TRIGONOMETRÍA TEMA 14
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS SNII2T14
DESARROLLO DEL TEMA Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplos, el salario de una persona puede depender del número de horas que trabaje; si se registra la temperatura del aire a lo largo de un día, entonces, a cada instante de tiempo le corresponde una temperatura; etc. La relación entre este tipo de cantidades suele expresarse mediante una función.
I. DEFINICIÓN
Una función f de un conjunto A en otro conjunto B(f: A→B) es una correspondencia que asigna a cada elemento x de A un único elemento y de B. Esta correspondencia se expresa frecuentemente por medio de una relación y = f(x). A x
+
B
IV. RANGO DE UNA FUNCIÓN
Sea f: A → B una función real de variable real, el rango de f (denotado por Ran(f)) está formado por todos los valores de y∈ B. Se calcula a partir del dominio.
Observación 1: Sea y = f(x) una función. La variable x se llama variable independiente porque se le puede asignar cualquiera de los números permisibles del dominio. La variable y se llama variable dependiente porque su valor depende de x.
V. ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN y = Senx
y
y y=Senx
Ejemplo: La ecuación y = Senx define una función para la cual A es el conjunto de todos los números reales y B es el conjunto [–1; 1]. El valor de y asignado al valor de x se obtiene al hallar el Senx.
–p
f: A → B es una función real de variable real si: A ⊂ R ∧ B ⊂ R
III. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Sea f: A → B es una función real de variable real, el dominio de f está formado por todos los valores de x ∈ A que garantizan la existencia de y = f(x).
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p 2
0 –1
Observación: Para denotar funciones se utilizan símbolos como f, g y h. El elemento y de B es el valor (funcional) de f en x y se denota por f(x) (notación que se lee "f de x").
II. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
–p 2
p
3p 2
2p
x
T=2p
x
y=Senx
0 p 2 p
0 1 0
• Características del senoide • El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. • El rango de la función consiste en todos los números reales entre –1 y 1, inclusive. • El máximo valor de la función es 1. • El mínimo valor de la función es –1. • La función seno es periódica, con periodo 2p.
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Observación 3: Gráfica de la función que tiene por regla de correspondencia: y = A Sen(Bx + C) + D
Observación 2: Gráfica de la función que tiene por regla de correspondencia: y = A SenBx; A> 0 y B > 0 y y=ASenBx A p B
2p B
–A
y
y=D
x
–C B
2p B
T=
• Función periódica Una función f se dice que es periódica cuando existe un número real T ≠ 0, tal que f(x+T) = f(x); ∀x; x+T ∈ Dom(f). El menor número positivo T se denomina periodo, periodo principal o periodo mínimo de la función.
y
y=Cosx
p 2
p
3p 2
2p
Observación 4: La gráfica de una función periódica es repetitiva a lo largo del eje de abscisas. y T
x
T=2p
x
y=Cosx
0 p 2 p
1
2p B
Características • Amplitud de la función |A| • Periodo de la función: T = 2p |B| C • Cambio de fase o número de fase: – B • Desplazamiento vertical: D
VI. ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN y = Cosx
0
x
T=
Características • Máximo valor de la función A • Mínimo valor de la función –A • Periodo: T = 2p B • Amplitud: |A|
–p 2
y=ASen(Bx+C)+D
x
0 –1
• Características de la función coseno • El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. • El rango de la función consiste en todos los números reales entre –1 y 1, inclusive. • El máximo valor de la función es 1. • El mínimo valor de la función es –1. • La función coseno es periódica, con periodo 2p.
Nota: g(x) = A.FTn (Bx + C) + D F.T.: Sen0, Cos0 A,B,C,D∈R n∈Z+ p • Para n par el periodo es igual a |B| 2p • Para n impar el periodo es igual a |B|
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Calcule el rango de la función definida por f(x) = Sen3x+Senx Sen2x A) R
B) [–1;1〉 C) 〈–2;2〉
D) R–{0} E) 〈–2;2〉 – {0}
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Resolución: Aplicando Senq + Senα = 2Sen
( q +2 α ) Cos ( q –2 α )
→ f(x) = 2Sen2xCosx Sen2x f(x) = 2Cosx
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Ahora, calculemos el dominio de la función f(x). → Sen2x ≠ 0 Recordando Sen(np) = 0; n∈Z → 2x ≠ np p x ≠ n ; n∈Z 2
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→ Cosx ≠ –1; 0; 1 Ahora, calculemos el rango de f(x)
–1 < Cosx < 1 ∧ Cosx ≠ 0
→ –2 < 2Cosx < 2 ∧ 2Cosx ≠ 0 → –2 < f(x) < 2 ∧ f(x) ≠ 0 Por lo tanto: f(x) ∈ 〈–2; 2〉 – {0}
Respuesta: 〈–2; 2〉 – {0}
Problema 2 Grafique la función definida por: p f(x) = 2Cos 2x – + 5 3
Resolución:
y G(x)=2Cos(2x–p/3) 2 0 p 6 –2
5p 12
11p 12
7p 6
x
Ahora, desplacemos la gráfica de la función G(x) verticalmente en5 unidades. f(x)=2Cos(2x–p/3)+5
y 7
x x x – 2Sen Cos = 0 2 2 2 x x x → 2Cos Cos – Sen =0 2 2 2
→ 2Cos2
(
)
Luego: x x p = 0 → = (2k+1) 2 2 2 → x = (2k+1)p
I. Cos
5
x x – Sen = 0 2 2 x → Tan = 1 2 x p → = kp + 2 4 p → x = (4k+1) 2 p x = {(2k+1)p} ∪ {(4k+1) } 2 los cuales son los valores que no puede tomar x II. Cos
3
Resolución: Grafiquemos primero la función p G(x) = 2Cos 2x – 3 p * 0 ≤ 2x – ≤ 2p 3 p 7p p 7p ≤ 2x ≤ → ≤x≤ 3 3 6 3 Ahora, dividamos el intervalo p ; 7p 6 6 en cuatro partes iguales y grafiquemos G(x) en dicho intervalo.
