ANALISIS DE FOURIER
En matemáticas el anál anális isis is armó armóni nico co o anál anális isis is de Four Fourie ierr es estu tudi dia a la repre represe sent ntac ación ión de funciones o señales como superposició ición n de ondas "básicas" o armónicos. armónicos.
Serie de Fourier
Las series de Fourier se utilizan para descomponer una función, señal u onda periódica como suma infinita o finita de funciones, señales u ondas armónicas o sinusoidales, es decir, una serie de Fourier es un tipo de serie trigonométrica. Una ser serie ie de Fourier Fourier es una serie infini infinita ta que converg converge e puntua puntualmen lmente te a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier cons co nsti titu tuyen yen la herr herram amien ienta ta ma mate temá máti tica ca bási básica ca del del anál anális isis is de Fouri Fourier er empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho máss simp má simple less (com (como o co comb mbina inaci ción ón de se seno noss y co cose seno noss co con n frec frecuen uenci cias as enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que que desarrolló desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados resultados iniciales en 1807 y1811. y1811. Esta Esta área de investi investigac gación ión se llama llama algunas veces Análisis armónico. armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma:
Donde
y
se denominan denominan coeficientes coeficientes de Fourier de la serie de Fourier Fourier
de la función
Series de Fourier de senos y cosenos
Dada una función en el intervalo (0, pi), se pueden definir muchas funciones en (−pi, pi) que coincidan con ella en (0, pi); cada una de las extensiones tendrá una serie de Fourier propia. Pero algunas extensiones tienen especial interés. Se puede elegir la extensión de manera que tengamos una función par y, en ese caso, la serie de Fourier sólo tiene cosenos. Se llama serie de Fourier de cosenos de la función original en la que sólo interviene la función dada en el intervalo original. Del mismo modo, si elegimos una extensión impar, la serie que resulta es la serie de Fourier de senos de la función dada. Se pueden hacer construcciones semejantes a partir de cualquier intervalo.
Transformada de Fourier
La transformada clásica de Fourier en Rn aún es un área de investigación activa, sobre todo en la transformación de Fourier sobre objetos más generales, como las distribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requerimientos sobre una distribución f, podemos intentar trasladarlos a términos de su transformada de Fourier. El Teorema de PaleyWiener es un ejemplo de ello, que implica inmediatamente que si f es una distribución de soporte compacto (lo que incluye a las funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier no tiene nunca el soporte compacto. Esto es un tipo muy elemental de un principio de incertidumbre en términos del análisis armónico. Las series de Fourier pueden ser estudiadas convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert, lo que nos da una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional. En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:
Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y ξ suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia -segundos^-1-,...) y entonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:
De forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional. La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f . La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico. Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f . He aquí algunas de ellas: .
Transformada de Fourier discreta
En matemáticas, la transformada de Fourier discreta, diseñada con frecuencia por la abreviatura DFT (del inglés discrete Fourier transform), y a la que en ocasiones se denomina transformada de Fourier finita, es una transformada de Fourier ampliamente empleada en tratamiento de señales y en campos afines para analizar las frecuencias presentes en una señal muestreada, resolver ecuaciones diferenciales parciales y realizar otras operaciones, como convoluciones. La transformada de Fourier discreta puede calcularse de modo muy eficiente mediante el algoritmo FFT. La secuencia de n números complejos x 0, ..., x n-1 se transforma en la secuencia de n números complejos f 0, ..., f n-1 mediante dicha transformada según la fórmula
Siendo e la base de los logaritmos naturales, i la unidad imaginaria (i2 = − 1), y π el número pi. Esta transformada se nota con frecuencia mediante el símbolo
, como en
o en
.
La transformada de Fourier discreta inversa (por sus siglas en inglés IDFT, Inverse Discrete Fourier Transform) se calcula, por otra parte, mediante:
. Nótese que el factor de normalización que multiplica a la transformada y a su inversa (en las fórmulas dadas, 1 y 1/ n) y los signos de los exponentes son convencionales, y pueden diferir en otras presentaciones de la transformada de Fourier discreta. Lo importante es que la DFT y la IDFT tengan exponentes de signos contrarios y que el producto de sus factores de normalización sea 1/n. Un factor de normalización de tanto para la transformada directa como para la inversa hace las transformaciones unitarias, lo que presenta ciertas ventajas teóricas, pero en la práctica suele ser más conveniente realizar la operación de escalado una única vez. Análisis Armónico Abstracto
Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis sobre grupos topológicos. El ideal central que lo motiva es la de las varias transformadas de Fourier, que pueden ser generalizadas a una transformación de funciones definidas sobre grupos localmente compactos. La teoría para los grupos localmente compactos abelianos se llama dualidad de Pontryagin, que se considera una proposición muy satisfactoria ya que explica las características envueltas en el análisis armónico. En su página se encuentra desarrollada en detalle. El análisis armónico estudia las propiedades de tal dualidad y la transformada de Fourier; y pretende extender tales características a otros marcos, por ejemplo en el del caso de los grupos de Lie no abelianos. Para grupos generales no abelianos localmente compactos, el análisis armónico está muy relacionado con la teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Para grupos compactos, el Teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden conseguir armónicos extrayendo una representación irreducible de cada clase de equivalencia de representaciones. Esta elección de armónicos goza de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica de forma que lleva convoluciones a productos escalares, o por otra parte mostrando cierta comprensión sobre la estructura de grupo subyacente.
Aplicaciones
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Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
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Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
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Reforzamiento de señales.
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Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de La place y/o Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia. La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.
