TUGAS MATA KULIAH ANALISIS NUMERIK LANJUT PENYELESAIAN PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) DENGAN METODE JACOBI & GAUSS-SEIDEL GAUSS-SEIDEL
Oleh : Rafika Sari NIM : 20914022
PROGRAM MAGISTER SAINS KOMPUTASI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2014 Page
1 of 16
Soal : See!"#$"% !#!e' e!"'"""% #%e" *e#$+ ,e%"% 'e%+%"$"% 'e.,e J"/.*# & G"+!!-Se#,e & +%+$$"% ""$" e%ee!"#"% e!e*+ $.%3ee% 1
5 x 2 x
− y + z =10
x −5 y − z =−8
5
+ 8 y − z =11
4 x
− x + y + 4 z =3 2
2 x
+ 8 y − z =11
5 x
2 x
4
− y −6 z =−2
4 x
− y + z =10
+ y − z =13
+ y − z =13
x −5 y − z =−8
− x + y + 4 z =3
2 x
6
− y −6 z =−2
4 x 1
− x − x =0 2
4
− x − 4 x − x − x =5 1
2
3
5
− x + 4 x − x =0 2
3
6
− x + 4 x − x =6 1
4
5
− x − x + 4 x − x =−2 2
4
5
6
− x − x + 4 x =6 3
5
6
() 0
( 0)
De%"% %#"# "7" '"!#%-'"!#% !#!e' e!"'""% #%e" ,#*e#$"% X = ⃗
0 0
Penyelesaian : a. Metode Jacoi 18 S#!e' e!"'""% #%e" 9 5 x
2 x
− y + z =10
+8 y − z =11
− x + y + 4 z =3 S#!e' e!"'""% #%e" e!e*+ ,"" ,#%""$"% ,""' e!"'""% '"#$
[
5
−1
1
2
8
−1
−1
1
4
][ ] [ ] x y z
10
=
11
→ A x =B ⃗
3
Page
2 of 16
Ke'+,#"% !#!e' e!"'""% #%e" ,#'.,#:#$"!# 'e%",# 1
x = y =
5
1 8
( 10 + y − z )
( 11−2 x + z )
z =
1 4
( 3 + x − y )
D"% ,#+#! $e'*"# ,""' e!"'""% '"#$! !e*""# *e#$+
[] x
[ ] [] 0
(k ) ( k )
y ( k ) z
= −1
1
−1
5
5
4
[ ] x
1
0
−1
( k − 1)
4
4
0
5
( k − 1)
y ( k −1 ) z
8
1
10
+
11 8 3 4
D#%""$"% !+"+ '"#$ J ,"% 3e$. u !e*""# *e#$+ ⃗
[ ] [] 0
J =
−1
1
−1
10
5
5
5
0
4 1
−1
4
4
1
dan u = ⃗
8
11 8 3
0
4
28 S#!e' e!"'""% #%e" 9 2 x
+8 y − z =11
5 x
− y + z =10
− x + y + 4 z =3 S#!e' e!"'""% #%e" e!e*+ ,"" ,#%""$"% ,""' e!"'""% '"#$
[
][ ] [ ]
−1 x
2
8
5
−1
1
−1
1
4
y z
11
=
10
→ A x =B ⃗
3
Ke'+,#"% !#!e' e!"'""% #%e" ,#'.,#:#$"!# 'e%",# x =
1 2
( 11− 8 y + z )
y =(−10 + 5 x + z )
Page
3 of 16
z =
1 4
( 3 + x − y )
D"% ,#+#! $e'*"# ,""' e!"'""% '"#$! !e*""# *e#$+
[ ][ x
(k ) ( k )
y ( k ) z
=
1
−4
0 5
0
1
−1
4
4
2 1 0
][ ] [ x
11
( k − 1)
(k −1 )
y (k −1) z
2
+ −10 3 4
]
D#%""$"% !+"+ '"#$ J ,"% 3e$. u !e*""# *e#$+ ⃗
J =
[ ] [] 0
−4
5
0
1
−1
4
4
1
11
2
2
dan u =
1
⃗
−10 3
−0
4
58 S#!e' e!"'""% #%e" 9 x −5 y − z =−8 4 x
2 x
+ y − z =13
− y −6 z =−2
S#!e' e!"'""% #%e" e!e*+ ,"" ,#%""$"% ,""' e!"'""% '"#$
[
][ ] [ ]
−5 −1 x −8 −1 y = 13 → A x =B 1 −1 −6 z −2
1 4 2
⃗
Ke'+,#"% !#!e' e!"'""% #%e" ,#'.,#:#$"!# 'e%",# x =(−8 + 5 y + z )
