Procesamiento Digital de Señales Tema 2. La transformada de Four Fo urie ierr en tie tiemp mpo o disc discre reto to.. El teorema de muestreo.
Índice del tema 1. 2.
Introducción. Seriess de Fourier Serie Fourier (seña (señales les periódic periódicas). as). 1. 2.
3.
Transformad Trans formada a de Fourier (seña (señales les no periódicas periódicas). ). 1. 2. 3. 4. 5.
4.
Energía. Densidad espectral de energía. Ejemplos. Propiedades de la DTFT.
El teorema del muestreo. La Transform Transformada ada discreta discreta de de Fourier Fourier (DFT (DFT). ). 1. 2. 3.
7.
Transformada de Fourier. Energía. Densidad de energía espectral. Ejemplos. Propiedades
Transforma Trans formada da de Fourier Fourier en tiempo discreto discreto (DTFT) (DTFT).. 1. 2. 3. 4.
5. 6.
Potencia y densidad de potencia espectral. Ejemplos.
Ejemplos. Propiedades. Algoritmos rápidos de cálculo (FFT: Fast Fourier Transform).
Aplicaciones (estimación (estimación espectral).
Introdu Intr oducción cción a la tra transfo nsformad rmada a de Four Fourier ier (1/2 (1/2))
Ejemplo:
Luz blanca que pasa a través de un prisma.
Violeta Azul Verde Amarillo Naranja Rojo
Rayo de luz solar
Prisma de vidrio
Pantalla
Introducción a la transformada de Fourier (2/2)
Es una de las herramientas más útiles en procesado de señal. Se basa en la descomposición de una señal en términos de un conjunto de funciones base (sinusoides de diferente frecuencia). Señales continuas (analógicas):
Periódicas: No periódicas:
Series de Fourier. Transformada de Fourier.
Señales discretas (digitales):
Periódicas: No periódicas:
Series de Fourier en tiempo discreto (DTFS) Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
Series de Fourier (señales periódicas)
Toda señal de periodo Tp=1/F0 se puede expresar por medio una serie de Fourier: T +∞
x (t ) =
∑
j 2π kF0 t
;
ck e
ck =
k = −∞
Equivalentemente:
1
Tp
p
∫0
x(t )e
− j 2π kF0t
dt
∞
x (t ) = a0 +
∑1 [a
k
cos(2π kF0t ) − bk sin(2π kF0 t )]
k=
a0 = c 0
Potencia (Tª Parseval): Px =
ak = 2 c k cos θ k
;
1 Tp
Tp
∫0
2
x(t ) dt =
+∞
∑
ck
;
2
k = −∞
Densidad de potencia espectral:
Potencia del armónico kF0 de la señal
Pk= |ck|2
bk = 2 c k sinθ k
Ejemplo 1: Tren periódico de pulsos rectangulares c0 =
ck =
=
1 Tp
1 Tp
Tp 2
∫
−Tp 2 τ
∫
2
x (t )dt =
Ae
− j 2π kF0 t
−τ 2
Aτ sin(π kF0τ ) Tp
π kF0τ
1
τ
Tp
∫
dt =
2
Adt =
−τ 2
A e
Aτ Tp
− j 2π F0 kt
Tp − j 2π kF0
k = ±1,±2,...
