Dosen Pembimbing
Tugas Kelompok
Eka Pandu Cynthia ST, M.Kom
Probabilitas dan Statistik
Probabilitas dan Statistik Distribusi Probabilitas
DISUSUN OLEH KELOMPOK 2 : 1. 2. 3. 4.
Auzi Madani Heri Susanto Ika Yolanda Muhammad Rezki
11551101927 11551101909 11551200477 11551100436
Kelas 6C Teknik Informatika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau
Tugas Ke – 3 3 Buku Statistika Probabilitas Halaman 96 – 100 100 1.
Satu tim bulu tangkis terdiri atas 10 orang. Bila dari tim tersebut dipilih 3 orang secara acak untuk melakukan pertandingan, tentukan distribusi seragam yang diambil secara acak tersebut! Penyelesaian: Jumlah pemain dalam 1 tim
= 10 orang
Sampel yang diambil secara acak
= 3 orang
= 10! →120 = 3!7! Maka, distribusi seragamnya adalah:
→ untuk = , , , , … ,, ∶120 ∶120 = 2.
Sebuah keluarga merencanakan memiliki empat anak. Bila X menyatakan banyaknya kelahiran anak laki-laki dengan probabilitas probabilitas kelahiran 0,60, hitunglah; a. Probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki; Penyelesaian:
=0,60
=4
=2
=10,60=0,40
= = ∶ − = = 2 ∶ 0,60 0,40− 4! 0,60 0,40 = = 2 ∶ 2!2! = = 2 ∶ 60,360,16 = = 2 ∶ , b. Probabilitas memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki; Penyelesaian: 1
=0,60
=4
=0,1,2
= = ∶ − = = 0 ∶ 0,60 0,40− 4! 0,60 0,40 = = 0 ∶ 0!4! = = 0 ∶ 110,0256 = = 0 ∶ 0,0256 0256 = = ∶ − = = 1 ∶ 0,60 0,40− 4! 0,60 0,40 = = 1 ∶ 1!3! = = 1 ∶ 40,60,064 = = 1 ∶ 0,1536 1536 = = ∶ − = = 2 ∶ 0,60 0,40− 4! 0,60 0,40 = = 2 ∶ 2!2! = = 2 ∶ 60,360,16 = = 2 ∶ 0,3456 3456 = = 0,1, 0, 1,22 ∶ 0,0256 + 0,1536 + 0,3456 = = 1,2 1, 2 ∶ , c. Rata-rata dan simpangan baku peubah acak X . Penyelesaian: Rata-rata varian:
= × =4 ×0,6 =, Simpangan baku:
2
=10,60=0,40
= × × = 4 ×0,6 ×0,4 1. = √ 0,96=, 0 ,96=, Jadi, dalam kelahiran 4 anak, rata-rata varian anak laki-laki yang dilahirkan adalah 2,4 dengan simpangan baku sebesar 0,9798 .
3.
Hitunglah probabilitas distrubusi binomial data-data berikut. a. P = 0,7 n=7
> 4
Penyelesaian:
= = ∶ − = = 5,6, 5, 6,77 ∶ 0,7 0,3− + 0,7 0,3− + 0,7 0,3− = = 5,6, 5, 6,77 7! 0,7 0,3 + 7! 0,7 0,3 + 7! 0,7 0,3 ∶ 5!2! 6!1! 7!0! = = 5,6, 5, 6,77 ∶ 21 210,1 0,1681 6810, 0,09+ 09 + 70,11760,3 + 10,08231 = = 5,6, 5, 6,77 ∶ , b. P = 0,5
n=5
2 < ≤5
Penyelesaian:
= = ∶ − = = 3,4, 3, 4,55 ∶ 0,5 0,5− + 0,5 0,5− + ( 0,5 0,5−) = = 3,4, 3, 4,55 5! 0,5 0,5 + 5! 0,5 0,5 + 5! 0,5 0,5 ∶ 3!2! 4!1! 5!0! = = 3,4, 3, 4,55 ∶ 10 100,12 0,125 50,2 0,25 5++ 50,06250,5 50,06250,5 + 10,03121 10,03121 3
= = 3,4, 3, 4,55 ∶ , c. P = 0,6
n=8
< 5
Penyelesaian:
= = ∶ − = = 0,1, 0, 1,2,2,3,3,44 ∶ 0,6 0,4− + 0,6 0,4− + 0,6 0,4− + 0,6 0,6 0,4 0,4− + 0,6 0,4− = = 0,1, 0, 1,2,2,3,3,44 8! 0,6 8! 0,6 8! 0,6 ∶ 0!8! 0,6 0,4 0,4 + 1!7! 0,6 0,4 0,4 + 2!6! 0,6 0,4 0,4 8! 0,6 0,4 + 8! 0,6 0,4 + 3!5! 4!4! = = 0,1, 0, 1,2,2,3,3,44 10,00065 0,00065 +80,60,0016+( : 11 +80,60,0016+(28 280,36 0,360,0041 0,0041) +(560,2160,0102) + 700,12960,0256 = = 0,1, 0, 1,2,2,3,3,44 ∶ , d. P = 0,2
