PERMEABILIDADES RELATIVAS Y FLUJO FRACCIONAL
JORGE PALMA BUSTAMANTE
PERMEABILIDADES RELATIVAS ▫ Indica la habilidad del aceite y del agua a fluir simultáneamente en un medio poroso. ▫ Permeabilidad Absoluta ▫ Permeabilidad Efectiva ▫ Permeabilidad Relativa
PERMEABILIDADES RELATIVAS • Importancia:
▫ La permeabilidad relativa expresa los efectos de: – Geometría del poro. – Mojabilidad – Distribución de fluidos. – Saturaciones e historia de saturación. – Consecuentemente, es la propiedad más importante que afecta el comportamiento de una inyección de agua. • Fuentes de datos: ▫ Medidas de laboratorio en corazones ▫ Modelos matemáticos ▫ Cálculo de datos de presión capilar
PERMEABILIDADES RELATIVAS Efecto de la mojabilidad sobre las K-relativas
Permeabilidad relativa, porcentaje
100
Mojado por aceite 80
Mojado por agua
60
40
20
0
20
40
60
Saturación de agua, porcentaje
80
100
CÁLCULO DE KR 1 Sor Sw Kro Kro @ Swirr * 1 Sor Swirr
EXO
Sw Swirr Krw Krw @ Sor * 1 Sor Swirr
EXO : Exponente para la permeabilidad relativa al aceite EXW : Exponente para la permeabilidad relativa al agua (Kro)@Swir = permeabilidad relativa al aceite a la saturación irreducible de aceite (usualmente 1) (Krw)@Sor = permeabilidad relativa al agua a la saturación residual de aceite de la inyección de agua (usualmente entre 0.25 a 0.4 dependiendo de la mojabilidad)
Sor = Saturación de aceite residual, fracción Swirr = Saturación de Agua Irreducible, fracción Sw = Saturación de agua, fracción
EXW
CÁLCULO DE KR 1 Sor Sw Kro Kro @ Swirr * 1 Sor Swirr parámetro
EXO
Sw Swirr Krw Krw @ Sor * 1 Sor Swirr Arenas
Carbonatos
End-point permeabilidad relativa al aceite
1.0
1.0
End-point permeabilidad relativa al agua
0.25
0.40
Exponente permeabilidad relativa al aceite
2
2
Exponente permeabilidad relativa al agua
2
2
25
37
Saturación residual de aceite, %
EXW
7
TAREA AVERIGUAR OTRAS EXPRESIONES PARA EL CÁLCULO DE PERMEABILIDAD RELATIVA: Parámetros Limitantes
EJERCICIO Un yacimiento carbonato es considerado para inyección de agua. En el momento la Saturación irreducible de agua es 0.25. Calcule las permeabilidades relativas que se pueden usar en la evaluación de la inyección de agua. Los siguientes datos son estimados de campos análogos: Sorw = 35% EXO : 2 EXW : 2
(Kro)@Swir = 1 (Krw)@Sor = 0.35 (se asume mojabilidad intermedia)
1 Sor Sw Kro Kro @ Swirr * 1 Sor Swirr
EXO
Sw Swirr Krw Krw @ Sor * 1 Sor Swirr
EXW
EJERCICIO Se reemplazan los valores en las funciones y finalmente se puede calcular y graficar como una función de la saturación de agua Sw, porcentaje
Krw
Kro
25
0.0
1.0
30
0.001
0.766
35
0.022
0.562
40
0.049
0.391
45
0.088
0.250
50
0.137
0.141
55
0.197
0.062
60
0.268
0.016
65
0.350
0.0
EJERCICIO Se reemplazan los valores en las funciones y finalmente se puede calcular y graficar como una función de la saturación de agua Curvas de Pemeabilidad Relativa 1
Krw
Kro
0.9
Permeabilidad relativa
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
10
20
30
40
50
Saturacion de agua, porcentaje
60
70
EJERCICIO Los datos medidos de 5 corazones para un yacimiento son los siguientes: Saturaciones de agua para presiones capilares constantes K, md
75 psi
50 psi
25 psi
10 psi
5 psi
470
18.5
22
29
39
49.5
300
22.5
25.5
34
45.5
56
115
30
34
41
53.5
65
50
36
40.5
51
64
77
27
41
44
55
69
81.5
La permeabilidad del yacimiento = 155 md. La tensión interfacial sL = 71 dynes/cm La tensión interfacial sR = 33 dynes/cm
Determinar: Encontrar una curva de presión capilar aplicable a condiciones de yacimiento, ejemplo a permeabilidad de yacimiento
PCR = (sR/sL)*PCL
EJERCICIO Los valores de presión capilar a condiciones de yacimiento son los tabulados:
CORRELACION DE PRESION CAPILAR, SATURACION, Y PERMEABILIDAD
permeabilidad (md)
1000
K = 155 md 100
75 psi
50 psi
25 psi
10 psi
5 psi
10 0
10
20
30
40
50
Sw (porcentaje)
60
70
80
90
EJERCICIO Sw porcentaje
PCL
PCR = (sR/sL)*PCL
27.2
75
34.9
31.5
50
23.2
39.2
25
11.6
51
10
4.6
62.8
5
2.3
psi
psi
