Tugas Kelompok 2 Aljabar Linear Nama : Dita Zakiah (18) (18) Fariz Azhar Abdillah (15) Ria Apriliani (19) Rian Gilang Prabowo (25) Ridha Moulina (22) TeguhSamudra F.(24) Yonathan RakaPradana (20) 3.3 nomor 8 Dikerjakan oleh Ria Aprilliyani (19)
(a) Tunjukkan bahwa v = (a, (a, b) b) dan w = (-b, (-b, a) a) adalah vector-vektor orthogonal. (b) Gunakan hasil pada bagian (a) untuk mencari dua vector orthogonal terhadap v = (2, 3) (c) Cari dua vektor satuan yang orthogonal terhadap (-3, 4) Jawab : (a) Vector v dan w adalah vector orthogonal jika hasil kali titik dari vector tersebut bernilai 0 v . w = -ab + ab = 0 (b) Dua vector lainnya yang orthogonal terhadap v = (2, -3) adalah x = (3, 2) dan y = (-3, -2), karena hasil kali titik v . x dan v . y bernilai 0 (c) Vektor satuan yang orthogonal terhadap (-3,4) adalah vektor (-4, -3) dan (4, 3) dengan nilai vector satuan 5 3.3 nomor 10 Dikerjakan oleh Ria Aprilliyani (19)
Jelaskan mengapa setiap ekspresi berikut ini tidak masuk akal. (a) u . (v . w) (b) (u . v) + w (c) |u . v| (d) k . (u + v) Jawab : (a) Hasil (v . w) adalah vektor skalar sehingga tidak dapat dikalikan dengan vektor u, karena vektor dot hanya dapat di operasikan antara vektor (b) Hasil (u . v) adalah vektor skalar sehingga tidak dapat ditambah dengan vektor u, karena operasi penjumlahan hanya dapat dioperasikan antara vektor (c) Hasil dari u . v adalah vektor scalar sehingga tidak dapat dijadikan vektor satuan
(e) Penjumlahan dari vektor u dan v dalam bentuk vektor dan jika dikalikan dengan konstanta tidak perlu menggunakan perkalian dot, karena perkalian dot hanya dikalikan antara vector 3.3 nomor 11 Dikerjakan oleh Ria Aprilliyani (19)
Gunakan vektor-vektor untuk mencari cosinus sudut dalam dari segitiga dengan titik-titik sudut (0, -1), (1, -2), dan (4, 1) Jawab :
(4, 1)
(0, -1) (1, -2)
Sudut di titik (0, -1) Vektor sudut lainnya adalah u(1, -2) dan v(4, 1) u . v = |u||v|cos θ 4 – 2 = cos θ =
cos θ
√
Sudut di titik (1, -2) Vektor sudut lainnya adalah u(0, -1) dan v(4, 1) u . v = |u||v|cos θ 0 – 1 = cos θ =
√ √ √ √
cos θ
√
Sudut di titik (4, 1) Vektor sudut lainnya adalah u(0, -1) dan v(1, -2) u . v = |u||v|cos θ 0+2= cos θ =
√ √ √
cos θ
3.3 nomor 12 Dikerjakan oleh Ria Aprilliyani (19)
Tunjukkan bahwa A(3, 0, 2), B(4, 3, 0), dan C(8, 1, -1) adalah titik-titik sudut segitiga siku-siku. Di titik sudut manakah sudut siku-sikunya terletak? Jawab : z
A(3, 0, 2) y
B(4, 3, 0) x
C(8, 1, -1)
Sudut A(3, 0, 2) Vektor sudut lainnya adalah B(4, 3, 0) dan C(8, 1, -1) B . C = |B||C|cos θ
√ √ cos θ cos θ = √ = √ 32 + 3 + 0 =
Sudut B(4, 3, 0) Vektor sudut lainnya adalah A(3, 0, 2) dan C(8, 1, -1) A . C = |A||C|cos θ
√ √
24 + 0 - 2 = cos θ =
cos θ
√
Sudut C(8, 1, -1) Vektor sudut lainnya adalah A(3, 0, 2) dan B(4, 3, 0) A . B = |A||B|cos θ
√ √
12 + 0 + 0 = cos θ =
cos θ
√
3.1 nomor 7 oleh TeguhSamudra F.(24) Anggap u = (-3, 1, 2), v = (4, 0, -8), dan w = (6, -1, -4). Cari komponen- komponen vektor x yang memenuhi 2u – v + x = 7x + w Jawab :
Jika x
=
( x1, x2, x3). Maka,
2u – v + x
7x
+
7 x1
w
+
=
( – 6, 2, 4) – (4, 0, – 8) + ( x1, x2,
=
( – 10 + x1, 2 + x2, 12 + x3)
=
7( x1, x2, x3)
=
(7 x1
+
6 = x1 – 10 +
2
7 x3 – 4 = x3
+
12
=
(6, – 1, – 4)
6, 7 x2 – 1, 7 x3 – 4)
7 x2 – 1 = x2
x
+
3)
x
( – 8/3, 1/2, 8/3)