y =( 13 − 4 x + z ) z =
1 6
( 2 + 2 x − y )
D"% ,#+#! $e'*"# ,""' e!"'""% '"#$! !e*""# *e#$+
[ ] [ ][ ] [ ] x
(k ) ( k )
y ( k ) z
0
= −4 1 3
5
1
0
1
1
0
x
−8
( k − 1)
( k −1)
y ( k − 1) z
+
13 1 3
Page
4 of 16
D#%""$"% !+"+ '"#$ J ,"% 3e$. u !e*""# *e#$+ ⃗
J =
[ ] [] 0
5
1
−4
0
1
−8 13
dan u= ⃗
1
1
3
1
0
3
48 S#!e' e!"'""% #%e" 9 4 x
+ y − z =13
x −5 y − z =−8 2 x
− y −6 z =−2
S#!e' e!"'""% #%e" e!e*+ ,"" ,#%""$"% ,""' e!"'""% '"#$
[
4
1
1
−5 −1
2
][ ] [ ]
−1 x 13 −1 y = −8 → A x =B −6 z −2 ⃗
Ke'+,#"% !#!e' e!"'""% #%e" ,#'.,#:#$"!# 'e%",# x =
1 4
y = z =
1 6
( 13− y + z ) 1 5
( 8 + x − z )
( 2 + 2 x − y )
D"% ,#+#! $e'*"# ,""' e!"'""% '"#$! !e*""# *e#$+
[] x
(k ) ( k )
y ( k ) z
[ ] [] −1
1
4
4
0
−1
1
−1
3
6
0
0
=
1 5
5
13
[ ] x
4
( k −1) ( k −1)
y ( k −1) z
+
8 5 1 3
D#%""$"% !+"+ '"#$ J ,"% 3e$. u !e*""# *e#$+ ⃗
Page
5 of 16
[ ] [] 0
J =
1 5
−1
1
13
4
4
4
−1 dan u =
0
⃗
5
1
−1
3
6
8
5
1
0
3
68 S#!e' e!"'""% #%e" 9 4 x 1
− x − x =0 2
4
− x − 4 x − x − x =5 1
2
3
5
− x + 4 x − x =0 2
3
6
− x + 4 x − x =6 1
4
5
− x − x + 4 x − x =−2 2
4
5
6
− x − x + 4 x =6 3
5
6
S#!e' e!"'""% #%e" e!e*+ ,"" ,#%""$"% ,""' e!"'""% '"#$
[
4
−1 0
−1 0 0
−1 0 −1 0 0 − 4 −1 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 −1 0 0 0 4 −1 0 −1 4 −1 −1 0 −1 4 0
][ ] [ ] x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
0
5
=
0 6
→ A x = B ⃗
−2 6
Ke'+,#"% !#!e' e!"'""% #%e" ,#'.,#:#$"!# 'e%",# x 1= x 2=
1
( x + x )
4
2
4
1
(−5 − x − x − x ) 1
4
x 3= x 4=
x 5=
1 4
1 4
3
5
( x + x ) 2
6
1
( 6 + x + x ) 1
4
5
(−2+ x + x + x )
x 6=
2
1 4
4
6
( 6 + x + x ) 3
5
Page
6 of 16
D"% ,#+#! $e'*"# ,""' e!"'""% '"#$! !e*""# *e#$+
[ ] [ ] [] 0
[]
−1
x1
( k )
x2
( k )
x3
( k )
x 4
( k )
x5
( k )
4
x6
( k )
0
4 0
=
1
0
1
4
0 1
4 0
1
4
0
0
−1 4
0
0
0
1
4
1
4
0
0
0
1
4 0
0
0
−1
0
4
[ ][ ] 0
−5
( k − 1)
x 1
4
( k − 1)
1
0
4
x 2 x 3
0
4
1
0
4
1
0
4
3
+
( k − 1)
1
0
( k − 1)
x 4
2
( k − 1)
−1
( k − 1)
2
x 5 x 6
3 2
D#%""$"% !+"+ '"#$ J ,"% 3e$. u !e*""# *e#$+ ⃗
0
−1 4 0
J =
1 4 0
0
1
4
0 1
4 0
1
4
0
0
−1 4
0
0
0
1
4
1
0
4
0
−1 4
0
0
1
0
4
1
0
4
1
0
4
0
0
−5
0
4
1
4
0
dan u = ⃗
0
3 2
−1
1
2
4
3 2
0
!asil "erhit#n$an sa%"ai den$an iterasi ke&' adalah sea$ai erik#t : 18 x k1 k2
2 2;126
k 3
2;0126
y
z
1;5<6 0;=>?<6 0;=6<0512
0;<6 0;=0>26
6 1;05=0>26
28 x k1 k2
y
6;6 46;?<6 Page