FLUJO FRACCIONAL La fracción del petróleo inicial en sitio que será desplazado de la porción del yacimiento contactado por el agua, está determinada por la eficiencia de desplazamiento. Ahora se asumirá que las eficiencias areal y vertical a la ruptura del agua son iguales a 1, y que la saturación de gas es despreciable, de tal manera que el énfasis estará en la determinación de la eficiencia de desplazamiento ED. De acuerdo con lo anterior, se utilizarán modelos de flujo lineal para el estudio del mecanismo de desplazamiento de fluidos inmiscibles.
iw
sor qo qw
qprod swc
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL El caudal de agua en cualquier distancia del yacimiento y en particular para la zona del agua es:
k w A dpw qw 0.001127 0.00694 w sen w ds Esta fórmula también se puede expresar de la siguiente manera:
dpw qw w 0.00694 w sen ds 0.001127k w A De forma similar el gradiente de presión para la fase de aceite es:
dpo qo o 0.00694 o sen ds 0.001127k o A
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL Donde: qo= Caudal de petróleo (bbl/día) qw= Caudal de agua (bbl/día) Po= Presión en la fase de aceite (psia) Pw= Presión en la fase de agua (psia) o= Viscosidad del petróleo (cP) w= Viscosidad del agua (cP) s= Distancia al punto de interés en el yacimiento, medido desde un punto de referencia a lo largo de la dirección del flujo (ft) Kw, ko= Permeabilidades efectivas al agua y al petróleo (mD) A= Área transversal del yacimiento (ft2) w, o = Densidad del agua y del petróleo a condiciones de yacimiento (lb/ft3) = Angulo medido entre la horizontal (eje X positivo) y la dirección del flujo (º)
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL Convención para flujo inclinado
s
s
Flujo hacia arriba
Flujo hacia abajo
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL Recordando que la presión capilar fue definida como:
Pc Po Pw Entonces:
Pc Po Pw s s s Esta Pc fórmula también qw w se puede expresar qo o de la siguiente manera: 0.00694( w o ) sen s 0.001127k w A 0.001127k o A La tasa de producción total del yacimiento es igual a la suma de las tasas de agua y aceite, y esto es equivalente a la tasa de inyección de agua.
qt qo qw iw
1
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL Por lo tanto, la fracción de agua esta definida como:
fw
qw q w qo q w i w
2
La fracción de agua se denomina con frecuencia corte de agua, así mismo la fracción de aceite o corte de aceite es:
qo fo 1.0 f w iw
3
Integrando las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 1 resulta la siguiente ecuación de flujo de agua en un punto, s, en un sistema de flujo lineal, denominada comúnmente como ecuación de flujo fraccional o corte de agua:
1 0.001127 fw
k o A pc 0 . 00694 ( ) sen w o o iw L k 1 w ro o k rw
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL La ecuación de flujo fraccional es muy importante debido a que hace posible la determinación de las tasas relativas de flujo de agua y de petróleo en un sistema de flujo poroso.
Si se cuenta con la información suficiente, es posible utilizar la Ecuación de flujo fraccional para calcular la fracción de agua fluyendo a través del yacimiento en función de la saturación de agua.
Cuando se grafica esta información como fw vs. Sw en un papel cartesiano forma lo que es conocido como la curva de flujo fraccional.
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL Curva de Flujo Fraccional 1.000
0.900
1-sor 0.800
0.700
fw
0.600
0.500
fw
0.400
0.300
0.200
swirr
0.100
0.000 0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50 Sw
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
FACTORES QUE CONTROLAN LA RECUPERACIÓN SECUNDARIA DE PETRÓLEO • Avance preferencial del agua. Estudios de laboratorio, mostraron que el frente de agua se mueve a través del yacimiento principalmente en dos formas:
-Water tonguing o “Lenguas de agua”. Dietz observó que el agua desplaza el petróleo avanzando bajo él en forma de “lenguas”.
