......................................... ................................................................ ............................... .........
4
2.1.4
Kuantil (Kuartil, Desil, Persentil) ............................... ...............................
5
2.2 Ukuran Penyebaran ............................................ ................................................................ ....................
5
2.2.1
Range ........................................... ................................................................. ............................... .........
6
2.2.2
Range Persentil 10-90 ........................................... ................................................. ......
6
2.2.3
Simpangan Kuartil ............................................. ...................................................... .........
6
2.2.4
Simpangan Mutlak Rata-rata ( Mean Mean Deviation) Deviation).........
7
2.2.5
Deviasi Standar/Simpangan Baku .............................. ..............................
7
2.2.6
Varians ............................................ .................................................................. ............................ ......
8
2.2.7
Koefisien Variasi ........................................... ........................................................ .............
8
2.3 Grafik (Histogram, Polygon, Ogive) ..................................... .....................................
9
2.3.1
Grafik Histogram ........................................... ........................................................ .............
ii
9
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 2.3.2
Grafik Polygon........................................... ............................................................ .................
9
2.3.3
Grafik Ogive ........................................... ............................................................... ....................
10
2.4 Momen, Skewness, Kurtosis ............................................ .................................................. ......
11
2.4.1
Momen ............................................ .................................................................. ............................ ......
11
2.4.2
Skewness......................................... ............................................................... ............................ ......
12
2.4.3
Kurtosis ........................................... ................................................................. ............................ ......
13
2.5 Distribusi Normal ........................................... ................................................................. ........................ ..
14
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................... ............................................ ..
15
3.1 Distribusi Frekuensi............................................ ................................................................ ....................
15
3.2 Grafik ........................................... .................................................................. ........................................... ....................
17
3.2.1
Grafik Histogram ........................................... ........................................................ .............
17
3.2.2
GrafikPolygon............................................ ............................................................. .................
17
3.2.3
Grafik Ogive ........................................... ............................................................... ....................
18
3.3 Ukuran Pemusatan .......................................... ................................................................ ........................ ..
18
3.3.1
Mean ............................................ .................................................................. ............................... .........
18
3.3.2
Median ............................................ .................................................................. ............................ ......
19
3.3.3
Modus .......................................... ................................................................ ............................... .........
19
3.3.4
Kuantil (Kuartil, Desil, Persentil) ............................... ...............................
19
3.4 Ukuran Penyebaran ............................................ ................................................................ ....................
24
3.4.1
Range ........................................... ................................................................. ............................... .........
24
3.4.2
Range Persentil 10-90 ........................................... ................................................. ......
24
3.4.3
Simpangan Kuartil ............................................. ...................................................... .........
25
3.4.4
Simpangan Mutlak Rata-rata (Mean Deviation) .........
25
3.4.5
Deviasi Standar/Simpangan Baku .............................. ..............................
26
3.4.6
Varians ............................................ .................................................................. ............................ ......
26
3.4.7
Koefisien Variasi ........................................... ........................................................ .............
26
3.5 Momen, Skewness, Kurtosis ............................................ .................................................. ......
26
3.5.1
Momen ............................................ .................................................................. ............................ ......
27
3.5.2
Skewness......................................... ............................................................... ............................ ......
28
3.5.3
Kurtosis ........................................... ................................................................. ............................ ......
28
iii
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 3.5.4
Perbandingan Kemencengan dan Keruncingan dengan Distribusi Normal ...........................................
28
BAB IV PENUTUP ............................................................................
30
4.1 Kesimpulan ............................................................................
30
4.2 Saran ......................................................................................
32
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
iv
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Hasil survey banyak angkot yang lewat Margo City setiap 5 menit ..........................................................................
15
Tabel 3.2 Distribusi frekuensi ................................................................
16
Tabel 3.3 Distribusi frekuensi kumulatif ................................................
16
Tabel 3.4 Simpangan mutlak rata-rata ....................................................
25
Tabel 3.5 Simpangan baku .....................................................................
26
Tabel 3.6 Perhitungan momen ................................................................
27
v
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Contoh grafik Histogram.....................................................
9
Gambar 2.2 Contoh grafik Polygon ........................................................
10
Gambar 2.3 Contoh grafik Ogive ............................................................
11
Gambar 2.4 Jenis kurva menurut faktor kemencengan ( skewness).........
12
Gambar 3.1 Grafik Histogram banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit .................................................................................
