SOLUSI TUGAS METODE FROBENIUS
1. Menggunakan metode Frobenius, solusi dari persamaan diferensial x 2 y xy 9y 0
(1)
diambil berbentuk
y
a x
n s
n
.
(2)
n 0
Turunan pertama dan turunan kedua dari pers. (2) berturut-turut diberikan oleh
a n s x
y
n s 1
n
(3)
n 0
y
a n s n s 1 x n
n s 2
(4)
n 0
Substitusi pers. (2), (3), dan pers. (4) ke pers. (1) memberikan
x 2
an n s n s 1 x n s 2 x
n 0
a x
n 0
a n s n s 1 x
n s
n
n s
n
0
n 0
an n s x
n 0
an n s x n s1 9 ns
9 an x n s 0
n 0
n 0
n s n s 1 n s 9 a x n
n s
0
n 0
n s n 0
s s
x
9 an x n s 0
2
2 9 a0 x n s 9 an x n s 0 n 1 s
Agar pers. pers. (5) terpenuhi maka koefisien koefisien koefisien
2
s
x
(5)
dan x ns harus sama dengan nol. Untuk
didapatkan
s
2
9 a0 0
Pengambilan a0 0 pada pers. (6) memberikan indicial equation
(6)
s2 9 0
(7)
yang memiliki solusi s 3 . Untuk s 3 , maka koefisien x ns memberikan
n s 2 9 an 0 n 3 2 9 an 0 n 2 6n 9 9 an 0 n n 6 an 0
(8)
Mengingat suku kedua pada pers. (5) merupakan deret yang dimulai dari n 1 maka jelas bahwa n n 6 0 . Mengingat n n 6 0 maka pers. (8) akan terpenuhi hanya jika an 0 . Dengan demikian, didapatkan bahwa an 0 untuk n 1. Solusi pers. (1) untuk s 3 diberikan oleh
y x
a x n
n s
an x n3 a0 x 3 a1x 4 a2 x 5
n 0
n 0
0
0
a0x 3
(9)
0
Untuk s 3 , maka koefisien x n s memberikan
n s 2 9 an 0 n 32 9 an 0 n 2 6n 9 9 an 0 n n 6 an 0
(10)
Mengingat suku kedua pada pers. (5) merupakan deret yang dimulai dari n 1 maka jelas bahwa n n 6 0 kecuali untuk n 6 . Mengingat n n 6 0 kecuali untuk n 6 maka pers. (10) akan terpenuhi hanya jika an 0 kecuali untuk n 6 ,
a6
bernilai sembarang. Dengan demikian, solusi pers. (1) untuk s 3 diberikan oleh
y x
b x n
n 0
n s
bn x n3 b0 x3 n 0
b0 x3 b6 x3
b6 x3 0
(11)
0
Mengingat y x a0 x 3 dan y x b0 x 3 b6 x 3 masing-masing adalah solusi pers. (1) maka solusi umum pers. (1) diberikan oleh y x a0 x 3 b0 x 3 b6x 3 a0 b6 x 3 b0x 3 Ax 3 Bx 3 (Jawaban)
2. Menggunakan metode Frobenius, solusi dari persamaan diferensial 2 xy y 2y 0
(12)
diambil berbentuk
y
a x
n s
n
.
(13)
n 0
Turunan pertama dan turunan kedua pers. (13) diberikan oleh
y an n s x n s 1
(14)
n 0
y an n s n s 1 x n s 2
(15)
n 0
Substitusi pers. (13), (14), dan (15) ke pers. (12) memberikan
2 x
a n s n s 1 x
n s 2
n
n 0
an n s x
n s 1
2 an x n s 0
n 0
a
n
n 0
n 0
2 n s n s 1 n s x
n s 1
2 an x n s 0
(16)
n 0
Pada suku kedua pers. (16), n n 1 sedemikian hingga n 0 n 1.