Dedos viscosos. Aún en los sistemas de ensayo donde se tiene la precaución de garantizar la casi uniformidad de los medios porosos hasta donde es posible, la tendencia hacia la formación de estas digitaciones, aumenta a mediada que se incrementa la relación de viscosidades petróleo-agua.
FACTORES QUE CONTROLAN LA RECUPERACIÓN SECUNDARIA DE PETRÓLEO
Fuente: The Reservoir Engineering Aspects of Waterflooding, Forrest F. Craig Jr.
EFECTO DE MOJABILIDAD CURVA DE FLUJO FRACCIONAL 1 0.9 0.8
MOJADO POR PETRÓLEO
0.7
Fw
0.6 0.5 0.4
MOJADO POR AGUA
0.3 0.2 0.1 0 10
20
30
40
50
Sw (%)
Fuente: The Reservoir Engineering Aspects of Waterflooding, Forrest F. Craig Jr.
60
70
80
EFECTO BUZAMIENTO Y DIRECCIÓN DE DESPLAZAMIENTO
0
CURVA DE FLUJO FRACCIONAL 1 0.9 Dow n-dip Zero-dip Up-dip
0.8 0.7 0.6
Fw
La magnitud de la inclinación y la dirección de la inyección relativa al ángulo de inclinación del yacimiento pueden tener gran influencia sobre el recobro de petróleo.
0.5 0.4 0.3
180
0.2 0.1 0 10
20
30
40
50
Sw (%)
60
70
80
EFECTO PRESIÓN CAPILAR En una inyección de agua sería ideal disminuir o eliminar el gradiente de presión capilar. Esto se podría lograr alterando la mojabilidad de la roca o por medio de la disminución o eliminación de la tensión interfacial entre el agua y el aceite.
PC Pfnm Pfm
Fase No mojante (Aire)
Pfnm
Superficie de agua libre
Fase Mojante (Agua)
Pfm
h Pc= 0
Superficie de agua libre
EFECTO RELACIÓN DE MOVILIDADES “M” es la relación entre la capacidad que tiene un fluido para fluir en presencia de otro fluido. La relación de movilidad tiene en cuenta la permeabilidad relativa y la viscosidad para cada uno de los fluidos.
M
Krw S wbt Kro S wi
o w
Si la relación de movilidad es mayor que uno, el agua tiene mayor movilidad y si es menor que uno, el petróleo tiene mayor movilidad, lo cual es más conveniente en general, en una inyección de agua.
Kr
Donde: = Movilidad
M = Relación de movilidad. Krw = Permeabilidad relativa del agua. Kro = Permeabilidad relativa del aceite. o = Viscosidad del aceite, cp. w = Viscosidad del agua, cp. Swbt = saturación de agua promedio al breakthrough, fracción. Swi = saturación de agua inicial, fracción.
EFECTO RELACIÓN DE MOVILIDADES CURVA DE FLUJO FRACCIONAL
En general, la eficiencia de arrastre y el recobro de petróleo tienden a disminuir a medida que la relación de movilidad aumenta.
0.9
μo = 10 cp
0.8
6 cp 2 cp 0.5 cp
0.7 0.6 Fw
Un proceso de desplazamiento puede ser mejorado incrementando la viscosidad del agua o disminuyendo la del petróleo. La viscosidad del agua, puede ser aumentada por medio de adición de polímeros; la viscosidad del petróleo puede disminuirse usando varios procesos térmicos de recobro, como la inyección de vapor.
1
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 10
20
30
40
50
Sw (%)
60
70
80
EFECTO TASA DE FLUJO El efecto de la tasa total de flujo (qo+qw) varía dependiendo de si el agua se está moviendo buzamiento arriba o buzamiento abajo. Desde el punto de vista práctico la tasa de flujo es controlada por limitaciones físicas y económicas del equipo de inyección y del yacimiento.
