TREND EKSPONENSIAL EKSPONENSIAL (LOGARITMA) ( LOGARITMA) Kita telah mengenal trend garis lurus (linear trend) dengan bentuk persamaan Y· = a + bX. Dalam hal ini b adalah rata-rata kenaikan Y per satuan waktu (per bulan, per tahun, dan lain sebagainya). Ada beberapa jenis trend yang tidak linear tetapi dapat dibuat linear dengan
jalan
melakukan
transformasi
(perubahan
bentuk).
Misalnya,
trend
eksponensial:
Y' = abX dapat diubah menjadi trend semi log: log Y'= log a+ (log b)X; logY'' =Y'0 ;log a = a0 dan log b = b0.Dengan demikian, Y'()= a0+b0 X , di mana koefisien a0 dan b0 dapat dicari berdasarkan persamaan normal. Trend
eksponensial
pendapatan
nasional,
sering
produksi,
dipergunakan hasil
untuk
penjualan,
meramalkan
dan
jumlah
kejadian-kejadian
penduduk, lain
yang
perkembangan/pertumbuhannya secara geometris (berkembang dengan cepat sekali). CONTOH 8.9 Hasil penjualan PT. Sinar Surya selama 3 tahun menunjukkan perkembangan
yang cepat sekali, seperti ditunjukkan dalam Tabel 8.6. TABeI _ ) Penjualan Hipotetis PT. Sinar Surya,1997 - 1999. ________________________________
Tahun
1997
1998
1999
Hasil penjualan
20
80
400
(Jutaan rupiah) Dengan menggunakan trend eksponensial, ramalkan hasil penjualan tahun 2000! PENYELE SAIAN SAIAN
MU*. Tahun
X
logy
XlogY
< Y0>
(XY0 )
X2
1997
-1
20
1,30103
-1,30103
1
1998
0
80
1,90309
0
0
1999
1
4(X)
2,60205 2,602 05
2,60205
1
Y = 5,80617
XY 0=1,30102
Jumlah
X =0
Persamaan normal: (1)a0 n + a0 X = Y0
3a0= 5,80617
1|Page
y
Y= 5oo
0
X 2 = 2
(2) a0 Y0+ b0X2=XY0
2b0= 1,30102
Dari persamaan (1), 3a0= 5,80617, makaa0= log a=(5,80617) = 1,93539. Dari daftar log
dapat
diketahui
bahwa
log
a=
1,93539.
Dengan
demikian,
nilaia
merupakan
antilog 1,93539, atau 86,2.
Dari persamaan (2), 2b0= 1,30102, maka b0= log b = (1,30102) = 0,65051. Jadi, nilai
b= 4,47. Garis trend Y·0=a0 +b0X Y·0= 1,93539 + 0,65051X (dalam semi log). Untuk tahun 2000, X = 2Y·0= a0+b0X Y'0 = log Y = 1,93539 + 0,65051(2) = 1,93539 + 1,30102 = 3,23641 = 3,2364. Ramalan Y = 1.730 (dari daftar log, angka yang dekat adalah 3,2380).
Y' =abX Y'= (86,2)(4,47)x (dalam eksponensial) Untuk
X
=
2
Y·=
(86,2)(4,47)2=
(86,2)(19,9809)
=
1.722,35.
Hasilnya
ada
perbedaan
sedikit (akibat pembulatan). CONTOH 8.10 Kenaikan harga yang dinyatakan dalam kenaikan indeks harga, mempunyai
pengaruh negatif yang sangat kuat terhadap penurunan hasil penjualan secara geometris. Data selama 6 tahun menunjukkan perkembangan harga (X) dan hasil penjualan Y. Karena bukan variabel waktu, maka hubungan yang kita peroleh merupakan persamaan garis regresi dan bukan garis trend. Data selama 6 tahun terakhir adalah sebagai berikut:
X (indeks harga)
54,3
61,8
72,4
88,7
118,6
194,0
Y (hasil penjualan,
61,2
49,5
37,6
28,4
19,2
10,1
jutaan rupiah) Dengan menggunakan persamaan Y·=aX b , berapa nilai ramalan Y, kalau X = 100? PENYELESAIAN
Y' =aX b (eksponensial), harus dibuat transformasi dengan menggunakan log. log Y'= loga+ b log X (regresi linear logaritma), logY· =Y'0 , loga=a0 log X = X0 ,Y'0=a0+ bX 0 merupakan regresi linear.
2
|Page
X0= log X
Y0 = log Y
X20
1,7348
1,7868
3,0095
3,0997
1,7910
1,6946
3,2077
3,0350
1,8597
1,5752
3,4585
2,9294
1,9479
1,4533
3,7943
2,8309
2,0741
1,2833
4,3019
2,6617
2,2878
1,2340
5,2340
2,2976
Y 0= 8,7975
X02= 23,0059
X0 =11,6953
3
|Page
X0Y0
X0Y0 = 16,8543
X = -1
Y'= 40- 20(-1 = 0
X =0
Y'= 40-20()°=20
X =1
Y' = 40-20()'=30
X =2
Y'= 40 - 20( )2=35
Makin lama angka-angka di atas makin mendekati nilai k. Dengan perkataan lain, k merupakan nilai asymptote (selalu didekati, tetapi tidak pernah dicapai).
