Trigonometria estudar

Um Curso de Trigonometria Trigonometria I Trigonometria II Trigonometria III Trigonometria IV Trigonometria V Trigonometria VI Trigonometria VII Trigonometria VIII Trigonometria IX Exercícios Resolvidos de Trigonometria Funções Trigonométricas Inversas Teorema dos Senos - TS Teorema dos Co-senos - TC Teorema das Áreas - TA Um Produto de Senos e Co-senos Dois Problemas de Trigonometria Três Exercícios de Trigonometria Três círculos tangentes entre si Uma soma de senos Equações Trigonométricas I Equações Trigonométricas II Uma torre sob vários ângulos Um triângulo na FTC Trigonometricamente falando

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Trigonometria I 1 - Introdução •

Trigonometria: vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (1561-1613), do grego trigonon (triângulo) e metron (medida).

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É claro que Hiparco (astrônomo e matemático grego (190 a.C. - 125 a. C.), considerado o pai da Trigonometria, ainda não usava esta terminologia.

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A Astronomia foi a grande impulsionadora da Trigonometria.

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O desconhecimento dos números negativos, que se popularizou apenas no século XVII, dificultou o desenvolvimento desenvolvimento da Trigonometria. Trigonometria.

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O documento mais antigo conhecido sobre o assunto, data-se do século II d.C. e denominou-se Almagesto, Almagesto, de autoria de Ptolomeu. (Cláudius Ptolemaeus astrônomo grego 90 - 168). Afirma-se que Ptolomeu deixou o planeta Terra aos 78 anos. Este grande astrônomo grego acreditava acreditava que a Terra era o centro do Universo, ao redor da qual giravam Mercúrio, Lua, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno, em órbitas que seriam círculos perfeitos! Sua concepção foi considerada válida até o século XVI, quando Nicolau Copérnico (astrônomo polonês - 1473/1543) a substituiu pela teoria heliocêntrica (válida até hoje) , referendada por Galileo Galilei (físico e astrônomo italiano - 1564/1642). •

Por enquanto, vamos ver apenas a definição de círculo trigonométrico, após o resumo histórico supra. Nos próximos textos, cuidaremos de desenvolver o resumo da teoria.

Chama-se Círculo Trigonométrico, ao círculo orientado de raio unitário, cujo centro é a origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme figura a seguir. O círculo trigonométrico trigonométrico é orientado positivamente positivamente no sentido ABA’B’A. O sentido AB’A’BA é considerado negativo. negativo. Assim, o arco AB (ângulo reto) mede 90º e o arco AB’ mede -90º . O arco ABA’ (ângulo raso) mede 180º ( ou p radianos) e o arco AB’A’ mede (-180º). O arco de uma volta completa (ABA’B’A) (ABA’B’A) mede 360º ; O arco AB’A’BA mede( -360º), ou seja, é um arco negativo. Já sabemos que 360º = 2 π radianos. Podemos na Trigonometria, considerar arcos de mais de uma volta. Sabendo que uma volta equivale a 360º, podemos facilmente reduzir qualquer arco à primeira volta. Por exemplo, o arco de 12350º , para reduzi-lo à primeira volta, basta INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@ [email protected]. yahoo.com.br. www.colegiocascavelense.com.br www.colegiocascavele nse.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

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dividi-lo por 360º (para eliminar as voltas completas) e considerar o resto da divisão. Assim é que, 12350º dividido por 360º, resulta no quociente 34 e no resto 110º. Este valor 110º é então trigonometricamente trigonometricamente equivalente ao arco de 12350º e é denominado sua menor determinação determinação positiva. positiva. Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos, quando a diferença entre eles é um número múltiplo de 360º. Assim é que sendo x e y dois arcos trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se x - y = k. 360º, onde k é um número inteiro. Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos, basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo de 360º (ou 2 π radianos, pois 2 π rad = 360º). Os arcos 2780º e 1700º , por exemplo são côngruos , pois 2780º - 1700º = 1080º e 1080º é divisível por 360º (1080º / 360º = 3 , com resto nulo). Exercício resolvido: Quantos são os valores de m compreendidos entre 30 e 40, que tornam côngruos os arcos de medidas (4m+10). 180º e (3m-2). 180º? Solução: Pela definição de arcos côngruos dada acima, deveremos ter: (4m+10).180º - (3m-2).180º = k . 360º, onde k é um número inteiro. 720m + 1800 -[540m - 360] = k . 360 720m + 1800 - 540m + 360 = k. 360 180m + 2160 = k . 360 180m = k . 360 - 2160 m = 2k - 12 Mas, pelo enunciado, temos 30 < m < 40. Logo: 30 < 2k - 12 < 40 42 < 2k < 52 21 < k < 26 ⇒ k = 22, 23, 24 ou 25. Existem 4 valores possíveis para k e, portanto, também 4 valores possíveis para m, já que m = 2k - 12. Resposta: m possui 4 (quatro) (quatro) valores distintos. distintos. Testes Verdadeiro - Falso 1 - Os arcos de 4200º e 3480º são côngruos 2 - Os arcos de (- 420º ) e 300º são côngruos. 3 - O arco de 10.002º pertence ao segundo quadrante. 4 - O arco de (- 200º) pertence ao segundo quadrante. quadrante. Gabarito: 1-V 2-V 3-F 4-V INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@ [email protected]. yahoo.com.br. www.colegiocascavelense.com.br www.colegiocascavele nse.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

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Trigonometri a II 1 - Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Considere a figura abaixo, onde está representado um círculo trigonométrico (centro na origem e raio unitário). Da simples observação da figura, temos os seguintes pontos notáveis: A (1; 0) , B(0; 1) , A’(-1; 0) e B’(0; -1). Definiremos os seguintes eixos: A’A = eixo dos cossenos (variando no intervalo real de -1 a +1) B’B = eixo dos senos (variando no intervalo real de -1 a +1) AT = eixo das tangentes → variando no intervalo real (- ∞ , +∞ ).

Observe também que as coordenadas cartesianas do ponto U são: x0 = abscissa e y0 = ordenada, ou seja: U(x 0 , y0). Considere o arco trigonométrico AU de medida a. Nestas condições definimos: 1 - Seno do arco de medida a = ordenada do ponto U = y 0 e indicamos: sen a = y0 . 2 - Cosseno do arco de medida a = abscissa do ponto U = x 0 e indicamos: cos a = x0 Lembrando que o raio do círculo trigonométrico é igual a 1 (por definição), concluímos que o seno e o cosseno de um arco são números reais que variam no intervalo real de -1 a +1. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

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Da figura acima, podemos escrever: x 02 + y02 = OU2; mas, OU = raio do círculo trigonométrico e portanto vale 1. Daí vem a seguinte relação entre o seno e o cosseno de um arco, já que x0 = cos a e y0 = sen a : sen2a + cos2a = 1

denominada relação fundamental da Trigonometria. Observando ainda a figura acima e considerando os sinais das ordenadas e das abscissa ou seja, sinais do seno e do cosseno, podemos concluir que o seno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 180º (1º e 2º quadrantes) e negativo para os arcos compreendidos entre 180º e 360º (3º e 4º quadrantes). Já para o cosseno, usando a mesma consideração anterior, concluímos que o cosseno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 90º (1º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 270º e 360º (4º quadrante) e, negativo para os arcos compreendidos entre 90º e 180º (2º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 180º e 270º (3º quadrante). Valores notáveis do seno e cosseno: sen 0º = sen 180º = cos 90º = cos 270º = 0 sen 90º = cos 0º = cos 360º = 1 sen 270º = cos 180º = -1 Ainda na figura anterior observe o segmento AT. O comprimento deste segmento, é por definição, a tangente do arco AU de medida a. Indicamos isto escrevendo tg a = AT. A escala adotada no eixo das tangentes é a mesma dos eixos das abscissas e das ordenadas. Pela semelhança dos triângulos Ox 0U e OAT, podemos escrever: ; mas como y0 = sen a, x0 = cos a, AT = tg a e OA = 1, vem:

para cos a ≠ 0. Nota: para saber o sinal da tangente nos 4 quadrantes, basta usar a regra de sinais da divisão, já que a tangente é simplesmente o INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

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quociente do seno pelo cosseno, cujos sinais nos quadrantes já conhecemos. Somente como exemplo, como o seno e o cosseno são negativos no 3º quadrante, sendo a tangente o quociente entre eles, concluímos que neste quadrante, a tangente será positiva, pois menos dividido por menos dá mais! Os inversos multiplicativos do seno, cosseno e tangente, recebem designações particulares a saber: 1 - inverso do seno = cossecante (símbolo: cossec) 2 - inverso do cosseno = secante (símbolo: sec) 3 - inverso da tangente = cotangente (símbolo: cotg ) Assim, sendo a um arco trigonométrico, poderemos escrever:

para sen a ≠ 0.

para cos a ≠ 0.

para sen a ≠ 0. Exercícios Resolvidos 1. Qual o valor máximo da função y = 10 + 5 cos 20x? Solução: O valor máximo da função ocorre quando o fator cos20x é máximo, isto é, quando cos 20x = 1. Logo, o valor máximo da função será y = 10 + 5.1 = 15. 2. Qual o valor mínimo da função y = 3 + 5 sen 2x? Solução: O valor mínimo da função ocorre quando o fator sen2x é mínimo, isto é, quando sen2x = -1. Logo, o valor mínimo da função será y = 3 + 5(-1) = - 2 . 3. Qual o valor máximo da função Solução:

?

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A função terá valor máximo, quando o denominador tiver valor mínimo. Para que o denominador seja mínimo, deveremos ter cos 20x =1∴ y = 10 / (6 - 2.1) = 10 / 4 = 5/2. Portanto, o valor máximo da função é 5/2. Qual seria o valor mínimo da mesma função? Resposta: 5/4 4. Para que valores de m a equação sen 30x = m - 1 tem solução? Solução: Ora, o seno de qualquer arco, é sempre um número real pertencente ao intervalo fechado [-1,1]. Logo, deveremos ter: -1 ≤ m -1 ≤ 1 ∴ 0 ≤ m ≤ 2. Agora calcule: a) o valor mínimo da função y = 2 + 9sen4x. b) o valor máximo da função y = 10 - cosx . c) o valor de y = sen 180º - cos270º d) o valor de y = cos 180º - sen 270º e) o valor de y = cos(360.k) + sen(360.k), para k inteiro. Respostas: a) - 7 b) 11 c) 0 d) 0 e) 1

Trigonometri a III Fórmulas derivadas das fundamentais Já sabemos as cinco fórmulas fundamentais da Trigonometria, a saber: Dado um arco trigonométrico x , temos: Fórmula I: Relação Fundamental da Trigonometria. sen2x + cos2x = 1 [o mesmo que (senx) 2 + (cosx)2 = 1] Fórmula II: Tangente.


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Fórmula III: Cotangente.

Fórmula IV: Secante.

Fórmula V: Cossecante.