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL El desplazamiento de petróleo buzamiento arriba conlleva a un bajo valor de flujo fraccional de agua y un mejor desplazamiento a medida que el ángulo de buzamiento aumenta. El desplazamiento de petróleo buzamiento abajo conlleva a altos valores de flujo fraccional de agua y en un deficiente desplazamiento a medida que el ángulo buzamiento abajo aumenta. El gradiente de presión capilar incrementa los valores de fw causando un deficiente desplazamiento. Una gran diferencia en las densidades del petróleo y el agua mejora el recobro buzamiento arriba pero disminuye el recobro buzamiento abajo. El recobro de petróleo se mejora si la movilidad del agua es baja y la del petróleo es alta. Incrementos en la tasa de flujo, mejoran el recobro en inundaciones buzamiento abajo pero disminuyen la eficiencia del desplazamiento buzamiento arriba.
ECUACIÓN DE FLUJO FRACCIONAL
Variaciones en la curva de flujo fraccional. En varios casos el efecto de la presión capilar es despreciable, además si se asume que los efectos gravitacionales son también despreciables cuando el yacimiento es horizontal, la ecuación se reduce.
1 fw w kro 1 o krw
ECUACIÓN DE AVANCE FRONTAL La ecuación de flujo fraccional relaciona la fracción de aceite y de agua que fluyen en cualquier punto del yacimiento con la saturación del fluido en ese punto. Esta ecuación permite la determinación de la saturación de agua y de la saturación de aceite con distancia en un sistema de flujo lineal, este método nos ayuda a conocer la distribución de la saturación de cualquiera de las dos fases y cómo esta distribución cambia con el tiempo. Inyector
Saturación, %
100
Productor
sor Saturación de petróleo sw
swf
Saturación de agua
swc
0 0
Longitud
L
Considere flujo lineal simultáneo de petróleo y agua en un sistema poroso homogéneo de área transversal, A, y longitud, X.
fw /X
fw /X
A
+ X
x
X
El balance de materia para este segmento de yacimiento se describe así:
Tasa de agua que se acumula
=
Tasa de agua que entra
Tasa de agua que sale
Estos términos se pueden expresar simbólicamente como:
•
Tasa de agua que entra= iwfw/x, (bbls)
•
Tasa de agua que sale= iwfw/x+x, (bbls)
•
Tasa de agua que se acumula= Ax sw , (bbls) 5.615 t x x 2
Sustituyendo los términos en el balance de materia se obtiene:
5.615 iw f w / x x f w / x S w A x t x x 2
Desarrollando el límite cuando x tiende a cero se obtiene:
5.615 iw f w 5.615 iw S w A A t x x t
f w S w S w t x
Con la ecuación anterior obtenemos la saturación de agua en función del tiempo a una distancia determinada, x, en un sistema lineal. Una expresión más útil sería la que suministre la saturación de agua en función de la distancia en un tiempo determinado, esto es posible si se observa que la saturación de agua es una función de la posición y del tiempo.
Sw=Sw (x,t)
1
Por lo tanto la derivada total de la Sw es:
S S dS w w dx w dt x t t x puesto que estamos interesados en la determinación de la distribución de la saturación en el yacimiento, el procedimiento tomado aquí será evaluar el movimiento de una saturación determinada de agua. A una saturación fija de agua, Sw, se considera que dSw=0, entonces se tiene:
S S 0 w dx w dt x t t x Despejando:
S w S w dx t x X t dt Sw
2
Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1, se obtiene:
5.615 iw df w dx A dS w t dt Sw Como la tasa total de inyección es constante, el corte de agua es independiente del tiempo por consiguiente:
f w df w S w t dS w Y Para una tasa constante de inyección de agua, la velocidad de un plano de saturación fijo es directamente proporcional a la derivada del fw evaluada en esa
saturación.