17
Gambar 3.2 Grafk Polygon banyaknya angkot yang lewat seti ap 5 menit .................................................................................
17
Gambar 3.3 Grafk Ogive banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit .
18
vi
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kemacetan merupakan salah satu permasalahan yang paling sulit ditangani, terbukti sampai sekarang hampir di setiap sudut kota Jakarta mengalami permasalahan serupa, yaitu kemacetan. Hal ini dapat diakibatkan oleh berbagai faktor, yaitu volume kendaraan yang melebihi lebar jalan, faktor kecelakaan, dan juga adanya pengemudi-pengemudi yang tidak mengikuti peraturan lalu lintas, dan lain sebagainya. Hal serupa setidaknya juga dialami oleh kota di pinggiran Jakarta, yaitu Kota Depok yang merupakan salah satu kota di Jawa Barat yang memiliki kepadatan penduduk yang cukup padat, dilihat dari jumlah kendaraan bermotor yang berlalu lalang di jalanan setiap harinya. Hampir di setiap sudut jalanan utama Kota Depok, sebagai contoh Jalan Margonda Raya, mengalami kemacetan terutama di kawasan pusat perbelanjaan seperti Depok Town Square (Detos), Margo City, ITC Depok, dsb. Setelah dilakukan observasi ternyata sumber kemacetan ialah tiada lain angkutan-angkutan umum seperti angkot, bus Kopaja, bus Patas, dll yang sering berhenti atau ngetem di depan pusat perbelanjaan guna mendapatkan penumpang. Oleh karena itu, kelompok kami melakukan suatu penelitian mengenai frekuensi angkutan umum, dalam hal ini kami lebih memusatkan pada angkot, yang melewati Margo City dari arah Depok-Jakarta setiap 5 menit. Penelitian ini guna mendapatkan data mengenai banyaknya angkot yang melewati pusat perbelanjaan ini, terutama angkot-angkot nomor 112 (jurusan Kp.RambutanDepok), D11 (jurusan Depok-Pal), 04 cokelat (jurusan Depok-Pasar Minggu), dan 19 (Depok-Kp.Rambutan), yang menurut kami merupakan salah satu penyebab akan kemacetan di ruas jalan di pusat perbelanjaan Margo City dan Depok Town Square (keduanya saling bersebrangan).
1
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan kami melakukan penelitian yang ini adalah sebagai berikut: 1. Melakukan perhitungan mengenai statistik deskriptif ukuran pemusatan mengenai data yang telah kami dapatkan. 2. Melakukan perhitungan mengenai statistik deskriptif ukuran penyebaran mengenai data yang telah kami dapatkan. 3. Membuat grafik histogram, polygon, dan ogive atau grafik kumulatif. 4. Membandingkan faktor kemencengan dan keruncingan distribusi tersebut dengan kurva distribusi normal dan menentukan je nis kurva yang terbentuk.
1.3 Metodologi Penelitian
Adapun dalam penelitian ini penulis menggunakan beberapa metode terkait pengambilan sampel maupun analisis data.
Pada pengambilan data, kami menggunakan probability sample terutama pada metode cluster sample yaitu kita mengambil sampel hanya kelompok angkot yang melewati Margo City dari arah Depok menuju Jakarta. Pengambilan sampel ini dilakukan yaitu setiap 5 menit sekali berapa frekuensi angkot yang melewati Margo City.
Pada pengelompokan data, kami membagi data tersebut dengan lebar interval kelas sama yaitu 5 sehingga dapat dikelompokkan menjadi 7-8 kelas.
Pada pengolahan data, kami menggunakan metode statistik deskriptif yaitu meliputi ukuran pemusatan (mean, median, modus, dan kuantil) dan ukuran penyebaran (range, range persentil 10-90, simpangan kuarti, simpangan mutlak rata-rata, deviasi standar, varians, dan koefis ien varians).
Selain itu kami menggunakan metode perhitungan momen untuk mencari skewness (kemencengan) dan kurtosis (keruncingan) sehingga dapat terbentuk suatu grafik.
Sementara pada pembuatan grafik, kami menggunakan metode insert chart pada program Microsoft Excel sehingga dapat memudahkan kami dalam membuat grafiknya.
2
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Ukuran Pemusatan
Data sering menunjukkan kecenderungan terpusat disekitar suatu nilai yang dapat menggambarkan nilai data secara umum Nilai tersebut dalam statistik disebut sebagai ukuran pemusatan (central tendency). Terdapat beberapa ukuran pemusatan yang sering digunakan dalam statistik yang akan dijelaskan sebagai berikut.