τ
2
−τ 2
Ejemplo 1: (continuación)
La señal se puede aproximar mejor con un número finito de armónicos. x(t ) ≅ a0 +
N
∑ [a
k
cos(2π kF 0t ) − bk sin( 2π kF 0t )]
k =1
Ejemplo: tren de pulsos. Al ser los coeficientes ck reales,
θ k=
0 ∀k
a0 = c 0
c k = A
;
τ
Tp
sin π k τ Tp π k τ
θ k
Tp
ak = 2 c k cos θ k
;
=0
bk = 2 c k sinθ k = 0
N
∑1 c
x (t ) ≅ c 0 + 2
k=
Ejemplo
k
cos(2π k t Tp )
Transformada de Fourier (señales aperiódicas)
Se define la transformada de Fourier de x(t) como:
∫ x (t ) = ∫
X (F ) =
+∞
−∞ +∞ −∞
X (F )e j 2π Ft dF
Energía de una señal (Tª Parseval): Ex =
x(t )e − j 2π Ft dt
+∞
∫−∞
2
x(t ) dt =
+∞
∫−∞
2
X (F ) dF
Densidad espectral de energía: S xx (F ) = X (F )
2
Ejemplo 1: Pulso rectangular τ
X (F ) =
2
Ae − j 2π Ft dt
∫
−τ 2
= Aτ
sin(π Fτ ) π Fτ
⎡ sin(π Fτ ) ⎤ S xx (F ) = A 2τ 2 ⎢ ⎥ ⎣ π Fτ ⎦
2
Propiedades de la transformada de Fourier
Linealidad:
Simetría:
F{x(t)∗h(t)}= H(F)X(F)
Teorema de convolución en frecuencia:
F{exp(j2 πF0t)·x(t)}= X(F-F0)
Teorema de convolución:
F{x(t-t0)}= exp(-j2πFt0)·X(F)
Traslación en frecuencia:
F{x(kt)}= X(F/k)/k
Traslación en el tiempo:
F{X(t)}= x(-F)
Escalado:
F{a·x1(t)+b·x2(t)}=a·F{x1(t)}+b·F{x2(t)}
F{x(t)·h(t)}= H(F) ∗ X(F)
Teorema de Parseval:
∫
+∞
−∞
x (t )dt = 2
∫
+∞
−∞
2
X ( F ) dF
Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
Def .: La DTFT de una secuencia x(n) de energía finita se define como: +∞
X (w ) =
∑ x(n )e
− jwn
;
n = −∞
1 π jwn x(n ) = X ( w ) e dw ∫ π − 2π
w=2πf (con f=F/Fs)
X(w) es periódica de periodo 2 π:
Energía (relación de Parseval): +∞
X(w+2πk)= X(w).
1 π 2 E x = ∑ x(n ) = X ( w ) dw ∫ − π 2π n = −∞
Densidad espectral de energía:
2
S xx (w ) = X (w )
2
Resultados:
Periodicidad : La DTFT es periódica de periodo 2π. X (ω ) = X (ω + 2π )
Sólo se necesita uno de los intervalos [0, 2π] o [- π, π].
Simetrías para secuencias reales:
∗ X (ω ) = X (−ω )
⇒
Re[ X (−ω )] = Re[ X (ω )] Im[ X ( −ω )] = − Im[ X (ω )] X (−ω ) = X (ω )
arg[ X (−ω )] = − arg[ X (ω )]
Sólo se necesita el intervalo [0, π].
Ejemplo: Fenomeno de Gibbs
Filtro ideal paso baja. ⎧⎪1, w ≤ wc X (w ) = ⎨ ⎪⎩0, w c < w ≤ π wc ⎧ n=0 ⎪⎪ π ⇒ x(n ) = ⎨w sin(w n ) c ⎪ c n≠0 ⎪⎩ π wcn
Fenomeno de Gibbs. Se debe al truncamiento de x(n).
Transformadas útiles
Ejemplos: DTFT de x(n)= 0.5n·u(n) 2
Magnitud
d 1.5 u t i n g a M 1
2
Parte real
1.5
l a e R
1
0.5 0 0.5 1 Frecuencia normalizada (en unidades de pi) Fase 0
0.5 0 0.5 1 Frecuencia normalizada (en unidades de pi) Parte imaginaria 0
-0.2
-0.2
s e n a -0.4 i d a R
a i r a n i -0.4 g a m I
-0.6 -0.8
0 0.5 1 Frecuencia normalizada (en unidades de pi)
-0.6 -0.8
0 0.5 1 Frecuencia normalizada (en unidades de pi)
Propiedades de la DTFT (1/3)
Linealidad:
Desplazamiento en el tiempo:
DTFT[x(n)e jwon]= X(w-wo)
Conjugación:
DTFT[x(n-k)]= e-jwk·X(w)
Desplazamiento en frecuencia (modulación):
DTFT[a·x1(n)+b·x2(n)]= a DTFT[x1(n)]+b DTFT[x2(n)]
DTFT[x∗(n)]= X*(-w)
Reflexión temporal:
DTFT[x(-n)]= X(-w)
modulación
Propiedades de la DTFT (2/3)
Simetría para secuencias reales:
Toda señal x(n) se puede escribir como:
xe(n)= (x(n)+x(-n))/2 xo(n)= (x(n)-x(-n))/2
DTFT[xe(n)]= Re[X(w)] DTFT[xo(n)]= j Im[X(w)]
Convolución:
x(n)= xe(n) + xo(n) xe(-n)= xe(n) xo(-n)= -xo(n)
DTFT[x1(n) ∗ x2(n)]=X1(w) · X2(w)
Multiplicación:
DTFT[x1(n) · x2(n)]= X1(w) ∗ X2(w) ≡ (2π)-1∫X1(θ )X2(w-θ )dθ
sim_real
Teorema de muestreo:
Toda señal xa(t) limitada en banda a F0 Hz se puede reconstruir a partir de sus muestras x(n)= xa(nTs) siempre que la frecuencia de muestreo Fs= 1/Ts sea mayor que el doble del ancho de banda (Fs≥ 2F0).