Nota: considere nas fórmulas acima, a impossibilidade absoluta da divisão por ZERO. Assim, por exemplo, se cosx = 0, não existe a secante de x ; se sen x = 0, não existe a cosec x, ... Para deduzir duas outras fórmulas muito importantes da Trigonometria, vamos partir da Fórmula I acima, inicialmente dividindo ambos os membros por cos 2 x≠ 0. Teremos:

Das fórmulas anteriores, concluiremos inevitavelmente a seguinte fórmula que relaciona a tangente e a secante de um arco trigonométrico x: tg2x + 1 = sec 2x Se ao invés de dividirmos por cos 2x, dividíssemos ambos os membros por sen2x, chegaríamos a: cotg2x + 1 = cosec 2x As duas fórmulas anteriores, são muito importantes para a solução de exercícios que comparecem nos vestibulares, e merece por isto, uma memorização. Aliás, as sete fórmulas anteriores, têm necessariamente de ser memorizadas, e isto é apenas o início! A Trigonometria, infelizmente, depende de memorizações de fórmulas, mas, se você souber deduzi-las, como estamos tentando mostrar aqui, as coisas ficarão muito mais fáceis! Portanto, fique tranqüilo(a).


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Trigonometri a IV 1 - Simplifique a expressão a seguir: <

Solução: Das aulas anteriores, poderemos escrever:

2 - Sendo x um arco tal que cosx = tgx , calcule senx. Solução: Sabemos que tgx = senx / cosx. Substituindo tgx por cosx (dado do problema), vem: cosx = senx / cosx donde vem: cos 2x = senx. Mas, cos2x = 1 - sen2x . Substituindo, fica: 1 - sen 2x = senx. Daí, vem: sen2x + senx - 1 = 0 Fazendo senx = y e substituindo: y 2 + y - 1 = 0. Resolvendo esta equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, fica:

Como y = senx, somos tentados a dizer que existem dois valores para senx, dados pela igualdade acima. Lembre-se porém que o seno de um arco é um número que pode variar de -1 a +1. Portanto, somente um dos valores acima satisfaz o problema ou seja:

que é a resposta procurada. 3 - Para que valor de m a expressão y = (m - 1) (sen 4x - cos4x) + 2cos2x + m.cosx - 2.cosx + 1 é independente de x?


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Solução: Podemos escrever: y = (m - 1)[(sen 2x - cos2x)(sen2x + cos2x)] + 2cos 2x + mcosx - 2cosx +1 Como sen2x + cos2x = 1, substituindo, fica: y = (m - 1)(sen 2x - cos2x) + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 y = msen2x - mcos2x - sen2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que sen 2x = 1 cos2x, vem: y = m(1 - cos 2x) - mcos 2x - (1 - cos 2x) + cos2x + 2cos2x + mcosx 2cosx + 1 y = m - mcos 2x - mcos2x - 1 + cos 2x + cos2x + 2cos2x + mcosx 2cosx + 1 Simplificando os termos semelhantes, fica: y = m + (4 - 2m)cos 2x + (m - 2)cosx Para que a expressão acima seja independente de x, deveremos ter necessariamente 4 - 2m = 0 e m - 2 = 0 ∴ m = 2, que é a resposta procurada. 4 - Agora resolva você mesmo: Para que valor de m a expressão y = m(sen4x - cos4x) + 2cos2x - 1 + m é independente de x? Resposta: m = 1 5 - Sabendo que senx + cosx = m, calcule (m2 - 1)y pela expressão:

sendo y dado

Resposta: m(3 - m2). Sugestão: Eleve ambos os membros da igualdade dada ao cubo, ou seja: (senx + cosx)3 = m3 , lembrando que (a+b) 3 = a3 + b3 + 3(a+b).ab. Eleve também ambos os membros da expressão dada ao quadrado, ou seja: (senx + cosx)2 = m2 , lembrando que (a+b) 2 = a2 + 2ab + b2.

Trigonometri aV

Cosseno da diferença de arcos Dedução da fórmula INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 10 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Considere a figura abaixo que representa uma circunferência trigonométrica (centro na origem O(0,0) e raio unitário). Sejam a e b dois arcos trigonométricos com a > b. Temos o arco PB de medida b e o arco PA de medida a. Nestas condições, podemos concluir que o arco BA tem medida a - b. Pelo teorema dos cossenos, sabemos que em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados, pelo cosseno do ângulo que eles formam. Assim, na figura acima, poderemos escrever, pelo teorema dos cossenos, para o triângulo OAB: AB2 = OB2 + OA2 - 2. OB . OA . cos(a - b). (Equação 1) Ora, OB = OA = 1 (raio do círculo trigonométrico, portanto, unitário). AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) e B(cosb, senb). Já vimos nesta página, a fórmula da distancia entre dois pontos; se você não se lembra, revise os textos sobre Geometria Analítica . Assim, substituindo os elementos conhecidos na fórmula acima (equação 1), vem: (cosa - cosb) 2 + (sena - senb) 2 = 12 + 12 - 2.1.1.cos(a -b) Desenvolvendo, vem: cos2a - 2.cosa.cosb + cos 2b + sen2a - 2.sena.senb + sen 2b = 2 2coss(a - b) Lembrando que cos 2a + sen2a = cos2b + sen2b = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria), vem, substituindo: 1 + 1 - 2cosacosb - 2senasenb = 2 - 2cos(a - b) Simplificando, fica: -2[cosacosb + senasenb] = -2.cos(a - b) > Donde finalmente podemos escrever a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos a e b:

cos (a - b) = cosa . cosb + sena . senb Exemplo: cos (x - 90º) = cosx. cos90º + senx . sen90º Ora, como já sabemos que cos90º = 0 e sen90º = 1, substituindo, vem finalmente: cos(x - 90º) = senx. Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da diferença, teremos: cos(0 - b) = cos0 . cosb + sen0 . senb E como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:

cos(- b) = cosb INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 11 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Portanto: cos( - 60º ) = cos60º = 1/2, cos( - 90º) = cos90º = 0, cos ( -180º) = cos 180º = -1, etc. Se considerarmos a função y = cosx , como cos( - x ) = cosx , diremos então que a função cosseno é uma função par. Reveja o capítulo de funções. Para finalizar, tente simplificar a seguinte expressão: y = cos(x - 90º) - cos(x - 270º). Resposta: 2senx

Trigonometri a VI Adição e subtração de arcos 1. Vimos em Trigonometria V, a dedução da fórmula do cosseno da diferença de dois arcos. Apresentaremos a seguir, as demais fórmulas da adição e subtração de arcos sem as deduções, lembrando que essas deduções seriam similares àquela desenvolvida para cos (a – b), com certas peculiaridades inerentes a cada caso. 2. Sejam a e b dois arcos trigonométricos. São válidas as seguintes fórmulas, que devem ser memorizadas! Repito aqui, que uma das aparentes dificuldades da Trigonometria é essa necessidade imperiosa de memorização de fórmulas. Entretanto, a não memorização levaria a perda de tempo para deduzi-las durante as provas, o que tornaria a situação impraticável. Talvez, a melhor solução seria aquela em que os examinadores que elaboram os exames vestibulares inserissem como anexo de toda prova, um resumo das fórmulas necessárias à sua resolução, exigindo do candidato, apenas o conhecimento e o raciocínio necessários para manipulá-las algebricamente e, aí sim teria sido feito justiça! Fica a sugestão aos professores!. Eis as fórmulas, já conhecidas de vocês, assim espero. cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb cos(a + b) = cosa . cosb – sena . senb sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa

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Nota: nas duas fórmulas da tangente, sempre leve em conta a absoluta impossibilidade da divisão por zero! Fazendo a = b nas fórmulas da soma, vem: sen2a = 2sena. cosa cos2a = cos2a – sen2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2.sen2a

Trigonometria VII 1 - Multiplicação de arcos

Problema: Conhecendo-se as funções trigonométricas de um arco a , determinar as funções trigonométricas do arco n.a onde n é um número inteiro maior ou igual a 2. Usaremos as fórmulas das funções trigonométricas da soma de arcos para deduzi-las. 1.1 - Seno e cosseno do dobro de um arco

Sabemos das aulas anteriores que sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a = b, obteremos a fórmula do seno do dobro do arco ou do arco duplo: sen 2a = 2 . sen a . cos a Analogamente, usando a fórmula do cosseno da soma, que sabemos ser igual a cos(a + b) = cos a . cos b - sen a .sen b e fazendo a = b, obteremos a fórmula do cosseno do dobro do arco ou do arco duplo: cos 2a = cos2a - sen2a Da mesma forma, partindo da tangente da soma, obteremos analogamente a fórmula da tangente do dobro do arco ou do arco duplo:

A fórmula acima somente é válida para tga ≠ 1 e tga ≠ -1, já que nestes casos o denominador seria nulo! Lembre-se do 11º mandamento! NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO! Sabemos que a divisão por zero não é possível. Imagine dividir 2 chocolates por zero pessoas!!! INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 13 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Exemplos: sen4x = 2.sen2x.cos2x senx = 2.sen(x/2).cos(x/2) cosx = cos2(x/2) - sen2(x/2) cos4x = cos22x - sen22x, ... , etc. 2 - Divisão de arcos Vamos agora achar as funções trigonométricas da metade de um arco, partindo das anteriores. 2.1 - Cosseno do arco metade Ora, sabemos que cos2a = cos 2a - sen2a Substituindo sen2a, por 1 - cos 2a, já que sen2a + cos2a = 1, vem: cos2a = 2.cos2a - 1. Daí, vem: cos2a = (1+cos2a) / 2 Fazendo a = x/2, vem, cos 2(x/2) = [1+cosx]/2. Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco metade como:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2. 2.2 - Seno do arco metade Podemos escrever: cos2a = (1-sen 2a) - sen2a = 1 - 2sen 2a Daí vem: sen2a = (1 - cos2a)/2 Fazendo a = x/2 , vem: sen 2(x/2) = (1 - cosx) / 2. Podemos escrever então, a fórmula do seno do arco metade como segue:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2. 2.3 - Tangente do arco metade Dividindo membro a membro as equações 2.1 e 2.2 anteriores, lembrando que tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 14 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Exercício resolvido Simplifique a expressão y = cossec2a - cotg2a Solução: Sabemos que cossec2a = 1 / sen2a e cotg2a = cos2a / sen2a . Logo, y = (1/sen2a) - (cos2a/sen2a) Simplificando, vem: y = (1 - cos2a) / sen2a . Portanto,

Portanto, cossec2a - cotg2a = tga. Lembre-se que 1 - cos 2a = sen2a. Somente a título de ilustração, vamos ler a expressão resultado: A cossecante do dobro de um arco subtraída da cotangente do dobro do mesmo arco é igual à tangente do arco. Aqui pra nós: a linguagem simbólica não é muito mais fácil? 3 - Transformação de somas em produto

Vamos deduzir outras fórmulas importantes da Trigonometria. As fórmulas a seguir são muito importantes para a simplificação de expressões trigonométricas. Já sabemos que: sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a Somando membro a membro estas igualdades, obteremos: sen(a + b)+ sen(a - b) = 2.sen a . cos b. Fazendo a+b=p a-b=q teremos, somando membro a membro: 2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q) / 2 Agora, subtraindo membro a membro, fica: 2b = p - q, de onde tiramos b = (p - q) / 2 Daí então, podemos escrever a seguinte fórmula:

Exemplo: sen50º + sen40º = 2. sen45º.cos5º Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:


Exemplos: cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º cos 60º - cos 40º = -2.sen50º.sen10º sen 70º - sen 30º = 2.sen20º.cos50º.

