TRIGONOMETRÍA tema 15
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS SnIi2T15
DESARROLLO DEL TEMA
i. EXPRESIONES EQUIVALENTES
Todo arco o ángulo expresado mediante esta notación implica que se conoce el valor de una de sus razones trigonométricas.
Graficando en la C.T. p/2
ArcSen(+) q
IC
* Si:
O
q = ArcR.T.(n) ⇒ R.T.(q) = n
*
Ejemplos de aplicación: 2 2 • Si: q = ArcSen ⇒ Sen(q) = 3 3
ArcSen(–) q
–p/2
3 3 • Si: q = ArcCos ⇒ Cos(q) = 4 4
Propiedades Sen[ArcSen(n)] = n ArcSen[Sen(q)] = q
4 4 • Si: q = Arc Tan ⇒ Tan(q) = 5 5
ArcSen(–n) = –ArcSen(n)
4 4 • Si: q = ArcCot ⇒ Cot(q) = 7 7
B. Para el arco coseno q = ArcCos(n) <> n = Cos(q)
5 5 • Si: q = ArcSec ⇒ Sec(q) = 2 2
7 7 • Si: q = ArcCsc ⇒ Csc(q) = 3 3
⇓
⇓
_1 ≤ n ≤ 1
0≤q≤p
II. VALORES PRINCIPALES PARA LOS ARCOS (V.P.)
IVC
Se denomina así a aquel valor del arco que satisface una determinada igualdad y que está dentro del intervalo donde se define la función trigonométrica inversa correspondiente; siendo estos intervalos los siguientes:
Graficando en la C.T. p/2 ArcCos(–)
ArcCos(+) q
q IIC
IC
p
O *
*
A. Para el arco seno
q = ArcSen(n) <> n = Sen(q)
⇓
_ p ≤q≤ p ∧ 2
2
⇓
Cos[(ArcCos)(n)] = n
_ 1≤n≤1
ArcCos[Cos(q)] = q
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ArcSen(–n) = p – ArcCos(n)
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
C. Para el arco tangente
q = ArcTan(n) <> n = Tan(q)
⇓
p p
IIC
n∈ ¡
IC
p
O *
Graficando en la C.T. p/2
ArcTan(+) q
Sec[ArcSec(n)] = n ArcSec[Sec(q)] = q
O *
*
Propiedades
IC
*
ArcSec(+) q
q
⇓
_
Graficando en la C.T. p/2 ArcSec(–)
ArcSec(–n) = q – ArcSec(n)
IVC
F. Para el arco cosecante
ArcTan(–) q
–p/2
q = ArcCsc(n)
<>
n = Csc(q)
⇓
Propiedades
⇓
_ p ≤ q ≤ p ;q ≠ 0 2
Tan[ArcTan(n)] = n
2
ArcTan[Tan(q)] = q
n≤
_1 ∨ n ≥ 1
p/2
ArcCsc(+) q
ArcTan(–n) = –ArcTan(n) IC
*
D. Para el arco cotangente
O
q = ArcCot(n) <> n = Cot(q)
⇓
*
⇓
0
n∈
IVC ArcCsc(–) q
–p/2 Propiedades
p/2
ArcCot(–) q
IIC
Csc[ArcCsc(n)] = n
ArcCot(+) q
ArcCsc[Csc(q)] = q ArcCsc(–n) = –ArcCsc(n)
IC
p
O *
*
III. PROPIEDADES FUNDAMENTALES PARA LOS ARCOS A. Arcos complementarios
p ArcSen(n) + ArcCos(n) = 2 ∀ n ∈ / −1 ≤ n ≤ 1 p ∀ n∈ ArcTan(n) + ArcCot(n) = 2 ∀ n ∈ / n ≤ −1 ∨ n ≥ 1 p ArcSec(n) + ArcCsc(n) = 2
Propiedades Cot[ArcCot(n)] = n ArcCot[Cot(q)] = q ArcCot(–n) = p – ArcCot(n)
B. Arcos con valores recíprocos 1 ArcCsc(n) = ArcSen n 1 ArcSec(n) = ArcCos n
E. Para el arco secante q = ArcSec(n) <> n = Sec(q)
⇓ 0 ≤ q ≤ p; q ≠
Tema 15
⇓ p 2
n≤
_
1∨n ≥1
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1 ArcCot(n) = ArcTan n
22
∀n ∈ / n ≤ _1 ∨ n ≥ 1
∀n ∈ / n ≤
_1 ∨ n ≥ 1
∀ n ∈ +
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C. Diferencia de arcos tangente
Si: xy < 1 ⇒ k = 0
x+y ArcTan(x) + ArcTan(y) = kp + ArcTan _ 1 xy
Si: xy > 1 ∧ x > 0 e y > 0 ⇒ k = 1 Si: xy > 1 ∧ x > 0 e y < 0 ⇒ k = –1
Donde: x, y ∈ /xy ≠ 1 ∧ k = {–1; 0; 1}
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Sea la función (f) definida por: f(x) = 4ArSen x + 2 6 Indique la intersección entre el dominio y el rango.
