Restauración de señales: Filtrado repetitivo en dominios fraccionarios de Fourier consecutivos Alejandra Fernández - José Manjarrés Universidad del Norte
16 de Noviembre del 2010
Introducción
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Introducción
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Transformada de Fourier
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Transformada fraccional de Fourier
4
Filtrado repetitivo en dominios consecutivos Problema Solución
Introducción
Filtrado repetitivo en dominios fraccionarios de Fourier consecutivos: Filtrar en un dominio del tiempo o en un dominio de la frecuencia ha sido recientemente generalizado como un filtrado en el dominio fraccional de Fourier. El filtrado en la restauración de las señales busca el perfil de un filtro óptimo donde resulte la mínima desviación cuadrática de la señal original. Las implementaciones digitales y ópticas de la transformada fraccional de Fourier no implica un trabajo extra comparada con la transformada de Fourier ordinaria. Estas mejoras son alcanzadas sin ningún costo adicional.
Introducción
Filtrado repetitivo en dominios fraccionarios de Fourier consecutivos: Filtrar en un dominio del tiempo o en un dominio de la frecuencia ha sido recientemente generalizado como un filtrado en el dominio fraccional de Fourier. El filtrado en la restauración de las señales busca el perfil de un filtro óptimo donde resulte la mínima desviación cuadrática de la señal original. Las implementaciones digitales y ópticas de la transformada fraccional de Fourier no implica un trabajo extra comparada con la transformada de Fourier ordinaria. Estas mejoras son alcanzadas sin ningún costo adicional.
Introducción
Filtrado repetitivo en dominios fraccionarios de Fourier consecutivos: Filtrar en un dominio del tiempo o en un dominio de la frecuencia ha sido recientemente generalizado como un filtrado en el dominio fraccional de Fourier. El filtrado en la restauración de las señales busca el perfil de un filtro óptimo donde resulte la mínima desviación cuadrática de la señal original. Las implementaciones digitales y ópticas de la transformada fraccional de Fourier no implica un trabajo extra comparada con la transformada de Fourier ordinaria. Estas mejoras son alcanzadas sin ningún costo adicional.
Introducción
Definición (Filtrado en el dominio del tiempo) Consiste en la multiplicación de una señal de entrada con un filtro multiplicador (respuesta al impulso) para obtener la señal de salida. Llamamos a esta operación: filtrado multiplicativo en el dominio del tiempo.
Introducción
Definición (Filtrado en el dominio de la frecuencia) Similar al anterior, éste consta de una transformación para la entrada quien se multiplica por un filtro multiplicativo, dando como resultado una salida que debe ser transformada inversamente al dominio del tiempo. Este proceso recibe el nombre de Filtrado de Filtrado multiplicativo en el dominio de la frecuencia.
Introducción
Definición (Filtrado en dominios fraccionarios de Fourier) La señal de entrada esta vez es transformada a un dominio fraccionario de Fourier, cuyo orden es el real a. Una vez transformada es multiplicada por una respuesta al impulso similar a las anteriores, y la salida es transformada en −a para volver al dominio del tiempo. Esto se define como: Filtrado multiplicativo de orden a en el dominio fraccionario de la transformada de Fourier.
Introducción
Definición (Filtrado repetitivo en dominios fraccionarios de Fourier) La búsqueda de una salida en condiciones óptimas nos lleva a aplicar el concepto de: Filtrado repetitivo en dominios fraccionarios de Fourier Consecutivos. Donde el primer filtro es aplicado en el dominio fraccional 0, esto es el dominio del tiempo, el segundo filtro en el dominio a1 , el tercero en el dominio fraccional (a1 + a2 ) y así sucesivamente.
Transform ransformada ada de Fourier
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Introducción
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Transformada de Fourier
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Transformada fraccional de Fourier
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Filtrado repetitivo en dominios consecutivos Problema Solución
Transform ransformada ada de Fourier
Transformada de Fourier: Aplicaciones La transformada de Fourier divide Fourier divide una imagen (una señal si es una dimensión) en un conjunto de componentes del seno y del coseno. Es importante mantener estas componentes separadas, y así un vector coseno,, seno seno) es utilizado en cada punto del dominio de la de la forma (coseno frecuencia de la imagen, es decir, los valores de los píxeles en el dominio de la frecuencia de la imagen son vectores componentes. Una manera conveniente de representarlos es mediante números complejos.
Transform ransformada ada de Fourier
La transformación de Fourier es un tratamiento localizado en la frecuencia que frecuencia que nos ayuda a eliminar la distorsión de señales y lograr una recuperación dependiendo de las carácteristicas en frecuencia de la misma.