Trigonometria VIII Exercícios Resolvidos 1) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então: a) senx = 0 b) cosx = 0 c) tgx = 1 d) sen2x = 1 e) tg2x = 1 Solução: Vamos usar as fórmulas de transformação em produto, vistas na aula anterior. Reveja as fórmulas se necessário, em Trigonometria VII. Teremos:

Simplificando, vem: 2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx. Ora, daí vem simplificando: sen2x = cos2x e, portanto, sen2x / cos2x = 1 ⇒ tg2x =1. Portanto a igualdade dada equivale à igualdade tg2x = 1. Logo, letra E. Nota: Lembre-se que sen h / cos h = tg h. 2) Determine o período da função y = sen20x. cos10x + sen10x.cos20x. Solução: Sabemos que sena.cosb+senb.cosa = sen(a+b). Logo, sen20x.cos10x+sen10x.cos20x = sen(20x+10x) = sen30x INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 16 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Portanto, a função dada é equivalente a y = sen30x. Mas, o período de uma função da forma y = senbx é dado por T = 2π / b. b. Logo, o período da função dada será: T = 2 π / 30 = π /15 radianos. Resposta: o período da função é igual π /15 rad. 3) Qual o valor máximo da função y = f(x) definida por:

Solução: Sabemos que cosx. cos4x - senx.sen4x = cos(x+4x) = cos5x Para concluir isto, basta lembrar da fórmula do cosseno da soma! Portanto, podemos escrever:

Para que y seja MÁXIMO, devemos ter 100+cos5x = MÍNIMO. É claro que isto ocorrerá para cos5x = -1. Logo, o valor máximo da função será: y = 100 / (100 - 1) = 100/99. Resposta: 100/99. 4) Seja dada a função y = f(x), definida por:

Nestas condições, pede-se calcular o valor de y = f(π /17). Solução: Vamos transformar em produto o denominador da função:

Mas, cos13x = cos (17x - 4x) = cos17x. cos4x cos 4x + sen17x.sen4x. Como x = π /17, vem imediatamente que 17x = π . Logo, substituindo vem: cos13x = cos π .cos4x + senπ .sen4x = -1.cos4x + 0.sen4x = - cos4x Já que cos13x = - cos4x , para x = π /17, substituindo, vem finalmente: y = - cos4x / (2.cos4x) = -1/2. Resposta: y = - 1/2. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 17 E-mail: colegiocascavelense@ [email protected]. yahoo.com.br. www.colegiocascavelense.com.br www.colegiocascavele nse.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Trigonometri a IX Período das funções trigonométricas Considere uma função y = f(x) de domínio D. Seja x ∈ D um elemento do domínio da função f. Consideremos um elemento p ∈ D. Se f(x+p) = f(x) para todo x ∈ D, dizemos que a função f é periódica. Ao menor valor positivo de p , denominamos período da função f. Complicado? Não! Veja o exemplo abaixo: Seja y = f(x) = senx Temos que f(x+2 π ) = sen(x+2π ) = senx.cos2π + sen2π .cosx =senx .1 + 0.cosx = senx ou seja, f(x+2π ) = f(x). Portanto, sen(x+2 π ) = senx Da definição acima, concluímos que o período da função y = senx é igual a 2π radianos. Analogamente, concluiríamos que: O período da função y = cosx é 2 π radianos. O período da função y = secx é 2 π radianos. O período da função y = cosecx é 2 π radianos. O período da função y = tgx é π radianos. O período da função y = cotgx é π radianos. As afirmações acima equivalem às seguintes afirmações: cos (x+2π ) = cosx| sec(x+2π ) = secx cosec(x+2π ) = cosecx tg(x+π ) = tgx cotg(x+π ) = cotgx De uma forma genérica, poderemos dizer que o período T da função y = a+b.sen (rx + q) é dado por:

Observe que somente o coeficiente de x tem influencia para o cálculo do período da função. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 18 E-mail: colegiocascavelense@ [email protected]. yahoo.com.br. www.colegiocascavelense.com.br www.colegiocascavele nse.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

A fórmula acima aplica-se também para o caso da função y = a + b.cos(rx+q). No caso das funções y = a + b.tg(rx+q) ou y = a + b.cotg(rx+q) a fórmula a ser aplicada para o cálculo do período T é:

Exemplos: Determine o período das seguintes funções trigonométricas: a) y = sen (2x - 45º) Resposta: T = 2 π /2 = π radianos b) y = 2. cos(3x+45º) Resposta: T = 2 π /3 rad = 120º . (Lembre-se que π rad = 180º). c) y = 5 + 10. cos( π x + 2) Resposta: T = 2 π /π = 2 rad d) y = tg (2x - π ) Resposta: T = π /2 rad e) y = sen2x. cos4x + sen4x.cos2x Resposta: A função pode ser escrita como y = sen(2x+4x) = sen6x Logo, T = 2 π /6 = π /3 rad ou 60º. f) y = senx + cosx Resposta: Antes de aplicar a fórmula do período, temos que transformar a soma do segundo membro, num produto. Logo, y = senx + sen(90º - x) Observe que sen(90º-x) = sen90º.cosx - senx.cos90º = cosx. Logo, a função dada poderá ser escrita como, usando a fórmula de transformação da soma de senos em produto.

Portanto o período procurado será T = 2 π /1 = 2π rad. Agora resolva estes: Determine o período das seguintes funções: a) y = sen10x Resposta: T = π /5 rad. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 19 E-mail: colegiocascavelense@ [email protected]. yahoo.com.br. www.colegiocascavelense.com.br www.colegiocascavele nse.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

b) y = 1 + cos(2x+ π /4) Resposta: T = π rad. c) y = sen(x/3) + cos(x/2) Resposta: T = 12 π rad.

Exercícios Resolvidos de Trigonometria 1 - (UNI-RIO) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale: a) 11 / 24 b) - 11 / 24 c) 3 / 8 d) - 3 / 8 e) - 3 / 10 Solução: Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos então, aplicando a lei dos cossenos: 62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos b ∴ 36 - 9 - 16 = - 24 . cos β ∴ cos β = 11 / 24 e, portanto, a alternativa correta é a letra B. Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam. 2 - (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar que A = (cosx - cosy) 2 + (senx + seny)2 é igual a: a) 0 b) 1/2 c) 3/2 d) 1 e) 2 Solução: Desenvolvendo os quadrados, vem: A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos 2 y + sen2 x + 2 . senx . seny + sen2 y Organizando convenientemente a expressão, vem: A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 20 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

seny A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny Como os arcos são complementares, isto significa que x + y = 90º ∴ y = 90º - x. Substituindo, vem: A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x) Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos que o seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o cosseno de um arco é igual ao seno do seu complemento. Logo, substituindo, fica: A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosx A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta é a letra E. 3 - Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3. Solução: Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:

Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx ∴ senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos que sen 2x = 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem: (sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3. Resposta: 2 / 3 4 - (ITA - 96) Seja α ∈ [0, π /2], tal que sen α + cos α = m . Então, o valor de

é: a) 2(m2 - 1) / m(4 - m 2) b) 2(m2 + 1) / m(4 + m 2) c) 2(m2 - 1) / m(3 - m 2) d) 2(m2 - 1) / m(3 + m 2) e) 2(m2 + 1) / (3 - m 2) Solução: Quadrando ambos os membros da expressão dada, vem: (sen α + cos α )2 = m2 . Desenvolvendo, fica: INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 21 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

sen2 α + 2 . sen α . cos α + cos2 α = m2 Simplificando, vem: 1 + 2 . sen α . cos α = m2 ∴ 1 + sen 2α = m2 e, portanto, sen 2α = m2 - 1 Seguindo o mesmo raciocínio, vamos elevar ambos os membros da expressão dada ao cubo: Lembrete: (a + b) 3 = a3 + b3 + 3(a +b) . ab Logo: (sen α + cos α )3 = m3 . Desenvolvendo, vem: sen3 α + cos3 α + 3 (sen α + cos α ) (sen α . cos α ) = m3 Lembrando que sen α + cos α = m e sen α . cos α = sen 2α / 2, e substituindo, fica: sen3 α + cos3 α = m3 - 3 (m) . (m 2 - 1) / 2 Substituindo esses valores encontrados na expressão dada, teremos então:

E, portanto, a alternativa correta é a letra C.

Funções Trigonométricas Inversas 1 – Função arco seno Considere a função y = senx. Sabemos que para achar a inversa, basta permutar x por y e vice-versa. Nestas condições a inversa será x = seny. Entretanto, sabemos do estudo geral das funções, que a inversa de uma função será também uma função se e somente se a função dada for bijetora. Como sabemos que a função y = senx não é bijetora em R, (se necessário, revise esse conceito no capítulo Funções) , para que a sua inversa seja também uma função, deveremos definir um intervalo na qual a função seno seja bijetora. Este intervalo é: [-π /2, π /2] Assim, a função f: [- π /2, π /2] → [-1, 1] definida por y = senx é bijetora. Então, a inversa x = seny terá domínio [-1, 1] e conjunto imagem [π /2, π /2] e, neste caso, será também uma função. A igualdade x = seny costuma ser escrita como y = arcsenx que lêse: y é o arco cujo seno é x. Em resumo: y = arcsenx para -1 £ x ≤ 1 e -π /2 ≤ x ≤ π /2. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 22 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Nunca esqueça que y = arcsenx ⇔ seny = x, considerando-se as limitações para x e y impostas acima. Exemplos: a) sen π /6 = 1/2 ⇔ π /6 = arcsen (1/2) b) sen π = 0 ⇔ π = arcsen 0 c) sen 0 = 0 ⇔ 0 = arcsen 0 (lê-se: 0 é o arco cujo seno é 0). Exercício Resolvido Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x? Solução: Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem: Para x: -1 ≤ 4x ≤ 1 ⇒ -1/4 ≤ x ≤ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4]. Para y: Da definição vista acima, deveremos ter - π /2 ≤ y ≤ π /2. Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-π /2, π /2]. Analogamente definiríamos as funções arco coseno e arco tangente . 1. Função arco coseno y = arccosx ⇔ x = cosy, para 0 ≤ y ≤ π e –1 ≤ x ≤ 1. Exemplo: cos 60º = 1/2, logo 60º = arccos 1/2 (Obs: 60º = π /3 rad) 2. Função arco tangente y = arctgx ⇔ x = tgy , para - π /2 < y < π /2 e x ∈ R. Exemplo: tg 45º = 1, logo 45º = arctg 1 (Obs: 45º = π /4 rad) Exercícios Resolvidos:

1. Calcule y = tg(arcsen 2/3) Solução: Seja w = arcsen 2/3. Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem: sen2w + cos2w = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria). Substituindo o valor de senw vem: (2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos 2w = 1 – 4/9 = 5/9. Logo: cosw = ± √ 5 / 3. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de –90º a +90º, intervalo no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +√ 5 /3. Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / ( √ 5/3)] = 2/√ 5 Racionalizando o denominador, vem finalmente y = (2 √ 5)/ 5 que é o valor de y procurado. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 23 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

2. Calcular o valor de y = sen (arc tg 3/4). Solução: Seja w = arc tg 3/4. Podemos escrever: tgw = 3/4 ⇒ senw / cosw = 3/4 ⇒ senw = (3/4).cosw Da relação fundamental da Trigonometria, sen 2w + cos2w = 1, vem, substituindo o valor de senw: [(3/4).cosw]2 + cos2w = 1 ∴ 9/16.cos2w + cos2w = 1 ∴ 25/16 . cos2w =1 cos2w = 16/25 ⇒ cosw = ± 4/5. Como w = arctg 3/4, sabemos da definição da função arco tangente que w varia no intervalo –90º a +90º , intervalo no qual o coseno é positivo. Logo, cosw = + 4/5. Mas, senw = (3/4). cosw = (3/4).(4/5) = 3/5 , e portanto: y = sen(arctg 3/4) = senw = 3/5, que é a resposta procurada. Agora resolva os seguintes: 1) Qual o domínio da função y = arccos (1 – logx)? 2) Resolver a equação: arcsenx = 2 arccosx Respostas: 1) D = [1,100]

2) x = √ 3/2.