a
n
n 0
2 n s n s 1 n s x
a0 2s s 1 s x
s 1
n s 1
2 an 1 xn s 1 0
n 1
2 an 2 n s n s 2an 1 x n s 1 0 n 0
(17)
Agar pers. (17) terpenuhi maka koefisien x s 1 dan koefisien x ns1 harus sama dengan nol. Koefisien x s 1 memberikan a0 2s s 1 s 0
(18)
Dengan mengambil a0 0 maka akan didapatkan indicial equation 2s s 1 s 0 2s 2 s 0
(19)
yang memiliki solusi s 0 dan s 1 2 . Untuk s 0 , koefisien x n s 1 memberikan
an 2 n s n s 2an 1 0 2
2 an 2 n 0 n 0 2an 1 0 an 2n 2 n 2an 1 0 an
Dari pers. (20) beberapa nilai
2
2a0
a2
a3
a4
2 2 4 1
2 3 6 1
2 4 8 1
(20)
n 1 diberikan oleh
an untuk
a1
an1
n 2n 1
a1
a2
a3
1 3
a1
2 15 1 14
2
a0
3
a2
a3
4 45 2
135
a0
(21)
a0
dan seterusnya. Menggunakan pers. (21) dan pengambilan a0 0 , solusi deret pers. (12) untuk s 0 diberikan oleh
y x
a x n
n 0
n 0
an x n a0 2a0 x n 0
y x a0 1 2x
2 3
x2
2
a0 x2
3
4 45
x3
4 45
2 135
a0 x3
x 4
2 135
a0 x4
(22)
Untuk s 1 2 , koefisien x n s 1 memberikan bn 2 n
bn n
1 2
1 2
n 21 2bn1 0 2
2n 2 21 1 2bn1 0 2n n 21 bn 2bn1 0 bn
Dari pers. (23), beberapa nilai
bn untuk
b1
bn 1 n n
1 2
n 1 diberikan oleh b0
11
2
1 2
b0 3
(23)
b2 b3
b1 2 2 21 b0 3 3 21
2 15
b0
2
2
21 15
b0
4 315
(24)
b0
dan seterusnya. Menggunakan pers. (24) dan pengambilan b0 0 , solusi deret pers. (12) diberikan oleh
y x
n 0
bn x
n 21
2 2 4 72 b0 x1 2 x 3 2 x 5 2 x 3 15 315
.
(25)
Fungsi y x yang diberikan oleh pers. (22) dan (25) merupakan dua solusi bebas pers. (12). Kedua solusi tersebut dikatakan sebagai solusi bebas karena kedua solusi tersebut tidak terkait satu sama lain. Dengan kata lain, solusi pers. (22) tidak dapat dinyatakan sebagai konstanta dikalikan solusi pers. (25) dan sebaliknya. Dari kedua solusi bebas tersebut, solusi umum pers. (12) dinyatakan sebagai 2 2 4 3 2 4 x x x 3 45 135 4 72 12 2 3 2 2 5 2 x x B x x 3 15 315
y x A 1 2x
(Jawaban)
3. Menggunakan metode Frobenius, solusi dari persamaan diferensial x 2 y 2x 2y 2y 0
(26)
diambil berbentuk
y
a x
n s
n
.
(27)
n 0
Turunan pertama dan turunan kedua pers. (27) secara berurutan diberikan oleh y
a n s x n
n s 1
(28)
n 0
y
a n s n s 1 x n
n s 2
n 0
Substitusi pers. (27), (28), dan (29) ke pers. (26) memberikan
(29)
x 2
an n s n s 1 x n s 2 2x 2
n 0
a x
n 0
a n s n s 1 x
n s
n
2 an n s x
n s 1
a n s n s 1 2 x
n s
n
0
2 an x n s 0
n 0
n s
n
n 0
n 0
an n s x n s1 2
n 0
2 an n s x n s 1 0
n 0
(30)
n 0
Pada suku kedua pers. (30), n n 1 sedemikian hingga n 0 n 1.
a n s n s 1 2 x n
n s
2 an1 n s 1 x n s 0
n 0
a0 0 s 0 s 1 2 x 0 s
a0 s s 2 x 2
s
a n s n s 1 2 2a n s 1 x n 1
n
s
x
n s
0
n 1
a n s n s 1 2 2a n s 1 x n 1
n
ns
0 (31)
n 1
Persamaan (31) terpenuhi jika koefisien Dari koefisien
n 1
s
x
dan koefisien x n s sama dengan nol.
, diperoleh
s
2
s 2 a0 0
(32)
Jika diambil a0 0 maka akan didapatkan indicial equation s2 s 2 0
(33)
yang memiliki solusi s 2 dan s 1. Untuk s 1, koefisien x ns memberikan an n s n s 1 2 2an 1 n s 1 0 an n 1 n 2 2 2an 1 n 2 0 an n 2 3n 2 2 2an 1 n 2 0 an n 2 3n 2an 1 n 2 0
an
Menggunakan pers. (34), beberapa nilai a1
2 n 2 n n 3
an1
an untuk
2 1 2 11 3
n 1, diberikan oleh
a0 a0
(34)
a2 a3
2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3
dan seterusnya untuk n 4,5,6,
a1 0
a2
0
(35)
Tak Tentu
0
dimana nilai
an selalu
tak tentu. Menggunakan
pers. (35) dan pengambilan a0 0 didapatkan solusi deret pers. (26) untuk s 1 yang dinyatakan sebagai
y x
an x n s
n 0
a x n
n 0
n 1
a0 x 1 a0 a0 x 1 1
(36)
Untuk s 2 , koefisien x n s memberikan bn n s n s 1 2 2bn 1 n s 1 0 bn n 2 n 2 1 2 2bn 1 n 2 1 0
n 2 n 1 2 bn 2 n 1 bn 1 0 bn n 2 3n 2 2 2bn 1 n 1 0 bn n 2 3n 2bn 1 n 1 0
2 n 1
bn
n n 3
Menggunakan pers. (37), beberapa nilai b1 b2 b3 b4
2 1 1 11 3
bn 1
bn untuk
(37)
n 1 diberikan oleh
b11 b0
2 2 1 2 2 3 2 3 1 3 3 3 2 4 1 4 4 3
b21 b2 b3
3 5
8 18 5 14
b1
3 5
b2 b3
b0
8 3 18 5
b0
4 15
(38)
b0
5 4 2 b0 b0 14 15 21
dan seterusnya. Menggunakan pers. (38) dan pengambilan b0 0 didapatkan solusi deret pers. (26) untuk s 2 yang dinyatakan sebagai
y x
b x n
n 0
n s
3 4 bn x n2 x 2b0 1 x x 2 x 3 5 15 n 0
(39)
Solusi umum pers. (26) diberikan oleh
3
y x A x 1 1 Bx 2 1 x
5
x2
4 15
x3
(Jawaban)
4. Menggunakan metode Frobenius, solusi dari persamaan diferensial xy y 9x 5y 0
(40)
diambil berbentuk
a x
y
n s
n
.
