Listado-Trigonometria

LISTADO DE TRIGONOMETR´ IA

29 de mayo de 2007

1.

Valores alores Parti Particul culare aress 1. Dada Dada la funci´ funci´ on on trigono t rigonom´ métrica etrica obtener obtene r las la s restantes. rest antes. a ) sin α = 21 ; α

∈ I I I b ) cos α = 97 ; α ∈ I = 34 ; α ∈ I c ) tan β =

2. Eval´ Eval´ ue ue las seis funciones funciones trigonom´ trigonom´ etricas etricas del ángulo angulo θ, si θ está en posición on normal y su lado terminal contiene al punto dado: a ) ( 7,

−√ −√ 12) b ) ( 2, 3 (4, −1) c ) (4, d ) (−3, 2) 3. Determine Determine el valor exacto (sin calculadora) calculadora) de: a ) sin120◦ b ) tan( 23π ) c ) cos( 34π ) d ) sin405◦ e ) sec780◦

) sin( 136π ) f ) g ) sin75◦ h ) tan225◦

4. Si sin α =

√

3 2 , α

∈ I y ∈ I V , , Determinar: I y cos β = = 21 , β ∈ 1

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sin(α + β + β ) a ) sin(α cos(α + β + β ) b ) cos(α tan(α + β + β ) c ) tan(α sec(α + β + β ) d ) sec(α 5. Si sin α =

2 3

y P ( P (α) / I cuadrante; I cuadrante; sec β = = −45 y P ( P (β )

∈

Encuentre el valor valor de sec de sec((β a ) Encuentre

− α);

√

∈ I I .

5 Resp: 45+30 22

Determine el cuadrante cuadrante al cual pertenece pertenece el punto P punto P ((β b ) Determine

− α).

6. Determinar Determinar cos(α cos(α + β + β )) y sin(α sin(α β ), ), e indique el cuadrante en que se encuentra, P ( P (α + β + β ) y P ( P (α β ) sabiendo que sin α = 32 ; α I I cuadrante y cos β = = 43 ; β I V V cuadrante.

− −

∈ ∈

∈

− α) si sin α = −1312 y 23 π < α < 2 < 2π π. 8. Demostrar Demostrar que: que: Si tan α = ⇒ a cos2α cos2α + b + b sin2α sin2α = a = a 7. Determine Determine cos( cos( π2

b a

9. Si sin α = √ a b+b con a con a > 0, 0 , b > 0, 0 , α en el primer cuadrante, determinar: 2

2

etricas etricas para el ángulo α angulo α.. a ) El valor de todas las funciones trigonom´ Demuestree que cos3 α + cos 3 α tan2 α = b ) Demuestr

·

2.

Identidades Trigonom´ rigon om´ etricas etricas 1.

tan α 1+sec α

− tan sin

α α

=

2 sin α

sin α α 2. 1+cos sin α + 1−cos α = 2csc α t)+csc(−t) 1 3. cot(−sin( = 1−cos α −t)

4.

cos2α 1+sin 1+sin 2α

5.

cos2 α cot( 2 )−tan( 2 ) α

2

1−tan α = 1+tan α α

=

2 sin α

β −1 6. 2sin sin β cos cos β = tan β

7. (cos2 α

− cot β

− 1)(cot2 α + 1) + 1 = 0

√ a

a2 +b2





9. 2sin(α 2sin(α +

3π sin( 34π 4 ) sin(

cos 2α − α) = cos

10. tan α =

sin 2 +sin α+sin 23 α cos 2 +cos α+cos 23 α

11. csc(2 csc(2α α)

cot(2α) = tan α − cot(2α

α

α

1+tan θ θ 12. 1+cot csc θ = sec θ cos( 2 −α)·sin( 2 −α)·tan(π−α) cot( 2 +α)·sin(π−α) π

13.

π

π

= cos α

cos3α α 14. sin3 2cot2α cos α + sin α = 2cot2α +α)·sin(30 −α 15. sin(30 = cos2α−2sin α ◦

◦

2

3.

1 4

Ecuaciones Trigonom´ etricas etricas Resuelva para x para x 1.

