UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN – TACNA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, ARQUITECTURA Y GEOTÉCNIA ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGIENIERÍA CIVIL
TRABAJO DE INVESTIGACION
CURSO
TEMA
:
CALCULO NUMERICO
:
RESPUESTA A
EXCITACIONES IMPULSIVAS HACIENDO USO DE LA INTEGRAL DE DUHAMEL
DOCENTE
:
MS. LOZANO
ESTUDIANTES : RIOS
MIGUEL ALONSO SIERRA
2011 129027 JOAS ULQUIORRA MAMANI 2011 129004
FERNANDO ZUÑIGA QUISPE 2011 129019 ANDY FERNANDO HUAYTA FLORES
2011 129032 TACNA-PERU 2012
INDICE
OBJETIVOS
3
INTRODUCCION
4
RESUMEN
5
CONCEPTOS PREVIOS
6
MARCO TEORICO
9
DIAGRAMA DE FLUJO
16
CODIFICACION
17
CONCLUSIONES
21
OBJETIVOS
1) Explicar el origen de la integral de duhamel, mediante métodos numericos 2) Elaborar un programa usando métodos numéricos para poder calcular el desplazamiento producido por fuerzas impulsivas. 3) Ampliar nuestro conocimiento como estudiantes de ingeniería civil, en este caso dirigido hacia el curso de dinámica estructural. 4) Hacer conocer la utilidad y facilidad que nos puede otorgar el programa a presentar que depende de la integral de duhamel.
INTRODUCCION
Generalmente las estructuras se encuentran sometidas a fuerzas exteriores o excitaciones , las cuales pueden ser producidas ya sea por temblores, terremotos, fuertes vientos o incluso hasta por el paso de camiones cerca de estas estructuras. Estas excitaciones son excitaciones impulsivas, en el siguiente informe se buscara conocer cuáles son los efectos que pueden tener las construcciones ante estas vibraciones, en este caso encontraremos el desplazamiento producido por dichas vibraciones. Para calcular el desplazamiento fue necesario desarrollar métodos numéricos en este caso se uso la regla de Simpson 1/3
RESUMEN
el tema tratado en este informe es LA RESPUESTA A LA EXCITACIÓN IMPULSIVA APLICANDO LA IDENTIDAD DE DUHAMEL , esto se basa básicamente a que en estructuras ocurren diversos sucesos que alteran su permanencia entre ellos las fuerzas exteriores producidas natural o artificialmente. Básicamente ablaremos en hallar el desplazamiento de estas vibraciones aplicando la identidad de duhamel, dando el origen del mismo y como influye realmente estas vibraciones en las estructuras, para ello tocaremos dos fases importantes en poder hallar dicho desplazamiento; que son el sistema con amortiguamiento que consiste en mitigar una fuerza tratando de minorizar la energía de la carga inicial y para ello usamos la integral de duhamel en función a este sistema obteniendo una nueva ecuación; en el caso del sistema sin amortiguamiento es todo lo contrario, no puede disminuir una fuerza o mitigarla, ya que tenemos una función desconocida y por tal usamos los métodos numéricos, usando identidades trigonométricas obtenemos dos integrales que luego agrupándolas nos genera una nueva ecuación en función a la integral de duhamel y con ella nuestra solución. finalmente en una posible grafica, introduciendo los datos iniciales en nuestro programa podemos observar el desplazamiento de estas vibraciones ya sea por diferentes métodos del punto medio, método del trapecio o método de Simpson; en este caso usaremos el método de Simpson para nuestros cálculos posteriores.
CONCEPTOS PREVIOS
AMORTIGUAMIENTO El amortiguamiento es el proceso causante de que un movimiento vibratorio disminuya su amplitud con el tiempo, es decir se denomina amortiguamiento a la capacidad de disipar energía. Como se demostrara con la solución de ecuaciones que controlan la respuesta dinámica del sistema, hay casos en que las máximas tensiones no dependen del amortiguamiento, mientras que en otros casos el amortiguamiento juega un papel fundamental en la amplitud de la respuesta dinámica.