-10 1?;26 7 of 16
z 0;<6 4;>26
k 3
->6;1?<6
224
<;>6>26
58 x k1 k2 k 3
y
z 15 0;555555555 46;5555555
-? 6<;5555555
5 5 -4;6 214;1>>>>>< -220;?55555 11;???????=
48 x 1
k
k2 k 3
y
z 1;> 0;555555555 2;1?555555
5;26 2;=5555555
5 5 1;16 2;==1>>>>>< 1;=6>>>>>>< 0;=4<222222
68 x 1 k1 k2 k 3
0 0;0>26 0;0>26
x 2 -1;26 -1;126 -1;2>6>26
x 3
x 4
0 0;0>26 0;0>26
1;6 1;5<6 1;6
x 5 -0;6 -0;0>26 -0;0=5<6
x 6 1;6 1;5<6 1;6
!asil "erhit#n$an den$an %en$$#nakan "ro$ra% ko%"#tasi : (l$orit%a Pe%ro$ra%an 1) L"%$" 19 Te%+$"% k@1 2) L"%$" 29 Ke#$" (k ≤ N ) "$+$"% L"%$" 5-> 5) L"%$" 59 U%+$ i=1,...,n; #+%" x
= ⃗J x lama + u
baru
4) L"%$" 49 J#$" ‖ x − XO‖
ϵ
;'"$" $e+"$"% OUTPUT (x 1, ..., x n ) "+
STOP 6) L"%$" 69 Te%+$"% k=k+1 >) L"%$" >9 U%+$ i=1,...n; e%+$"% XOi = x i <) L"%$" <9 OUTPUT (Ie"!# '"$!#'+' e" e"'"+#) "+ STOP So#rce )ode Pro$ra% % =========================================================== % PROGRAM ITERASI JABOBI PADA PERSAMAAN LINEAR % Tugas Kuliah-1 Semeste-1 % Sai!s K"m#utasi ITB % Ba!$u!g 1& Se#tem'e ()1* % =========================================================== +l+, +lea, hel# itea+"'i.m A=/) 10 -10, -10* ) 102, 10* -10* )3,
Page
8 of 16
'=/1)0, 1102, 40*3, % --- i!isialisasi ---5lama=/), ), )3, itema6s=1))), %iteasi ma6simum e#sil"!=).))1, %st"##i!g +iteia /65'au3=i+'7A'5lamaitema6se#sil"!8, 5=5'au iteasi=6
F+%!# E$!e%" J"/.*# 9 9u!+ti"! /65'au3=i+'7A'5lamaitema6se#sil"!8 !=le!gth7A8, % --- Mem'uat mati6 J $a! :e6t" u --J = ;e"s7!8, 9" # = 15lama ? u, 5selisih = 5'au - 5lama, i9 7!"m(75selisih8 @ e#sil"!8 'ea6, e!$ 5lama = 5'au, e!$
!asil *o%"#tasi
Page
9 of 16
. Metode +a#ss , Seidel 18 S#!e' e!"'""% #%e" 9 5 x
− y + z =10
+8 y − z =11
2 x
− x + y + 4 z =3 Ke'+,#"% !#!e' e!"'""% #%e" ,#'.,#:#$"!# 'e%",# 1
x = y =
5
1 8
( 10 + y − z )
( 11−2 x + z )
z =
1 4
x
y
( 3 + x − y )
( k )
1
= ( 10 + y (k − ) − z( k − ) ) 1
5
1
( k )
= ( 11−2 x( k − ) + z( k − ) ) 1
1
8
( k )
z
1
1
= ( 3 + x( k − )− y ( k − ) ) 1
1
4
M"#$ J *e#!# $.%!"%" "% 'e%e'"%# 3"#"*e x,y,z 8 M"#$! J e!e*+
[ ] [ ][ ][ ] 0
−1
J =
1
−1
5
5
1
0
4 1
−1
4
4
8 0
Ke'+,#"% '"#$ J ,#e/" 'e%",# '"#$ L ,"% '"#$ U; ,#'"%" J = L + U 0
−1
1
−1
5
5
0
4 1
−1
4
4
1
8
0
−1
=
0
4
0
0
0
0
1
−1
4
4
0
0
+
1
−1
5
5
0
0
0
0
1
8
0
28 S#!e' e!"'""% #%e" 9 2 x
+8 y − z =11
5 x
− y + z =10