2.1.1 Rata-rata (Average) atau Mean
Rata-rata (average) adalah nilai khas yang mewakili sifat tengah, atau posisi pusat, dari suatu kumpulan nilai data. Mean aritmetik ( Arithmetic Mean) atau nilai rata-rata data terkelompok suatu sampel dirumuskan sebagai berikut:
(untuk suatu sampel)
dimana :
= mean aritmetika dari suatu sampel = jumlah interval kelas dalam suatu sampel = banyaknya data x dalam suatu sampel = frekuensi atau jumlah pengamatan dalam sebuah interval kelas = nilai tengah dari interval kelas
2.1.2 Median
Median menyatakan posisi tengah dari nilai dua data terjajar (data array). Secara geometris, median merupakan nilai dari absis-s yang bertepatan dengan
3
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 garis vertikal yang membagi daerah dibawah poligon menjadi dua daerah yang luasnya sama. Median data terkelompok suatu sampel dihitung dengan rumusan berikut:
c
(prinsip interpolasi)
dimana:
= batas bawah nyata kelas median (kelas yang memuat median) = banyaknya data (jumlah seluruh frekuensi) = jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas median = frekuensi kelas median
= lebar interval kelas median
2.1.3 Modus
Modus dari sekumpulan nilai data adalah nilai yang paling sering muncul atau yang frekuensinya terbesar. Dalam suatu kumpulan nilai data, modus ini mungkin ada mungkin juga tidak, dan kalaupun ada tidak selalu unik (tunggal). Modus data terkelompok suatu sampel ditentukan dengan rumusan:
(prinsip interpolasi)
dimana:
= batas bawah nyata kelas dari kelas modus (kelas frekuensi terbesar) = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = lebar interval median
4
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 2.1.4 Kuantil : Kuartil, Desil, dan Persentil
Kuantil adalah nilai-nilai yang membagi suatu jajaran data (data array) menjadi bagian-bagian yang sama. Sebagai contoh, kuantil yang membagi jajaran data menjadi dua bagian adalah median. Kuantil yang membagi jajaran data menjadi empat bagian disebut kuartil
disebut desil
, menjadi sepuluh bagian
, dan menjadi seratus bagian disebut persentil
. Dengan pengertian diatas, maka : median
.
Untuk data terkelompok, kita dapat mencari nilai kuantil menggunakan prinsip interpolasi, dengan rumus ke-i:
dimana:
= batas bawah nyata kelas dari kelas kuantil ke-i = banyaknya data (jumlah seluruh frekuensi) = konstanta (untuk kuartil r=4, desil r=10, persentil r=100) = jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih randah daripada kelas kuantil
ke-i
= frekuensi kelas kuantil ke-i = lebar interval kelas kuantil
2.2 Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran (dispersion) menunjukkan seberapa jauh data menyebar dari nilai rata-ratanya (variabilitas data). Dua alasan pentingnya meninjau ukuran penyebaran ialah untuk membuat suatu penilaian seberapa baik suatu nilai ratarata dan untuk mengetahui seberapa jauh penyebaran dari data, sehingga langkahlangkah untuk mengendalikan variasi dapat dilakukan.
5
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 Terdapat beberapa ukuran penyebaran yang sering digunakan dalam s tatistik yang akan dijelaskan sebagai berikut.
2.2.1 Jangkauan/Range
Nilai Jangkauan sekumpulan data adalah beda pengamatan data terbesar dengan data terkecil dalam sekumpulan data tersebut. R = Xmax-Xmin
2.2.2 Range Persentil 10-90
Jangkauan ini menyatakan selisih nilai persentil ke-90 dan k-10 jajaran data.
R P 10-90 =
P 90
P 10
di mana: R P10-90 = jangkauan/kisaran persentil 10-90 P90
= nilai persentil ke-90
P10
= nilai persentil ke-10
2.2.3 Simpangan kuartil
Simpangan kuartil atau deviasi kuartil dan lebih dikenal sebagai rentang semi antar kuartil, harganya setengah dari rentang antar kuartil.
Qd =
di mana: Qd
= simpangan kuartil
Q3
= nilai kuartil ke-3
Q1
= nilai kuartil ke-1
6
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 2.2.4 Simpangan Mutlak Rata-rata/Mean Deviation
Simpangan mutlak rata-rata merupakan ukuran penyebaran yang meninjau besarnya penyimpangan setiap nilai data terhadap nilai rata-rata (mean)nya. Simpangan sebuah pengamatan dari rata-ratanya diperoleh dengan mengurangkan pengamatan
tersebut
dengan
nilai
rata-ratanya.
