TRANSFORMADA DE FOURIER
La transformada de Fourier se emplea con señales periódicas a diferencia de la serie serie de Fourie Fourier. r. Las Las condi condicio ciones nes para para poder poder obtene obtenerr la transf transform ormada ada de Fourier son (Condiciones de Dirichlet): 1. Que la señal señal sea absolu absolutamen tamente te integrabl integrable, e, es decir: decir:
2. Que tenga tenga un grado de oscila oscilación ción finito. finito. 3. Que tenga tenga un número número máximo máximo de disco discontinui ntinuidade dades. s. La transformada de Fourier es una particularización de la transformada de Laplace con S=jw (siendo w=2*pi*f), y se define como:
Mencionado al principio que la transformada de Fourier se usa con señales aperiódicas. Con la invención de la función delta(t) a principios de este siglo es posible calcular la transformada de Fourier de una señal periódica: Sabiendo que:
Y que la transformada de Fourier tiene la propiedad de dualidad:
Obtenemos que:
De esta forma, podemos calcular la transformada de Fourier de cualquier señal periódica x(t) de potencia media finita, esto es:
Para una x(t) periódica se cumple que:
Propiedades de la transformada de Fourier:
Las propiedades de la transformada de Fourier discreta bidimensional (TFD) son: La Separabilidad:
Esta propiedad de la TFD está relacionada con la posibilidad de calcular la TFD de una función bidimensional como una combinación de dos transformadas Fourier discretas, calculando primero una TFD sobre la variable de uno de los ejes y al resultado aplicarle de nuevo la TFD sobre la variable del otro eje. La ventaja que aporta esta propiedad es el hecho de poder obtener la transformada F(x,y) o la inversa f(x,y) en dos pasos, mediante la aplicación de la Transformada de Fourier o su inversa:
Donde:
Por tanto, la transformada de la matriz f(x,y) se ha realizado, calculando primero la transformada unidimensional a cada una de sus filas y multiplicando el resultado por N. Posteriormente, se calcula la transformada a cada una de las columnas de la matriz F(x,v).
La linealidad:
La transformada de Fourier y su inversa son transformaciones lineales, es decir, poseen la propiedad distributiva respecto de la suma. La traslación:
Tanto la transformada discreta de Fourier como la transformada inversa, son periódicas de periodo N. Un caso particular de esta propiedad consiste en mover el origen de la transformada de Fourier de f(x,y) al centro de la matriz N X N que le corresponda, es decir al punto (N/2,N/2). Para ello, podemos hacer uso de que:
La Simetría:
La transformada de Fourier de una función f(x,) es real es simétrica conjugada. Esto provoca que:
Por tanto, gracias a esta propiedad de simetría, para calcular la magnitud de los puntos de un periodo completo, tan sólo necesitamos calcular los N/2+1 primeros puntos, siempre y cuando el origen de la transformada este centrado en el punto (N/2,N/2).Para conseguir este movimiento del origen en la transformada, podemos aplicar la propiedad de traslación. La rotación:
Si rotamos la función f(x,y) un ángulo determinado, la transformada de Fourier también será afectada por una rotación del mismo ángulo. Esta propiedad también se da a la inversa, es decir, si la transformada se rota en un determinado ángulo, la transformada inversa también se verá rotada ese mismo ángulo.
Aplicaciones:
Las transformadas continuas y discretas de Fourier tienen muchas aplicaciones en disciplinas científicas — en Física, Física y Química Quântica, Teoría de los números, Análisis combinatória, Procesamiento de señal, Procesamiento de imagen, Teoría de las probabilidades, Estadística, Criptografia, Acústica, Oceanografia,Sísmica,Óptica, Geometria y otras áreas. En los campos relacionados con el procesamiento de señal, la transformada de Fourier es
típicamente utilizada para decompor una señal en sus componentes en frecuencia y sus amplitudes. •
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Las transformadas son operadores lineales y, con la debida normalización, son también unitarios (una propiedad conocida como el teorema de Parseval o, más generalmente, como el teorema de Plancherel, y más general aún, la dualidad de Pontryagin). Las transformadas son invertibles, y la transformada inversa tiene casi la misma forma que la transformada. Las funciones de base sinusoidal son funciones de diferenciación, lo que implica que esta representación transforma ecuaciones diferenciales lineares con coeficientes constantes en ecuaciones algébricas ordinarias. (Por ejemplo, en un sistema linear invariante el tiempo, la frecuencia es una cantidad conservada, luego el comportamiento en cada frecuencia puede ser resuelto independientemente.)