Teorema dos Senos - TS

Considere a figura abaixo, onde vemos um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio R. Observe que também podemos dizer que a circunferência está circunscrita ao triângulo ABC. Na figura acima, temos: AH = diâmetro da circunferência = 2R (R = raio) AO = OH = raio da circunferência =R Medidas dos lados do triângulo ABC: AB = c, BC = a e AC = b. Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar observando que os ângulos H e B são congruentes ou seja possuem a mesma medida, pois ambos estão inscritos no mesmo arco CA. Além disso, podemos afirmar que INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 24 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

o ângulo ACH é reto (90º), pois AH é um diâmetro. Portanto o triângulo ACH é um triângulo retângulo. Podemos então escrever: sen H = sen B = cateto oposto / hipotenusa = AC / AH = b/2R Logo, fica: sen B = b / 2R e, portanto, b/senB = 2R. Analogamente chegaríamos às igualdades c/senC = 2R a/senA = 2R Como estas três expressões são todas iguais a 2R, poderemos escrever finalmente:

Esta expressão mostra que as medidas dos lados de um triângulo qualquer são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a estes lados, sendo a constante de proporcionalidade igual a 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Este é o teorema dos senos – TS. O teorema dos senos visto acima, permite a dedução de uma importante fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer. Seja o triângulo ABC da figura abaixo, de altura h. Sabemos que a área de um triângulo é igual ao semiproduto da base pela altura: S = 1/2 . base . altura . Logo, S = 1/2 . a . h

Mas, no triângulo retângulo CAH, podemos escrever: sen C = cateto oposto/hipotenusa = h/b ⇒ h = b.senC Substituindo na fórmula da área acima, vem: S = 1/2.a.b.senC


Mas, sabemos do teorema dos senos que c/senC = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Logo: senC = c / 2R Portanto, S = 1/2.a.b.c/2R = abc/4R. Temos então a seguinte fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer:

onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo e R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo e S a área do triângulo. Já sabemos da Geometria Plana, que a área de um triângulo ABC, cujos lados medem respectivamente a, b e c, é dada pela fórmula: onde p é o semiperímetro do triângulo ou seja: p = (a+b+c) / 2 Esta fórmula é conhecida comumente como Fórmula de Heron. Heron de Alexandria – célebre geômetra grego. Viveu no século 1º da era cristã. Assim, substituindo o valor de S da fórmula anterior, na fórmula S=abc/4R, encontraremos uma fórmula útil para o cálculo do raio da circunferência circunscrita a um triângulo qualquer de lados a, b e c: Temos: S = abc / 4R ⇒ R = abc / 4S Portanto,

Onde p, conforme vimos acima é o semiperímetro dado por p = (a+b+c)/2. Exemplo de aplicação: Vestibular da Univ. Federal do Ceará/1990 Seja R o raio do círculo circunscrito ao triângulo cujos lados medem 10m, 17m e 21m. Determine em metros, o valor de 8R. Solução: Temos: a = 10, b = 17 e c = 21 ⇒ p = (10+17+21) / 2 = 24 Portanto, substituindo diretamente na fórmula acima, fica:

Como o problema solicita o valor de 8R, vem: 8R = 8.170/16 = 170/2 = 85. Portanto, 8R = 85, que é a resposta do problema. Resposta: 85m INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 26 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Teorema dos Cossenos - TC

Considere o triângulo ABC na figura abaixo: AH = altura do triângulo em relação à base CB. Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a. Podemos escrever no triângulo AHB: AH2 + HB2 = c2 (Teorema de Pitágoras). Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo AHC:

b2 = CH2 + AH2 Mas, CH = CB – HB = a – HB Portanto: b2 = (a - HB)2 + AH2 b2 = a2 – 2.a.HB + HB2 + AH2 Observe que HB2 + AH2 = AB2 = c2 Então fica: b2 = a2 + c2 – 2.a.HB No triângulo retângulo AHB, podemos escrever: cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c Daí, HB = c.cosB Substituindo, fica: b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cosB Da fórmula acima, concluímos que num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam. Isto é o Teorema dos cossenos – TC. Analogamente, poderemos escrever: a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC Em resumo: a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC

Exemplo 1: Num triângulo dois lados de medidas 4 cm e 8 cm formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do outro lado? Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos: x2 = 42 + 82 – 2.4.8.cos60º = 16 + 64 – 2.4.8.(1/2), já que cos60º = 1/2. x2 = 16 + 64 – 32 = 48 = 16.3; logo, poderemos escrever: INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 27 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

x2 = 42.3 ⇒ x =4√ 3 cm Exemplo 2: Determine o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R.

R = raio do círculo. Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado PQ do hexágono regular será dado pelo teorema dos cossenos por: PQ2 = R2 + R2 – 2.R.R.cos60º = 2R2 – R2 (Obs: cos60º = 1/2) PQ2 = R2, de onde conclui-se: PQ = R. CONCLUSÃO: A medida do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R é igual a R. Esta é uma propriedade importantíssima dos hexágonos regulares. Vale a pena memorizar esta propriedade dos hexágonos regulares.

Teorema das Áreas- TA Sabemos de aula anterior, Teorema dos Senos que a área S de um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio R e cujos lados medem a, b e c é dada pela fórmula: S = abc /4R Sabemos também, da teoria exposta no mesmo arquivo anterior, que c/senC = 2R (Teorema dos senos – TS). Podemos então dizer que c = 2R.senC Substituindo na fórmula da área acima, vem: S = a.b.2R.senC / 4R , que simplificada fica: S = (1/2).ab.senC , onde C é o ângulo formado pelos lados de medidas a e b . Portanto, a área de um triângulo qualquer é igual ao semi-produto das medidas de dois lados pelo seno do angulo que eles formam entre si. Isto é o Teorema das áreas - TA. Genericamente, podemos escrever a fórmula acima em função de qualquer par de medidas dos lados a saber: INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 28 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Exemplo : Dois lados de um triângulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um angulo de 30º. Qual a área desse triângulo? Solução: S = (1/2).10.20.sen30º = (1/2).10.20.(1/2) = 50cm 2 Obs: sen30º = 0,5 = 1/2 Repetindo: a área de qualquer triângulo é igual a metade do produto de dois lados pelo seno do angulo que eles formam.

Um produto de senos e cossenos Simplifique a expressão E = 8 . sen10º . cos20º . sen50º ? Solução: Sabemos que : sen(a+b) = senacosb + senbcosa sen(a-b) = senacosb – senbcosa Somando membro a membro, vem: sen(a+b) + sen(a-b) = 2senacosb Daí, vem: sena.cosb = 1/2 [sen(a+b) + sen(a-b)] Portanto: sen10º . cos20º = 1/2 [sen(10º + 20º) + sen(10º - 20º)] sen 10º . cos 20º = 1/2 [sen 30º + sen (- 10º)] sen 10º . cos 20º = 1/2 [1/2 – sen 10º] Obs: sen( - 10º ) = - sen 10º Substituindo na expressão dada, vem: E = 8 . {1/2 [1/2 – sen 10º]}. sen 50º E = 8 . [1/4 – (sen 10º)/2] . sen 50º E = [2 – 4.sen 10º] . sen 50º E = 2.sen50º - 4.sen 10º . sen 50º (Eq. 1) Mas, sena . senb = 1/2 [cos(a-b) – cos(a+b)] Logo: sen10º . sen50º = 1/2 [cos(10º - 50º) – cos(10º + 50º)] sen10º . sen50º = 1/2 [ cos40º - cos60º ] Obs: cos(-40º) = cos40º , pois a função coseno é par ou seja f(-x) = f(x) para todo x. Substituindo na Eq. (01) acima, vem: INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 29 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

E = 2.sen50º - 4(1/2[cos40º - cos60º]) E = 2.sen50º - 2.cos40º + 1 (Obs: cos60º = 1/2) E = 2(sen50º - cos40º) + 1 Como 50º e 40º são ângulos complementares, vem que sen50º = cos40º Daí vem, finalmente: E = 2.0 + 1 Portanto, E = 1. E = 8.sen10º.cos20º.sen50º = 1 E=1

Dois problemas de Trigonometria Dada a função f : R → R, definida por f(x) = 2sen2x – cos2x, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para cada afirmação a seguir: 1 - f é uma função par 2 - f é uma função ímpar 3 - o período de f é π rad 4 - f não é par e não é periódica 5 - f(π ) = 1 Resposta: FFVFF Solução: 1. f é uma função par (valor lógico F) Sabemos que uma função y = f(x) é PAR, quando f(-x) = f(x), para todo x pertencente ao seu domínio. Teremos, substituindo x por –x na lei que define a função: f(-x) = 2sen(-2x) – cos(-2x) Da teoria, sabemos que a função seno é ímpar e que a função cosseno é par. Logo: f(-x) = -2sen2x – cos2x = - (2sen2x +cos2x) Portanto, f(-x) ≠ f(x); a função f não é par . 2. f é uma função ímpar (valor lógico F) Uma função y = f(x) é ÍMPAR, quando f(-x) = - f(x), para todo x pertencente ao seu domínio. Do item anterior, sabemos que f(-x) = 2sen2x – cos2x Como f(x) = 2sen2x – cos2x, vem que – f(x) = -2sen2x + cos2x Logo, f(-x) ≠ - f(x); a função, então, não é ímpar. 3. O período de f é rad (valor lógico V) Temos f(x) = 2sen2x – cos2x . Uma função y = f(x) é periódica de período T, quando f(x + T) = f(x) , para todo x pertencente ao seu domínio. Logo, para verificar se a INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 30 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

função f tem período π , basta calcular f(x+ π ) e, comparar com f(x). Temos: f(x + π ) = 2sen2(x+π ) – cos2(x + π ) = 2sen(2x + 2 π ) – cos(2x + 2π ) = 2sen2x – cos2x , que é exatamente igual a f(x). Logo, a função é periódica de período π rad. Nota: as funções seno e cosseno são periódicas de período 2π rad, ou seja: sen(a + 2π ) = sena e cos(a + 2 π ) = cosa 4. f não é par e não é periódica (valor lógico F) Dos itens 01 e 03, concluímos que a afirmação 4 é falsa, pois trata-se de uma conjunção onde uma proposição é verdadeira (f não é par) e a outra também é falsa (f não é periódica; acabamos de ver, que f tem período π rad). Sempre é bom rever: veja os arquivos de Lógica Matemática nesta página!. 5. f( ) = 1 (valor lógico F) Temos f(x) = 2sen2x – cos2x Logo, f(π ) = 2sen2π - cos2π = 2.0 – 1 = -1 Portanto, a afirmação 5 é falsa. Determine o período e o valor máximo da função y = 2sen2x – cos2x.