n=9
1 ≤ < 7
Penyelesaian:
= = ∶ − = = 1,2, 1, 2,3,3,4,4,5,5,66 ∶ 0,2 0,8− + 0,2 0,8− + 0,2 0,8− + 0,2 0,8− + 0,2 0,8− + 0,2 0,8− = = 1,2, 1, 2,3,3,4,4,5,5,66 9! 0,2 9! 0,2 9! 0,2 ∶ 1!8! 0,2 0,8 0,8 + 2!7! 0,2 0,8 0,8 + 3!6! 0,2 0,8 0,8 4
9! 0,2 0,8 + 9! 0,2 0,8 + 9! 0,2 0,8 + 4!5! 5!4! 6!3! = = 1,2, 1, 2,3,3,4,4,5,5,66 :90,20,1678+( :90,20,1678+(36 360,04 0,040,2097 0,2097) + (84 840,008 0,0080,2621 0,2621) +1260,00160,3277 + 1260,00030,4096 + 840,000070,512 = = 5,6, 5, 6,77 ∶ , 4.
Probabilitas seseorang sembuh dari suatu penyakit setelah diberi obat tertentu sebesar 90%. Jika diambil 7 orang yang terjangkit penyakit, hitunglah: a. Probabilitas tidak lebih dari 6 orang sembuh; Penyelesaian:
=0,9
=7
=0,1,2,3,4,5,6
= = ∶ − = = 0 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 0 ∶ 0!7! = = 0 ∶ 110,0000001 = = 0 ∶ 0,0000 000000 0011 = = ∶ − = = 1 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 1 ∶ 1!6! = = 1 ∶ 70,90,000001 = = 1 ∶ 0,0000 000006 0633 = = ∶ − = = 2 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 2 ∶ 2!5! = = 2 ∶ 210,810,00001 5
=10,9=0,1
= = 2 ∶ 0,0001 000170 7011 = = ∶ − = = 3 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 3 ∶ 3!4! = = 3 ∶ 350,7290,0001 = = 3 ∶ 0,0025 002551 5155 = = ∶ − = = 4 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 4 ∶ 4!3! = = 4 ∶ 350,65610,001 = = 4 ∶ 0,0229 022963 6355 = = ∶ − = = 5 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 5 ∶ 5!2! = = 5 ∶ 210,590490,01 = = 5 ∶ 0,1240 124002 0299 = = ∶ − = = 6 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 6 ∶ 6!1! = = 6 ∶ 70,5314410,1 = = 6 ∶ 0,3720 372008 0877 = = 0,1, 0, 1,2,2,3,3,4,4,5,5,66 ∶ 0,0000001 0,0000001 + 0,0000063 0,0000063 + 0,0001701 0,0001701 + 0,0025515 0,0025515 + 0,0229635 0,0229635 +0,1240029 0,1240029 + 0,3720087 0,3720087 = = 0,1, 0, 1,2,2,3,3,4,4,5,5,66 ∶ , , 6
b. Probabilitas sedikitnya 4 orang sembuh; Penyelesaian:
=0,9
=7
=0,1,2,3
=10,9=0,1
= = ∶ − = = 0 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 0 ∶ 0!7! = = 0 ∶ 110,0000001 = = 0 ∶ 0,0000 000000 0011 = = ∶ − = = 1 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 1 ∶ 1!6! = = 1 ∶ 70,90,000001 = = 1 ∶ 0,0000 000006 0633 = = ∶ − = = 2 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 2 ∶ 2!5! = = 2 ∶ 210,810,00001 = = 2 ∶ 0,0001 000170 7011 = = ∶ − = = 3 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 3 ∶ 3!4! = = 3 ∶ 350,7290,0001 = = 3 ∶ 0,0025 002551 5155 = = 0,1, 0, 1,2,2,33 ∶ 1 0,0000001 + 0,0000063 + 0,0001701 + 0,0025515) 7
= = 0,1, 0, 1,2,2,33 ∶ , , c. Probabilitas tepat 3 orang sembuh; Penyelesaian:
=0,9
=7
=3
=10,9=0,1
= = ∶ − = = 3 ∶ 0,9 0,1− 7! 0,9 0,1 = = 3 ∶ 3!4! = = 3 ∶ 350,7290,0001 = = 3 ∶ , , d. Berapa rata-rata dan simpangan baku pasien sembuh. Penyelesaian: Rata-rata:
= × =7 ×0,9 =, Simpangan baku:
= × × = 7 ×0,9 ×0,1 = 0,63=, 5.
