BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang 1.1.1. Jurnal Nasional Disini kita akan mengkaji adanya keterkaitan dua fungsi interpolasi yang akan dipakai sebagai penyelesaian pendekatan metoda elemen hingga pada persoalan elastisitas berdimensi satu, sedemikian sehingga terbentuk matriks kekakuan [K]{α} = {f} yang berarti dari fungsi interpolasi pertama U (1) akan didapat matriks kekakuan [K(1)]{α(1)} = {f(1)} dan dari fungsi interpolasi kedua U(2) akan didapat matriks kekakuan [K(2)]{α(2)} = {f(2)}. Kemudian akan dicari keterkaitan antara [K(1)] {f(1)} dengan [K(2)]{f(2)}. 1.1.2. Jurnal Internasional
1
2
1.2. Rumusan Masalah 1.2.1. Jurnal Nasional Sebelum membentuk matriks kekakuan [K]{} = {f} pada metoda elemen hingga, biasanya didahului dengan memilih fungsi interpolasi sebagai pendekatan untuk menyelesaikan setiap persoalan syarat batas. Dan dalam hal ini akan sangat menarik untuk mengkaji adanya perubahan fungsi interpolasi yang
3
dapat dikaitkan dengan perubahan basis sehingga berkaitan dengan matriks transisi ,seperti pada teori aljabar linier. 1.2.2. Jurnal Internasional General linear systems of delay differential-algebraic equations (DDAEs) of arbitrary order are studied in this paper. Under some consistency conditions, it is shown that every linear highorder DAE can be reformulated as an underlying high-order ordinary differential equation (ODE) and that every linear DDAE with single delay can be reformulated as a high-order delay differential equation (DDE).
1.3. Tujuan Penelitian 1.3.1. Jurnal Nasional Mengkaji adanya keterkaitan perubahan basis dengan perubahan fungsi interpolasi sehingga berkaitan dengan matriks transisi, seperti pada teori aljabar linier. 1.3.2. Jurnal Internasional Under some consistency conditions, it is shown that every linear highorder DAE can be reformulated as an underlying high-order ordinary differential equation (ODE) and that every linear DDAE with single delay can be reformulated as a high-order delay differential equation (DDE). Condensed forms for DDAEs based on the algebraic structure of the system coefficients are derived and these forms are used to reformulate DDAEs as strangeness-free systems, where all constraints are explicitly available.
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Jurnal Nasional Pandang suatu batang pejal yang yang mengalami gaya tarik p, seperti gambar dibawah ini : p Gambar diatas mengalami gaya tarik maka fungsional yang berlaku umtuk persoalan seperti diatas adalah L
∫( 0
L
du du δ EA δ =2∫ APU dx dx dx 0
) ( )
Keterangan : A adalah luas penampang lintang batang. E adalah modulus elastisitas Young. Selanjutnya bila digunakan fungsi interpolasi berbentuk U= [N]{a} dan
dU d [N ] = { a }=[ B ] {a } dx dx
Serta dengan mengasumsikan δ
du =[B]t dx
Maka menjadi L
L
t
∫ [ B ] EA [ B ] dx {a }=2∫ AP [ N ]t dx 0
0
Persamaan diatas disebut sebagai matriks kekakuan dan dapat ditulis sebagai [K]{a} = {f} L
Dimana
t
{ f }=∫ 2 AP [ N ] dx . Selanjutnya yang menjadi permasalahannya 0
adalah apabila digunakan dua fungsi interpolasi yakni
5
(1)
U =a1 x+ a2 x
2
2
(2)