Bila
sekelompok
data
X1,X2,X3.......,Xn menyusun sebuah populasi terhingga berukuran N maka simpangan dari nilai rata-rata populasinya adalah: X 1
, X 2 ,......... .., X N
Demikian pula bila sekelompok data X 1,X2,X3.......,Xn menyusun sebuah contoh terhingga berukuran n,simpangan rata-ratanya adalah:
X 1
X , X 2 X ,......... .., X N X
Jumlah semua simpangan dari nilai rata-ratanya selalu sama dengan nol,yang berlaku untuk semua jenis data,yang dapat diambil; nilai mutlak dari ukuran keragaman simpangan rata-rata.Definisinya adalah: MD
1 n
n
X
X
i
i 1
Untuk data terkelompok yang tersebar dalam tabel frekuensi fi dan titik tengah x,simpangan rata-rata dinyatakan sebagai:
n
f X i
MD
m ,i
X
i 1 n
f i
i 1
2.2.5 Deviasi Standard/Simpangan Baku
Deviasi standard (standard deviation) atau simpangan baku merupakan ukuran penyebaran yang paling sering digunakan. Mayoritas nilai data cenderung berada dalam satu deviasi standard dari mean, dan hanya sebagian kecil saja yang
7
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 terletak di luar dari tida deviasi standard dari meannya. Deviasi standar data terkelompok suatu sampel memiliki persamaan sebagai berikut. Data terkelompok:
2.2.6 Varians
Varians merupakan kuadrat dari deviasi standard, sehingga untuk sample dinyatakan sebagai sx2. Bila sekelompok data X 1,X2,X3,...........,Xn menyusun sebuah populasi terhingga berukuran
N yang mempunyai rata-rata
ragam populasi yang dilambangkan sebagai 2
1
2
,maka
(sigma kuadrat) adalah:
2
N
X i
N i 1
Untuk data berkelompok yang diambil, maka nilai dari keragaman adalah: s X i X n 1 i 1 2
1
N
2
2.2.7 Koefisien Variasi
Koefisien varians atau dispersi yang diuraikan dalam bagian merupakan dispersi absolut. Variasi 3 cm untuk ukuran jarak 100 cm dan variasi 6 cm untuk ukuran jarak 20 cm mempunyai pengaruh yang berlainan. Untuk mengukur pengaruh tersebut dan membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilainilai kecil digunakan koefisien varians relatif. Dispersi relatif = Dispersi absolut / rata-rata Tetapi, untuk dispersi absolut diambil simpangan baku, sehingga diperoleh koefisien variasi yang nilainya dinyatakan dalam persen.
8
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 Koefisien varians tidak bergantung pada satuan yang digunakan, karenanya dapat digunakan untuk membandingkan varians relatif beberapa kumpulan data dengan satuan yang berbeda.
2.3 Grafik
Grafik merupakan salah satu cara dalam merepresentasikan distribusi frekuensi. Terdapat tiga macam grafik yang akan dibahas, yaitu grafik histogram, polygon, dan ogive atau frekuensi kumulatif.
2.3.1 Grafik Histogram
Histogram adalah tampilan data atau informasi statistik yang menggunakan persegi panjang untuk menunjukkan frekuensi sebuah data dalam interval numerik yang berurutan dari ukuran yang sama. Dalam bentuk yang paling umum, variabel independen dari sebuah histogram diplot di sepanjang sumbu horizontal dan variabel dependen diplot di sepanjang sumbu vertikal. Data-data tampak sebagai persegi panjang yang sudah diwarnai atau terisi dibawah daerah variabel.
Gambar 2.1 contoh grafik Histogram Sumber: http://www.netmba.com/images/statistics/histogram/histogram.gif
2.3.2 Grafik Polygon
Dalam
sebuah
Frekuensi
Poligon,
grafik
menggabungkan semua titik-titik tengah dari atas
9
garis
digambar
dengan
subah persegi panjang
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 histogram. Sebuah poligon frekuensi memberikan ide dan gambaran tentang bentuk distribusi data. Titik akhir dari dua frekuensi poligon selalu berada pada sumbu-x.
