Metodo Jacobi

CURSO INGENIERIA SISMO RESISTENTE I Métodos para calculo de modos de vibración.Método Mét odoss de de iter iteraci ación ón mat matrici ricial. al.- Mét Método odo de Jacobi

Ing. Ing. Omar Omartt Tell Telloo Mal Malpa part rtida ida

Métodos de calculo de Modos de Vibración METODOS DE CALCULO DE MODOS DE VIBRACION

Metodos de Iteración Matricial : Metodo de Jacobi Conocido tambien como metodo de diagonalizacion por rotaciones sucesivas, este procedimiento permite determinar, simultaneamente, todas las frecuencias y modos de sistemas complejos de hasta 200 grados de libertad. Consiste esencialmente, en diagonalizar la matriz dinamica o su inversa con el objeto de obtener, en la ecuacion matricial caracteristica, una serie de expresiones independientes, faciles de resolver.

Ingeniería Sismo Resistente I

Ing. Omart Tello Malpartida

Método de Jacobi Datos:

⎛ 5 −2.5 0 ⎞ K := 80 ⋅⎜ −2.5 3.5 −1 ⎟ ⎝ 0 −1 1 ⎠

⎛ 0.4077 M := 1⎜ 0 ⎝ 0

0 0.4077 0

⎞ 0 ⎟ 0.2039 ⎠ 0

Calculo de Matriz Diagonal Inferior [ L], tal que M=L.L

⎛ L

:= ⎜

⎜ ⎝

T

L

M1 , 1 0

0

0

0

0 0.639 0

⎞

⎟ ⎟ M3 , 3 ⎠

M2 , 2

0

⎛ 0.639 =⎜ 0 ⎝ 0

0

⎞ 0 ⎟ 0.452 ⎠ 0


⎛ 0.639 L = ⎜ 0 ⎝ 0 ⎛ 1.566 −1 L =⎜ 0 ⎝ 0

0

⎞ 0 ⎟ 0.452 ⎠ 0

0.639 0

0 1.566 0

⎞ 0 ⎟ 2.215 ⎠ 0


Método de Jacobi Calculo de Matriz Dinamica [ G*]

G

:=

−1

L

⋅K ⋅( L− ) 1

T

0 ⎛ 981.114 −490.557 ⎞ G = ⎜ −490.557 686.779 −277.467 ⎟ −277.467 392.349 ⎠ ⎝ 0



Método de Jacobi ( 1ra Rotación) Ciclos de rotación: Primera R otación Los ciclos de rotación se inician eliminando , por ejemplo el termino g1,2 (r=1, s=2) ; así tenemos: Tag 2θ = 2 g(r,s) /[g

(r,r) -

G1 , 1

= − 490.557 = 981.114

G2 , 2

=

θ 1 :=

0.5 atan

G1 , 2

θ =0.5 arctag( 2 g(r,s) /[g (r,r) - g (s,s)])

g (s,s)]

686.779

⋅

⎛ 2 ⋅ G 1 , 2 ⎞ ⎝ G 1 , 1 − G 2 , 2 ⎠

θ 1 = − 0.64

( θ1 )

s

:=

sin

c

:=

cos

( θ1 )

s

= − 0.597

c

=


0.802

⎡c − s ⎢s c ⎢ ⎢⎣0 0

⎤ ⎥ 0 ⎥ 1⎥ ⎦ 0


Método de Jacobi ( 1ra Rotación) ⎛ c −s 0 ⎞ R1 := ⎜ s c 0 ⎟ ⎝ 0 0 1 ⎠ ⎛ 0.802 R1 = ⎜ −0.597 ⎝ 0

⎞ 0⎟ 1 ⎠

0.597 0 0.802 0

Luego el triple producto escalar resulta ser : G1=R 1.G.R 1

G1

:=

T

R1

⋅G⋅R1


165.628 ⎞ 0 ⎛ 1346.103 G1 = ⎜ 321.79 −222.61 ⎟ −0 ⎝ 165.628 −222.61 392.349 ⎠


Método de Jacobi( 2da Rotación) En forma similar para el termino g1,3 (r=1, s=3) ; se obtiene: G1 1

