En análisis numérico el es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo . El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo. La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema
en la forma siguiente:
Donde , es una matriz diagonal. , es una matriz triangular inferior. , es una matriz triangular superior. Partiendo de de
, po podemos re reescribir di dicha ec ecuación co como:
Luego, Si aii ≠ 0 para cada i . Por la regla iterativa, la definición del
puede ser
expresado de la forma: Donde es el contador de iteración, Finalmente tenemos:
Cabe destacar que al calcular x i(k +1) se necesitan todos los elementos en x (k ), excepto el que tenga el mismo i . Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobrescribir x i (k ) con x i (k +1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n , y será necesario realizar un copiado explícito.
Una ecuación lineal es aquella en la que sus incógnitas están solas (con su coeficiente) y tienen exponente 1. La que no cumpla estas condiciones es una ecuación no lineal.
Método de Gauss-Seidel Es necesario despejar cada variable manualmente y codificarla como una función. El resto del algoritmo es básicamente igual que en sistemas de ecuaciones lineales. Este método no es muy apropiado si la función es relativamente compleja.
Método de Newton-Rapson Partiendo del desarrollo en serie de Taylor, este método reduce el sistema de ecuaciones no lineales a uno con ecuaciones lineales en las que aparecen derivadas de las funciones originales como nuevos coeficientes y las funciones originales (con signo negativo) como términos independientes. Será necesario codificar las funciones
(ecuaciones) originales y sus derivadas (que se calcularán a mano) en funciones individuales. El algoritmo resuelve el nuevo sistema de ecuaciones iterativamente, de forma que en cada iteración se aproxima más a la solución.
La solución del algoritmo queda en el vector xvect. El procedimiento RellenarMat (mat, xvect) será:
Se produce aquí un pequeño cambio de variable. Las incógnitas del nuevo sistema de ecuaciones lineales ya no son las iniciales (supongamos x). De forma que:
O sea, hi es la diferencia entre la variable xi de la iteración anterior y la actual.
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA
MATERIA: METODO NUMERICO
TEMA: METODOS NO LINIALES
MASTRO: LUIS BERNARDO VELASCO GONSALEZ
ALUMNO: DIEGO DIEGO CESAR CESAR CLEMENETE CLEMENETE LEYVA