Gambar 2.2 contoh grafik Polygon Sumber : http://www.onekobo.com/Articles/Statistics/statsImgs/24Graph-002.jpg
2.3.3 Grafik Frekuensi Kumulatif (ogive)
Juga dikenal sebagai ogive, Frekuensi Kumulatif adalah kurva yang ditarik dengan memplot nilai kelas pertama pada grafik. Plot berikutnya adalah jumlah dari nilai pertama dan kedua, plot ketiga adalah jumlah dari nilai pertama, kedua, dan ketiga, dan seterusnya.
10
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Gambar 2.3 contoh grafik Ogive Sumber: http://www.mathematics.com.au/images/600x480/5102.gif
2.4 Momen, Skewness, dan Kurtosis 2.4.1 Momen
Misalkan X1, X2, . . . , X n merupakan nilai dari variabel X. Kuantitas:
disebut momen ke r dari X. Untuk r = 1, menjadi rerata ( mean) aritmatika. Momen ke-r simpangan terhadap mean didefinisikan sebagai:
Jadi, jika r = 1 maka m1,x = 0, dan jika r = 2 maka m2,x = sx2 (varians). Momen ke-r simpangan terhadap sembarang asal A didefinisikan sebagai:
dimana d = X - A adalah deviasi X terhadap A.
11
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Untuk data terkelompok , misalkan X1, X2, . . . ,X n terjadi dengan frekuensi f 1, f 2, . . . , f n.
Untuk membedakan momen dari sampel dengan momen dari populasi, biasanya digunakan simbol huruf yunani yang berkaitan. Jadi jikauntuk sampel dinotasikan dengan mr,x dan m’ r,x, maka untuk populasi masing-masing digunakan notasi
r,x
dan
’ r,x.
2.4.2 Skewness
Adalah ukuran ketidaksimetrisan (kemencengan) distribusi. Distribusi yang ekor kurvanya lebih panjang kekanan disebut menceng kekanan atau positive skewness. Begitu juga sebaliknya.
Gambar 2.4 Jenis kurva menurut faktor kemencengan (skewness) Sumber: http://www.google.co.id
12
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 Koefisien Skewness
Koefisien Pearson I:
Koefisien Pearson II:
Diperhatikan bila distribusinya normal maka koefisien skewness bernilai nol. Koefisien skewness lainnya:
Koefisien kuartil skewness:
Koefisien skewness 10-90% percentile:
Koefisien momen skewness:
2.4.3 Kurtosis
Adalah ukuran kelancipan distribusi data dimana distribusi normal sebagai pembanding. Macam-macam ukuran kurtosis:
Koefisien momen kurtosis:
13
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Kurtosis terhadap kuartil dan percentil:
Kurtosis positif distribusi lancip
Kurtosis negatif distribusi tumpul
2.5 Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statisktik. Yang perlu diperhatikan pada distribusi normal ialah kurva distribusiya yaitu simetris terhadap nilai mean (kemencengannya yaitu 1 = 0), dan juga keruncingan pada distribusi normal ialah sebesar 2 = 3.
14
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Distribusi Frekuensi
Berdasarkan hasil survey yang dilakukan oleh kelompok kami pada hari Minggu 10 Juli 2011 dan Senin 11 Juli 2011, di dapat beberapa data menyangkut banyaknya jumlah angkot yang melewati Margo City dari arah Depok-Jakarta setiap 5 menitnya, yang akan disajikan dalam beberapa tabel berikut.
Tabel 3.1 Hasil survey banyaknya angkot yang lewat Margo City tiap 5 menit
Menit
Jumlah Angkot yang Lewat (Berdasarkan Hasil Perhitungan oleh Surveyor) Rezhi A.Syihan Prilly Hendra Pratiwie Ivan Puspa Baharudin Ledi Okky
1 s/d 5
17
5
11
11
10
15
16
20
20
19
6 s/d 10
23
32
9
8
16
14
17
24
14
20
11 s/d 15
20
20
10
17
15
16
23
11
22
9
16 s/d 20
24
18
10
18
23
15
31
19
12
13
21 s/d 25
20
28
7
5
14
12
37
17
6
18
26 s/d 30
30
26
8
12
17
10
34
27
12
16
31 s/d 35
24
18
9
4
11
18
32
14
22
17
36 s/d 40
22
21
11
22
10
9
14
9
8
12
41 s/d 45
24
23
9
6
20
5
21
16
12
12
46 s/d 50
27
28
11
8
19
23
25
18
4
12
15
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 Tabel 3.2 Distribusi frekuensi dari data angkot
Banyak Angkot yang Lewat Tiap 5 Menit (Mobil)
Frekuensi ( f )
1 s/d 5 6 s/d 10 11 s/d 15 16 s/d 20 21 s/d 25 26 s/d 30 31 s/d 35 36 s/d 40 Total (N)
5 18 23 27 16 6 4 1 100
Dari tabel 3.1 di atas, kami mengelompokkan jumlah angkot yang lewat tiap 5 menit ke dalam 8 kelompok dengan interval kelas sebesar 5 tiap-tiap kelas, sehingga didapat tabel distribusi frekuensi dari data angkot seperti pada tabel 3.2 di atas. Untuk keperluan grafik ogive yang memerlukan distribusi frekuensi kumulatif, berikut diberikan tabel mengenai distribusi frekuensi kumulatif dari banyaknya angkot yang lewat Margo City dari arah Depok-Jakarta setiap 5 menit.