Para una carga de corta duración (frente al periodo T de la estructura) y único pulso como se indica en la figura anterior el amortiguamiento de la figura no incide apreciablemente en la magnitud de la máxima respuesta, y con frecuencia no es considerado para calcular el valor máximo de la respuesta. Por el contrario en el caso de movimientos vibratorios sostenidos de tipo periódico de larga duración en el tiempo( frente al periodo T) el amortiguamiento puede tener gran incidencia en la magnitud de la respuesta dependiendo de la frecuencia de la excitación en comparacion con la frecuencia natural del sistema. Para cargas de baja frecuencia frente a la frecuencia natural, el amortiguamiento no afecta a la respuesta.
Similarmente para cargas de alta frecuencia frente a la frecuencia natural, el amortiguamiento tampoco incide en la amplitud de la respuesta. Por el contrario cuando la frecuencia de la carga aplicada se encuentra en el entorno de 0.5 a 2 veces la frencia natural de la estructura, el amortiguamiento cumple un rol incisivo en la amplitud de la respuesta especialmente cuando la frecuencia natural del sistema y la excitación son muy próximas entre si( resonancia).
VIBRACIONES El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseño requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.
Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración.
CARGAS O EXCITACIONES Son fuerzas cuya magnitud, dirección o punto de aplicación puede variar en función del tiempo, Existen 2 tipos de excitaciones:
a) Excitaciones periodicas.- Son aquellas que se repiten por ciclos a lo largo del tiempo.
Funcion periodica con amplitud Fo, repite todas sus características después de un tiempo determinado llamado periodo.
b) Excitaciones No periodicas.- Se identifican según su duración como cortas medianas y de larga duración.
Cargas de corta duración, se aplican en periodo de tiempos pequeños que se denominan impulsos
IMPULSO Una exitación de impulso es una fuerza aplicada durante un corto intervalo de tiempo. Se define como el producto de la fuerza por el tiempo de su duración.
MARCO TEORICO
EXCITACIÓN IMPULSIVA E INTEGRAL DE DUHAMEL EXCITACIÓN IMPULSIVA Una excitación impulsiva es una excitación aplicada durante un corto intervalo de tiempo. El impulso correspondiente a este tipo de excitación se define como el producto
de
la
fuerza
por
el
tiempo
de
su
duración.
En la figura anterior el impulso de la fuerza F(t) en el instante t durante el intervalo dt esta representado por el area sombreada y es igual a F(t )dt. Cuando este impulso actua sobre un cuerpo de masa m produce un cambio de velocidad dv que esta dado por la ley de movimiento de Newton:
Resolviendo para el cambio de velocidad nos da:
Donde F(t) es el impulso y dv el incremento de velocidad. Este incremento puede ser considerado como la velocidad inicial de la masa en el instante t. Consideremos ahora a este impulso F(t)dt actuando en la estructura representada por el oscilador simple sin amortiguación, obteniendo
La función de excitación puede entonces considerarse como una serie de impulsos cortos que se presenta a incrementos de tiempo dt. Por lo tanto podemos concluir de que el desplazamiento total en el instante t debido a la acción continua de la fuerza F(t) esta dado por la integral delos desplazamientos diferenciales dy(t) desde el instante t=0 al instante t=t, esto es: Para el caso sin amortiguación:
Y para el caso con amortiguación
Donde : m= masa t=tiempo w=sqrt(k/m)= frecuencia circular del sistema k= constante de elasticidad
Y(t) = Desplazamiento ocasionado. F(t) = Fuerza en función del tiempo.
Como observamos en ambos casos la manera de desarrollar será parecida, lo único que hara la diferencia será el exponencial( en el caso del sistema con amortiguamiento), siendo esta una integral con mayor grado de dificultad. Para ambos casos aplicaremos la regla de Simpson con un cierto número de intervalos de tiempo, para la cual a mas intervalos usemos más precisa será nuestra respuesta.