[0, 2π[ las ecuaciones: ∈ [0,

√ 2sin2 x + cos x = 0; Resp: x = x = 3

π

4

; x =

5π 4

− 2) + 41 − cos2(x − 2) = 0;Resp: x 0;Resp: x = 6 ; x = 5 6 + 2 3. sin( sin(x + 6 ) + cos(x cos(x + 3 ) = 1 − cos2x cos2x. Resp:s Resp:s = 3 , 2 , 3 2 , 5 3 π

2. sin( sin(x

π

π

4. 3tan2 x + 5 = 5. sin(2 sin(2x x

π

π

7 ;Resp: x = π3 ; x = cos x ;Resp: x

π

+ 1; x =

6. tan x cot x + 4 sin sin2 x = 4;Resp: x 4;Resp: x = π3 ; x = 5 π3

·

;Resp: x = 6 ; x = 5 6 − sin x) = cos2 x;Resp: x √ 8. tan x + 3 = sec x;Resp: x ;Resp: x = = 5 ; x = 11 9. 2cos2 (3x (3x)

π

π

π

π

6

6

sin(33x) = 0 − 3 sin(

10. sin x csc x + 8 cos cos2 x = 7;Resp:s 7;Resp:s = π6 , 5 π6 , 7 π6 , 11 π6

·

π

π

5 π3

cos(2x − 1) = 0;Resp: x 0;Resp: x = = 43 − 1) + √ 3 · cos(2x

7. sin x(2

π

π

3

+1





4.

Funciones uncion es Trigonom´ rigono m´ etricas etricas Inversas Inversas 1. Encuentre Encuentre los valores valores indicados en forma exacta sin utilizar calculadocalculadora. sin(22 arc arc cos cos 23 ) a ) sin( tan(arcta ctan n 2 + arcsi arcsin n 45 ) b ) tan(ar cos(arcsec(( 52 ) arcsec( arcsec( 75 ) c ) cos(arcsec cos(arctan( 34 ) + arctan( 14 ) d ) cos(arctan(

−

2.

−

arctanx x + arctan y + arctan z = π = π demostrar que: x + y + z = a ) Si arctan xyz. xyz . arcsecx + arccosecx arccosecx = π2 para todo x b ) Pruebe que: arcsecx + identidad.

Demuestree que: tan(arc tan(arc cos x) = c ) Demuestr

≤ 1 es una

√

1−x2 x

3. Resuelve las ecuaciones trigonométricas etricas inversas: inversas: arcsin x + arc cos(1 cos(1 a ) arcsin

− x) = 0; Resp: 0 √ √ arcsin 2x − arc arc cos cos x; Resp: 1 b ) arcsin 3

c ) d )

−x = 1 arctan x, x = 1; Resp: arctan arctan 11+ 2 x 2 arctan( arctan(x x ) + arctan(1 x2 ) = π2 ;



3 3 .

− π

e ) arcsen x

arc cos cos x = 6 − arc √ ) ) arccos x + arc arc cos 3x =

f

5.

√

π

2

Gr´ aficas aficas de d e las funciones funcion es trigonom´ tri gonom´ etricas etricas 1. Trace race las gr´ aficas de las funciones e identifique: Amplitud, Periodo y aficas Desfase. sin(x x a ) y = 2 sin(

π

− 6) cos( 2 − 1) b ) y = 3 cos( x

sin( x + π4 ) c ) y = sin(x cos(x x + π2 ) d ) y = 2 + 3 cos( sin(x x e ) y = 1 + 5 sin(

π

− 4)

3





2. Esbozar Esbozar las gr´ gráficas aficas de las siguientes funciones: f (x) = arcsin(x arcsin( x a ) f (

− 1)

f (x) = arctan x + π2 b ) f ( f (x) = arc cos cos x4 c ) f (

6.