Suatu soal ujian terdiri atas 10 pertanyaan pilihan ganda. Hitunglah probabilitas bahwa murid yang menjawab dengan dengan cara menebak-nebak saja memperoleh (a) tepat 7 jawaban benar, (b) lebih dari 6 jawaban yang benar, (c) 2 – 8 8 jawaban benar, (d) tepat 8 jawaban benar, (e) antara 3 – 7 7 jawaban benar! a. Tepat 7 jawaban benar Diketahui n=10 x=7 p = 7/10=0,7 q= 0,3
= = ∶ − 8
= = 7 ∶ 0,7 0,1− 10! .0,0823543 .0,027 = = 7 ∶ 7!3! = = 7 ∶ 120 . 0,00222 0,002223566 3566 = = 7 ∶ 0,2668 2668 b. lebih dari 6 jawaban yang benar Diketahui n=10 p = 4/10=0,4 q= 0,6 x= 7,8,9,10
= = ∶ − = = 7 ∶ 0,4 0,6− 10! .0,016384 .0,216 = = 7 ∶ 7!3! = = 7 ∶ 0,0425 0425 = = ∶ − = = 8 ∶ 0,4 0,6− 10! .0,00065536 .0,36 = = 8 ∶ 8!2! = = 8 ∶ 0,0106 0106 = = ∶ − = = 9 ∶ 0,4 0,6− 10! .0,000262144 .0,6 = = 9 ∶ 9!1! = = 9 ∶ 45.0,0 45. 0,000 0015 15728 72864 64 = = 9 ∶ 0,0016 0016 = = ∶ − = = 10 10 ∶ 0,4 0,6− 10! .0,0001048576 .1 = = 10 10 ∶ 10!1! = = 10 ∶ 0,0001 0001048 048576 576 . 1 9
= = 10 ∶ 0,0001 0001 P(x>6)=0,0425+0,0106+0,0016+0,0001=0,548 c. 2 – 8 8 jawaban benar Diketahui n=10 x = 2,3,4,5,6,7,8 p = 7/10=0,7 q= 0,3 P(2<=x<=8) = P(2)+ P(3)+ P(4)+ P(5)+ P(6)+ P(7)+ P(8) = 0,0014+0,0090+0,0368+0,1029+0 0,0014+0,0090+0,0368+0,1029+0,2001+0,2668+0,2 ,2001+0,2668+0,2335 335 =0,8505 d. tepat 8 jawaban benar
Diketahui n=10 x=8 p = 8/10=0,8 q= 0,2
= = ∶ − = = 8 ∶ 0,8 0,2− 10! .0,00710886 = = 8 ∶ 8!2! = = 8 ∶ 45.0,00710886 = = 8 ∶ 0,0001 0001 e. antara 3 – 7 7 jawaban benar Diketahui n=10 x = 4,5,6 p = 7/10=0,3 q= 0,7 P(3
10
6.
