Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones Cuatrimestre Enero-Abril 2013 Métodos Numéricos Unidad 3. Interpolación de funciones 3.3. Aproximación de Fourier 3.3.1. Ajuste de curvas con funciones sinusoidales Una función periódica f (t) es aquella para la cual
f (t) = f (t + T )
(3.3.1.)
Donde T es una constante llamada periodo, que es el valor menor para el cual es válida la ecuación (3.3.1.) Entre los ejemplos se encuentran diversas formas de onda, tales como ondas cuadradas y dientes de sierra. Las o ndas fundamentales son las funciones sinusoidales. sinusoidales. Se usa el término sinusoide para representar cualquier forma de onda que se pueda describir como un seno o un coseno. No existe una convención muy clara para elegir entre estas funciones y, en cualquier caso, los resultados serán idénticos. En este análisis se usará el coseno, que generalmente se expresa como:
f (t) = A0 + C1 cos( ω0t + θ )
(3.3.2.)
Así, cuatro parámetros sirven para caracterizar la sinusoide. El valor medio A0 establece la altura promedio sobre las abscisas. La amplitud C1 especifica la altura de la oscilación. La frecuencia angular
ω 0
caracteriza con qué frecuencia se presentan los ciclos. Finalmente, el ángulo de fase, o
corrimiento de fase
θ ,
parametriza en qué extensión la sinusoide está corrida horizontalmente.
y(t)
C1
A0
θ
T 2
1 π
2π
t(s)
3π
t(rad rad)
ω
Esto puede medirse como la distancia en radianes desde t = 0 hasta el punto donde la función coseno empieza un nuevo ciclo.
Docente: Genaro Luna Tapia
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Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones Cuatrimestre Enero-Abril 2013 Métodos Numéricos Unidad 3. Interpolación de funciones Un valor negativo de
θ
se conoce como como un ángulo de fase de atraso, ya que la curva
cos( ω0t − θ ) comienza un nuevo ciclo de
θ
radianes después del cos(ω 0t) . Así, se dice que
cos( ω0t − θ ) tiene un retraso cos(ω 0t) . En forma opuesta, un valor positivo de
θ
se refiere como
un ángulo de fase de adelanto. La frecuencia angular (en radianes/tiempo) se relaciona con la frecuencia f (en ciclos/tiempo) mediante ω0
=
2π f
(3.3.3.)
Y a su vez, la frecuencia está relacionada con el periodo T (en unidades de tiempo) mediante
f =
1
(3.3.4.)
T
Aunque la ecuación (3.3.2.) representa una caracterización matemática adecuada de una sinusoide, es difícil trabajar desde el punto de vista del ajuste de curvas, pues el corrimiento de fase está incluido en el argumento de la función coseno. Esta deficiencia se resuelve empleando la identidad trigonométrica
C1 cos(ωot + θ ) = C1 cos(ωot) cos(θ ) − sen(ω ot) sen(θ )
(3.3.5.)
Sustituyendo la ecuación (3.3.5.) en la ecuación (3.3.2.) y agrupando términos se obtiene f ( t) = A0 + A1 cos( ω0t ) + B1sen(ω 0t )
(3.3.6.)
Donde B1 = −C1sen(θ )
A1 = C1 cos(θ )
(3.3.7.)
Dividiendo las dos ecuaciones anteriores y despejando se obtiene: −1
θ = tg
B1 − A1
Donde, si A1 < 0 , sume
(3.3.8.)
π
a
θ .
Si se elevan al cuadrado y se suman las ecuaciones (3.3.7.),
llegamos a
C1 =
A12 + B12
Docente: Genaro Luna Tapia
(3.3.9.) 2
Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones Cuatrimestre Enero-Abril 2013 Métodos Numéricos Unidad 3. Interpolación de funciones Así, la ecuación (3.3.6.) representa una fórmula alternativa de la ecuación (3.3.2.) que también requiere cuatro parámetros; pero que se encuentra en el formato de un modelo lineal general.
3.3.2. Serie de Fourier continúa Para una función con un periodo T , se escribe una serie de Fourier continua
f (t) = a0 + a1 cos(ω0t) + bsen (ω0t ) + a2 cos(ω0t) + b2sen( ω0t ) + 1
O de manera concisa, f ( t) = a0 +
∞
∑ a cos(ω t) + b sen(ω t ) k
0
k
0
(3.3.10.)
k=1
Donde
ω0
=
2π / T
se denomina la frecuencia fundamental y sus múltiplos constantes
2ω0,3ω 0, etc. , se denominan armónicos. De esta forma, la ecuación (3.3.10.) expresa a f ( t) como una combinación lineal de las funciones base: 1,cos( ω0t) , sen(ω0t) ,cos( 2ω0t) , sen( 2ω0t) ,
Los coeficientes de la ecuación (3.3.10.) se calculan por medio de
ak =
bk =
2
T
T ∫
0
2
T ∫
T
0
f ( t) cos( kω 0t) dt
(3.3.11.)
f ( t) sen( kω 0t ) dt
(3.3.12.)
Para k = 1,2, y
a0 =
1
T
T ∫0
f ( t) dt
Docente: Genaro Luna Tapia
(3.3.13.)
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