Tabel 3.3 Distribusi Frekuensi Kumulatif
Banyak Angkot yang Lewat Tiap 5 Menit (Mobil)
Frekuensi ( f c)
< 0,5 < 5,5 < 10,5 < 15,5 < 20,5 < 25,5 < 30,5 < 35,5 < 40,5
0 5 23 46 73 89 95 99 100
16
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
3.2 Grafik 3.2.1 Grafik Histogram
Berdasarkan tabel 3.2 yaitu tabel distribusi frekuensi, maka grafik histogram yang terbentuk ialah sebagai berikut.
Grafik Histogram
30 25 ) f ( 20 i s n e 15 u k e r F 10
5 0 1-5
6 - 10
11 - 15
16 - 20
21 - 25
26 - 30
31 - 35
36 - 40
Banyaknya Angkot yang Lewat Setiap 5 Menit (mobil)
Gambar 3.1 Grafik Histogram banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit
3.2.2 Grafik Polygon
Berdasarkan tabel 3.2 yaitu tabel distribusi frekuensi, maka grafik polygon yang terbentuk ialah sebagai berikut.
Gambar 3.2 Grafik Polygon banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit
17
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 3.2.3 Grafik Ogive
Berdasarkan tabel 3.3 yaitu tabel distribusi frekuensi kumulatif, maka grafik ogive yang terbentuk ialah sebagai berikut.
Grafik Ogive
120 ) 100 c f ( f i 80 t a l u m 60 u K h a 40 l m u J
20 0
< 0,5
< 5,5
< 10,5
< 15,5
< 20,5
< 25,5
< 30,5
< 35,5
< 40,5
Banyaknya Angkot yang Lewat Setiap 5 Menit (mobil)
Gambar 3.3 Grafik Ogive banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit
3.3 Ukuran Pemusatan 3.3.1 Mean
18
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 3.3.2 Median
3.3.3 Modus
3.3.4 Kuantil (Kuartil, Desil, Persentil)
Kuantil terdiri dari kuartil (r=4), desil (r=10), dan persentil (r=100)
Kuartil
Kuartil ke-1
19
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Kuartil ke-2
Kuartil ke-3
Desil
Desil ke-1
20
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Desil ke-2
Desil ke-3
Desil ke-4
Desil ke-5
21
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Desil ke-6
Desil ke-7
Desil ke-8
22
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Desil ke-9
Pversentil
Persentil ke-30
Persentil ke-57
Persentil ke-85
23
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Persentil ke-99
3.4 Ukuran Penyebaran 3.4.1 Range
R = x max – x min R = 37 - 4 = 33
3.4.2 Range Persentil 10-90
R p 10-90 = P90- P10
Pi
= Ll,1 +
P10
= 5.50 +
P90
= 25.50 +
R p 10-90 =
26.33 – 6.89
c
5
= 6,89
5
= 26,33 = 19,44
24
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 3.4.3 Simpangan Kuartil
Qd =
Qi = Ll,1 +
c
Q1 = 10.5 +
Q3 = 20.5 +
Qd =
5
= 10,93
5
= 21,12
= 5,10
3.4.4 Simpangan Mutlak Rata-rata ( Mean Deviation)
MD x = =
= 6,02
(data di atas didapat dari tabel 3.4 di bawah ini)
Tabel 3.4 Simpangan Mutlak Rata-rata
Banyak Angkot Tiap 5 Menit
Frekuensi
xmi
1-5 6 -10 11 - 15 16 -20 21- 25 26- 30 31- 35 36- 40 Jumlah (N)
5 18 23 27 16 6 4 1 100
3 8 13 18 23 28 33 38
f i
16.5 16.5 16.5 16.5 16.5 16.5 16.5 16.5
25
13.5 8.5 3.5 1.5 6.5 11.5 16.5 21.5
67.5 153 80.5 40.5 104 69 66 21.5 602
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 3.4.5 Deviasi Standar
Sx =
=
= 7.50
(data di atas didapat dari tabel 3.5 di bawah ini)
Tabel 3.5 Simpangan baku
Banyak Angkot Tiap 5 Menit
Frekuensi
xmi