5.615 iw df w dx A dS w dt Sw
Integrando la expresión anterior se obtiene la ecuación de avance frontal:
5.615 iw t df w 5.615 Wi df w x A dS w A dS w Donde: X= Distancia recorrida por un plano de saturación fijo, Sw, durante un tiempo, t (ft) iw= Tasa de inyección (bbl/día) t= intervalo de tiempo de interés (días) Wi= Agua Inyectada Acumulada, bbls = Porosidad, fracción A= Area transversal del Yacimiento, ft2 dfw/dSw= Pendiente de la curva de flujo fraccional a la Sw de interés
PREDICCIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE UNA INYECCIÓN DE AGUA EN SISTEMAS LINEALES. A.Teoría de Buckley & Leverett. La ecuación de avance frontal presentada por Buckley & Leverett puede ser usada para hallar la distribución de la saturación en un sistema de inyección lineal en función del tiempo, sin embargo con este procedimiento se puede hallar dos saturaciones de agua diferentes debido a los valores de la pendiente de la curva de flujo fraccional, dfw/dSw, lo cual es físicamente imposible. 100
Saturación de agua %
Swm=1-Sor
Yacimiento de petróleo
50 Flujo de agua
t1
Agua Inicial 0
Distancia
t2
t3
Para rectificar esta dificultad matemática Buckley & Leverett sugieren que una porción de la curva calculada de la distribución de la saturación es imaginaria y la curva verdadera contiene una discontinuidad en el frente. La distancia del frente de agua se basa en un balance de materia del agua inyectada y es determinada gráficamente localizando el frente en tal posición que las áreas A y B sean equivalentes. 100 Área A = Área B
Saturación de agua %
Swm t=t1 50
A B
0 Distancia
Xf
Concepto de Zona estabilizada. Debido a la presión capilar, el frente de inundación no existe como una discontinuidad sino como una zona estabilizada de longitud finita con un gradiente alto de saturación, esta teoría fue propuesta por Terwilliger. Mientras que While aplicaba esta teoría a un sistema de drenaje gravitacional, encontró que en el borde principal del frente, existe una zona estabilizada donde las saturaciones del fluido se mueven a la misma velocidad, por lo consiguiente observó que la forma del frente es constante con respecto al tiempo.
Saturación de agua %
100 Swm
Zona no estabilizada donde
Swf Zona estabilizada Swc 0
Frente a t1
x cons tan te t sw
Distancia
Frente a t2
s w 0 x
En teoría la zona de inundación tiene una anchura calculable con un gradiente alto de saturación. En la práctica, la zona de la transición en el borde principal del frente de agua se puede aproximar como una función del paso al frente de agua. Zona de agua
Zona de petróleo
100
Saturación %
Frente estabilizado de paso
Swf
Swc
0 0
Distancia
L
Curva exigida enflow la curve Fractional zona estabilizada 1 0.9 0.8 0.7 0.6 fw
Como todas las saturaciones en la zona estabilizada se mueven en la misma velocidad, la pendiente dfw/dSw debe ser igual para todas las saturaciones en la zona estabilizada. Esta pendiente es definida por una línea tangente entre la curva de flujo fraccional y la saturación inicial del agua.
0.5
fw
0.4
En conclusión la distribución de saturación en la zona estabilizada (Swc≤Sw≤Swf) esta basada en la pendiente de la tangente de la curva de flujo fraccional
0.3 0.2
Swf
0.1 0 0
0.1S0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 wirr
Sw
1
Procedimiento de Welge. 1. Saturación de agua al frente. Este método simplifica el procedimiento gráfico de Buckley & Leverett pero requiere que la saturación de agua inicial sea uniforme en todo el yacimiento. En cierto tiempo después de que el proceso de desplazamiento comience, la distribución del perfil de saturación aparecerá según lo representado por la figura.
Saturación de agua
Swm Frente Swf
Swc X
Xf
El área sombreada del rectángulo entre la Swc y la Swf es:
x f swf swc
Swf
Swc
x dsw
donde: Swf= Saturación de agua al frente de agua Sustituyendo la ecuación de avance frontal en la ecuación anterior se tiene que:
x f swf
5.615 iw t df w dsw swc Swc A dsw Swf
Integrando y reemplazando los límites:
x f swf
5.615 iw t f w f w swc A swf swc
por lo tanto:
Cambiando en la ecuación de avance frontal X por Xf para este caso::
5.615 iw t df w xf A dS w Sw Swf Comparando las dos ecuaciones anteriores se tiene:
fw f w s wf s wc
df w dS w Swf s wf s wc
Fractional flow curve 1 0.9 0.8
Punto tangente
0.7 0.6 fw
La interpretación gráfica de la ecuación de Welge es realizar una línea recta desde el punto (fw/swc, swc) hacia el punto (fw/swf, swf), este punto de tangencia representa la saturación de agua al frente de agua.
fw/Swf
0.5
fw
0.4 0.3
Swf
0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Sw
Se deben tener en cuenta dos puntos importantes:
• Cuando la saturación inicial del agua es mayor que la saturación irreducible de agua, la línea de la tangente no se origina desde el extremo de la curva de flujo fraccional. •La saturación de agua al frente, Swf es constante desde el inicio del proceso de inyección de agua hasta el breakthrough, después del rompimiento se incrementa la saturación de agua en los pozos productores hasta la saturación de agua máxima, Swm.