Solução: Para a determinação do período de uma função do tipo y = psenx + qcosx, é sempre conveniente construir um triângulo retângulo. Acompanhe com atenção: Construa um triângulo de lados 1 e 2. Claro que a hipotenusa vale √ 5, pelo teorema de Pitágoras. Seja θ o ângulo oposto ao lado de medida 1. Podemos escrever: (Pegue agora uma folha de papel em branco e faça a figura); você desejaria a figura pronta, não é? Mas, é muito importante que você a construa, para acompanhar a solução. Acho que é melhor assim, para um perfeito entendimento. Daí, poderemos escrever: senθ = 1/√ 5 (cateto oposto dividido pela hipotenusa} cosθ = 2/√ 5 (cateto adjacente dividido pela hipotenusa) Das expressões acima, vem que: 1 = senθ .√ 5 2 = cosθ .√ 5 Ora, f(x) = 2sen2x – cos2x = 2.sen2x – 1.cos2x Substituindo os valores acima, vem: f(x) = cosθ .√ 5.sen2x - senθ .√ 5.cos2x = √ 5(cosθ .sen2x - senq .cos2x) Observando cuidadosamente a expressão acima, perceberemos que o INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 31 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

segundo fator da multiplicação (em azul) é exatamente o seno da diferença de dois arcos. Vem então: f(x) = √ 5[sen(2x - θ )] Como o período da função y = a . sen(bx ± c) é igual a T = 2 π /b, vem que: T = 2π /2 = π rad. Para calcular o valor máximo da função, sabendo que f(x) = √ 5[sen(2x + θ )], fica muito fácil. Como o valor máximo da função seno é igual a 1, vem finalmente que: f(x)max = √ 5 . 1 = √ 5 Respostas: período = π rad valor máximo = √ 5

Três exercícios de Trigonometria 1 – Dada a função:

f(x) = sen6x + cos6x – 2sen4x – cos4x + sen2x, pede-se calcular o valor de

. Solução: Vamos inicialmente, simplificar a expressão que define a função dada. Temos: f(x) = sen6x + cos6x – 2sen4 x – cos4 x + sen2x Arrumando convenientemente, vem: f(x) = sen6x – 2sen4x + sen2x + cos6x – cos4x Fatorando a expressão convenientemente em relação a senx e cosx, vem: f(x) = sen2x (sen4x – 2sen2x + 1) + cos 4x(cos2x – 1) Observe que: sen4x – 2sen2x + 1 é igual a: (sen2x – 1)2. Nota: Lembre-se que p2 – 2pq + q2 = (p – q)2 [produto notável]. Daí, substituindo, vem: f(x) = sen2x(sen2x – 1)2 + cos4x(cos2x - 1) INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 32 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Mas, sabemos da Trigonometria, que: sen2x + cos2x = 1 (Relação Fundamental) Portanto: sen2x = 1 – cos 2x = - (cos2x – 1) \ cos 2x – 1 = - sen2x cos2x = 1 – sen2x = - (sen2x – 1) ∴ sen2x – 1 = - cos 2x Substituindo na expressão da função, vem: f(x) = sen2x[- cos2x]2 + cos4x (- sen2x) f(x) = sen2x . cos4x – cos4x . sen2x f(x) = sen2x.cos4x – cos4x . sen2x = sen2x.cos4x – sen2x.cos4x = zero. Ora, f(x) é então igual a zero, independente do valor de x. Portanto:

E, portanto, a soma indicada é nula ou seja:

Resposta: 0 2 – Calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco cujo quadrado da tangente vale 2. Solução: Seja x o arco. Teremos: tg2x = 2 Desejamos calcular 3.cos2x, ou seja, o triplo do quadrado do coseno do arco. Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg 2x = sec2x Portanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec 2x = 3 Como sabemos que: secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem: sec2x = 1/ cos2x ∴ cos2x = 1/sec2x = 1/3 ∴ 3cos2x = 3(1/3) = 1 Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente vale 2, é igual à unidade. Resposta: 1 Agora resolva este: Se a . senx – cosx = 1 e b . senx + cosx = 1, calcule o produto a.b Resposta: 1


Três círculos tangentes entre si Determine o diâmetro X na figura abaixo, sabendo-se que os três círculos são tangentes entre si.

Solução: Observando atentamente a figura abaixo, podemos escrever:

No triângulo isóscele ABC, teremos aplicando a lei dos cossenos: BC2 = AB2 + AC2 - 2. AB. AC. cos(BÂC) (2r)2 = (50 - r)2 + (50 - r) 2 - 2.(50 - r).(50 - r) . cos 120º Nota: cos 120º = - 1 / 2. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 34 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

4r2 = (50 - r) 2 + (50 - r) 2 + (50 - r) 2 4r2 = 3(50 - r)2 4r2 / 3 = (50 - r) 2 (2r / √ 3)2 = (50 - r) 2 2r / √ 3 = 50 - r 2r = 50√ 3 - √ 3.r 2r + √ 3.r = 50.√ 3 r(2 + √ 3) = 50. √ 3 Daí, vem: r = 50. √ 3 /(2 + √ 3) Racionalizando o denominador, vem: r = 50(2√ 3 - 3) O diâmetro, sendo o dobro do raio, vem, finalmente: X = 100(2√ 3 - 3) Portanto, o diâmetro procurado é igual a X = 100(2 √ 3 - 3) mm, que corresponde a aproximadamente 46,41 mm. Uma soma de senos UFPE 1996 - Determine a menor solução real da equação:

Solução: Lembrando da fórmula de transformação de soma em produto vista em Trigonometria, vem: sen p + sen q = 2.sen [(p + q)/2] . cos [(p - q) / 2] Fazendo p = π x / 423 e q = 2 π x / 423 e substituindo na fórmula acima, obteremos: sen(π x / 423) + sen(2 π x / 423) = 2.sen[3 π x / 423)/2].cos[( π x / 423)/2] Voltando à expressão dada, substituindo fica: 2.sen(3π x / 846).cos( π x / 846) = cos( π x / 846) Simplificando o fator comum, vem: 2.sen(3π x / 846) = 1 sen(3π x / 846) = 1/2 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 35 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Mas, 1/2 = sen π /6; logo, substituindo fica: sen(3π x / 846) = sen( π /6) Portanto, o menor valor positivo de x será obtido da igualdade 3π x / 846 = π / 6 Se a/b = c/d, sabemos pela propriedade fundamental das proporções que ad = bc. Portanto: (3π x).6 = 846.π Resolvendo em relação a x, obteremos x = 47, que é a resposta da questão.

Equações Trigonométricas I 1 – Introdução: as equações elementares Equação trigonométrica elementar, é qualquer equação da forma sen x = sen a , cos x = cos a e tg x = tg a, onde x é um arco trigonométrico incógnita – a ser determinado – e a um arco trigonométrico qualquer. Via de regra, qualquer equação trigonométrica não elementar, pode ser transformada numa equação elementar, através do uso das relações trigonométricas usuais. Nota: os arcos a e a + k.2 π onde k é um número inteiro, possuem as mesmas extremidades inicial e final, pois diferem entre si, por um número inteiro de voltas, ou seja: a + k.2π

a = k.2

Este resultado é importante e, será utilizado para desenvolvimento do item 1.1 a seguir. Observação: 2π = 360º = uma volta completa. Para a solução das equações trigonométricas elementares, vamos estabelecer as relações fundamentais a seguir: 1.1 – Arcos de mesmo seno Já sabemos que sen (π

a) = sen a.

Usando o conceito contido na nota acima, sendo x um arco trigonométrico, as soluções gerais da igualdade acima serão da forma: x = (π - a) + k.2π ou x = a + k.2π . INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 36 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

x = π + 2k. π - a ou x = a + k.2π x = (2k + 1)π - a ou x = 2k π + a Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo sen x = sen a , será x = (2k + 1) - a ou x = 2k + a. Exemplo: seja a equação elementar sen x = 0,5 . Como 0,5 = sen 30º = sen π /6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima: sen x = sen π /6, de onde conclui-se: x = (2k + 1).π - π /6 ou x = 2k π + π /6, com k inteiro, que representa a solução genérica da equação dada. Fazendo k variar no conjunto dos números inteiros, obteremos as soluções particulares da equação. Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por mera substituição na solução genérica encontrada acima, x = - π /6 ou x = π /6; fazendo k = 1, obteremos x = 17π /6 ou x = 13 π /6, e assim sucessivamente. Observe que a equação dada, possui um número infinito de soluções em R – conjunto dos números reais. Poderemos escrever o conjunto solução da equação dada na forma geral: S = {x| x∈R; x =(2k + 1)π - π /6 ou x = 2k π + π /6, k ∈ Z} Poderemos também listar os elementos do conjunto solução:

S = { ..., - π /6, π /6, 17π /6, 13π /6, ... } 1.2 – Arcos de mesmo cosseno Já sabemos que cos (-a) = cos a. Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima: x = (-a) + 2k π ou x = a + 2k π , sendo k um número inteiro. Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo cos x = cos a , será dada por: x = 2k + a ou x = 2k - a, sendo k um inteiro. 1.3 – Arcos de mesma tangente Já sabemos que tg( + a)= tg a. Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima: x = (π + a) + 2k π ou x = a + 2k π Arrumando convenientemente, podemos escrever: x = (2k + 1)π + a ou x = 2k π + a, sendo k um número inteiro. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 37 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Observando que 2k é um número par e 2k + 1 é um número ímpar, para k inteiro,percebemos que poderemos reunir as duas expressões acima numa única: x = k π + a. Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo tg x = tg a , será dada por x = k + a . Assim, teremos em resumo: sen x = sen a x = (2k + 1) cos x = cos a

x = 2k

- a ou x = 2k

+ a ou x = 2k

+a

-a

tg x = tg a x = k + a sendo k um número inteiro. Nota: O símbolo significa: equivale a.

O uso das igualdades acima, permite resolver qualquer equação trigonométrica elementar que possa ser apresentada. Como qualquer equação trigonométrica pode ser reduzida a uma equação elementar através de transformações trigonométricas convenientes, as igualdades acima são básicas para a resolução de qualquer equação trigonométrica. Este é um aspecto muito importante. 2 – Equações trigonométricas resolvidas Resolva as seguintes equações trigonométricas: a) 2cosx – 3secx = 5 Solução: Lembrando que secx = 1/cosx, vem, por substituição: 2.cosx – 3.(1/cosx) – 5 = 0 2.cosx – 3/cosx – 5 = 0 Multiplicando ambos os membros por cosx ≠ 0, fica: 2.cos2x – 3 – 5.cosx = 0 Arrumando convenientemente, teremos: 2.cos2x – 5.cosx – 3 = 0. Vamos resolver a equação do segundo grau em cosx. Teremos:

Portanto, cosx = 3 ou cosx = -1/2. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 38 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

A equação cosx = 3 não possui solução, já que o cosseno só pode assumir valores de –1 a +1. Já para a equação cosx = -1/2, teremos: cosx = -1/2 = cos120º = cos (2 π /3) Logo, cosx = cos(2 π /3) Do resultado obtido no item 1.2 acima, poderemos escrever as soluções genéricas da equação dada: x = 2k π + 2π /3 ou x = 2k π - 2p/3 Estas soluções podem ser reunidas na forma: x = 2k π ± 2π /3. Logo, o conjunto solução da equação proposta será: S = {x | x = 2k

2

/3, k inteiro}.