3.3 nomor 13 oleh TeguhSamudra F.(24) Anggap bahwa a . b = a. c dan a
0. Apakah dengan demikian maka b = c? Jelaskan.
Jawab : Belum tentu b = c. karena tergantung sudut yang mengapit a dengan b dan a dengan c. Jika sudutnya sama maka b=c. Kalau berbeda maka b tidak sama dengan c. Contoh nya misalkan a=(1,1,1) b=(1,-1,0) dan c=(-1,1,0). a.b=0 dan a.c=0. Walau b dan c berbeda tetapi hasil perkalian dot sama
3.3 nomor 14 oleh TeguhSamudra F.(24) Anggap p = (2, k) dan q = (3, 5). Cari sedemikian sehingga : a. p dan q sejajar b. p dan q ortogonal
c. sudut antara p dan q adalah
d. sudut antara p dan q adalah Jawab :
(a) Karena sejajar, Jika maka, (2, k) = c(3, 5). Jadi, k/5 = 2/3 atau k = 10/3
()() | || | |||| √ √ √ | || | ||||
(b) Ortogonal jika Maka,
(c)
(d)
3.3 nomor 15 oleh TeguhSamudra F.(24) . Gunakan rumus (13) untuk menghitung jarak antara titik dan garis berikut ini. a. 4x + 3y + 4 = 0 ; (-3, 1) b. y = -4x + 2 ; (2,-5) c. 3x + y = 5 ; (1, 8) Jawab : Jarak antara titik yang memiliki koordinat (a, b) dengan garis lurus yang persamaannya px + qy + r = 0, adalah
|| |()()| || = = = √ √ = 1 || |()()| || b) = = = () √ √ a)
c)
|| |()()| = = √ √
3.1 nomor 9 dikerjakan oleh Ridha Moulina(22)
Diasumsikanbahwaadatigaskalaryaitu , ,dan padasetiapvektor . Jikakitamembuatpersamaandengan scalar-skalar yang ditambahkan di vektortersebutdanmenjadikannyapersamaandibawahini :
– 2c1 – 3c2 +c3 =0 9c +2c +7c =5 1 2 3 6c +c +5c =4 1 2 3
Matrix di reduksimenjadisepertiini :
2
3
9
6
Barisketiga 0 C3
-1
2
1
0
7
5
5
4
+ 0
+ 0
2
3
-1
0
0
2
-2
-1
0
0
0
-1
= -1 , sehinggadapatdibuktikanbahwatidakadaskalarC1, C2 dan
3.3 nomor 1.d dikerjakan oleh Ridha Moulina(22)
U = ( -2, 2, 3)
V= ( 1, 7, -4 )
U.V = (-2)(1) + (2)(7) + (3)(-4) = -2 + 14 -12 = 0
3.3 nomor 2.d dikerjakan oleh Ridha Moulina(22)
‖‖‖‖ ⁄√ √
cos =
cos =
= 0 = 90 derajat (orthogonal)
3.3 nomor 3.b dikerjakan oleh Ridha Moulina(22)
U = (-6, 0, 4)
U.V = (-6)(3) + (0)(1) + (4)(6) = -18+0+24 = 6
V = (3, 1, 6)
cos =
‖‖‖‖
⁄ √ √
=
= suduttumpul.
3.3nomor 6d Dikerjakan oleh Yonathan Raka Pradana (20)
‖‖
Pada setiap bagian cari u = (3, -2, 6), a = (1, 2, -7)
‖‖ |‖‖| | √ ‖‖ |‖‖| | () √ √ Jawaban:
u . a = (3)(1) + (-2)(2) + (6)(-7) = 3 – 4 – 42 = - 43
3.3 nomor 8 Dikerjakan oleh Yonathan Raka Pradana (20)
a. Tunujukkan bahwa v = (a, b) dan w = (-b, a) adalah vektor ortogonal. b. Gunakan hasil pada bagian (a) untuk mencari dua vektor yang ortogonal terhadap v = (2, 3) c. Cari dua vektor satuan yang ortogonal terhadap (-3, 4) Jawaban: a. Dua buah vector dapat dikatakan ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika v . w = 0. v . w = (a)(-b) + (b)(a) = -ab + ab = 0 b. Dengan menggunakan hasil pada (a), dapat diketahui jika diketahui v = (2, 3) maka vektor yang ortogonal dengan v adalah (-3, 2). c. Dari bagian (a) dapat diketahui bahwa vektor (-4, -3) dan (4, 3) ortogonal terhadap (-3, 4). 3.3 nomor 12 Dikerjakan oleh Yonathan Raka Pradana (20)
Tunjukan bahwa A(3, 0, 2), B(4, 3, 0), dan C (8, 1, -1) adalah titik-titik sudut segitiga siku-siku. Di titik manakah sudut siku-sikunya terletak? Jawaban: Sudut siku-siku dapat diketahui jika hasil perkalian dot (.) dari dua vektor di atas hasilnya 0.