Punto tangente
2. Saturación de agua promedio. La saturación de agua promedio detrás del frente de inyección se puede determinar usando la curva de flujo fraccional. Considerando la distribución de la saturación durante algún tiempo de la inyección, el total de agua inyectada y connata, en el yacimiento detrás del frente es:
Xf
S wm
o
o
TotalH 2O A S w dx A xdS w donde: Swm : Máxima saturación de agua Reemplazando los límites: Swm SWF TotalH 2O A xdS w xdS w o Swf
Swm
TotalH 2O AX f S wf A
xdS w
Swf
Reemplazando las ecuaciones anteriores se obtiene: wm df w 5.615 iw t df w TotalH 2O 5.615 iw t S wf dsw Swf S wf
S
Por definición la saturación de agua promedio en el frente es:
Sw
TotalH 2O AX f
la ecuación anterior se puede expresar de la siguiente manera: 5.615 iw t S wf df w 5.615 iw t Sw A X f A X f dsw Swf
Sustituyendo Xf en la ecuación anterior se obtiene: SW Swf
1.0 f wf df w dSW
f
1
S wm
df
S wf
w
La información requerida en el cómputo usando en la ecuación anterior, está relacionada con el punto tangente de la curva de flujo fraccional, el procedimiento gráfico puede ser desarrollado considerando la curva de flujo fraccional descrita por la figura. En la figura se puede observar que en la intersección entre la línea tangente y fw=1, existe una saturación de agua llamada SwA, la pendiente de la línea tangente puede ser definida en términos de la saturación de acuerdo a la ecuación:
df w dSW
0
1.0 f wf f S wA S wf
Esta ecuación se puede expresar como: SwA Swf
1.0 f wf df w dSW
f
Swf
2
La información requerida comparando las ecuaciones 1 y 2 es que Sw =SwA. De esto se puede concluir que se puede obtener, simplemente extendiendo la línea de flujo fraccional hasta el punto donde fw=1.0. Swf
Hasta el breakthrough Swf y Sw permanecen constantes. Desde el breakthrough es denominada Swbt
0
Sw
3. Comportamiento en el Breakthrough.
La Saturación de agua promedio en la porción del yacimiento barrida por el agua inyectada antes del breakthrough y en el instante del breakthrough, es un valor constante, Swbt. La eficiencia de desplazamiento se define como la disminución de la saturación en la zona barrida por el agua de inyección con respecto a la saturación de aceite al inicio del proceso de inyección de agua.
ED
so so
La saturación de aceite se puede expresar en términos de saturación de agua y en el breakthrough la saturación de agua promedio es Swbt, por lo tanto la eficiencia de desplazamiento al breakthrough queda expresada como:
E Dbt
(1 S wc ) (1 S wbt ) 1 S wc
Simplificando se obtiene:
E Dbt
N 1
S wbt S wc 1 S wc
N pbt
1
AL (1 S wc ) E A EV E Dbt 5.615Bo
Esta ecuación es aplicable hasta el rompimiento del agua y cuando no existe gas libre en el yacimiento. En el breakthrough x=L y la ecuación de avance frontal puede ser descrita de la 1 siguiente forma:
5.615 iw tbt df w A L ds w f
Considerando el término ubicado a la izquierda de la ecuación anterior se tiene que:
5.615 iw tbt agua.inyectada .(bbls ) Qibt A L volumen. poroso.(bbls ) Donde Qibt es denominado volúmenes porosos de agua inyectada al breakthrough.
La ecuación queda resumida en:
1
df w Qibt dsw f
Los volúmenes porosos inyectados al momento del breakthrough son equivalentes al inverso de la pendiente de la tangente en la curva de flujo fraccional.
El tiempo al breakthrough asumiendo una tasa de flujo constante se puede calcular con la siguiente ecuación:
wibt A L Qibt tbt iw 5.615 iw
4. Comportamiento después del Breakthrough.
Después del breakthrough, la saturación de agua aumenta continuamente desde Swf hasta Swm (Swm=1-Sor) como se observa en la figura. 100 Sor
Saturación de agua %
Swm Sw Swbt
Sw2
Agua
Swf
0 Distancia Inyector
Productor
Sw2 es la saturación de agua comprendida entre Swf y Swm, para este periodo Welge demostró que:
i. La saturación de agua promedio en el yacimiento después del breakthrough, Sw2, esta dada por:
s w sw2
1 f w2 fo sw2 df w df w ds w 2 ds w 2
El valor de Sw se puede hallar gráficamente con la extrapolación de la tangente que corta al punto Sw2 hasta la intersección de dicha tangente con el valor de fw=1. Realizando este procedimiento entre diferentes valores de saturación de agua se puede obtener el comportamiento de la recuperación de petróleo versus saturación de agua.