b) 5tg2x – 1 = 7 secx Resposta: x = k π ou x = k π + π /4. c)3.senx - √3.cosx = 0 Solução: Teremos: 3. senx = √3. cosx Dividindo ambos os membros por cosx ≠ 0, fica: 3.senx/cosx = √3.cosx/cosx = √3. 3.tgx = √3 tgx = √3/3 = tg30º = tg( π /6) Vamos então resolver a equação elementar tgx = tg(π /6) Do exposto no item 1.3 acima, vem imediatamente que: x = k π + π /6. d) √3.senx – cosx = 0. Resposta: x = k π + π /6. e) tgx + cotgx = 2 Solução: Substituindo tgx e cotgx pelos seus valores expressos em função de senx e cosx, vem: senx/cosx + cosx/senx = 2 Efetuando a operação indicada no primeiro membro, vem: (sen2x + cos2x)/(senx.cosx) = 2 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 39 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Como sen2x + cos 2x = 1, fica: 1/senx.cosx = 2 1 = 2.senx.cosx 1 = sen2x sen2x = 1 = sen90º = sen( π /2). sen2x = sen( π /2) Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1, vem: 2x = (2k+1)π - π /2 OU 2x = 2k π + π /2. Dividindo ambas as expressões por 2, fica: x = (2k+1).π /2 - π /4 OU x = k π + π /4. Simplificando a primeira expressão, vem: x = k π + π /4 OU x = k π + π /4. Portanto, x = k π + π /4, que é a solução procurada. f) tgx + cotgx = 4/ √3 Resposta: x = k π + π /3 OU x = k π + π /6. g) 4(sen3x – cos3x) = 5(senx – cosx) Solução: Lembrando da identidade: A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2), poderemos escrever:

4(senx – cosx)(sen 2x + senx.cosx + cos 2x) = 5(senx - cosx) Como sen2x + cos 2x = 1, vem, substituindo: 4(senx – cosx)(1 + senx.cosx) = 5(senx – cosx) Simplificando os termos em comum, vem: 4(1 + senx.cosx) = 5 1 + senx.cosx = 5/4 senx.cosx = 5/4 – 1 = 5/4 – 4/4 = 1/4 senx.cosx = 1/4 Multiplicando ambos os membros por 2, fica: 2.senx.cosx = 2(1/4) 2.senx.cosx = 1/2 Como já sabemos da Trigonometria que 2.senx.cosx = sen 2x , vem: sen2x = 1/2 = sen30º = sen( π /6) sen2x = sen( π /6) Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1 acima, fica: 2x = (2k+1)π - π /6 OU 2x = 2k π + π /6 Dividindo ambas as expressões por 2, vem: x = (2k+1).π /2 - π /12 OU x = k π + π /12 Simplificando a primeira expressão, fica: INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 40 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

x = k π + 5π /12 OU x = k π + π /12, que é a solução procurada. Portanto, S = {x | x = k π + 5π /12 ou x = k π + π /12, k inteiro}. h) Resolva a mesma equação anterior, no conjunto universo U = [0, π /2]. Resposta: S = {5 π /12, π /12}. Nota: basta atribuir valores inteiros a k na solução geral vista no exercício anterior e considerar apenas aqueles resultados compreendidos no intervalo dado [0, π /2]. Existem diversos tipos de equações trigonométricas, sendo impossível aborda-las num único arquivo, motivo pelo qual, prometemos voltar ao assunto. Afirmamos entretanto, que qualquer que seja a equação trigonométrica dada, através de transformações convenientes, sempre recairemos numa equação elementar, dos tipos vistos nos itens 1.1, 1.2 e 1.3 acima.

Equações Trigonométricas II FUVEST – O conjunto solução da equação

é:

A) {π /2 + k π ; k ∈ Z} B) {π /4 + k π ; k ∈ Z} C) {k π ; k ∈ Z} D) {k π /2; k ∈ Z} E) {k π /4; k ∈ Z} Solução: Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus obteremos: -sen2x.senx.senx + sen2x.cosx.cosx = 0 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 41 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

sen2x.cosx.cosx – sen2x.senx.senx = 0 Colocando sen2x em evidencia, vem: sen2x(cosx.cosx – senx.senx) = 0 sen2x.(cos2x – sen2x) = 0 Lembrando da Trigonometria que cos2x – sen2x = cos2x, vem: sen2x.cos2x = 0 Deveremos ter então: sen2x = 0 OU cos2x = 0. Para resolver equações trigonométricas desse tipo, onde o segundo membro é nulo, poderemos raciocinar da seguinte forma: O seno de um arco se anula para os arcos da forma k π , onde k é um número inteiro, ou seja, para os arcos: 0, π , 2π , ... Portanto, para que tenhamos sen2x = 0, deveremos ter 2x = k π , de onde vem imediatamente que x = k π /2, com k ∈ Z. Analogamente, sabemos que o cosseno de um arco se anula para os arcos da forma k π + π /2, onde k é um número inteiro, ou seja, para os arcos π /2, 3π /2, ... Assim, para que tenhamos cos2x = 0, deveremos ter 2x = k π + π /2, de onde vem imediatamente que x = k π /2 + π /4, com k ∈ Z. Teremos então, que as soluções procuradas serão: x = k /2 OU x = k /2 +

/4, com k

Z.

Atribuindo valores inteiros a k em ambas soluções, obteremos: k = 0 ⇒ x = 0 ou x = π /4 k = 1 ⇒ x = π /2 ou x = 3π /4 k = 2 ⇒ x = π ou x = 5π /4 ............................ ............................ Resumidamente e ordenadamente, teremos que x assumirá os valores: ..., 0, π /4, π /2, π , 3π /4, 5π /4, ... Observe que estes arcos são da forma k π /4, com k ∈ Z; portanto, a alternativa correta é a de letra E. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 42 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Uma torre sob vários ângulos O ângulo sob o qual um observador vê uma torre, duplica quando ele se aproxima 110 metros e triplica quando se aproxima mais 50 metros. Pede-se calcular a altura da torre. Solução: Considere a figura abaixo, construída obedecendo os dados do problema, ou seja: o ângulo inicial x, duplica (2x) quando o observador se aproxima 110 m e triplica (3x) quando ele se aproxima mais 50 m. Se necessário comece revisando Trigonometria.

<> Observe inicialmente o triângulo ABE. Como o ângulo externo
Pela simples observação do triângulo retângulo BDE, poderemos escrever: sen 2x = DE / BE = h / 110 ∴ h = 110.sen 2x onde h é a altura procurada. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 43 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Vamos agora aplicar a lei dos senos ao triângulo BCE. Antes, observe que a medida do ângulo
<> Teremos então: 40 – 200sen 2x = 0 ∴ 40 = 200sen 2x ∴ sen2x = 40 / 200 = 1 / 5. Temos pois sen 2x = 1/5 Conhecemos sen 2x e desejamos conhecer sen2x para usar na igualdade h = 110. sen2x obtida acima, que resolve a questão. Existem vários caminhos. Vou escolher um deles, que me parece mais fácil. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 44 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Vamos calcular cos2x e, em seguida, pela Relação Fundamental da Trigonometria, obter sen2x. Sabemos que cos2x = 1 – 2sen 2x Substituindo o valor conhecido de sen 2x vem: cos2x = 1 – 2(1/5) = 1 – 2/5 = 5/5 – 2/5 = 3/5 Ora, cos22x + sen22x = 1 (relação fundamental da Trigonometria) Portanto, substituindo o valor conhecido de cos2x vem: (3/5)2 + sen22x = 1 e portanto, sen 22x = 1 – 9/25 = 25/25 – 9/25 = 16/25 de onde tiramos imediatamente que sen2x = ± 4/5. Observe que sendo o ângulo x menor do que 90º somente o valor positivo interessa. Logo, sen2x = 4/5 e a altura h procurada será então, como vimos acima, igual a h = 110.sen2x = 110.(4/5) = 440/5 = 88 Portanto, a altura da torre é igual a 88 metros. Agora resolva este: No problema anterior, qual a distância do observador ao pé da torre no momento em que o ângulo de visão é o triplo do ângulo inicial, ou seja, qual a medida de CD = y ? Dica:

Observe na figura que ( 110 + 50 + y).tg x = h. Basta calcular tg x, pois h já é conhecido do problema resolvido acima (h = 88 m). Resposta: 16 metros.

Tang@ - Sen@ = 1/12 Resolva a equação trigonométrica tg x – sen x = 1/12 em U = [0, 360º] . INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 45 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Nota: o título acima, Tang@ - Sen@ = 1/12 (bastante sugestivo), constou de um e-mail que foi-me enviado por um visitante da página, o qual solicitou a solução e se identificou apenas como um vestibulando. Na verdade, o que se quer é resolver a equação: tangente do arco x menos o seno do arco x , igual a 1/12. Solução: Esta equação aparentemente bem simples, tem uma solução muito trabalhosa. Sabemos da Trigonometria que:

Nota 1: A solução que veremos a seguir é muito trabalhosa, mas, se você acompanhar o raciocínio desenvolvido, uma coisa é certa: você não vai adoecer por isto. Nota 2: Esta questão foi enviada através e-mail, por um visitante da página que se identificou apenas como um vestibulando. Eta vestibulando danado de sabido! Brincadeiras à parte, continuemos. Fazendo tg(x/2) = y e substituindo na equação original o seno e a tangente em função da tangente do arco metade (veja as fórmulas acima), vem:

Vamos resolver a equação acima, lembrando que o MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores é igual ao produto 12(1 – y2)(1 + y2)

Então, para y 2 ≠ 1, podemos suprimir os denominadores iguais, ficando: 12.(1 + y2).(2y) – 12.(1 – y2).(2y) = (1 – y2)(1 + y2) 24y.(1 + y2) – 24y.(1 – y2) = (1 – y2)(1 + y2) Colocando 24y em evidencia, fica: 24y[(1 + y2) – (1 – y2)] = (1 – y2)(1 + y2) INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 46 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

24y.(1 + y2 – 1 + y2) = (1 – y2)(1 + y2) Desenvolvendo e simplificando ambos os membros, resulta: 48.y3 = 1 – y4 Nota: (1 – y 2)(1 + y2) = 12 – (y2)2 = 1 – y4 Logo, 48y3 =1 – y4 Igualando a zero, teremos: y4 + 48y3 – 1 = 0 Esta equação possui 4 raízes reais ou complexas. Não existe uma fórmula geral para resolver a equação acima. Observe que nesta equação y 4 + 48y3 – 1 = 0, se fizermos P(y) = y 4 + 48y3 – 1, verificamos que P(0) = 04 + 48.03 – 1 = -1 < 0 e P(1) = 1 4 + 48.13 – 1 = 48 > 0. Como P( 0 ) < 0 e P(1) > 0 , é óbvio que P(x) se anula no intervalo (0, 1), pois o valor da função P(x) mudou de sinal (de menos (-) para mais (+)) quando x variou de 0 a 1. Portanto, uma ou mais raízes da equação estarão no intervalo (0, 1). Para achar uma solução aproximada sem recorrer a métodos iterativos que fogem ao nível do curso médio, vamos raciocinar da seguinte forma: Seja P(y) = y 4 + 48y3 – 1. Já sabemos que P(y) se anula no intervalo (0,1), portanto existe uma raiz entre 0 e 1. Vamos dividir o intervalo (0,1) de 0,10 em 0,10, por exemplo e calcular os seus valores. y

P(y) == y4 + 48 y3 – 1

0,00

-1,0000

0,10

-0,9519

0,20

-0,6144

0,30

+0,3041

0,40

+2,0976

0,50

+5,0625

0,60

...

0.70

...

0,80

...

0,90

...