,3 =

165.628

G1 1

,1 =

1.346

G1 3

,3 =

392.349

θ 2 := θ2 =

0.5

⋅ atan

×

R2

3

⎛ 2 ⋅ G1 1 , 3 ⎞ ⎝ G1 1 , 1 − G1 3 , 3 ⎠

0.167

⎛ cos ( θ 2 ) := ⎜ 0 ⎝ sin ( θ 2 )

R2

10

⎛ 0.986 = ⎜ 0 ⎝ 0.166

0

− sin ( θ 2 ) ⎞

1 0

0 1 0

⎟ ( θ 2 ) ⎠ 0

cos

− 0.166 ⎞ 0

⎟

0.986

Luego el triple producto escalar resulta ser : G2 =R 2.G1.R 2 G2

:=

R2

T

⋅G1 ⋅R2

G2


0 ⎛ 1374.047 − 37.034 ⎞ = ⎜ − 37.034 − 219.507 ⎟ 321.79 − 219.507 364.405 ⎠ ⎝ − 0


Método de Jacobi( 3ra Rotación) En forma similar para el termino g3,2 (r=3, s=2) ; se obtiene: G2 3 , 2

= − 219.507

G2 3 , 3

=

364.405

G2 2 , 2

=

321.79

θ 3 :=

⋅

0.5 atan

⎛ 2 ⋅ G2 3 , 2 ⎞ ⎝ G2 3 , 3 − G2 2 , 2 ⎠

θ 3 = − 0.737

R3

0 ⎛ 1 := ⎜ 0 cos ( θ 3 ) ⎝ 0 − sin ( θ 3 )

R3

⎛ 1 = ⎜0 ⎝ 0

⎞ sin ( θ 3 ) ⎟ cos ( θ 3 ) ⎠ 0

0

0

0.74

− 0.672

0.672

0.74

⎞ ⎟ ⎠

Luego el triple producto escalar resulta ser : G3 =R 3.G2.R 3

G3

T

:= R3 ⋅G2⋅R3

⎛ 1374.047 −27.423 G3 = ⎜ −27.423 122.558 0 ⎝ 24.89


⎞ −0 ⎟ 563.637 ⎠ 24.89


Método de Jacobi( 4ta Rotación) Terminado un ciclo se continua, reiniciando con la posición de la primera rotación: Para el termino g1,2 (r=1, s=2) ; se obtiene: G3 1 , 2

= − 27.423

G3 1 , 1

=

1.374

G3 2 , 2

=

122.558

θ 4 :=

⋅

0.5 atan

×

10

3

⎛ 2 ⋅ G3 1 , 2 ⎞ ⎝ G3 1 , 1 − G3 2 , 2 ⎠

θ 4 = − 0.022

( θ4)

s

:=

sin

c

:=

cos

(θ4)

R4

⎛ c − s := ⎜ s c ⎝ 0 0

R4

= ⎜ − 0.022

⎛ ⎝

1

0

s

= − 0.022

c

=

1

⎞ ⎟ 1 ⎠ 0 0

⎞ ⎟ 1 ⎠

0.022

0

1

0

0


G4

:=

T

R4

⋅G3 ⋅R4

⎛ 1374.648 G4 = ⎜ −0 ⎝ 24.884


−0 121.958 0.545

⎞ ⎟ 563.637 ⎠ 24.884 0.545


Método de Jacobi( 5ta Rotación) En forma similar para el termino g1,3 (r=1, s=3) ; se obtiene: G4 1

,3 =

24.884

G4 1

,1 =

1.375

G4 3

,3 =

563.637

θ 5 :=

0.5

θ5 =

⋅ atan

×

R5

3

2 ⋅ G4 1 , 3 ⎛ ⎞ − ⎝ G4 1 , 1 G4 3 , 3 ⎠

0.031

⎛ cos ( θ 5 ) 0 := ⎜ ⎝ sin ( θ 5 )