Bentuk Kurva Trend Eksponensial yang Diubah
Tergantung pada nilaia dan b , maka bentuk kurva Y'= k +abx dapat berubah-ubah seperti terlihat pada Peraga 8.2. gambar
a >0,b
a >0,b
<1
>1
Kalaua >O, b >1, maka bentuk kurvanya seperti contoh yang diberikan di atas. Oleh
bentuk
karena bentuk trend (regresi) eksponensial yang diubah tidak dapat dijadikan
linear
dengan
jalan
transformasi,
maka
untuk
memperkirakan
atau
menghitung
nilai koefisien a dan b tidak dapat digunakan metode kuadrat terkecil(least square method). Jadi di sini harus dipergunakan cara yang lain, yaitu dengan memilih beberapa titik. Caranya adalah sebagai berikut: Kita
peroleh
X=0,
tiga X=2,
titik,
yaitu: X=4,
Y y = k + abP = k + a
(1)
Y2=k+ ab2
(2)
Y 3= k + abA
(3)
Dalam 3 persamaan di atas terdapat 3 bilangan konstan yang tidak diketahui, yaitu k , a , dan b. Dengan melakukan pemecahan terhadap persamaan di atas, kita peroleh
Apabila banyaknya tahun antara Y1 ,Y2 , dan Y3 bukan 2 tahun, akan tetapi t tahun, maka rumus
untuk
menghitung
k ,
a ,
dan
b
adalah
sebagai
berikut:
CONTOH 8.11
Hasil penjualan Perusahaan XYZ dalam jutaan rupiah selama 6 tahun terakhir
disajikan dalam Tabel 8.11.
pnejualan hipotesis Perusahaan X YZ Enam Tahun Terakhir Tahun
(X)
Hasil penjualan
(V)
1994
1995
1996
1997
1998
1999
(0)
0)
(2)
(3)
(4)
(5)
3
7
9
21
33
70
Dengan menggunakan trend eksponensial yang
diubah, berapa besarnya ramalan
hasil
penjualan untuk tahun 2000? PENYELESAIAN 3 titik yang kita pilih diganti dengan memilih penjualan tahun 1994 (X =0),
19% (X = 2) dan 1998 (X = 4), berjarak 2 tahun. Dengan menggunakan rumus k , a , dan
b di atas, kita peroleh:
|
f*
Nilai X yang digunakan untuk meramal penjualan tahun 2000 adalah Y'=1+ 2(2)6= 129 (Rpl29 juta).
TREND LOGISTIK _________________________________________________________________________ Trend logistik biasanya dipergunakan untuk mewakili data yang menggambarkan perkembangan/pertumbuhan yang mula-mula cepat sekali, tetapi lambat-laun agak lambat, di mana kecepatan pertumbuhannya makin berkurang sampai tercapai suatu titik jenuh
(saturation point). Pertumbuhan semacam ini biasanya dialami oleh pertumbuhan suatu jenis industri, dan pertumbuhan biologis lainnya. Bentuk trend logistik misalnya adalah sebagai berikut:
a b , dan konstan, biasanya b < 0.
Dalam hal ini kalau X , 10a+bX 0, dan Y'
(8.15)
k , maka k merupakan asymptote, yaitu
batas atas. Bentuk kurvanya diperlihatkan dalam Peraga 8.4 pada halaman berikut. Sebelum titik B , laju pertumbuhan terjadi dengan cepat sekali. Setelah titik B , laju pertumbuhan mulai menurun. Bilangan konstan k,a, dan b dapat dicari dengan cara seperti trend eksponensial yang diubah, yaitu memilih beberapa titik. Misalnya data selama
6
tahun
adalah
sebagai
berikut:
C TABEL 8.12)
Kita pilih 3 titik T v T2, T3 dengan nilai (X =0; Y0), (X = 2; Y2), dan (X = 4; Y4 ).
k
Setelah nilai X dimasukkan ke Y sebagai berikut.
T 2 T 3 T 1
, kita dapat mencari persamaan untuk T
Dari 3 persamaan tersebut, dapat kita peroleh pemecahan yang memberikan nilai b , n , dan k. Untuk mencari b , perhatikan bahwa,
Jadi nya ,
Untuk mencaria, perhatikan bahwa,
Setelah diketahui log-nya, dicari nilai a sebagai berikut.
Akhirnya
Pada umumnya, kalau titik yang diambil berjarak / tahun, maka
diambil log
CONTOH
8.12 Perkembangan
jumlah
perusahaan
industri
pengolahan
di
ditunjukkan oleh Tabel 8.13 sebagai berikut:
Jumlah Hipotetis Industri Pengolahan di Suatu Daerah
Berapa ramalan banyaknya industri pengolahan pada tahun 2000 (X = 6)?
suatu
daerah
PENYELESAIAN Kita pilih 3 titik T v T 2 , T 3 yaitu untuk X = 0 ,2 , dan 4; dan Y = 2 ,6, dan 9.
Jadi garis trend logistik:
Untuk tahun 2000, X = 6.
Jadi
kalau
dibulatkan,
ramalan
banyaknya
perusahaan
pengolahan
industri
di
daerah
tersebut pada tahun 2000 = 10 buah. Kalau sudah mencapai titik jenuh, maka ini berarti bahwa nilai Y = 10 (mendekati 10).
TREND GOMPERTZ Trend Gompertz biasanya dipergunakan untuk meramalkan jumlah penduduk pada usia tertentu. Trend Gompertz, bentuknya sebagai berikut: Y'= kabX di mana k , a , dan b konstan.
(8.16)
Kalau diambil lognya, log Y·= log k+ (log a ) (bX )
Selanjutnya kalau log Y =Y^ log k
=k^ dan loga=
TREND GOMPERTZ
Y
ka
bx