Aplicaciones Trigonom´ etricas etricas 1. Una antena antena de radio emisora emisora est´ a en el borde del techo de un edificio. Desde un punto en el suelo, a 500 metros de la base del edificio, la visual al pie de la antena forma una ángulo angulo de 10◦ con la visual al extremo superior de la antena. Si el ángulo angulo de elevación on al borde superior del ◦ edificio es de 30 , ¿qué altura tiene la antena?. Resp.130, Resp.130,87 metros. 2. Desde Desde un faro situad situadoo a 75, 75,3 pies sobre el nivel del agua, el ángulo angulo de ◦ ′ depresi´ on on de un bote es 23 40 . ¿A qué dista di stanci nciaa est´ es tá el bote del punto situado a nivel del agua y directamente bajo el punto de observación?. on?. Resp: x Resp: x = 174 pies. 3. Dos mástiles astiles tienen 12m. 12m. y y 18 18m. m. de de altura. La recta que une sus cúspi◦ ′ des forma un ángulo angulo de 30 40 con el plano horizontal horizontal.. Determinar Determinar las distancias que separa a los mástiles. astiles. Resp:9, Resp:9,1 pies. 4. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el oeste. En cierto punto gira 30◦ N N y viaja viaja 42 km km.. adici adiciona onale less hast hastaa el punt puntoo que que dist distaa 63km. del puerto. ¿Qué distancia hay del puerto al punto donde giró el barco?.Resp:23, barco?.Resp:23,02 5. Un asta de bandera bandera est´ a ubicada en la parte superior de un edificio de 115 pies de altura. Desde un punto del mismo plano horizontal d ela base de un edificio, los ángulos angulos de elevación on de los extremos superior e ◦ ◦ inferior del asta son 63, 63 , 2 y 58 58,, 6 , respectivamente. ¿Cuál al es la altura del asta de bandera?. Resp:23, Resp:23,925 pies. 6. Un observ observador quiere medir el ancho ancho de un r´ıo, caudalosos caudalosos y repleto repleto de pira˜ n as. Para tal objeto, dirige su visual a un árbol nas. arbol en la rivera opuest opuestaa y al borde borde del r´ıo, com compro proban bando do que el ángulo angulo agudo que forma su visual con la ribera donde se encuentra el observador (que se supone recta) es de 45 ◦ . Despu´ es es de avanzar avanzar 100 metros por p or la ribera, alej´ andose andose del árbol, arbol, observa que la visual dirigida al árbol arbol forma ahora





7. Un barco pesquero p esquero B ésta esta a 6km. Hacia el Este de otro barco pesquero A. El sonar electrónico onico del barco A indica un cardumen al N 60 N 60◦ O de A y al sonar electrónico onico del barco B indica que el cardumen está a ◦ N 70 N 70 O de B. a ) ¿A qué distancia del barco A está el cardumen?

e distancia del barco B está el cardumen? cardumen? Resp: a)11, a)11,42km b ) ¿ A qu´ y b)17, b)17,28 km. 8. La ciudad A está directamente al Sur de la ciudad B, entre las dos ciudades no hay vuelos directos de aviones. Los aviones primero viajan 280km, desde la ciudad A a la ciudad C, que está a 51◦ al noroeste de A, y luego viajan 420km. hasta la ciudad B. ¿Cuál al es la distancia en l´ınea recta desde A hasta h asta B?. 9. Un barco naveg navega a con rumbo de N de N 65 65◦ E desde desde un punto, a una distancia de 18 millas náuticas. auticas. En ese punto cambia su curso a un rumbo de ◦ N 15 N 15 O y viaja 22 millas náuticas. auticas. ¿Cuál al es la distancia en l´ınea recta desde el punto a su punto final?. 10. Las funciones funciones trigonom´ trigonom´ etricas etricas de la forma y = a + bsenw( bsenw (t t 0 ), en donde a,b,w,t a,b,w,t0 , son constante reales, se usan con frecuencia para simular simular la variaci´ ariación on en la temperatura. Suponga que F ( F (t) = 23 + π 7sin 2 (t 8) con 0 t 24; da la temperatura en grados Celsius de F a t horas después es de la medianoche median oche de cierto d´ıa.

−

−

≤ ≤

al es la temperatura a las 8 a.m. y las 12 a.m.? al a ) ¿Cu´ e hora la temperatura temp eratura es 23 ◦ C? b ) ¿ A qu´ race la gráfica afica F c ) Trace ales son las temperaturas máximas?¿a ales aximas ?¿a qué hora ho ra se alcanza a lcanzan? n? d ) ¿Cu´ Resp: a)23◦ , 29 29,, 1; b)a las 8 a.m. y a las 8 p.m.;30y p.m.;30 y16 a las 2 p.m. y 2 a.m., respectivamente. 11. Una persona se propone propone medir la altura altura de un edificio que que está al frente de su casa, situada a 12m 12 m de distancia. Para ello se sube a la terraza de su casa y mide el ángulo angulo de elevación on de la terraza del edificio y el angulo ángulo de depresión on de base, obteniendo 45◦ y 60◦ respectivamente. respectivamente. edificio del frente; frente; Resp:32, Resp:32,7846 a ) La altura del edificio casa;Resp:: 20.78 b ) La altura de su casa;Resp