Fractional flow curve Swbt Sw
1
fw2
0.9
df w ds w
0.8
Sw2
0.7
fw
0.6 0.5
fw
0.4 0.3 0.2
Sw2
Swf
0.1 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 Sw
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ii. Después del rompimiento, el WOR se puede calcular con la siguiente ecuación:
qw Bo iw f w2 Bo f w2 Bo WOR qo Bw iw f o 2 Bw 1 f w2 Bw iii. El número de volúmenes porosos de agua inyectada en el momento que la saturación de agua es Sw2 se calcula con la ecuación: 1
df Qi w dS w S w 2 Sabiendo este valor y la tasa de inyección de agua se puede calcular el tiempo para alcanzar esta etapa de inundación.
wibt A L Qibt tbt iw 5.615 iw
vi. Las tasas de petróleo y agua en el momento que la saturación de agua es Sw2 se pueden calcular con las siguientes ecuaciones:
qo
(1 f w2 )iw Bo
f w 2 iw qw Bw
[STB/D]
[STB/D]
Después del breakthrough, la saturación de agua promedio en la parte barrida del yacimiento, Sw aumenta, por lo tanto la eficiencia de desplazamiento es calculada:
S w S wc ED 1 S wc
En resumen, el método de Welge se utiliza para predecir el recobro de petróleo, WOR, eficiencia de desplazamiento y la inyección de agua en función del tiempo para un proceso de inyección de agua lineal.
D. Aplicación al flujo radial. Felsenthal & Yuster ampliaron el método de avance frontal al sistema radial y encontraron que la saturación de agua promedio antes y en el frente de agua se puede calcular de la misma manera que para el flujo lineal. Esta misma observación debe aplicarse a cualquier proceso de inyección de agua sin importar la geometría de flujo. E. Efecto de la Saturación de Gas Libre. Si la presión del yacimiento declina por debajo de la presión de burbuja antes de implementar el proceso de inyección de agua, una saturación de gas libre es liberada del petróleo. La saturación de aceite promedio del yacimiento al inicio del proceso de inyección de agua es calculada con la siguiente ecuación:
N pp Bo 1 S wc S o 1 N ob Bob Y la saturación de gas con la siguiente ecuación:
S g 1 SO S wc
La ecuación anterior asume que el agotamiento primario es el resultado del empuje del gas en solución y de la expansión del líquido. Esta ecuación no incluye los efectos importantes de acuífero ni segregación gravitacional, en esos casos es necesario explicar su impacto mediante un modelo de simulación. En la siguiente figura se observa la distribución de la saturación del fluido entre un pozo inyector y un pozo productor al comienzo de un proceso de inyección de agua, en un yacimiento que contiene una fase de gas libre, proveniente del agotamiento primario. 100
Saturación %
Gas libre (Sg)
Petróleo (So)
0
Agua Connata (Sw) Distancia
Inyector
Productor
La figura muestra esquemáticamente un perfil de saturación durante un proceso de inyección de agua en un yacimiento parcialmente depletado. Este esquema muestra que la saturación de gas en el límite del banco de petróleo se reduce a una porción del gas libre inicial como gas atrapado. Zona de Agua 100
Gas Atrapado
Sohc Saturación %
Banco de Petróleo Zona de Gas Gas Libre
Petróleo Swbt Agua
Swf
Agua Connata
0 Distancia Inyector
Productor
Este gas atrapado en el banco de aceite se disuelve en el petróleo debido al aumento en la presión del yacimiento por la inyección, dejando únicamente la capa de gas libre. Zona de Agua
Banco de Petróleo Zona de Gas
100
Saturación %
Sohc
Gas Libre
Petróleo Swbt Agua
Swf
Agua Connata
0
Distancia Inyector
Productor
El proceso de restauración también es llamado fill-up. El agua acumulada necesaria para alcanzar el fill-up, Wif, se calcula con la ecuación:
Wif V p S g Donde: Vp= Volumen poroso, bbl Sg= Saturación de gas libre en el momento de iniciar el proceso de inyección.