(41)
n 0
Turunan pertama dan turunan kedua pers. (41) secara berurutan diberikan oleh y
a n s x n
n s 1
(42)
n 0
y
a n s n s 1 x
n s 2
n
(43)
n 0
Substitusi pers. (41), (42), dan (43) ke pers. (40) memberikan
x
an n s n s 1 x n s 2
n 0
an n s x n s 1 9x 5
n 0
a n s n s 1 x
n s 1
n
n 0
a x
n s
n
0
n 0
n 0
n 0
an n s x n s 1 9 an x n s5 0
a n s n s 1 1 x n
n 0
n s 1
9 an x n s5 0
(44)
n 0
Pada suku kedua pers. (44), n n 6 sedemikian hingga n 0 n 6 .
n 0
a0 0 s 0 s 2 x
s 1
a
an n s n s 2 x n s 1 9
n6
x n s1 0
n 6
a1 1 s 1 s 2 x a2 2 s 2 s 2 x s 1 s
a3 3 s 3 s 2 x s 2 a4 4 s 4 s 2 x s 3 a5 5 s 5 s 2 x s 4
an n s n s 2 9an 6 x n s 1 0 n 6
a0s s 2 x s 1 a1 s 1 s 1 x s a2s s 2 x s 1
a3 s 1 s 3 x s 2 a4 s 2 s 4 x s 3 a5 s 3 s 5 x
s 4
(45)
an n s n s 2 9an6 x n s 1 0 n 6
Persamaan (45) terpenuhi jika semua koefisien sama dengan nol. Dari koefisien x s 1 , diperoleh a0s s 2 0
(46)
Jika diambil a0 0 maka akan didapatkan indicial equation s s 2 0
(47)
yang memiliki solusi s 0 dan s 2 . Untuk s 0 , didapatkan a1 s 1 s 1 0 a1 0 1 0 1 0
a1 0 a1 0
(48a)
a2s s 2 0 a2 0 0 2 0 a2 sembarang
(48b)
a3 s 1 s 3 0 a3 0 1 0 3 0 3a3 0
a3 0
(48c)
a4 s 2 s 4 0
8a4 0 a4 0
(48d)
a5 s 3 s 5 0 a5 0 3 0 5 0
a5 0
n s n s 2 an 9an6 0 n n 2 an 9an6
(48e)
an
9 n n 2
Menggunakan pers. (48a) - (48f), beberapa nilai a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
a14
9 6 62
9 7 72
9 8 82
9 9 92
a0
a1
0
a2
a3
0
9 10 10 2
9 11 11 2
9 12 12 2
9 13 13 2
9 14 14 2
24
9 48
(48f)
an untuk
a0
a2
3 8
n 6 , diberikan oleh
a0
3 16
a2
0
a4
a5
9
an 6
0
a6
a7
0
a8
3 a0 40 8 3
9 320
3 a2 56 16 3
a0
9 896
a2
(49)
dan seterusnya. Menggunakan pers. (49) dan pengambilan a0 0 dan a2 0 maka didapatkan solusi deret pers. (40) untuk s 0 yang dinyatakan sebagai
y x
a x
ns
n
n 0
an x n n 0
3
3
8
16
a0 a2 x 2 a0 x 6
y x a0 1
3 8
x6
9 320
x12
a2 x 8
9 320
a0 x 12
9 896
a2 x 14
9 14 2 3 8 x x a2 x 16 896
(50)
Karena solusi deret pers. (40) untuk s 0 sudah memuat dua solusi bebas maka tidak perlu lagi mencari solusi deret pers. (40) untuk s 2 . Dapat dibuktikan bahwa solusi deret pers. (40) untuk s 2 sama dengan solusi deret pada pers. (50) untuk koefisien
a2 .
y x b 0 x 2
3 16
x8
9 896
x14
(52)
Dengan demikian, solusi umum pers. (40) diberikan oleh
y x A 1
3 8
x6
9 320
x12
9 14 2 3 8 x x B x 16 896
(Jawaban)