Seorang pemegang medali perak memiliki ketepatan memanah tepat sasaran sebesar 70%. Apabila ia diberi 5 anak panah, berapa probabilitas bahwa 4 anak panah tepat mengenai sassaran? Gunakan penyelesaian denga distribusi binomial? Penyelesaian : P(X:x) P(X:4)
() p q = () (0,7) (0,3) x
=
n-x 4
=
5-4
! (0,7)4 (0,3)1 !!
= 5 (0,2401) (0,3) 7.
= 0,3602 Dalam pemilihan presiden di suatu negara Eropa, ada 3 calon yang diusulkan masing-masing partai. Menurut hasil survei sementara, probabilitas konstituen memilih capres George dari Partai Buruh (0,45); capres Smith dari Partai MarxisSosialis (0,25), dan capres Carter dari Partai Demokrat (0,30). Hitunglah probabilitas bahwa di antara 20 konstituen sebanyak 10 orang memilih memil ih George, konstituen yang memilih Smith dan Carter masing-masing 5 orang. Selesaikan pertanyaan ini dengan menggunakan distribusi multinomial! Penyelesaian : 3 calon George (0,45) = P 1 Smith (0,25)
= P2
Carter (0,30) = P3 Probabilitas 10 memilih George = X1 5 memilih Smith = X2 5 memilih Carter = X3 Jadi : b (10,5,5,20) : (0,45) (0,25) (0,30)) = =
(0,45) ,,
10
(0,25)5(0,30)5
! (0,0003) (0,0010)(0,0024) !!!
= 46558512 (0,0003) (0,0010)(0,0024) (0,0010)(0,0024) = 0,0335 8.
Probabilitas penduduk yang memiliki DVD Player diduga sebesar 0,80. Berapa probabilitas bahwa orang ke-8 yang diambil secara a cak merupakan orang yang ke-5 yang diwawancarai karena memiliki DVD Player?
11
Penyelesaian : x=5
q = 1-0,80 =0,2
n=8 p = 0,80
−) p q m (− − b (8:5:0,80) = (−) (0,80) (0,2) = () (0,80) (0,2) b* (x:n:p)
n
=
n-x
*
5
5
=
8-5
3
! (0,3277) (0,008) !!
= 0,0918 9. Probabilitas seseorang percaya adanya alam akhirat adalah 0,98. Bila hasil kajian ini benar, hitunglah berapa probabilitas pada hari tetentu bahwa orang ke-11 yang diwawancarai adalah orang ke-9 yang mempercayai adanya alam akhirat! Penyelesaian : n = 11 x=9 p = 0,98 q = 1 – 0,98 0,98 = 0,02
() p q = ( ) (0,98) (0,02) = ( ) (0,98) (0,02) x
p(x :9) =
=
n-x
9
11-9
9
2
! (0,8337) (0,004) !!
= 55 (0,8337) (0,004) =0,0182
10. Hasil penilitian menunjukkan bahwa 50 dari 1.000 orangtua murid masih setuju mata pelajaran Bahasa Jawa diajarkan di SMA. Bila ini benar, berapa probabilitas bahwa orangtua murid ke-10 yang diwawancarai adalah orangtua murid ke-2 yang masih setuju pelajaran Bahasa Jawa diajarkan di sekolah? Penyelesaian :
= :
P:
p=
q=1-
= 12
b * (x,n,p)
−) p q (− ) ( ) = (− ( ) − ) ( ) = () ( = () (0,0025) (0,6634) n
=
n-x
2
10-2
8
=
! (0,0025) (0,6634) !!
= 9 (0,0025) (0,6634) = 0,0149 11. 12. 13. 14. 15. 16.
A A A A A Hasil survei melalui SMS menunjukkan bahwa 1500 dari 10000 masyarakat Indonesia menolak rencana pemerintah membuka Kantor Diplomatik Israel di Jakarta. Bila 12 orang dari masyarakat diambil secara acak dan di wawancarai. Berapa probabilitas: Diketahui : N = 1000 100 k = 1500 15 n = 12 a. Ada 4 orang yang menolak hubungan diplomatik
4;100,15,12 = 154 10015 124 = 100 12 154 858 = 100 12 15! 85! 4! 154! 8! 8! 858 858! = 4! 154 100! 12! 10012 ! 13
b.
c.