1. Comportamiento de la producción.
Únicamente hay producción primaria de aceite en este periodo, después del fill-up se emplea el concepto de estado estable y se asume que un barril de agua inyectada desplaza hasta el pozo productor un barril de fluido total.
2. Eficiencia de Desplazamiento. La eficiencia de desplazamiento cuando el yacimiento presenta una capa inicial de gas se puede calcular con la siguiente ecuación:
ED
S w S wc S g 1 S wc S g
3. Condiciones para el desarrollo de un Banco de Petróleo.
re
Agua
rw Oil
r
En un yacimiento agotado en presión que posee una saturación de gas libre alta, es posible que no se forme el banco de aceite (esto sucede cuando re/r es igual a 1).
re S wbt S wc r Sg
1 2
Cuando la relación re/r es igual a 1.25 se forma un banco de petróleo muy pequeño y el breakthrough ocurrirá rápidamente después del fill-up, reemplazando el 1.25 en la ecuación anterior:
S g 0.64S wbt S wc
EJERCICIO Se quiere inyectar agua en un yacimiento con los datos presentados a continuación, despreciando el gradiente de presión capilar construya la curva de flujo fraccional. = 0.18
o = 2.48 cp
Swc = 0.30
Bo = 1.37 res-bbl/STB
w = 0.62 cp
Bw = 1.04 res-bbl/STB
iw = 1000 bbl/día
Kbase = 45 md
o = 0.8
w = 1.03
A = 50000 ft2
= 30 º
Sw
Kro
Krw
0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80
0.940 0.800 0.440 0.160 0.045 0.000
0.000 0.040 0.110 0.200 0.300 0.440
EJERCICIO Solución:
Al despreciar el gradiente de presión capilar, la ecuación de flujo fraccional queda resumida en:
1 0.001127 fw
ko A 0.0069( w o )sen o iw k 1 w o o k w
Donde: Ko = Kbase* Kro= 45 * Kro mD w= 62.4* w = (62.4)*(1.03) = 64.3 lbm/ft3 o= 62.4* o = (62.4)*(0.8) = 49.9 lbm/ft3 w - o = 14.4 lbm/ft3 sen = sen 30º = 0.5
EJERCICIO Reemplazando: 1 0.001127 fw
(45)(k ro ) (50000) 0.00694(14.4)(0.5) (2.48) (1000) (0.62) k ro 1 (2.48) k rw
Simplificando términos:
fw
1 0.051 k ro k 1 0.25 ro k rw
Se obtienen los siguientes datos de fw vs. Sw: Sw
Kro
Krw
fw
0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80
0.940 0.800 0.440 0.160 0.045 0.000
0.000 0.040 0.110 0.200 0.330 0.440
0.000 0.160 0.489 0.827 0.962 1.000
EJERCICIO Curva de Permeabilidad Relativa 1.000
0.900
0.800
0.700
Kr
0.600 Kro
0.500
Krw 0.400
0.300
0.200
0.100
0.000 0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50 Sw
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
EJERCICIO Curva de Flujo Fraccional 1.000
0.900
0.800
0.700
fw
0.600
0.500
fw
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000 0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50 Sw
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
EJERCICIO Se quiere inyectar agua en un yacimiento con los datos presentados a continuación, despreciando el gradiente de presión capilar y asumiendo que la formación es horizontal construya la curva de flujo fraccional. o = 2.48 cp w = 0.62 cp
Sw
Kro
Krw
0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80
0.940 0.800 0.440 0.160 0.045 0.000
0.000 0.040 0.110 0.200 0.300 0.440
EJERCICIO Solución: Al despreciar el gradiente de presión capilar y los efectos gravitacionales, la ecuación de flujo fraccional queda resumida en:
fw
1
w k ro 1 o k rw
Se obtienen los siguientes datos de fw vs. Sw:
Sw 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80
Kro 0.940 0.800 0.440 0.160 0.045 0.000
Krw 0.000 0.040 0.110 0.200 0.330 0.440
fw 0.000 0.167 0.500 0.833 0.967 1.000
EJERCICIO Curva de Permeabilidad Relativa 1.000
0.900
0.800
0.700
Kr
0.600 Kro
0.500
Krw 0.400
0.300
0.200
0.100
0.000 0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50 Sw
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
EJERCICIO Curva de Flujo Fraccional 1.000
0.900
0.800
0.700
fw
0.600
0.500
fw
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000 0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50 Sw
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