U =b1 x+ b2 ( x−x ) Untuk matriks kekakuan maka akan dicari keterkaitan dari dua bentuk matriks matriks kekakuan yang dihasilkan oleh penggunaan dua fungsi interpolasi tersebut, dan untuk mendapatkan gambaran yang jelas dari persoalan diatas maka dapat diambil contoh kasus sederhana dari aljabar linier elementer sebagai berikut : dari persamaan [K]{a} = {f} dilakukan perubahan {a} yang berkaitan ^ dengan matriks transisi [T] sehingga {a} = [T]{ a^ } dan {f}=[T]{ f } maka ^ [K]{a} = {f} menjadi [K][T] { a^ } = [T]{ f } atau [T]-1 [K][T] { a^ } = { K ] { a^ } = { f^ } maka didapat [K]= [T]-1 [K][T] f^ } untuk [ ^ contoh : misal
[
[ K ]= 1
1 2 −1
]
,
{1}
{a}= 1
,
{1}
{ f }= 2
[ ]
1 2 andaikan matriks transisinya adalah [ T ] = 1 3
sehingga diperoleh
^ [ K ]= [T]-1 [K][T]=
{}
{ } 1 { a^ }=[T]-1 a = 0
{−14 } 2.2. Jurnal Internasional
6
[
[
−1 3 −2 [ T ] = maka −1 1
4 3 −1 −4
dan
]
] ^ { f }=¿
[T]-1{f}=
7
8
9
10
11
12
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1. Jenis Penelitian 3.1.1. Jurnal Nasional Penyelesaian pendekatan dengan metoda elemen hingga pada persoalan syarat batas untuk bidang rekayasa, seperti; mekanika fluida, distribusi temperatur, serta elastisitas-benda padat dan lain-lain, yang mana biasanya diawali dengan pemilihan fungsi inteinterpolasi. Dan berbagai bentuk fungsi interpolasi ini dapat dilihat pada Segerlin. 3.1.2. Jurnal Internasional Penelitian
ini
menggunakan
desain
penelitian
pengembangan
(development research). Dan bersifat induktif, di mana sifat ini bersesuaian dengan instrumen peneliitian.
3.2. Obyek Penelitian 3.2.1. Jurnal Nasional Perubahan fungsi interpolasi yang dapat dikaitkan dengan perubahan basis sehingga berkaitan dengan matriks transisi, seperti pada teori aljabar linier. 3.2.2. Jurnal Internasional General linear systems of delay differential-algebraic equations (DDAEs).
13
BAB IV HASIL PENELITIAN 4.1. Jurnal Nasional Persamaan luas penampang adalah
( xL ) A
A= 1+
0
,0≤x≤L
Sehingga (1)
2
2
U =a1 x+ a2 x =[x x ]
{} a1 a2
[ N (1 ) ]=[ x x 2 ] [ B (1) ]=[12 x ] Dengan demikian komponen persamaan dapat dihitung sebagai berikut
L
[ K ]=∫ [B (1) ]t EA [ B(1 ) ] dx (1 )
0
L
( xL )[ 11 22 xx ] dx
¿ E A 0∫ 1+ 0
[ ]
3L 2 ¿ E A0 2 5L 3
5 L2 3 2 7L 3
14
L
{ f }=∫ 2 AP[ N (1) ]t dx ( 1)
0
L
( Lx )[ xx ] dx
¿ 2 A 0 P∫ 1+ 0
2
{}
5 L2 6 ¿ 2 A0 P 7 L3 12
Sehingga menghasilkan matriks kekakuan yang pertama sebagai berikut
[ K (1 ) ] { a }={f (1) } Dan penyelesaiannya
{}
105 PL 78 {a}= E −37 52 L
Sedangkan untuk persamaan x −x (¿¿ 2)=[ x ( x−x 2)]
{} b1 b2
(2)
U =b1 x +b 2 ¿
[ N (2 ) ]=[ x (x−x 2)] [ B (1) ]=[1(1−2 x)] Maka komponen persamaan dapat dihitung sebagai berikut
15
L
[ K ]=∫ [B (2) ]t EA [ B(2 ) ] dx (2 )
0
L
( xL )[ 11
¿ E A 0∫ 1+ 0
[
3L 2 ¿ E A0 2 3 L 5L − 2 3
]
(1−2 x ) dx (1−2 x )
2
]
3L 5L − 2 3 2 3 dx 3 L 10 L 7 L − + 2 3 3
L
{ f (2) }=∫ 2 AP[ N (2 )]t dx 0
L
( Lx )[ x−xx ] dx
¿ 2 A 0 P∫ 1+ 0
L
¿ 2 A 0 P∫ 0
2
{ }
5 L2 6 dx 2 5 L 7 L3 − 6 12
Sehingga menghasilkan matriks kekakuan yang pertama sebagai berikut
[ K (2 ) ] { b }={f (2 ) } Dan penyelesaiannya
{ }
105 37 − PL 78 52 L {b}= E 37 52 L
Selanjutnya keterkaitan kedua matriks kekakuan tersebut karena adanya perubahan vector pada persamaan tersebut sehingga persamaan yang didapatkan
16
(1 )
N ¿ ¿ (2 ) N ¿ ¿ ¿
{21x }=[T ]{1−21 x } ( 1)
B ¿ ¿ ( 2) B ¿ ¿ ¿
{} { } 1 1 2 =[T ] x x−x 2
Sehingga dengan menghasilkan matriks transisi
[
[ T ]= 1
0 1 −1
]