⃗⃗ ( ())( ()( ) )( ) ( ) ( ) ⃗⃗ ( ) ⃗ ()() ()() ()()
Dari hasil di atas dapat diketahui bahwa kedua vektor tersebut ortogonal, maka segitiga tersebut siku-siku di titik B.
Latihan 3.4 nomor 4 Dikerjakan oleh Yonathan Raka Pradana (20)
Cari luas segitiga yang mempunyai titij di P, Q, dan R
P(2, 6, -1), Q(1, 1, 1), R(4, 6, 2) Jawaban:
⃗ () ⃗ () ⃗ ⃗ ( ) ⃗ ⃗ () () () √ √ 3.4 nomor 10a dikerjakan oleh Rian Gilang Prabowo (25)
Cari luas paralelepidum dengan sisi-sisi u,v, dan w. a. u = (2, -6, 2), v = (0, 4, -2), w = (2, 2, -4) Diketahui
:
u = (2, -6, 2) v = (0, 4, -2) w = (2, 2, -4) Ditanya
: V = ?
Jawab : V=
V=
V= V= V= V= V= V= V=
[ ] [ ] * + – () * + * + * + – () * + * + | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )| – | | ||
Karena volume tidak ada yang negatif, jadi volume paralelepidum adalah 16.
3.4 nomor 19a dikerjakan oleh Rian Gilang Prabowo (25)
Gunakan hasil latihan 18 untuk mencari jarak antara titik P dan garis yang melalui titik A dan B: a. P(-3, 1, 2), A(1, 1, 0), B(-2, 3, -4) Diketahui : Hasil latihan 18
=
| | ||
P(-3, 1, 2) A(1, 1, 0) B(-2, 3, -4) Ditanya : jarak (d) =? Jawab : misalnya u= = (-3-1, 1-1, 2-0) = (-4, 0, 2) v= = (-2-1, 3-1, -4-0) = (-3, 2, -4)
⃗ ⃗
|() ()| )| |( |()| = √ √ = √
d =
3.4 nomor 24 dikerjakan oleh Rian Gilang Prabowo (25)
Buktikan identitas-identitas berikut ini. a. (u + kv) x v = u x v Diketahui : (u + kv) x v = u x v Ditanya : membuktikan identitas tersebut = ? Jawab : (u + k v
v = (u = (u =u
v) + (k v = (u v) + k (v v) v) + k 0 v
v)
3.5 nomor 4a dikerjakan oleh Rian Gilang Prabowo (25) Cari sebuah persamaan untuk bidang yang melalui titik-titik yang diberikan di bawah ini.
a. P(-4,-1,-1), Q(-2, 0, 1), R(-1, -2, -3) Diketahui : P(-4,-1,-1) Q(-2, 0, 1) R(-1, -2, -3) Ditanya Jawab
⃗ ⃗ ⃗⃗
: persamaan = ? :
= (-2+4, 0+1, 1+1) (2, 1, 2) = (-1+4, -2+1, -3+1) (3, -1, -2) x = (0, 10, -5) x tegak lurus terhadap bidang dan dan misalnya P adalah titik di bidang itu. Oleh karena itu persamaan untuk bidang tersebut adalah 0( x + 4)+ 10( y + 1) – 5( z + 1) =0 2 y – z + 1 =0 Jadi, persamaannya adalah 2 y – z + 1 = 0
⃗⃗
⃗ ⃗
3.5 nomor 6.a oleh Dita Zakiah (18)
Tentukan apakah garis dan bidang berikut sejajar. X= -5 -4t, y = 1-t, z = 3+2t ; x+2y+3z-9 = 0 Jawab : Persamaan bidang : Ax + By + Cz + D = 0 Persamaan simetrik : (x-x1)/a = (y-y1)/b = (z-z1)/c = t (x+5)/(-4) = (y-1)/9-1) = (z-3)/2 Persamaan :
(Aa + Bb + Cc)t + Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
Sejajar apabila :
-
Aa + Bb + Cc = 0
-
Ax1 + By1 + Cz1 + D ≠ 0
Diketahui :
A = 1, B = 2, C = 3, D = -9, a = -4, b = -1, c = 2, x1 = -5, y1 = 1, z1 = 3
-
Pembuktian syarat 1 Aa + Bb + Cc = 0 1(-4) + 2(-1) + (3)(2)= 0
-
Pembuktian syarat 2 Ax1 + By1 + Cz1 + D ≠ 0 1(-5) + 2(1) + 3(3) + (-9) ≠0 -5 + 2+ 9+ (-9) ≠ 0
3.5 nomor 10.a oleh Dita Zakiah (18)