Si Fs< 2F0 se dice que existe “aliasing”.
Frecuencia de Nyquist:
FN= 2F0
Demostración: +∞
X ( f ) = X ( F / F s ) = F s
∑ X [(F − kF )] a
k = −∞
s
Ilustración xa(t)
Xa(w) A
t
-2πF0
xs(t)
2πF0
w
Xs(w) A/Ts …
…
t
-2πFs -2πF0
Aliasing: Solapamiento de los espectros. Teorema Nyquist:
2πF0 2πFs
No solapamiento de los espectros.
2πFs-2πF0≥ 2πF0
⇒ Fs≥ 2F0
Puesto que en muchos casos las señales no están limitadas en banda, resulta necesario filtrarlas antes de muestrearlas (filtro “antialiasing”).
w
Recuperación de la señal
Eliminación de los espectros imagen con un filtro ideal: ⎧⎪Ts H (w ) = ⎨ ⎪⎩ 0
w ≤ 2π F0 w > 2π F0
Xs(w) A/Ts …
…
-2πFs -2πF0
Xˆ a (w ) = H (w ) X s (w )
2πF0 2πFs H(w)
w
2πF0
w
2πF0 2πFs
w
En el dominio del tiempo: -2πF0
+∞
xˆ a (t ) =
∑ x(nTs )sinc (2F0t − n )
A
Xˆ a (w )
n = −∞
sinc ( x ) =
sin(π x ) π x
-2πFs -2πF0
Ejemplos: aliasing
Error irrecuperable debido al no cumplimiento del teorema de muestreo. Ejemplos:
Espectro de una señal determinista. Tono puro.
Tono de 3 kHz muest reado a 10 kHz
aliasing
tono
Tono de 3 kHz muestreado a 5 kHz
Transformada discreta de Fourier (DFT)
La transformada de Fourier: Sólo se encuentra definida para secuencias de longitud infinita. Es una función de variable continua.
La DFT Es una transformada calculable numéricamente. Se obtiene muestreando en el dominio de la frecuencia la transformada de Fourier en tiempo discreto. Se calcula sobre un conjunto finito de datos. Las anteriores aproximaciones conducen a una aproximación del espectro de la señal. Ventaja adicional: existencia de algoritmos rápidos.
Def.: La DFT y su inversa
Transformada discreta de Fourier (e inversa): X ( k ) =
N −1
∑
x( n)e − j
2π kn N
k = 0,1,..., N − 1
n =0
x( n) =
1
N −1
∑ N
X ( k )e
j 2π kn N
n = 0,1,..., N − 1
k = 0
Se puede calcular la DFT de N puntos de una señal x(n) con L puntos:
L>N: se recorta x(n) (n=0,…,N-1
Ejemplo: Pulso de longitud L=10 ⎧1, 0 ≤ n ≤ L − 1
x(n ) = ⎨
⎩0, en el resto
DTFT de N puntos de x(n) (N≥ L) X (w ) =
L −1
L −1
n =0
n =0
∑ x(n )e − jwn = ∑ e − jwn =
1 − e − jwL sin(wL / 2) − jw ( L−1) / 2 e = = − jw sin(w / 2) 1− e
La DFT es X(w) calculada en las N frecuencias equiespaciadas wk= 2πk/N, k=0, 1, …, N-1. X (k ) =
sin(π kL / N ) − jπ k ( L−1) / N e sin(π k / N )
Ejemplo (continuación)
Propiedades de la DFT
Periodicidad: si x(n)=x(n+N), X(k)=X(k+N) Linealidad Simetrías: similares a DTFT Convolución circular: dadas dos señales x(n) e y(n), el producto de sus transformadas X(k) e Y(k) corresponde a la convolución circular de x(n) e y(n). x( n) ⊗ y ( n) =
N −1
∑ x(l ) y((n − l ))
N
n=0
Desplazamientos circulares:
Temporal: DFT[x((n-l) mod N)]=X(k)exp(-j2πkl/N) En frecuencia: IDFT[X((k-l) mod N)]=x(n)exp(j2πkl/N)
Multiplicación: DFT[x(n)y(n)]=X(k)©Y(k)/N Teor. Parseval: ∑ | x(n) | = ∑ | X (k ) | N −1
n =0
2
N −1
1
N
k = 0
2
Algoritmos rápidos para la DFT
Cambio de notación: X ( k ) =
N −1
∑ x(n)W
nk N
W N = e − j 2π / N
k = 0,1,..., N − 1
n =0
El cálculo de la DFT se simplifica si se tienen en cuenta las siguientes propiedades: ( ) ( ) WNkn = WNk n +N = WNk +N n
WNkn +N / 2 = −WNkn
Periodicidad Simetría
Algoritmos de decimación en el tiempo (DIT) y decimación en frecuencia (DIF).