12. Una persona persona mide mide un terren terrenoo triangu triangular lar y com comuni unica ca la siguie siguient ntee in¨ formaci´ on: on: Uno de los lados mide 58, 58,4m y el otro 21, 21 ,1m. El ángulo angulo ◦ opuesto al lado más as corto es de 24 . ¿Podrá ser correcta esta informaci´ on? on? Resp: Falso 13. Dos Barcos Barcos parten parten del mismo mismo puerto puerto a las 7a.m.. 7a.m.. Uno de ellos ellos parte hacia el norte a 8 millas náuticas auticas por hora y el otro al N 78 N 78◦ E a 11 millas náuticas auticas por hora. ¿Cuál a l es la distancia entre ellos a las 10 a.m.?. 14. Desde un tren que viaja hacia el norte por una v´ v´ıa recta, el maquinmaquin◦ ista observa una columna de humo en dirección on N 20 De spu´ ués es de N 20 E . Desp ◦ recorrer 475 pies, observa la misma columna en dirección N on N 71 71 E . qué distanc distancia ia estaba estaba el humo humo del primer primer punto punto de obserobsera ) ¿A qu´ vaci´ on?; on?; Resp: 449, 449,18 segundo?; Resp:162.48 Resp:162.48 b ) ¿Del segundo?; 15. Dos guardabosques descubren la misma fogata clandestina en direcci´ dirección on ◦ ′ ◦ ′ N 52 N 52 40 O y N 55 N 55 30 E E de sus posicio posiciones nes respect respectiv ivas, as, si el segund segundoo guardabosques estaba a 1, 1,93 km al oeste del primero primero y el vig´ vig´ıa más as cercano al fuego es el que debe acudir. ¿Cuál al de ellos tuvo que hacerlo y cuanto cuanto tendr´ tendrá que caminar?. Resp: Acude el primer guardabosques, a = 3,5 y b = 3,75. 16. Dos barcos barcos tienen tienen equipos equipos de radio, cuyo cuyo alcanc alcancee es de 200 millas. millas. ◦ ′ Uno de los barcos se encuentra a 155 millas N millas N 42 42 40 E de de una estación on ◦ ′ costera y el otro se encuentra a 165 millas N 45 N 45 10 O de la misma estaci´ on. on. ¿Pueden ¿Pueden los dos barcos, barcos, comunicar comunicarse se entre entre si directamen directamente?. te?. Resp: Distancia entre ay entre aybb = 222, 222,073 por lo tanto no se pueden comunicar.





19. Dos autos parten de la intersec intersecci´ ci´ on de dos carreteras rectas y viajan on km km a lo largo de ella a 80 hr y 100 hr respectivamente. Si el ángulo angulo de ◦ la intersección on de las carreteras es 80 . ¿Qué tan separados separad os están an los autom´ oviles al cabo de 45 minutos?. Resp: 89, oviles 89 ,60km. 20. Un observ observador ador determi determina na que el ángulo angulo de elevación o n a una torre es A: avanza a mt. hacia la torre y el ángulo angulo de elevación o n es 45◦ , sigue avanzando b mt y el ángulo angulo de elevación o n es (90◦ A). Determine la altura de la torre. Resp: aab −b mt

−

21. En un librer librero, o, el tomo tomo II de la encicl enciclopedi opediaa se ha inclin inclinado ado formanforman◦ do un ángulo angulo de 12 con el tomo III. Si el largo de cada tomo es 30 cent´ cent´ımetros, ¿ qu´ e distancia hay entre ellos?. Si el tomo I está acomodado en forma vertical vertical y su pie toca el del tomo II. ¿qu´ e ángulo angulo se forma entre ellos?. Resp: La distancia entre el tomo II y el tomo III es aproximadamente de 6, 6,24 cm. y el ángulo angulo formado por el tomo I y el tomo II es 12◦ .

Listado-Trigonometria

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