Cari persamaan parametrik untuk garis yang melalui titik-titik yang diberikan, yaitu (5, -2, 4), (7,2, -4) Jawab : r = ro + tv (x, y, z) = (5, -2, 4) + t( 7-5, 2-(-2), (-4)-4) = (5, -2, 4) + t (2, 4, -8) Persamaan parametriknya adalah : x = 5+2t, y = -2+4t, z = 4-8t 3.5 nomor 17 oleh Dita Zakiah (18)
Cari sebuah persamaan untuk bidang yang melalui (-2, 1, 7) dan tegak lurus dengan garis x-4 = 2t, y+2 = 3t, z = -5t Jawab : Vektor u = (-2,1,7) - (4,-2,0) u = (-6,3,7) v = (-6,3,7) x (2,3,-5) v = (-36,-16,-24) (x+2 , y-1, z-7) dot (-36,-16,-24) = 0 Maka persamaannya 9x + 4y + 6z - 28 = 0 3.5 nomor 23 oleh Dita Zakiah (18)
Cari sebuah persamaan untuk bidang yang mengandung garis x = -1 + 3t, y= 5 +2t, z = 2 – t dan tegak lurus dengan bidang 2x-4y+2z = 9 Jawab : Vektor normal bidang : w = (2, -4, 2) Pers. garis : (x+1)/3 = (y-5)/2 = (z-2)/(-1) Vektor normal garis : m = (3, 2, -1) Vektor n = w x m = (2, -4, 2) x (3, 2, -1) = 0i + (-8)j + 16k Ambil sebarang titik (x,y,z) pada bidang yang akan dicari, maka terdapat vektor p = (x-1, y-0 , z0) yang pastinya akan tegak lurus terhadap vektor n (x-1, y-0 , z-0) • n = 0 (x-1, y-0 , z-0) • (0, -8, 16) = 0 -4y + 8z = 0
⇐
ini adalah persamaan bidang yang dicari
3..5 nomor 24 Oleh Fariz Azhar Abdillah (15)
Soal Find an equation for the plane that passes through (2,4,-1) and contains the line of intersection of the planes x-y-4z=2 and -2x+y+2z=3 Jawab: Dengan melakukan eliminasi gaus jordan
=
Misalkan z=t maka
x=-5-2t dan y=-7-6t z=t untuk t=0 maka titiknya (-5,-7,0) dan untuk t=-1 maka titiknya (-3,-1,-1) maka
-5a-7b+d=0 -3a-b-c+d=0 2a+4b-c+d=0 Dengan eliminasi gaus Jordan
[ ] [ ][ ][ ] ] ][ [ ][ ][ =
Misalkan d=t Maka
A=-1/2t B=1/2t c=2t dan d=t Misalkan t=-2 maka persamaan menjadi x-y-4z-2=0 x-y-4z=2
3.5 nomor 39.a) Oleh Fariz Azhar Abdillah (15)
Soal
:
Jarak antara titik (3,1,-2) dengan bidang x+2y-2z=4 Jawab :
()() () √
3.5 nomor 40.a) Oleh Fariz Azhar Abdillah(15)
Soal
:
Jarak antara bidang 3x-4y+z=1 dan 6x-8y+2z=3 Jawab : Titik (0,0,1) terdapat pada bidang 3x-4y+z=1 maka
√ √ √
3.5 nomor 44
Oleh Fariz Azhar Abdillah(15)
Soal
:
Dua bidang yang berpotongan dalam ruang dimensi 3 menentukan dua sudut perpotongan, suatu sudut lancip (0≤ ≤90) dan suplemennya 180- . Jika n1 dan n2 adalah normal tak nol terhadap bidang-bidang tersebut maka sudut antara n1 dan n2 adalah atau 180- , tergantung pada arah normal tersebut. Pada setiap bagian di bawah ini cari sudut lancip perpotongan bidang sampai derajat terdekat.
a) x=0 dan 2x-y+z-4=0 b) x+2y-2z=5 dan 6x-3y+2z=8 Jawab: a) Normal terhadap bidang adalah (1,0,0) dan (2,-1,4) maka sudut antaranya Cos
) (√ √ )( √ √ )() √ ( √ √ √
Arc Cos
b) Cos
Arc cos
= 101
3.5 nomor 21 Oleh Fariz Azhar Abdillah
Soal
:
find an equation for the plane that passes through the point (3,-6,7) and its parallel to the plane 5x-2y+z-5=0 Jawab: 5(x-3)-2(y+6)+(z-7)=0 5x-2y+z=34