Requieren del orden de N·log N operaciones.
Ejemplo: N= 4
La DFT se calcula a través del producto: 3
X (k ) =
∑
x(n )W4nk ,
0 ≤ k ≤ 3;
W4 = e − j 2π / 4 = − j
n =0
⎡ X (0)⎤ ⎡W40 W40 ⎢ X (1) ⎥ ⎢ 0 1 W W ⎢ 4 4 ⎢ ⎥= 0 ⎢ X (2)⎥ ⎢W4 W42 ⎢ ⎥ ⎢ 0 3 ⎣ X (3)⎦ ⎢⎣W4 W4
W40
W42
W44 W46
W40 ⎤ ⎡ x (0)⎤ ⎥⎢ ⎥ W43 ⎥ ⎢ x (1) ⎥
W46 ⎥ ⎢ x (2)⎥ ⎥ 9 ⎢ x (3)⎥ W4 ⎥⎦ ⎣ ⎦
Utilizando las propiedades de periodicidad y simetría: 1 1 ⎤ ⎡ x(0) ⎤ ⎡ X (0) ⎤ ⎡1 1 ⎡ x(0) + x(2) + x(1) + x(3) ⎤ ⎡ g1 + g 2 ⎤ ⎢ X (1) ⎥ ⎢1 − j − 1 j ⎥ ⎢ x(1) ⎥ ⎢ x(0) − x(2) − j[ x(1) − x(3)]⎥ ⎢ h − jh ⎥ 2⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥=⎢ 1 ⎢ X (2)⎥ ⎢1 − 1 1 − 1 ⎥ ⎢ x(2)⎥ ⎢ x(0) + x(2) − [ x(1) + x(3)] ⎥ ⎢ g1 − g 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ h + jh x − x + j [ x − x ] ( 0 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) X ( 3 ) 1 j 1 j x ( 3 ) − − ⎣ ⎦ ⎣ 1 2⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Implementación de la DFT de 4 puntos
Algoritmos rápidos cuando N= 2υ
La secuencia original x(n) se puede dividir en dos secuencias:
g1(n) = x(2n)
g2(n) = x(2n+1)
0 ≤ n ≤ N/2-1.
Se puede demostrar fácilmente que la DFT de x(n) se puede calcular por medio de las DFTs de g1(n) y g2(n): X (k ) = G1(k ) + WNk G2 (k )
0 ≤ k ≤ N −1
Este proceso reduce el número de multiplicaciones complejas a N2/2+N. Repitiendo de forma iterativa el proceso, el número de multiplicaciones complejas es N·log2N.
Implementación de la DFT de 8 puntos
Complejidad computacional de la FFT
N es un número prim o
N es una potencia de dos
Aplicaciones de la DFT: Estimación espectral
La DFT se emplea como herramienta de análisis de señales. Estimación espectral. Un método sencillo de estimación espectral es el método del periodograma.
x(n)
Descomposición en bloques
Pxx (k N ) =
1
N −1
N ∑
n =0
DFT
x (n )e j 2π nk / N
Pxx(f) periodograma
2
k = 0,1,..., N − 1