INTEGRAL DE DUHAMEL La integral de Duhamel es una de las técnicas mas usadas para análisis dinamico lineal de estructuras sujetas a cargas variables en el tiempo. Como dicho procedimiento se basa en el principio de superposición, es valido únicamente para estructuras lineales, es decir para sistemas cuyas propiedades permanecen constantes durante todo el proceso dinamico( masa, rigidez, etc.) A continuacion haremos uso de la integral de duhamel para el caso con amortiguación y sin amortiguación, utilizando la regla de Simpson 1/3
Sistema sin amortiguamiento Una estructura sin amortiguamiento viene a ser aquella que no puede absorver, mitigar, ni dispersar una fuerza, de forma que la carga inicial disminuya. En muchos casos la función exitadora se conoce sólo por datos experimentales, como es el caso de los registros de movimientos sísmicos. En tales situaciones la
respuesta debe ser calculada por un método numerico y uno de los métodos de cálculo numérico es la integral de Duhamel. Introduciendo la identidad trogonométrica : sen(t
)
sen(t )cos( ) cos(t )sen( )
Usando esta identidad y suponiendo condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene la integral de Duhamel de la ecuación (1) como:
………..(1)
y(t )
A(t )sen
t
B(t )cos t
m
Donde:
El cálculo de la integral de Duhamel requiere el cálculo numérico de las integrales A(t) y B(t), en las cuales aplicaremos metodos numericos para asi reemplazar las integrals por una suma de terminus a intervalos de tiempo
.
En este caso para desarrollar dichas integralEs aplicaremos la regla de simpson 1/3
Considerando la integral de una función I( ):
La operación elemental en la regla de Simpson es:
Donde: n=t/t, en la regla de Simpson debe ser par La aplicación de esta regla es directa, pero los resultados son aproximados porque se basan en la sustitución de la función I( )por segmentos parabólicos en la regla de Simpson. Un método alternativo es obtener la solución analítica exacta de la integral de Duhamel, suponiendo que la función está compuesta por segmentos lineales sucesivos. Este método no introduce aproximaciones numéricas en la integración, aparte de las inherentes al error de redondeo, por lo que se considera un método exacto. Se supone que la función de la fuerza exitadora F( ) puede ser representada aproximadamente por una función de segmentos lineales, como se observa en la figura inferior.
Figura (I): Función exitadora representada por segmentos lineales
Con el fin de determinar la historia completa de la respuesta es más conveniente expresar las integrales de la ecuación siguiente en forma incremental:
en forma incremental:
Con estas nuevas ecuaciones podemos hallar los términos A y B haciendo que al desarrollar toda la ecuación nos de una solución mas precisa.
Sistema con amortiguamiento Un sistema es amortiguado cuando recibe, absorbe y mitiga una fuerza, dispersándola o transformando energía de forma que la carga inicial se haya minorizado. Entre mejor sea la amortiguación inicial, menor será la fuerza recibida sobre un punto final. En forma análoga al análisis del sistema amortiguado, obtendremos el desplazamiento diferencial para un sistema con amortiguamiento. Sustituyendo la fuerza impulsiva F( )d que produce la velocidad inicial dv=F( )d, y t sustituido por (t- ) en la ecuación (*) que corresponde a la solución para un sistema en vibración amortiguada.
Sumando los términos de las respuestas diferenciales, resulta:
La respuesta de un sistema en función de la integral de Duhamel para el caso amortiguado será:
Donde:
Para la función de segmentos lineales dada en la ecuación siguiente
Y luego sustituída en las ecuaciones
Resulta:
DIAGRAMA DE FLUJO INICIO
F(i),m,k,v i:1,g
W=(k/m)^1/2
T(1,1)=0 Ai(1,1)=0 Bi(1,1)=0 Ui(1,1)=0
i: 1,g-1
T(i+1,1)=T(i,1)+V h=V/2 P=(h/3)*(F(i,1)*cos(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/ 2)*cos(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+1,1)*cos(w*T(i+1,1)))
Q=(h/3)*(F(i,1)*sin(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/ 2)*sin(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+1,1)*sin(w*T(i+1,1)))
Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+P Bi(i+1,1)=Bi(i,1)+Q U(i+1,1)=(Ai(i+1,1)*sin(w*T(i+1))-Bi(i+1,1)*cos(w*T(i+1)))/ (m*w)
Imprimir: U
FIN