15! 85! 4!11! = 100!8!77!! 12!88! 6.569+13 = 1.0542+15 =0,0625
Setidaknya 5 orang menolak hubungan diplomatik
5;100,15,12 = 155 10015 125 = 100 12 155 857 = 100 12 15! 85! 5! 155 ! 7! 857! = 100! 12! 10012 ! 15! 85! 5!10! = 100!7!78!! 12!88! = 1.48223+13 1.0542+15 =0,01411
Antara 2 – 6 6 orang menolak hubungan diplomatik Hs
153 10015 123 3;100,15,12 3;100,15,12 = 100 12 153 859 = 100 12 =0,1783 154 10015 124 4;100,15,12 = 100 12 14
154 858 = 100 12 =0,0625 155 10015 125 5;100,15,12 5;100,15,12 = 100 12 155 857 = 100 12 =0,01411 Selesaikan menggunakan distribusi hipergeometrik dengan penghampiran distribusi binomial!
17.
Rata-rata banyaknya bajing yang menyerang tanaman jagung per hektarnya 10 ekor. Hitunglah probabilitas bahwa dalam 1 hektar terdapat lebih dari 15 ekor bajing. Selesaikan dengan menggunakan distribusi Poisson ! Diketahui : Ditanya : Jawab :
=10 >15 > 15 , 10 −+ 17,10− + 18+10 > 15,10 ,10 = −16,10 = ! + ! + ! − 10 − 10 − 10 = 16! + 17! + 18! =0,0216+0,0127+0,0071 =0,0414
18.
Hitunglah probabilitas data-data berikut dengan distribusi Poisson ! a.
=7
= 5 Penyelesaian : 5,7 5, 7 = ! −7 = 5! =0,1277 b. = 1,1 2 ≤<5 Diketahui : = 1,1 2 ≤ < 5 → = 2,3,4 ,3,4 Ditanya : 2 ≤ < 5, 1,1 15
Jawab
:
2 ≤ < 5,1, ,1,1 = 2,1,1 + 3,1,1 + 4, 1,1 − − − = ! + ! + ! −, 1,1 −, 1,1 −, 1,1 = 2! + 3! + 4! =0,2013+0,0738+0,0203 =0,2954 c. = 5,5 0 ≤<3 Diketahui : = 5,5 0 ≤ < 3 → = 0,1,2 ,1,2 Ditanya : 0 ≤ < 3, 5,5 Jawab : 0 ≤ < 3, 5,5 = 0,5,5 0,5,5 + 1, 5,5 + 2, 5,5 − − − = ! + ! + ! −,5,5 −, 5,5 −, 5,5 = 0! + 1! + 2! =0,0040+0,0224+0,0618 =0,0882 19.
Sebuah merek obat batuk diiklankan di surat kabar. Surat kabar ini memiliki 1000 pembaca. Jika probabilitas seorang pembaca membalas iklan itu hanya 0,5% Diketahui : N = 1000 P = 0,5% = 0,005
a.
= = 1000 0,005 = 5 =2,71828
Berapa pembacakah diharapkan akan membalas iklan itu
= = 1000 1000 0,005 005 =5 b.
Berapa probabilitas hanya ada dua pembaca yang membalas iklan
2,5 2, 5 = ex!μ −5 = 2! =0,0842
16
c.
20.
Berapa probabilitas tidak ada yang membalas
0,5 0, 5 = ex!μ −5 = 0! =0,0067
Secara rata-rata terjadi 4 kasus kecelakaan di jalan protokol per bulan. Berapa probabilitas pada bulan tertentu untuk terjadinya kecelakaan di di jalan protokol. a. Tepat 2 kecelakaan Penyelesaian :
= 2 = ≤ 2 ≤1 ≤ 2 = 0,4 0, 4 + 1,4 1, 4 + 2,4 2, 4 − − − = ! + ! + ! − 4 −4 −4 = 0! + 1! + 2! =0,0183+0,0732+0,1465 =0,238 ≤ 1 = 0,4 + 1,4 =0,0183+0,0732 =0,0915
= 2 = ≤ 2 ≤1 =0,2380,0915 = 0,1465 2 b.
Tidak terjadi kecelakaan Penyelesaian :
0,4 0, 4 = ! −4 = 0! =0,0183 17