1 s/d 5 6 s/d 10 11 s/d 15 16 s/d 20 21 s/d 25 26 s/d 30 31 s/d 35 36 s/d 40 Jumlah (N)
5 18 23 27 16 6 4 1 100
3 8 13 18 23 28 33 38
(xmi - )
(xmi - )
f i (xmi - )
16.5
13.5
182.25
911.25
16.5
8.5
72.25
1300.5
16.5
3.5
12.25
281.75
16.5
1.5
2.25
60.75
16.5
6.5
42.25
676
16.5
11.5
132.25
793.5
16.5
16.5
272.25
1089
16.5
21.5
462.25
462.25 5575
3.4.6 Varians
(diambil dari data deviasi standard)
2
= 7,502 = 56,25
3.4.7 Koefisien Variasi
(diambil dari data deviasi standard) Vx =
=
= 0.45
3.5 Momen, Skewness, dan Kurtosis
Dari table data, dapat dibuat table perhitungan secara langsung seperti :
26
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 Tabel 3.6 Perhitungan momen
a
3
5
-67.5
911.25
-12301.875
166075.3125
-2242016.7
30267225.7
-408607547
5516201884
8
18
-153
1300.5
-11054.25
93961.125
-798669.56
6788691.281
-57703876
490482945.1
13
23
-80.5
281.75
-986.125
3451.4375
-12080.031
42280.10938
-147980.38
517931.3398
18
27
40.5
60.75
91.125
136.6875
205.03125
307.546875
461.320313
691.9804688
23
16
104
676
4394
28561
185646.5
1206702.25
7843564.63
50983170.06
28
6
69
793.5
9125.25
104940.375
1206814.31
13878364.59
159601193
1835413718
33
4
66
1089
17968.5
296480.25
4891924.13
80716748.06
1331826343
21975134660
38
1
21.5
462.25
9938.375
213675.0625
4594013.84
98771297.64
2123582899
45657032334
∑
100
0
5575
17175
907281.25
7825837.5
231671617.2
3156395058
75525767335
3.5.1 Momen
Momen ke-2
m2,x =
m4,x
Momen ke-4
Momen ke-5
M5,x =
Momen ke-3
m3,x =
, maka :
Momen ke-6
m6,x =
27
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Momen ke-7
m7,x =
Momen ke-8
m8,x =
3.5.2 Skewness
Kemencengan kurva distribusi dapat dihitung menggunakan persamaan pada Bab 2 Landasan Teori, yaitu faktor kemencengannya: α3,x =
=
= 4,96 x 10 -10
3.5.3 Kurtosis
Keruncingan kurva distribusi dapat dihitung menggunakan persamaan pada Bab 2 Landasan Teori, yaitu faktor keruncingannya: α4,x =
= 0,000292
3.5.4 Perbandingan Kemencengan dan Keruncingan dengan Distribusi Normal
Pada distribusi normal, nilai kemencengannya = 0, dan nilai keruncingannya adalah 3. Pada percobaan yang kami lakukan, nilai kemencengannya 4,96 x 10-10 yang artinya lebih dari nol, dan nilai keruncingannya 0,000292 yang kurang dari tiga. Pada distribusi normal, dengan nilai kemencengan 0 dan keruncingan tiga, membuat kurva distribusi yang simetris, sehingga perbedaan nilai kemencengan dan keruncingan pada percobaan yang kami lakukan dengan nilai kemencengan
28
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 dan keruncingan pada distribusi normal mengakibatkan kurva distribusi pada percobaan kami tidak simetris. Nilai kemencengan kami yang lebih besar dari 0, mengakibatkan, kurva distribusi pada percobaan kami adalah, kurva menceng kanan. Sementara, untuk menentukan keruncingan sebuah grafik
menggunakan rumus (b2,x-3) dengan b2.x adalah momen keruncingannya. pada penelitian kami, nilai momen keruncingannya adalah
0,00092. Sehingga
(0,00092-3) = - 2,99908. Karena hasilnya negatif, maka kurva yang terbentuk adalah platykurtic. Sehingga kurva yang terbentuk adalah kurva platykurtic yang menceng kanan.