CODIFICACION SIN AMORTIGUACION F=str2num(get(handles.edit6, 'string')) m=str2double(get(handles.edit1, 'string')) k=str2double(get(handles.edit2, 'string')) V=str2double(get(handles.edit5, 'string')) w=sqrt(k/m) g=length(F) T(1,1)=0 Ai(1,1)=0 Bi(1,1)=0 Ui(1,1)=0 for i=1:g-1 T(i+1,1)=T(i,1)+V; h=V/2; P=(h/3)*(F(i,1)*cos(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*cos(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i +1,1)*cos(w*T(i+1,1))); Q=(h/3)*(F(i,1)*sin(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*sin(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+ 1,1)*sin(w*T(i+1,1))); Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+P; Bi(i+1,1)=Bi(i,1)+Q; U(i+1,1)=(Ai(i+1,1)*sin(w*T(i+1))-Bi(i+1,1)*cos(w*T(i+1)))/(m*w) end set(handles.edit4, 'string',U)
CON AMORTIGUACION
F=str2num(get(handles.edit1, 'string')); m=str2double(get(handles.edit5, 'string')); k=str2double(get(handles.edit3, 'string')); V=str2double(get(handles.edit4, 'string')); am=str2double(get(handles.edit7, 'string')); vi=str2num(get(handles.edit6, 'string')) w=sqrt(k/m); g=length(F); sig=am/(2*m*w); wd=w*sqrt(1-sig^2); T(1,1)=vi(1) Ai(1,1)=vi(2) Bi(1,1)=vi(3) U(1,1)=vi(4) for i=1:g-1 T(i+1,1)=T(i,1)+V; h=V/2; P=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*cos(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F (i+1,1))/2)*cos(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i +1,1))/2)... +exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*cos(wd*T(i+1,1))); Q=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*sin(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F (i+1,1))/2)*sin(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i +1,1))/2)... +exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*sin(wd*T(i+1,1))); Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+P Bi(i+1,1)=Bi(i,1)+Q U(i+1,1)=((exp(sig*w*T(i+1,1)))*(Ai(i+1,1)*sin(wd*T(i+1))Bi(i+1,1)*cos(wd*T(i+1))))/(m*wd); end set(handles.edit2, 'string',U)
% --- Executes on button press in pushbutton2. function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) F=str2num(get(handles.edit1, 'string'));
m=str2double(get(handles.edit5, 'string')); k=str2double(get(handles.edit3, 'string')); V=str2double(get(handles.edit4, 'string')); am=str2double(get(handles.edit7, 'string')); vi=str2num(get(handles.edit6, 'string')) w=sqrt(k/m); g=length(F); sig=am/(2*m*w); wd=w*sqrt(1-sig^2); T(1,1)=vi(1) Ai(1,1)=vi(2) Bi(1,1)=vi(3) U(1,1)=vi(4) for i=1:g-1 T(i+1,1)=T(i,1)+V; h=V/2; P=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*cos(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F (i+1,1))/2)*cos(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i +1,1))/2)... +exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*cos(wd*T(i+1,1))); Q=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*sin(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F (i+1,1))/2)*sin(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i +1,1))/2)... +exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*sin(wd*T(i+1,1))); Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+P Bi(i+1,1)=Bi(i,1)+Q U(i+1,1)=((exp(sig*w*T(i+1,1)))*(Ai(i+1,1)*sin(wd*T(i+1))Bi(i+1,1)*cos(wd*T(i+1))))/(m*wd); end x=F'; y=U'; z=T'; axes(handles.axes1) plot(y,x) grid on pan on ylabel('Fuerza') xlabel('desplazamiento') axes(handles.axes2) plot(z,y) grid on
pan on ylabel('Desplazamiento') xlabel('tiempo')
% --- Executes on button press in pushbutton3. function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles) set(handles.edit6, 'string',''); set(handles.edit1, 'string',''); set(handles.edit2, 'string',''); set(handles.edit5, 'string',''); set(handles.edit4, 'string',''); plot(0,0); axes(handles.axes1) plot(0,0); axes(handles.axes2)
CONCLUSIONES
1) Luego de haber concluido el presente trabajo, se pudo crear el programa adecuado, el cual nos ayudo a calcular el desplazamiento producido por fuerzas impulsivas, utilizando la regla de Simpson 1/3, con tan solo ingresar los datos necesarios. 2) También se puede añadir que luego de haber desarrollado este trabajo de investigación, se pudo ampliar nuestro conocimiento acerca del curso de dinámica estructural, especialmente acerca de vibraciones impulsivas. 3) Se pudo conocer el funcionamiento de la integral de duhamel y básicamente su uso, que nos permitio hallar el desplazamiento a las excitaciones impulsivas