Selanjutnya pada matriks kekakuan yang pertama yaitu
[ K (1 ) ] { a }={ f (1) }
atau L
( 1) t
[B ] EA[¿ B ]dx { a }=2 ∫ AP[N ( 1) ]t dx ( 1)
0
L
∫¿ 0
Memsubstitusikan persamaan sehingga didapat L
∫ [ T ] [ B(2 )]t A [ B( 2) ] dx[T (t ) ]{a } 0
17
(2)
N ¿¿ ¿ [ T ] AP ¿ L
¿ 2∫ ¿ 0
T ¿ Jika pada kedua ruas pada persamaan diatas dikalikan dengan ¿ ¿
maka
diperoleh [B( 2) ]t EA[¿ B (2) ]dx [ T ( t )]{a } L
∫¿ 0
L
¿ 2∫ AP[ N (2) ]t dx 0
Bentuk persamaan terakhir ini tampak identik dengan persamaan atau bentuk persamaan matrik kekakuan, sehingga diperoleh kenyataan bahwa T ¿ ¿ { b } =¿ Dengan demikian untuk matriks transisi
{}
105 [ T ] = 1 0 dan { a } = PL 78 0 −1 E −37 52 L
[
]
T ¿ ¿ { b } =¿
18
{} { }
105 1 0 PL 78 ¿ 0 −1 E −37 52 L
[
]
105 37 − PL 78 52 L ¿ E −37 52 L
4.2. Jurnal Internasional
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
BAB V KESIMPULAN 5.1. Jurnal Nasional Apabila dua fungsi interpolasi yang berbeda pada suatu persoalan elemen hingga maka penyelesaiannya akan berkait erat dengan matriks transisi yang bersesuaian dengan perubahan vektor [N] dan [B]. 5.2. Jurnal Internasional
49
BAB VI PENDAPAT 6.1.
Kesesuaian Metode dan Instrumen Penelitian dengan Masalah
Penelitian 6.1.1. Jurnal Nasional Pada metode penelitian dijelaskan, bahwa
peneliti memakai metode
elemen hingga pada persoalan syarat batas untuk bidang rekayasa, yang merupakan penelitian pengembangan (development research). Metode tersebut digunakan untuk mengkaji adanya perubahan fungsi interpolasi yang dapat dikaitkan dengan perubahan basis sehingga berkaitan dengan matriks transisi. Pada jurnal, memakai batang pejal yang mengalami daya tarik untuk menjelaskan fungsi interpolasi dari matriks kekakuan yang terbentuk. Maka dapat disimpulkan, bahwa metode dan instrumen penelitian yang digunakan sesuai dengan masalah penelitian. 6.1.2. Jurnal Intenasional Penelitian
ini
menggunakan
desain
penelitian
pengembangan
(development research). Dan bersifat induktif, di mana sifat ini bersesuaian dengan instrumen peneliitian. Maka dapat disimpulkan, bahwa metode dan instrumen penelitian yang digunakan sesuai dengan masalah penelitian.
6.2. Kesesuaian Hasil Penelitian dan Kesimpulan yang Diperoleh dengan Masalah Penelitian 6.1.1. Jurnal Nasional Dua fungsi interpolasi akan digunakan ke dalam matriks kekakuan dan dalma perhitungan, dimisalkaan luas permukaan batang di ujung kanan adalah 2 kali luas permukaan batang di ujung kiri. Setelah dilakukan perhitungan antara matriks kekakuan dengan matriks kekakuan
sebelumnya, dihasilkan matriks
kekakuan yang pertama dan yang kedua. Kedua hasil matriks kekakuan tersebut
50
memiliki keterkaitan, yaitu adanya perubahan vektor, sehingga terdapat matriks transisi yang mana dapat disimpulkan bila dua fungsi interpolasi yang berbeda pada suatu persoalan elemen hingga maka penyelesaiannya akan berkait erat dengan matriks transisi yang bersesuaian dengan perubahan kedua vektor. Maka dapat disimpulkan, bahwa hasil dan kesimpulan penelitian yang digunakan sesuai dengan masalah penelitian. 6.1.2. Jurnal Intenasional Kesesuaian hasil penelitian dan kesimpulan yang diperoleh dengan masalah penelitian sangat sesuai, karena kesimpulan yang diperoleh telah terbukti melalui hasil penelitian yang dilakukan.