1,00

+48,0000

Observe que de y = 0,20 para y = 0,30 na tabela acima, P(y) mudou de sinal, o que quer INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 47 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

dizer que pelo menos uma raiz estará entre estes valores, pois P(y) ao passar de (-) para (+), ela passará necessariamente pelo zero, ou seja, se anula. Antes sabíamos que existia pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Agora já restringimos mais o intervalo e sabemos agora que deve existir pelo menos uma raiz real entre 0,20 e 0,30. Vamos repetir o processo acima, dividindo o intervalo 0,20 a 0,30 de 0,02 em 0,02 por exemplo e calcular os valores de P(y). y

P(y) = y4 + 48y3 – 1

0,20

-0,6144

0,22

-0,4865

0,24

-0,3331

0,26

-0,1518

0,28

+0,0598

0,30

+0,3041

Observe que de 0,26 para 0,28 houve uma nova mudança de sinal, indicando que a raiz está entre 0,26 e 0,28. Repetindo-se o processo, vem: y

P(y) = y4 + 48y3 – 1

0,26

-0,1518

0,27

-0,0499

0,28

+0,0598

Observe que de y = 0,27 para y = 0,28 o valor de P(y) mudou de sinal ( de menos (-) para mais (+)). Portanto, a raiz deve estar entre 0,27 e 0,28, ou seja 0,27 < y < 0,28. Poderíamos repetir o processo, agora dividindo o intervalo 0,27 a 0,28 de 0,001 em 0,001 e assim sucessivamente. Encontrei o valor aproximado y ≅ 0,2747 Nota: para efetuar os cálculos das tabelas acima, utilizei uma calculadora científica. A calculadora do windows serve. Ora, como a equação y 4 + 48y3 – 1 = 0 é do quarto grau, pela teoria das equações algébricas sabemos que ela possui 4 raízes reais ou complexas. Já achamos uma delas de valor aproximado 0,2747 (ou 0,2747001 com 7 decimais) Abaixo, indicamos um programa freeware que resolve equações polinomiais, também conhecidas como equações algébricas. Se você calcular os valores de P(y) = y 4 + 48y3 – 1 para y = -48 e para y = -49, irá perceber que neste intervalo P(y) muda de sinal, ou seja: P(-48) = (-48)4 + 48(-48)3 – 1 = 484 – 484 – 1 = - 1 < 0 P(-49) = (-49)4 + 48(-49)3 – 1 = 494 – 493.48 – 1 = 49 3(49 – 48) – 1 = 117648 > 0 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 48 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Então, deve existir outra raiz real no intervalo (-49, -48). Utilizando o mesmo método visto anteriormente, encontraremos o valor aproximado –48,0000092 para a segunda raiz real de P(y) = 0. Existe um programa freeware – tamanho 114 KB – Polynomial Teacher – que resolve equações polinomiais ou equações algébricas. Utilizando esse programa, obtive as seguintes raízes da equação y 4 + 48y3 – 1 = 0: Raízes reais: y 1 = 0,245 e y2 = - 48,000 Raízes complexas: y 3 = -0,137 + 0,239i e y 4 = -0,137 – 0,239i Observe que os resultados possuem apenas 3 casas decimais. Aliás, o autor do software – Bob Terrell - adverte na tela de entrada do software que "Numerical accuracy is not garanteed" ou seja, "precisão numérica não é garantida" . Apesar disto, este freeware é uma "mão na roda" para achar as raízes aproximadas das equações algébricas também conhecidas como equações polinomiais. As raízes reais – as que nos interessam no presente caso - são então: y = 0, 2747001 ou y = - 48,0000092 Como no início do problema fizemos a mudança de variável tg (x/2) = y, vem, substituindo: tg(x / 2) = 0,2747001 ou tg(x/2) = - 48,0000092 Temos que resolver estas duas equações trigonométricas que são do tipo tg a = tg b. Já sabemos que : tg a = tg b ⇔ a – b = k.180º onde k é um inteiro. Usando uma tabela trigonométrica ou uma calculadora, encontramos: tg (x/2) = 0,2747001 = tg 15,3602º ou tg (x/2) = - 48,0000092 = tg (-88,8065º) Resolvendo a primeira equação: tg (x/2) = tg 15,3602º Então, como vimos acima, poderemos escrever: (x/2) – 15,3602º = k.180º onde k é um inteiro. Logo, x/2 = 15,3602 + k.180º Tirando o valor de x, fica: x = 2(15,3602º) + 2.k.180º x = 30,7204º + k.360º, sendo k um número inteiro. Resolvendo a segunda equação: tg(x/2) = tg(-88,8065º) Então, como vimos acima, poderemos escrever: (x/2) – (-88,8065º) = k.180º x/2 = k.180º - 88,8065º Logo, x = 2.k.180º - 2.88,8065º x = k.360º - 177,6130º , sendo k um número inteiro. Portanto, em R – conjunto dos números reais – o conjunto solução da equação dada tg x – sen x = 1/12 é igual a: S = {x; x = 30,7204º + k.360º ou x = k.360º - 177,6130º , k ∈ Z} INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 49 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

Notas: a) Z = conjunto dos números inteiros. b) atribuindo-se valores inteiros a k, obteremos as raízes da equação trigonométrica dada. c) é claro que em R – conjunto dos números reais – o conjunto solução da equação dada possui um número infinito de elementos. Observe entretanto, que no enunciado da questão foi solicitado determinar as soluções no intervalo [0,360º]. Deveremos pois, atribuir valores convenientes a k, para encontrar as soluções que pertencem ao intervalo dado. Teremos então: Na primeira solução geral: x = 30,7204º + k.360º k = 0 ⇒ x = 30,7204º + 0.360º = 30,7204º Observe que para k = 1, obteremos uma raiz fora do intervalo dado, ou seja, 390,7204º. Na segunda equação geral: x = k.360º - 177,6130º k = 1 ⇒ x = 1.360º - 177,6130º = 182,3870º Observe que para k = 0, obteremos uma raiz fora do intervalo dado, ou seja, -177,6130º Portanto, o conjunto solução da equação dada no intervalo [0,360º] é igual a: S = {30,7204º ; 182,3870º}

Um triângulo na FTC de Feira de Santana Nota: FTC – Faculdade de Tecnologia e Ciências de Feira de Santana – Vestibular 2004.1 Num triângulo ABC, isósceles, de base BC = 6 cm, o ângulo A mede 120º . Se M é o ponto médio de AC, e N, um ponto de BC, tal que BN = (1/3).BC, então MN mede, em cm, a) √ 7 b) √ 13 c) √ 31 d) √ (19+ 4√ 3) e) √ (19 - 4√ 3) Solução:


Veja a figura acima Como é dito que o triângulo é isósceles, os ângulos da base possuem a mesma medida ou seja, são congruentes e, portanto, B = C. Pela lei angular de Tales, a soma dos ângulos internos do triângulo vale 180º. Portanto, A + B + C = 180º. Como B = C, vem: 120 + B + B = 180 de onde conclui-se que B = C = 30º . Como foi dito que BN = (1/3).BC e BC = 6, vem que BN = (1/3).6 = 2 e portanto, NC = BC – BN = 6 – 2 = 4. Como foi dito que M é o ponto médio de AC, podemos dizer que AM = MC = x. Logo, AC = AM + MC = x + x = 2x Observe que sendo o triângulo ABC isósceles, conforme dito no enunciado, os lados AB e AC possuem a mesma medida e, portanto, AB = 2x. Posto isto, aplicando o Teorema dos Cosenos – TC nos triângulos MNC e ABC, vem:

∆ MNC: MN2 = MC2 + NC2 – 2.MC.NC.cos30º MN2 = x2 + 42 – 2.x.4.√ 3 / 2, já que cos 30º = √ 3 / 2. Daí, vem: MN2 = x2 + 16 – 4√ 3 x ∆ ABC: AB2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cos 30º Como AB = AC = 2x e BC = 6 (dado do problema), vem imediatamente que: (2x)2 = (2x)2 + 62 – 2.(2x).6. √ 3 / 2. 4x2 = 4x2 + 36 – 12√ 3 x ⇒ 4x2 – 4x2 – 36 + 12 √ 3 x = 0 ⇒ 12√ 3 x = 36 Então: x = 36/(12 √ 3) = 3 / √ 3 = (3.√ 3) / (√ 3).(√ 3) = √ 3 Como vimos acima que MN 2 = x2 + 16 – 4√ 3 x, vem finalmente, substituindo o valor de x: MN2 = (√ 3)2 + 16 – 4√ 3(√ 3) MN2 = 3 + 16 – 4.3 = 19 – 12 = 7 ⇒ MN2 = 7 ⇒ MN = √ 7 Portanto, a alternativa correta é a de letra A. Agora resolva este: Qual a área do quadrilátero ABMN do problema anterior? Resposta: 2 √ 3 cm2 INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 51 E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Ceará - Brasil.

DICA: observe que a área do quadrilátero ABMN será igual à área do triângulo ABC menos a área do triângulo MNC e que a área de um triângulo é igual a metade dos produtos de dois dos seus lados pelo seno do ângulo que eles formam entre si.

Trigonometricamente falando Observando os dados da figura abaixo, podemos afirmar que o valor de 4cos2

-

3 é igual a :

a) 2 b) 6 c) 8 d) 4 e) 1

Solução: Inicialmente lendo a figura acima: 1) os pontos A, B e C são colineares, ou seja, estão alinhados, o que equivale a dizer que pertencem à mesma reta. 2) as retas r e s são perpendiculares, ou seja, formam entre si um ângulo reto = 90º. Vamos à solução: No triângulo retângulo BOC acima, é factível escrever: cos

β

= OC / BC (igualdade I)

Justificativa: o cosseno do ângulo β é igual ao quociente do cateto adjacente (na figura acima, OC) pela hipotenusa (na figura acima, BC). Aplicando a lei dos senos ao triângulo AOC, podemos


escrever: AO / sen

β

= OC / sen 30º (igualdade II)

Da igualdade I, vem que OC = BC . cos III)

(igualdade

Da igualdade II, vem que AO. sen30º = OC . sen (igualdade IV) Lembrete: se A/B = C/D então A.D = B.C , para A, B,

C e D não nulos. Lembram-se quando o seu professor do 1º grau sempre repetia: numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos? Pois, é isto aí! Substituindo o valor de OC (da igualdade III), na igualdade IV, fica: AO.sen30º = (BC.cos β ).senβ Como foi dito no enunciado que BC = 2.AO vem, substituindo: AO.sen30º = (2.AO).cos β .sen β Simplificando o termo comum AO, fica: sen30º = 2.cos β .senβ Ora, 2.cos β .senβ portanto:

= sen2β

(seno do arco duplo ) e,

sen30º=sen2β Como no triângulo AOC o ângulo
β

é um ângulo

menor do que 90ºe , portanto, β é um ângulo agudo. Isto decorre da lei angular de Tales: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. (Tales de Mileto – matemático grego – 624 a. C. 548 a. C.). Portanto, podemos concluir que 30º = 2 β vem

de onde

= 15º.

Nota: o comentário acima justifica-se porque na verdade a equação sen30º = sen2 β possui infinitas soluções em R (conjunto dos números reais).


Mas como 30º e β são ângulos agudos (menores do que 90º), a conclusão de que 2β

= 30º, é correta.

Logo, cos

= cos15º

O problema pede para calcular o valor de 4cos2

-

3 , ou seja,

como

β

= 15º, na verdade teremos que calcular

4cos215º -

3.