R5

10

⎛ 1 = ⎜ 0 ⎝ 0.031

0

− sin ( θ 5 ) ⎞

1 0

0

⎟ ( θ 5 ) ⎠ 0

cos

− 0.031 ⎞

1

0

0

1

⎟ ⎠


G5

:=

R5

T

⋅G4 ⋅R5

G5


⎛ 1375.41 = ⎜ 0.017 ⎝ 0

0.017

0

121.958

0.545

0.545

562.874

⎞ ⎟ ⎠


Método de Jacobi( 6ta Rotación) En forma similar para el termino g3,2 (r=3, s=2) ; se obtiene: G5 3

,2 =

0.545

G5 3

,3 =

562.874

G5 2

,2 =

121.958

θ 6 :=

⋅

0.5 atan

θ6 =

R6

1.236

×

⎛ 2 ⋅ G5 3 , 2 ⎞ ⎝ G5 3 , 3 − G5 2 , 2 ⎠ 10

−

3

0 ⎛ 1 := ⎜ 0 cos ( θ 6 ) ⎝ 0 − sin ( θ 6 )

R6

⎛ 1

0

= ⎜0

1

⎜ ⎝ 0 − 1.236 ×

⎞ sin ( θ 6 ) ⎟ cos ( θ 6 ) ⎠ 0

⎞

0 1.236 10

−

3

×

10

−

1

3

⎟ ⎟ ⎠


G6

:=

T

R6

⋅G5⋅R6

⎛ 1375.41 G6 = ⎜ 0.017 ⎝ 0


0.017 121.957 0

⎞ −0 ⎟ 562.875 ⎠ 0

Se puede observar que se obtenido la matriz diagonalizada, con la precisió n esperada, por lo tanto se culmina el proceso de rotaciones


Método de Jacobi( Frecuencia y Periodos de Vibración) FR ECU EN CI A S

W1

W2

W3

:=

G61 , 1

W1

:=

G62 , 2

W2

:=

G63 , 3

W3

=

37.087

=

11.043

=

23.725


P ER I ODOS

T1

T2

T3

:= 2 ⋅ := 2 ⋅ := 2 ⋅

π

T1

=

0.169

3ro

T2

=

0.569

1ro

T3

=

0.265

2do

W1

π W2

π W3


Método de Jacobi ( Modos de Vibración)

U

:=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

R1 R2 R3 R4 R5 R6

⎛ 0.77 U = ⎜ −0.62 ⎝ 0.17

0.37

−0.52 ⎞

0.65

−0.45 ⎟

⎛ 1.2 D = ⎜ −0.97 ⎝ 0.39

0.58

−0.82 ⎞

1.02

−0.7 ⎟

1.47

1.61

0.67

0.73

⎠

Modos de Vibracion:

D

:=

( L− ) 1

T

⋅U


⎠


Método de Jacobi ( Modos de Vibración) Modos de Vibracion Normalizados:

i

:= 1 , 2 .. 3

d1i

d2i

d3i

:=

:=

:=

Di , 1

⎛ 1.202 ⎞ d1 = ⎜ −0.966 ⎟ ⎝ 0.386 ⎠

Di , 2

⎛ 0.58 ⎞ d2 = ⎜ 1.015 ⎟ ⎝ 1.473 ⎠

Di , 3

⎛ −0.82 ⎞ d3 = ⎜ −0.699 ⎟ ⎝ 1.608 ⎠


φ 1 :=

φ 2 :=

φ 3 :=

d1 D1 , 1

d2 D1 , 2

d3 D1 , 3

⎛ 1.000 ⎞ φ 1 = ⎜ −0.804 ⎟ ⎝ 0.321 ⎠ ⎛ 1.000 ⎞ φ 2 = ⎜ 1.751 ⎟ ⎝ 2.541 ⎠ ⎛ 1.000 ⎞ φ 3 = ⎜ 0.853 ⎟ ⎝ −1.962 ⎠

3ro

1ro

2do


Metodo Jacobi

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