6.3. Ada/Tidaknya Masalah yang Masih Belum Terjawab 6.1.1. Jurnal Nasional Tidak ada. Karena dalam jurnal tersebut, masalah ada pada dua fungsi interpolasi pada matriks kekakuan, yang berkaitan dengan matriks transisi dan perubahan vektor. Dan pada bagian hasil penelitian atu pembahasan, telah dijawab permasalahan tersebut. 6.1.2. Jurnal Intenasional Di dalam jurnal ini maslah yang belum dijawab yaitu, di dalam jurnal tidak terdapat penjelasan mengenai salah satu topik yang dibahas. Misalnya pada topik koordinat, jurnal ini sama sekali tidak membahas topik mengenai hal tersebut.
6.4. Kelemahan dari Kedua Jurnal 6.1.1. Jurnal Nasional Tidak dijelaskan lebih rinci, penjelasan tentang asal mula vektor [N] dan [B]. Jurnal tersebut lebih menjelaskan keterkaitan kedua vektor [N] dan [B] dengan matriks kekakuan. 6.1.2. Jurnal Intenasional
51
Penjelasan di dalam jurnal, untuk contoh soal kurang banyak.
6.5. Perbedaan Kedua Jurnal Selain bahasa yang digunakan merupakan salah satu perbedaan kedua jurnal, ada beberapa perbedaan lain yang dimiliki antara jurnal nasioanl dan jurnal internasional tersebut, yaitu: 1. Jurnal internasional lebih spesifik dan rinci dalam menjelaskan instrumen pemasalahan pada bab pendahuluan, apa yang terlebih dahulu yang ingin dikaji, sehingga penjelasan permasalahan lebih terurut. 2. Pada jurnal nasional, terdapat satu contoh yang menjelaskan tentang perubahan basis yang akan membantu memahami pada pembahasan. 3. Pada jurnal internasional terdapat contoh tentang obyek yang akan diteliti, contoh perbedaan antara obyek yang akan diteliti (DDAE) dengan obyek yang akan dikaitkan dengan obyek yang akan diteliti atau bisa disebut obyek pembantu (DAE), dan ada contoh yang memuat hasil penelitian. 4. Pada jurnal internasional, terdapat satu contoh akhir yang merupakan contoh dari hasil penelitian yang telah dikaji, sehingga pembaca dapat lebih mengerti apa sebenarnya yang mau dituju dalam penelitian tersebut. 5. Untuk jurnal nasional, lebih mengkaji adanya perubahan fungsi interpolasi yang dapat dikaitkan dengan perubahan basis sehingga berkaitan dengan matriks transisi ,seperti pada teori aljabar linier. 6. Untuk jurnal internasional, lebih mengkaji kepada sistem linear umum Delay Differential-Algebraic Equations (DDAEs), yang sebelumnya berasal dari Delay Differential Equation (DDE) yang berkaitan dengan Ordinary Differential Equation (ODE). Dan memakai sistem perubahan basis dalam penjabarannya.
52
L.1. Jurnal Internasional
53
54
L.2. Jurnal Nasional
55
L.3. Identitas Jurnal 1. Jurnal Internasional Judul
: Analysis and reformulation of linear delay differentialalgebraic equations
Nama Penulis : Volker Mehrmann Penerbit
: Electronic Journal of Linear Algebra by Wyoming Scholars Repository
Volume
: 23
Tahun
: 2012
Nomor ISSN : 1081-3810.1552 2. Jurnal Nasional Judul
: Pennerapan Matriks Transisi pada Perubahan Fungsi Interpolasi Elemen Hingga
Nama Penulis : Kamiran Penerbit
: Limits, Journal Mathhematics and Its Appplications
Volume
:1
Tahun
: 2004
Nomor ISSN : 1829-605X
56