Teremos que calcular antes, o valor de cos15º. Ora, cos15º = cos (60º - 45º) pois 60 – 45 =15. Usando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos, vem: cos15º = cos(60º-45º) = cos60º.cos45º + sen60º.sen45º Como já sabemos que: cos60º = 1/2 cos45º = sen45º = sen60º =

√2/2

√3/2

Nota: os valores do seno e cosseno dos arcos ditos notáveis (30, 45 e 60º), vocês devem conhecer de memória, pois nas provas de vestibulares, os examinadores admitem que você os conhece e não informarão, salvo raríssimas exceções. Logo, cos15º = (1/2).( √2/2) + (√3/2).(√2/2) Efetuando as operações indicadas, fica: cos15º = ( √6 +

√2)

/ 4

Daí vem: 4.cos15º =

√6

+

√2

Elevando ambos os membros ao quadrado, fica: 16.cos215º = 6 + 2 + 2 √12 Nota: lembre-se que (a+b) 2 = a2 + 2ab + b2 Então: 16.cos215º = 8 + 2 √12 = 2(4 +

√12)


16.cos215º = 2(4 + Ora,

√12

√12)

= (12) 1/2 = (4.3) 1/2 = 41/2.31/2 =

√4

.

√3

=

2√3 Portanto, 16. cos215º = 2(4 + 2 √3) Dividindo ambos os membros por 2: 8.cos215º = 4 + 2 √3 Colocando 2 em evidencia no segundo membro da igualdade acima: 8.cos215º = 2(2 + √3) Dividindo ambos os membros por 2: 4.cos215º = 2 +

√3 √3

Então, finalmente, passando membro:

para o primeiro

4cos215º - √3 = 2, o que nos leva, tranqüilamente à alternativa A. Agora resolva este: Qual o valor do ângulo
π

radianos.

Exercícios Resolvidos XIX - Trigonometria Dois arcos são côngruos se a diferença entre as suas medidas for um múltiplo de 360º. Nestas condições, os arcos 20º e 740º são côngruos, pois , 740º - 20º = 720º que é múltiplo de 360º. Considere os arcos trigonométricos A e B, de medidas (3m - 10).180º e (2m + 2).180º. Sendo m um número inteiro maior do que 30 e menor do que 50, pede-se determinar quantos valores de m que tornam côngruos os arcos A e B. Seguindo a definição de arcos côngruos, podemos escrever: (3m - 10).180º - (2m + 2).180º = k.360º, onde k é um número inteiro. Colocando 180º em evidencia, vem: (3m - 10 - 2m - 2).180º = k.360º Dividindo ambos os membros por 180º, vem: m - 12 = k.2 m = 2k + 12 Como m está situado entre 30 e 50, vem: 30 < 2k + 12 < 50 30 -12 < 2k + 12 - 12 < 50 - 12 18 < 2k < 48 Dividindo por 2, fica: 9 < k < 24 Logo, k = 10, 11, 12, ... , 23. Portanto, existem 14 valores possíveis para k e, por conseqüência, já que m = 2k + 12, existem também 14 valores possíveis para m. DICA: a quantidade de números inteiros existentes de m a n, onde m e n são inteiros, com m < n, é dada por n - m + 1. Por exemplo: de 102 a 305, existem quantos números? A resposta é 305 - 102 + 1, que é igual


a 204. Quantos números existem entre -23 e 58? Teremos 58 - (-23) + 1 = 82 números de -23 a 58. Como foi perguntado a quantidade de números entre -23 e 58, temos que excluir esses dois, resultando como resposta, 80. Claro que vocês perceberam que a dica acima, está relacionada diretamente ao assunto Progressão Aritmética (para retornar clique em "VOLTAR" no seu browser). No caso, a PA - Progressão Aritmética , tem razão igual a 1. Quantos são os arcos côngruos a 420º compreendidos entre os arcos trigonométricos de medidas 1000º e 6400º? Todos os arcos côngruos a 420º possuem a forma geral: 420º + k.360º, onde k é um número inteiro. Portanto, podemos escrever: 1000º < 420º + k.360º < 6400º 1000º - 420º < 420º + k.360º - 420º < 6400º - 420º 580º < k.360º < 5980º Dividindo tudo por 360º, vem: 1,6111... < k < 16,6111... Portanto, os valores possíveis para k, são: k = 2, 3, 4, ... , 15, 16. Logo, usando a DICA vista acima, concluímos que existem 16 - 2 + 1 = 15 valores possíveis para k. Logo, como a cada valor de k, corresponde um arco, concluímos que existem 15 arcos côngruos, que satisfazem ao problema dado. Para que valor de m a expressão y = (m - 1)(sen4x - cos4x) + 2cos2x + m.cosx - 2.cosx + 1 é independente de x? Podemos escrever: y = (m - 1)[(sen2x - cos2x)(sen2x + cos2x)] + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 Como sen2x + cos2x = 1, substituindo, fica: y = (m - 1)(sen2x - cos2x) + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 y = msen2x - mcos2x - sen2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que sen2x = 1 - cos2x, vem: y = m(1 - cos2x) - mcos2x - (1 - cos2x) + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 y = m - mcos 2x - mcos2x - 1 + cos2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1 Simplificando os termos semelhantes, fica: y = m + (4 - 2m)cos2x + (m - 2)cosx Para que a expressão acima seja independente de x, deveremos ter necessariamente 4 - 2m = 0 e m - 2 = 0 ∴ m = 2, que é a resposta procurada. Determine os valores possíveis para m, de modo que a equação sen3x.cosx - senx.cos3x = - m/4 , possua solução. Colocando senx.cosx em evidencia, vem: senx.cosx(sen2x - cos2x) = - m/4 Observe que sen2x - cos2x = - (cos2x - sen2x) = - cos2x Além disto, senx.cosx = (1/2).sen2x, já que sen2x = 2senxcosx Substituindo, vem: (1/2).sen2x .(- cos2x) = - m/4 Multiplicando ambos os membros por (-4 ) , vem: 2sen2xcos2x = m Ora, se 2senAcosA = sen2A, então 2sen2xcos2x = sen4x Daí, vem: sen4x = m Ora, o seno somente pode variar de -1 a +1. Logo, -1 ≤ m ≤ 1 , que é a resposta procurada.


Qual o período e qual o conjunto imagem da função y = cos(4x)sen(6x) + sen(4x)cos(6x) ? Como sen(a + b) = sena cosb + senb cosa, vem imediatamente, que: y = sen(4x + 6x) = sen10x Portanto: Conjunto Imagem: Im = [-1,1] Período: T = 2π /10 = π /5 radianos. Revise Trigonometria AQUI. Para retornar, CLIQUE em VOLTAR no seu browser. Simplifique a expressão E = 8sen10ºcos20ºsen50º Sabemos que : sen(a+b) = senacosb + senbcosa sen(a-b) = senacosb - senbcosa Somando membro a membro, vem: sen(a+b) + sen(a-b) = 2senacosb Daí, vem: sena.cosb = 1/2 [sen(a+b) + sen(a-b)] Portanto: sen10º . cos20º = 1/2 [sen(10º + 20º) + sen(10º - 20º)] sen 10º . cos 20º = 1/2 [sen 30º + sen (- 10º)] sen 10º . cos 20º = 1/2 [1/2 - sen 10º] Obs: sen( - 10º ) = - sen 10º Substituindo na expressão dada, vem: E = 8 . {1/2 [1/2 - sen 10º]}. sen 50º E = 8 . [1/4 - (sen 10º)/2] . sen 50º E = [2 - 4.sen 10º] . sen 50º E = 2.sen50º - 4.sen 10º . sen 50º (eq. 1) Mas, sena . senb = 1/2 [cos(a-b) - cos(a+b)] Logo: sen10º . sen50º = 1/2 [cos(10º - 50º) - cos(10º + 50º)] sen10º . sen50º = 1/2 [ cos40º - cos60º ] Obs: cos(-40º) = cos40º , pois a função coseno é par ou seja f(-x) = f(x) para todo x. Substituindo na (eq. 1) acima, vem: E = 2.sen50º - 4(1/2[cos40º - cos60º]) E = 2.sen50º - 2.cos40º + 1 (Obs: cos60º = 1/2) E = 2(sen50º - cos40º) + 1 Como 50º e 40º são ângulo s complementares, vem que sen50º = cos40º Daí vem, finalmente: E = 2.0 + 1 Portanto, E = 8.sen10º.cos20º.sen50º = 1 Dada a função f(x) = sen6x + cos6x - 2sen4x - cos4x + sen2x, pede-se calcular f(π /10). Vamos inicialmente, simplificar a expressão que define a função dada. Temos: f(x) = sen6x + cos6x - 2sen4 x - cos4 x + sen2x Arrumando convenientemente, vem: f(x) = sen6x - 2sen4x + sen2x + cos6x - cos4x Fatorando a expressão convenientemente em relação a senx e cosx, vem: f(x) = sen2x (sen4x - 2sen2x + 1) + cos4x(cos2x - 1) Observe que: sen4x - 2sen2x + 1 é igual a: (sen2x - 1)2. Lembre-se que p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 . Portanto, sen4x - 2sen2x + 1 = (sen2x - 1)2. Daí, substituindo, vem: f(x) = sen2x(sen2x - 1)2 + cos4x(cos2x - 1) Mas, sabemos da Trigonometria, que: sen2x + cos2x = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria) Portanto: sen2x = 1 - cos2x = - (cos2x - 1) ∴ cos2x - 1 = - sen2x


cos2x = 1 - sen2x = - (sen2x - 1) ∴ sen2x - 1 = - cos2x Substituindo na expressão da função, vem: f(x) = sen2x[- cos2x]2 + cos4x (- sen2x) f(x) = sen2x . cos4x - cos4x . sen2x f(x) = sen2x.cos4x - cos4x . sen2x = seen2x.cos4x - sen2x.cos4x = zeroo. Ora, f(x) é então igual a zero, independente do valor de x. Portanto f(π /10) = 0. Se asenx - cosx = 1 e bsenx + cosx = 1, com a e b reais, pede-se calcular o valor do produto ab, sabendo-se que x é um arco não nulo. Teremos: asenx = 1+ cosx bsenx = 1 - cosx Multiplicando membro a membro, vem: absen2x = (1 + cosx)(1 - cosx) absen2x = 12 - cos2x = 1 - cos2x Mas. 1 - cos2x = sen2x Logo, ab.sen2x = sen2x e, como x é um arco não nulo, e portanto senx ≠ 0 , dividindo ambos os membros por sen2x, vem imediatamente que ab = 1. Seja x um arco trigonométrico tal que sen2x + sen6x - 2 sen4x = 0, pede-se determinar o valor da expressão Y = 10sen4x + 8cos2x. Sabemos que: sen p + sen q = 2. sen[(p+q)/2].cos[(p-q)/2] Revise Trigonometria AQUI. Para retornar, CLIQUE em VOLTAR no seu browser. Portanto, sen2x + sen6x = sen6x + sen2x =2.sen4x.cos2x Substituindo, fica: 2sen4x.cos2x - 2sen4x = 0 Colocando sen4x em evidencia, vem: sen4x(2cos2x - 1) = 0 Portanto, sen4x = 0 ou 2cos2x - 1 = 0 Daí, sen4x = 0 ou cos2x = 1 /2 Portanto, Y = 10.0 + 8(1/2) = 0 + 4 = 4. O seno de um ângulo agudo de medida x, é o dobro do seno de um outro ângulo y. Nestas condições, pede-se determinar entre que limites está compreendido o ângulo y. Temos: senx = 2seny Logo, como o seno de um ângulo agudo (ângulo entre 0 e 90º) situa-se necessariamente no intervalo real de 0 a 1, vem: 0 ≤ 2seny ≤ 1 Então, dividindo tudo por 2, vem: 0 ≤ seny ≤ 1 /2 Mas, 1 /2 = sen30º e 0 = sen0º. Logo, sen0º ≤ seny ≤ sen30º Conclui-se pois, que 0º ≤ y ≤ 30º, ou seja, y está situado no intervalo [0º, 30º].



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