Problema 2 Indique el dominio de la función f real definida por: f(x) = ArcCos x – 1 + ArcCos x + 1 4 8
A) [–2p, 8] B) [–8; 2p] C) [–8, 4]
A) [–3; 4]
B) [–4, 5] C) [–3, 6]
D) [–2; 5]
E) [–3; 5]
D) [–2p, 2p] E) [–2p; 4]
Pre San Marcos 2010
Pre San Marcos 2011
Resolución: –1 ≤ x + 2 ≤ 1 → –6 ≤ x + 2 ≤ 6 6 → –8 ≤ x ≤ 4 Calculo de rango – p ≤ ArcSen x + 2 ≤ p × 4 6 2 2 x + 2 → –2p ≤ 4ArcSen ≤ 2p 6 Graficando:
–1 ≤ x – 1 ≤ 1 ∧ –1 ≤ x + 1 ≤ 1 4 8
–2p
4
2p
Df ∩ Rf ∈ [–2p; 4]
23 A) 21 B) 19 C) 4 24 24 14 7 D) E) 3 24 Cosa = 1 4 1 Cosq = 3
Sea ArcCos 1 = a 4 ArcCos 1 = q 3
Efectuando operaciones: –4 ≤ x – 1 ≤ 4 ∧ –8 ≤ x + 1 ≤ 8 –8 ≤ x ≤ 5 ∧ –8 ≤ x ≤ 7
K = Cos2 a + Sen2 q 3 3
Graficando:
Multiplicando miembro a miembro por (2) 2K = 1 + Cosa + 1 – Cosq
–9 –8
K = Cos2 1 ArcCos 1 +Sen2 1 ArcCos 1 2 4 2 3
Resolución:
Resolución: Por teoría:
Cálculo del dominio
Problema 3 Determine el valor de:
–3
5
Reemplazando: 2K = 2 + 1 – 1 4 3
7
∴Df ∈ [–3; 5]
Respuesta: [–3; 5]
Respuesta: [–2p; 4]
K = 23 24
Respuesta: 23/24
PROBLEMAS de clase ejercitación 1. Afrimar si es (V) o (F) I) Sen ArcSen 1 = 1 3 3 II) Tan [ArcTan(5)] = 5 III) Sen ArcSec 2 5 A) VVV D) FFF
B) VVF E) FVV
= 2 5 C) VFF
2. Calcule: E = Tan2 ArcCos 2 + Cot2 ArcSen 1 3 7 A) 17 B) 15 C) 15/2 D) 17/2
E) 17/4
3. Calcule: M = Cos3[ArcSec(3)] A) 23/27 B) 4/27 C) –23/27 D) –20/27 E) –17/27 4. Indique el valor de: K = Csc[ArcCos{Sen(Arcot( 3))}] B) 3/2 A) 3/3 C) 1/2 D) 2 3/3 E) 2 5. Sabiendo: ArcTan(x) + ArcTan(y) + ArcTan(z) = p Calcule:
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K=
x + y + z – xyz x 6 + y 6 + z6 + 3x 4 y 4z 4
A) –2 C) 1 E) 0
B) –1 D) 2
profundización 6. Indique el valor de: K = Sec 2ArcTan 1 Cos[2ArcCot(3)] 2 A) 1 C) 9/25
B) 16/25 D) 25/16
E) 25/9
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
7. Calcule: 3 1 Arc cos – + ArcSen 2 2 K= 1 ArcTan( 3) + ArcSen – 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 8. Indique el valor de: K = Cos2[ArcTan(Csc{Tan230°ArcCos(–1)})] A) 1/7 B) –1/7 C) 1/6 D) –1/6 E) 1/5 9. Calcule el valor de:
F = ArcCos Sen – p 7
Tema 15
A) 9p/14 C) 5p/14 E) p/14
B) 7p/14 D) 3p/14
D) ArcTan 2n n+2 E) ArcTan n n+2
sistematización 10. Calcule: 1 1 1 M = ArcTan + ArcTan + ArcTan 2 7 13 1 + ... + ArcTan = n2 + n + 1
n A) ArcTan n +1 n B) ArcTan 2 n +2 n C) ArcTan n–2
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11. Calcule: F = ArcSen[Sen(3)] + ArcSen[Sen(4)] + 7 A) p + 7 B) p + 14 C) 2p + 7 D) 2p + 14 E) 2p 12. Sea la función (f) definida por. x2 f(x) = ArcSen + ArcSen( x ) 2 x +1 A) [–1,0] C) [0,1] E) [0,1/2]
B) [–1/2,0] D) [1/2,1]
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