− x + y + 4 z =3 Ke'+,#"% !#!e' e!"'""% #%e" ,#'.,#:#$"!# 'e%",# x =
1 2
( 11− 8 y + z )
x
( k )
1
= ( 11−8 y ( k − ) + z( k − ) )
Page
2
10 of 16
1
1
y =( −10 + 5 x + z )
z =
1
( 3 + x − y )
4
=( 10 +5 x( k − ) + z (k − ) )
( k )
y
( k )
z
1
1
1
= ( 3 + x( k − )− y ( k − ) ) 1
1
4
M"#$ J *e#!# $.%!"%" "% 'e%e'"%# 3"#"*e x,y,z. M"#$! J e!e*+
J =
[ ] 0
−4
5
0
1
−1
4
4
1
2
1
0
Ke'+,#"% '"#$ J ,#e/" 'e%",# '"#$ L ,"% '"#$ U; ,#'"%" J = L + U
[
0
−4
5
0
1
−1
4
4
1 2
][ =
1
−0
0
0
0
5
0
0
1
−1
4
4
−0
][ ] +
1
0
−4
0
0
1
0
0
0
2
58 S#!e' e!"'""% #%e" 9 x −5 y − z =−8 4 x
2 x
+ y − z =13
− y −6 z =−2
Ke'+,#"% !#!e' e!"'""% #%e" ,#'.,#:#$"!# 'e%",# x =(−8 + 5 y + z )
x
y =( 13 −4 x + z )
y
z =
1 6
( 2 + 2 x − y )
1
1
=( 13 −4 x (k − ) + z ( k − ) )
( k )
( k )
z
=(−8 +5 y (k − ) + z( k − ) )
( k )
1
1
1
= ( 2 +2 x( k − )− y ( k − ) ) 1
1
6
M"#$ J *e#!# $.%!"%" "% 'e%e'"%# 3"#"*e x,y,z. M"#$! J e!e*+
J =
[ ] 0
5
1
−4
0
1
1
0
1 3
Ke'+,#"% '"#$ J ,#e/" 'e%",# '"#$ L ,"% '"#$ U; ,#'"%" J = L + U
Page
11 of 16
[ ][ 0
5
1
−4
0
1
1
1
3
0
= −4
0
1 3
0
0
0
0
1
0
][ ] +
0
5
1
0
0
1
0
0
0
48 S#!e' e!"'""% #%e" 9 4 x
+ y − z =13
x −5 y − z =−8 2 x
− y −6 z =−2
Ke'+,#"% !#!e' e!"'""% #%e" ,#'.,#:#$"!# 'e%",# x =
1 4
y = 1
z =
6
( 13− y + z ) 1 5
x
( 8 + x − z )
1
= ( 13− y ( k − )+ z( k − ) ) 1
4
= 1 ( 8 + x ( k − )− z( k − ) )
( k )
= ( 2 +2 x( k − )− y ( k − ) )
( k )
z
1
y
( 2 +2 x − y )
( k )
1
1
5
1
1
1
6
M"#$ J *e#!# $.%!"%" "% 'e%e'"%# 3"#"*e x,y,z. M"#$! J e!e*+
[ ] [ ][ ][ ] −1
1
4
4
0
−1
1
−1
3
6
0
0
J =
1 5
5
Ke'+,#"% '"#$ J ,#e/" 'e%",# '"#$ L ,"% '"#$ U; ,#'"%" J = L + U 0 1 5
−1
1
4
4
0
1
−1 =
0
5
5
1
−1
3
6
0
0
0
0
0
1
−1
3
6
0
+
0
−1
1
4
4
0
0
−1
0
0
0
5
68 S#!e' e!"'""% #%e" 9 4 x 1
− x − x =0 2
4
− x − 4 x − x − x =5 1
2
3
5
Page
12 of 16
− x + 4 x − x =0 2
3
6
− x + 4 x − x =6 1
4
5
− x − x + 4 x − x =−2 2
4
5
6
− x − x + 4 x =6 3
5
6
Ke'+,#"% !#!e' e!"'""% #%e" ,#'.,#:#$"!# 'e%",# x 1= x 2=
1
( x + x ) 4 2
1
(−5 − x − x − x ) 4 1
x 3= x 4= x 5=
3
1
( x + x ) 4 2
= (−5 − x (k − )− x( k − ) − x (k −
1
( 6 + x + x ) 4 1
4
4
( k )
x 4
( k )
x 5
1
( 6 + x + x ) 4 3
1
=
1
1
1
2
k
1
1
1
2
( k )
=
)
)
)
1
( − ) + x ( − ) ) 6 + x ( 4
1
x 6
5
)
6
k
1
5
= ( −2+ x ( k − ) + x( k − ) + x( k − 4
)
5
= ( x( k − ) + x( k − 4
)
4
3
( k )
x 3
6
1
2
1
1
5
(−2+ x + x + x ) 4
4
1
1
x 6=
1
6
1
2
( k )
x 2
5
1
