Jacobi en MatLab

´ METODO ETOD O DE JACOB JACOBI: I:

1.

Resuelve sistemas de ecuaciones lineales de la forma: AX  = B .

Donde: A:(aij )mxn =matriz de coeficientes. X: (xj )mx1 =matriz de incognitas. B: (bi )nx1 =matriz de coeficientes. n=n´ umero umero de ecuaciones. m= n´ umero umero de inc´ognitas. ognitas. necesita xj   inicial (generalmente se toma xj  = 0) . 1.1.

Ide Id ea:

a) Despejar Despejar cada variable variable en funci´ on on de las otras. b) Convertir Convertir las formulas obtenidas en formulas recursivas. c) Suponer que todas to das las ra´ ra´ıces valen 0. d) Hacer la iteraci´on on hasta alcanzar la tolerancia tolerancia adecuada. adecuada. 1.2. 1.2.

Proce Proceso so::

si tenemos un sistema de ecuaciones de n incognitas y n ecuaciones : a11 x1 a21 x1 a31 x1

. . . an1 x1

+a12 x2 +a22 x2 +a32 x2 . . . +an2 x2

+a13 x3 +a23 x3 +a33 x3 . . . +an3 x3

+... +... +... .. ... .. ... .. ... +...

+a1n xn +a2n xn +a3n xn . . . +ann xn

La matriz de coeficientes es: a11 a21 a31

a12 a22 a32

. . .

. . .

an1

an2

a13   .. ... a23   .. ... a33   .. ...

. . .

.. ... .. ... .. ...

an3   .. ...

La matriz de incognitas es: x1 x2 x3

. . . xn

La matriz de terminoss independientes es: b1 b2 b3

. . . bn

1

a1n a2n a3n

. . . ann

=  b 1 =  b 2 =  b 3 . . . =  b n

La f´ ormula iterativa de Jacobi se obtiene de la siguiente manera: 1. Despejamos cada variable en funcion de las otras.

xi  =

 b  −  a  n

1 aii

ij xj

i

j =1 j =i

  

2. Convertimos las formulas obtenidas en formulas recursivas: (k+1)

xi

n

1

=

 b  −  a 

aii

i

(k ) ij xj

j =1 j =i

  

3. Suponemos que las raices valen 0: (0)

xi

=0

i  = 1, 2, 3, . . . , n

4. Calculamos el error: (k+1)

εk =  max |xki − xi

|

k

ε  = 1.3.

ε (100) (k+1)

max|xi

|

Analisis:

1.3.1.

Entradas:

Coeficientes. T´erminos independientes. Tolerancia: M´ aximo de iteraciones. n =n´ umero de ecuaciones. =n´ umero de variables. 1.3.2.

Salidas:

Numero de iteraciones. Las ra´ıces El error Formato de salida: Iteraci´ on 1 2 3 . . . 1.3.3.

x1

x2

x3

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

... ... ... ... ... ... ...

xn   error

. . . . . .

. . . . . .

Procesos

1. Leer los datos. 2. Verificar que los elementos de la diagonal de la matrizde coeficientes sean distintos de cero (aii   = 0). 3. Aplicar la f´ormula recursiva de Jacobi. 4. Presentar los resultados.

2

1.3.4.

Código en MatLab

Método Jacobi

clc clear n=input('ingrese el numero de variable(recordar que: N° variables = N° ecuaciones): ') ; for fila=1:n fprintf('***%d° !"#!$N***&n'fila); for columna=1:n fprintf(' ingrese el %d° coeficiente: &t&t' columna) mc(fila columna)=input(' '); end fprintf('ingrese el termino independiente:&t'); mi(fila 1)=input(' '); end fprintf('&n***#$+ , !-$!$N.***&n'); disp(mc) fprintf('***#$+ , / $N,0N,$N.***&n'); disp(mi) t=input('ingrese la tolerancia: ') ; it=input('ingrese el numero maimo de iteraciones: ') ; for i=1:n (1i)=2; end f=1; 34ile f5it for 4=1:n   s=2; for g=1:n   s=s6mc(4g)*(fg); end   s=s7mc(44)*(f4);   (f614)=(mi(41)7s)*18mc(44); end f=f61;

  end disp()

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