2p 3
1 + Cosx – Senx = 0 Aplicando identidades del ángulo doble. * Sen2q = 2SenqCosq * 2Cos2q = 1 + Cos2q
p 6
5p 12
2p 3
11p 12
7p 6
x
Problema 3 Calcule el dominio de la función f(x) = (1 + Cosx – Senx)–1; k∈ Z A) R
B) R – 2kp
C) (2k+1)p
D) 2kp
p ∴ Df = R – {(2k+1)p ∪ (4k+1) } 2
Respuesta: R – {(2k+1)p ∪ (4k+1)p/2}
E) R – {(2k+1)p ∪ (4k+1)p/2}
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN p 2 1. Si el punto M ;2n + , perte2 8 nece a la gráfica de la función f(x). Tan2x f(x) = 2 Calcule n. 2 A) 2 2 D) 16
2 4 3 E) 2 B)
4. Calcule el dominio de la función:
p 2 E) A = 5; T = 2p D) A = 1; T =
2 C) 8
2. Calcule la amplitud (A) y periodo (T) de la función: x x f(x) = 16Sen – 9Cos 2 2 p A) A = 5; T = 2 p B) A = 1; T = 2 C) A = 1; T = 4p
f(x) =
3. Determinar la regla de correspondencia de la gráfica. y 2 3
B) y = C) y = D) y = E) y =
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A) R – {np} np B) R – { } 2 C) R – {2np}
p } 2 p E) R – {(4n+1) } 2 5. Calcule el rango de la función: D) R – {(2n+1)
p 4
–2 3 A) y =
| Sen2x | | Cosx | ;n ∈ Z + Senx Cosx
3 2 2 3 3 2 3 2 2 3
x
f(x) =
Cos2x Cos2x Cos4x Cos8x Cos8x
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A)
Cos2x+2 Cos2x–3
–3 –1 ; B) 2 4
–3 –1 ; 2 4
–3 ; –1 C) –3 ; –1 D) 2 4 2 4 –3 ; –1 E) 2 5
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PROFUNDIZACIÓN 6. Calcule ab–1 y=aCosbx
y
2
f(x) = 4Sen 2xCos 2x – 1;k ∈ Z
4p 3
8p
A) 2 B) 4 D) 8 E) 10
x
C) 6
7. Determine el periodo de las siguientes funciones: x f(x) = 2Cos +1 2 g(x) = (Senx+Cosx)2
( )
h(x) = Tan3x A) 4p; p; 3p B) 4p; p; p/3 C) 4p; p; 2p/3
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8. Calcule el dominio de la función real 2
1
SISTEMATIZACIÓN
D) 4p; p; 2p E) p/3; p; 4p
A) kp ± 4 B) kp ± 8 C) kp ± 4 kp D) ± 2 E) kp ± 2
p 8 p 8 p 4 p 4 p 2
9. Calcule el rango de la función: p p f(x) = | Senx | +1; x ∈ – ; 2 2 A) [1, 2]
B) 〈1,2〉
C) 〈1, 2〉
D) [1,2]
E) R+
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10. Calcule el dominio de f 1 – Sen4 x ;n ∈ Z 4 A) 2np B) np 4 C) (2n+1) p D) (2n+1) p 6 4 E) (2n+1) p 3
f(x) = Sen2x –
11. Calcule el rango de la función f(x) = 2Senx – Cos2x; x∈ 〈0,p〉 A) 〈–1,3] B) 〈–3,–2〉 C) 〈–1,–3〉 D) 〈0, p〉 E) 〈–2,1〉 12. Calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor que toma la función: pCosx f(x) = vers +3 3 A) 2 B) 1,5 C) 1 D) 0,5 E) 0,75
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