= ( x( k − ) + x( k −
( k )
x 1
4
1
1
4
1
6
)
)
( − ) + x( − ) ) 6 + x ( 4 k
3
1
k
1
5
M"#$ J *e#!# $.%!"%" "% 'e%e'"%# 3"#"*e x,y,z. M"#$! J e!e*+
[ ] 0
−1 4 0
J =
1 4 0
0
1
4
0 1
4 0
1
4
0
0
−1 4
1
4
0
0
0
0
0
0
1
4
1
4 0
0
−1 4
0
1
4 0
1
4
0
0 1
4 0
1
4 0
Ke'+,#"% '"#$ J ,#e/" 'e%",# '"#$ L ,"% '"#$ U; ,#'"%" J = L + U
Page
13 of 16
[ ] [ ][ ] 1
0
4
−1 4
0 1
0
4
1
0
4
1
0
4
0
0
0
−1 4
0
0
0
1
4
1
0
4
0
0
−1
−1
0
4
0
4
1
1 4 0
4
1
0
=
1
0
4
0
0
4
1
4
1
0
0
0
0
0
4
0
0 1
4 0
1
4
0
0
0
0
0
0
1
4
0
0
0
0
1
4 0
0
0
0
0
0
1
4
0
1
0
4
0
+
−1
1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
4
0
0
0
0
0
0
4
0
1
4
0
0 1
4 0
1
4
0
!asil "erhit#n$an sa%"ai den$an iterasi ke&' adalah sea$ai erik#t : 18 x
y
z
k1 k2 k 3 28 x
y
z
1
k k2 k 3 58 x
y
z
x
y
z
k1 k2 k 3 48 k1 k2 k 3 68 x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
k1 k2 k 3 !asil "erhit#n$an den$an %en$$#nakan "ro$ra% ko%"#tasi :
Page
14 of 16
x 6
(l$orit%a Pe%ro$ra%an 1) L"%$" 19 Te%+$"% k@1 2) L"%$" 29 Ke#$" (k ≤ N ) "$+$"% L"%$" 5-> 5) L"%$" 59 U%+$ i=1,...,n; #+%" i=1
i=1
j = 1
j = 1 + 1
−∑ a ij x i− ∑ aij XO j+ bi x i=
aii
4) L"%$" 49 J#$" ‖ x − XO‖
ϵ
;'"$" $e+"$"% OUTPUT (x 1, ..., x n ) "+
STOP 6) L"%$" 69 Te%+$"% k=k+1 >) L"%$" >9 U%+$ i=1,...n; e%+$"% XOi = x i <) L"%$" <9 OUTPUT (Ie"!# '"$!#'+' e" e"'"+#) "+ STOP So#rce )ode Pro$ra% % =========================================================== % PROGRAM ITERASI GASS-SEIDEL PADA PERSAMAAN LINEAR % Tugas Kuliah-1 Semeste-1 % Sai!s K"m#utasi ITB % Ba!$u!g 1& Se#tem'e ()1* % =========================================================== +l+, +lea, hel# itegausei.m A=/) 10 -10, -10* ) 102, 10* -10* )3, '=/1)0, 1102, 40*3, !=le!gth7A8, % --- Pehitu!ga! mati6s J $a! :e6t" u --J=;e"s7!8 9" #=1
Page
15 of 16
e!$ e!$ % C--------------------------------------=J, %mati6 J $i+"# 6e mati6 9" #=1
F+%# e!"'""% "% "$"% ,# +,"e 9 +lea all, +l+, % --- i!isialisasi --5lama7118=), 5lama71(8=), 5lama7148=), 5lama !=4 itema6s=1)) s+=).))1
%umlah eleme! :e6t" %umlah iteasi ma6simal %st"##i!g-+iteia
% --- !ilai u#$ate --9" i=15lama7(18-7(01)8>5lama7418?701)8, 5'au7(18=710118>5'au7118?710118>5lama7418740118>5lama7*18?7(0118, 5'au7418=-7(01)8>5'au7118?7101)8>5'au7(18?7101)8>5lama7*1871101)8, 5'au %------!"m selisih------------ s=), 9" i=1
!asil *o%"#tasi
Page
16 of 16