Transforma ransformada da fraccional de Fourier
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Introducción
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Transformada de Fourier
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Transformada fraccional de Fourier
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Filtrado repetitivo en dominios consecutivos Problema Solución
Transforma ransformada da fraccional de Fourier
Definición La transformación fraccional de Fourier es Fourier es definida como una operación matemática que generaliza la transformada de Fourier. Esta transformación juega un papel en la interpretación de fenómenos ópticos y en el procesamiento de señales. Propiedades esenciales de la transformada 1
Linealidad
2
El primer orden de la transformación corresponde a la transformación ordinaria de Fourier a = 1
3
Los índices son aditivos, es decir, F a F a = F a 1
2
1+
a2
Definición (Matemática) a
F {f (x)} =
e
π
i4
e
∞
a
i2
−
| sin a| e
iπx 2 cot a
−
−∞
e
iπx 2 cot a
−
e
2πxx
sin a
f (x)dx
(1)
Transforma ransformada da fraccional de Fourier
Definición La transformación fraccional de Fourier es Fourier es definida como una operación matemática que generaliza la transformada de Fourier. Esta transformación juega un papel en la interpretación de fenómenos ópticos y en el procesamiento de señales. Propiedades esenciales de la transformada 1
Linealidad
2
El primer orden de la transformación corresponde a la transformación ordinaria de Fourier a = 1
3
Los índices son aditivos, es decir, F a F a = F a 1
2
1+
a2
Definición (Matemática) a
F {f (x)} =
e
π
i4
e
∞
a
i2
−
| sin a| e
iπx 2 cot a
−
−∞
e
iπx 2 cot a
−
e
2πxx
sin a
f (x)dx
(1)
Transforma ransformada da fraccional de Fourier
Definición La transformación fraccional de Fourier es Fourier es definida como una operación matemática que generaliza la transformada de Fourier. Esta transformación juega un papel en la interpretación de fenómenos ópticos y en el procesamiento de señales. Propiedades esenciales de la transformada 1
Linealidad
2
El primer orden de la transformación corresponde a la transformación ordinaria de Fourier a = 1
3
Los índices son aditivos, es decir, F a F a = F a 1
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1+
a2
Definición (Matemática) a
F {f (x)} =
π
i4
e
e
∞
a
i2
−
iπx 2 cot a
−
| sin a| e
−∞
e
iπx 2 cot a
−
e
2πxx
sin a
f (x)dx
(1)
Transforma ransformada da fraccional de Fourier
La tranformación fraccional de Fourier es ideal en el proceso de recuperación de señales, siendo la calidad directamente proporcional al orden del dominio fraccional.
Transforma ransformada da fraccional de Fourier
Transformada fraccional de Fourier y distribución de Wigner La distribución de Wigner es Wigner es una herramienta importante, que permite la representación de señales en el espacio tiempo-frecuencia, estableciendo una relación fundamental para la recuperación de señales. La transformada fraccional de Fourier está Fourier está relacionada con la distribución de Wigner ya que tomar la proyección de la distribución de una señal distorsionada y hacerla rotar en ángulos determinados por la transformada fraccional( φ = aπ ), logra una 2 supresión casi total del ruido.
Transforma ransformada da fraccional de Fourier
Transformada de Fourier fraccional y la distribución de Wigner
Filtrado repetitivo en dominios consecutivos consecutivos
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Introducción
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Transformada de Fourier
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Transformada fraccional de Fourier
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Filtrado repetitivo en dominios consecutivos Problema Solución
Filtrado repetitivo en dominios consecutivos consecutivos
Introducción al filtrado en dominios consecutivos La relación establecida entre la transformada fraccional de Fourier y la distribución de Wigner nos da un gran acercamiento hacia la solución planteada para la recuperación de señales: Filtrado repetitivo. La idea principal que se maneja es tomar la señal distorsionada y filtrar en dominios fraccionales diferentes, para alcanzar un filtrado diferente en cada dominio. Esto ha sido planteado rompiendo con el uso tradicional de estimadores óptimos lineales.
Filtrado Filt rado repe repetiti titivo vo en domi dominios nios cons consecut ecutivo ivos s
Problem Pro blema a
Problema
ˆ opt que cumpla con la En principio, lo ideal es buscar un operador G condición: ˆ opt y¯ x ¯=G donde x ¯ sea una función de entrada con un error cuadrático minimizado por el estimador óptimo aplicado a y¯. Hasta el momento se consideraría un filtro óptimo Wiener aplicable para sistemas LTI y solo necesitaría de transformadas ordinarias de Fourier. Pero, si el ruido y la distorsión son aleatorios, ¿Qué se puede hacer?
Filtrado Filt rado repe repetiti titivo vo en domi dominios nios cons consecut ecutivo ivos s
Solución Solu ción
Solución Con una gran variedad de aplicaciones y relativos bajos costos de implementación, el filtrado consecutivo de la señal en dominios fraccionales de Fourier, se presenta como la solución para este problema. Un numero moderado de estos filtros, toma menos tiempo ˆ opt y sólo consta computacional en realizar la misma operación que G de un algoritmo iterativo que hace el filtrado una y otra vez de manera que cada dominio fraccional converja hacia un punto mínimo relativo de error.
Filtrado Filt rado repe repetiti titivo vo en domi dominios nios cons consecut ecutivo ivos s
Solución Solu ción
Ejemplos de aplicación
(a) Señal original
(b) Señal distorsionada
Filtrado Filt rado repe repetiti titivo vo en domi dominios nios cons consecut ecutivo ivos s
Solución Solu ción
(c) Señal filtrada con Transformada (d) (d) Seña Señall filtr filtrad ada a cuat cuatro ro veces eces en ordinaria de Fourier dominios fraccionales
Filtrado Filt rado repe repetiti titivo vo en domi dominios nios cons consecut ecutivo ivos s
Solución Solu ción
Ejemplos de aplicación
Reduciendo el ruido en una señal sinusoidal La siguiente figura muestra una señal sinusoidal distorsionada por un ruido aleatorio, y al lado su resultante despues de haber sido filtrada cuatro veces en dominios consecutivos fraccionales de Fourier.
Filtrado Filt rado repe repetiti titivo vo en domi dominios nios cons consecut ecutivo ivos s
Solución Solu ción
Conclusión El filtrado repetitivo se ofrece como una técnica alternativa en la recuperación de señales, bajo el uso de la transformada fraccional de Fourier. Tiene un mayor rendimiento que el filtrado simple en el dominio de la frecuencia con un pequeño incremento en costos, y conlleva a resultados de error cercanos al estimador óptimo lineal, siendo más barato que éste. Puede no ser el método ideal, pero arroja excelentes resultados optimizando tiempo y costos de manera equilibrada.