.
29
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Dari data-data yang kami peroleh berupa perhitungan frekwuensi angkutan perkotaan yang melewati depan Margo City dari arah Depok menuju ke Jakarta setiap interval 5 menit, dapat kita ambil beberapa kesimpulan, diantaranya yaitu: 1.
Berdasarkan hasil pengamatan dan juga dari grafik yang diperoleh, maka jumlah angkot terbanyak adalah antara 16 hingga 20 dengan jumlah frekuensi sebanyak 27.
2.
Sedangkan untuk hasil dari perhitungan ukuran pemusatan diperoleh nilainiai sebagai berikut:
Mean: 16,50
Median: 16,24
Modus: 16,83
Data di atas menunjukkan bahwa hasil dari pengamatan dengan hasil dari perhitungan memiliki nilai yang sama. 3.
Untuk Kuantil, kami melakukan 3 jenis perhitungan, diantaran ya kuartil, desil dan persentil.
Kuartil Q1 = 10,930 Q2 = 16,240 Q3 = 21,125
Desil D1 = 6,89 D2 = 9,67 D3 = 12,02 D4 = 14,19 D5 = 16,24
30
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 D6 = 18,09 D7 = 19,94 D8 = 22,68 D9 = 26,33
Persentil P30 = 12,02 P57 = 15,53 P85 = 24,25 P99 = 35,50
4.
Perhitungan dari ukuran penyebaran yang diperoleh dari datan pengamatan adalah sebagai berikut:
5.
Range: 33
Range persentil: 19,44
Simpangan kuartil: 5,10
Mean deviation: 6,02
Deviasi standar: 7,50
Varians: 56,25
Koefisien variasi: 0,45
Perhitungan momen, skewness, dan kurtosis dan penentuan jenis kurva jika dibandingkan dengan kurva distribusi normal
Momen
Momen ke-2 = 55,75
Momen ke-3 = 171,75
Momen ke-4 = 9072,81
Momen ke-5 = 78258,37
Momen ke-6 = 2316716,17
Momen ke-7 = 31563950,58
Momen ke-8 = 755257673,35
Skewnes: 4,96 x 10 -10
Kurtosis: 0,000292
Jenis kurva yang terbentuk ialah kurva platycurtic yang menceng kanan
31
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011 4.2 Saran
Adapun saran yang ingin kami sampaikan pada pengerjaan tugas besar ini ialah sebagai berikut: 1.
Sebagai mahasiswa teknik, sudah sepatutnya kita mampu menganalisa dan melakukan perhitungan tentang statistik dan probabilitas, mengingat hal tersebut merupakan dasar dari ilmu keteknikan yang sangat berguna untuk masa depan. Jika kita menilik ke belakang, sarjana Teknik diharapkan dapat menjadi pemberi keputusan dalam berbagai masalah, jadi dengan semakin matangnya konsep mengenai statistik dan probabilitas , tak ayal definisi seorang sarjana Teknik pun dapat terwujud.
2.
Dalam memahami konsep sebuah statistik aupun probabilitas, kita tidak hanya belajar melalui konsep atau buku saja, akan tetapi kita juga dapat belajar langsung mengenai hal tersebut di lapangan dimana dapat dimulai dari hal yang sering terjadi di sekitar kita, salah satunya adalah mengamati frekuensi angkutan perkotaaan yang melewati Margo City maupun pengamatan pada suatu Industri.
3.
Dalam perkembangannya, statistik dan probabilitas sangat diperlukan dalam bidang Teknik terutama pada penerapannya pada tingkat Industri. Kami menyarankan
agar
para
mahasiswa
Teknik
dapat
menyelesaikan permasalahan statistik dan probabilitas.
32
memahami
dan
DAFTAR PUSTAKA
Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Jakarta: Penerbit Erlangga Anonim. Definisi histogram. http://searchsoftwarequality.techtarget.com/definition/histogram (diakses pada 12 juli 2011)
LAMPIRAN
Hasil Scan Form Survey Penghitungan Angkot
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas Kelompok 1 2011
